Chuyên đề bồi dưỡng Hình học 7: Hai góc đối đỉnh - Lý thuyết và bài tập minh họa

• Chuyên ngành: Hình học
• Đề tài: Chuyên đề bồi dưỡng hình học 7
• Loại tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng

Tóm tắt

I. Tổng quan về chuyên đề bồi dưỡng hình học 7

Chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 là chương trình nâng cao dành cho học sinh lớp 7, mở rộng kiến thức hình học cơ bản trong sách giáo khoa. Nội dung bao gồm các chủ đề quan trọng như hai góc đối đỉnh, góc kề bù, tổng ba góc trong tam giác và góc ngoài của tam giác. Chương trình này giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng chứng minh và tính toán hình học. Các bài tập trong chuyên đề thường yêu cầu học sinh vận dụng đồng thời nhiều tính chất hình học khác nhau. Việc nắm vững chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 tạo nền tảng vững chắc cho chương trình hình học lớp 8, lớp 9 và các kỳ thi học sinh giỏi toán cấp trường, cấp quận. Phương pháp giải bài tập nhấn mạnh vào việc tìm cách giải trước khi trình bày lời giải hoàn chỉnh.

1.1. Mục tiêu của chuyên đề bồi dưỡng hình học 7

Mục tiêu chính của chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 là nâng cao năng lực tư duy hình học cho học sinh. Chương trình giúp học sinh hiểu sâu các tính chất hình học cơ bản, biết cách kết hợp nhiều kiến thức để giải quyết bài toán phức tạp. Học sinh rèn luyện kỹ năng viết lời giải rõ ràng, logic và mạch lạc. Chuyên đề cũng chuẩn bị kiến thức nền tảng cho các kỳ thi học sinh giỏi toán. Ngoài ra, học sinh phát triển khả năng quan sát hình vẽ, nhận biết mối quan hệ giữa các yếu tố hình học và áp dụng sáng tạo vào bài toán thực tế.

1.2. Đối tượng và phạm vi áp dụng

Chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 dành cho học sinh khá giỏi môn toán lớp 7 muốn nâng cao trình độ. Nội dung phù hợp với học sinh tham gia các câu lạc bộ toán học, nhóm học tập nâng cao hoặc luyện thi học sinh giỏi. Giáo viên cũng sử dụng tài liệu này để bồi dưỡng đội tuyển thi toán cấp trường và cấp quận. Phạm vi áp dụng bao gồm cả hình học phẳng cơ bản và các bài toán tổng hợp. Học sinh cần nắm vững kiến thức sách giáo khoa trước khi tiếp cận chuyên đề này để đạt hiệu quả học tập tốt nhất.

II. Các kiến thức trọng tâm trong chuyên đề bồi dưỡng hình học 7

Chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 tập trung vào nhiều kiến thức hình học quan trọng. Kiến thức đầu tiên là hai góc đối đỉnh: hai góc có mỗi cạnh của góc này là tia đối của cạnh góc kia, và hai góc đối đỉnh bằng nhau. Tiếp theo là tính chất góc kề bù: hai góc kề bù có tổng bằng 180 độ. Kiến thức về tổng ba góc trong tam giác cho biết tổng ba góc trong bất kỳ tam giác nào đều bằng 180 độ. Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó, và góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề. Các kiến thức này thường được kết hợp trong cùng một bài toán. Học sinh cần nhận biết rõ khi nào áp dụng tính chất nào để giải bài tập hiệu quả.

2.1. Hai góc đối đỉnh và tính chất liên quan

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. Tính chất quan trọng nhất là hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau. Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo thành hai cặp góc đối đỉnh. Ví dụ, khi đường thẳng EF cắt GH tại O, góc EOG bằng góc FOH và góc GOE bằng góc HOF. Trong bài tập bồi dưỡng, học sinh thường phải chứng minh hai góc là đối đỉnh bằng cách chỉ ra mối quan hệ giữa các tia. Việc sử dụng tính chất góc kề bù kết hợp với góc đối đỉnh là kỹ năng quan trọng cần nắm vững.

2.2. Tổng ba góc trong tam giác và góc ngoài

Tổng ba góc trong tam giác luôn bằng 180 độ, đây là tính chất nền tảng của hình học. Góc ngoài của tam giác được tạo bởi một cạnh của tam giác và cạnh kề mở rộng. Tính chất quan trọng là góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Hệ quả là góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề. Trong bài tập bồi dưỡng, học sinh thường vận dụng tính chất này để tính số đo góc chưa biết. Ví dụ, biết hai góc trong của tam giác, ta dễ dàng tính góc thứ ba và góc ngoài tương ứng. Việc kết hợp nhiều tính chất giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

III. Phương pháp giải bài tập trong chuyên đề bồi dưỡng hình học 7

Phương pháp giải bài tập trong chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 tuân theo quy trình hai bước rõ ràng. Bước đầu tiên là tìm cách giải: phân tích giả thiết và kết luận, xác định kiến thức cần sử dụng và lên kế hoạch giải bài. Bước thứ hai là trình bày lời giải: viết lời giải logic, rõ ràng, có dẫn chứng cụ thể cho mỗi bước. Kỹ năng quan trọng là biết cách kết hợp nhiều tính chất hình học trong cùng một bài toán. Học sinh cần luyện tập thường xuyên để nhận biết nhanh bài toán thuộc dạng nào và áp dụng phương pháp phù hợp. Các bài toán chứng minh đòi hỏi tư duy suy luận chặt chẽ, trong khi bài toán tính toán yêu cầu kỹ năng đại số chính xác. Thực hành nhiều bài tập giúp nâng cao tốc độ và độ chính xác khi giải toán.

3.1. Kỹ năng tìm cách giải bài toán hình học

Tìm cách giải là bước quan trọng trước khi viết lời giải. Học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ giả thiết và kết luận cần chứng minh hoặc tính toán. Tiếp theo, liệt kê các tính chất hình học liên quan đến bài toán. Đối với bài chứng minh, cần xác định điều kiện đủ và cần thiết. Đối với bài tính toán, cần tìm đường đi từ giả thiết đến kết quả. Kỹ năng vẽ hình minh họa chính xác giúp hình dung bài toán tốt hơn. Học sinh nên tập thói quen viết ra giấy các giả thiết và kết luận trước khi bắt đầu giải. Phương pháp này giúp tránh sai sót và tiết kiệm thời gian làm bài.

3.2. Kỹ năng trình bày lời giải logic và rõ ràng

Trình bày lời giải logic là yếu tố quyết định điểm số trong thi toán. Mỗi bước trong lời giải cần có dẫn chứng cụ thể từ tính chất hình học hoặc giả thiết đề bài. Học sinh nên sử dụng ký hiệu hình học chuẩn và viết câu dẫn rõ ràng. Ví dụ, khi sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh bằng nhau, cần ghi rõ lý do. Lời giải tốt cần mạch lạc, người đọc có thể theo dõi từng bước suy luận. Học sinh nên luyện tập viết lời giải hoàn chỉnh cho nhiều dạng bài tập khác nhau. Thực hành thường xuyên giúp hình thành phản xạ trình bày lời giải nhanh và chính xác trong điều kiện thi cử.

IV. Kết luận và ứng dụng của chuyên đề bồi dưỡng hình học 7

Chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 mang lại nhiều lợi ích thiết thực cho học sinh. Kiến thức về góc đối đỉnh, góc kề bù, tổng ba góc trong tam giác và góc ngoài tạo nền tảng vững chắc cho hình học nâng cao. Các kỹ năng tìm cách giải và trình bày lời giải được rèn luyện qua nhiều bài tập đa dạng. Học sinh hoàn thành chuyên đề có khả năng tư duy logic tốt hơn, giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Ứng dụng của kiến thức hình học không chỉ giới hạn trong toán học mà còn mở rộng sang vật lý, kỹ thuật và cuộc sống hàng ngày. Chuyên đề cũng giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Việc đầu tư thời gian học tập chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 là bước đệm quan trọng cho hành trình học toán lâu dài.

4.1. Lợi ích của việc học chuyên đề bồi dưỡng hình học 7

Học chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 mang lại nhiều lợi ích cho học sinh. Thứ nhất, học sinh nắm vững kiến thức nền tảng hình học, tạo điều kiện học tốt các lớp trên. Thứ hai, kỹ năng tư duy logic và chứng minh được nâng cao rõ rệt. Thứ ba, học sinh tự tin hơn khi giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Thứ tư, kết quả học tập toán trong trường được cải thiện đáng kể. Thứ năm, học sinh có cơ hội tham gia và đạt thành tích cao trong các kỳ thi học sinh giỏi. Ngoài ra, tư duy hình học phát triển còn hỗ trợ học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.

4.2. Hướng dẫn ôn tập và củng cố kiến thức hiệu quả

Để ôn tập chuyên đề bồi dưỡng hình học 7 hiệu quả, học sinh nên xây dựng bảng tổng hợp các tính chất hình học chính. Mỗi tính chất cần ghi rõ điều kiện áp dụng và ví dụ minh họa. Học sinh nên giải lại các bài tập đã học, tập trung vào những bài từng gặp khó khăn. Lập nhóm học tập để thảo luận và trao đổi phương pháp giải cũng rất hữu ích. Giải đề thi học sinh giỏi các năm trước giúp làm quen với dạng bài và mức độ khó. Học sinh cần phân bổ thời gian hợp lý, không nên học dồn mà nên ôn tập đều đặn mỗi ngày. Kiên trì luyện tập sẽ mang lại kết quả tốt.

Trích đoạn nội dung tài liệu

HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH A. Kiến thức cần nhớ 1. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia (hình 1. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau: ∠AOC = ∠BOD; ∠AOD = ∠BOC Hình 1. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho góc bẹt AOB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhay bờ AB vẽ hai tia OM và ON sao cho ∠AOM = ∠BON . Chứng minh rằng hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh Giải (h1.2 * Tìm cách giải Để chứng tỏ hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh, ta cần chứng tỏ mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia. Vì đã có hai tia OA và OB đối nhau nên chỉ còn phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau bằng cách chứng tỏ MON là góc bẹt. * Trình bày lời giải: Góc AOB là góc bẹt nên hai toa OA, OB đối nhau. Hai góc AOM và BOM kề bù nhau nên ∠AOM + ∠BOM = 180°. Mặt khác ∠AOM = ∠BON ( đề bài cho) nên ∠BON + ∠BOM =180°. Suy ra ∠MON = 180°. Hai góc AON và BOM có mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia nên chúng là 2 góc đối đỉnh. Cho hai đường thẳng EF và GH cắt nhau tại O tạo thành bốn góc không kể góc bẹt. Biêt tổng ∠EOG + ∠GOF + ∠FOH = 250°. Tính số đo của bốn góc tạo thành.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 * Tìm cách giải: Để tính được số đo của bốn góc tạo thành, trước tiên ta phải tính được số đo của một trong bốn góc đó. * Trình bày lời giải: Ta có ∠EOG + ∠GOF + ∠FOH = 250° (đề bài cho), Mà ∠EOG + ∠GOF = 180° (hai góc kề bù) nên ∠FOH = 250°-180 ° ∠FOH + ∠GOF =180° (hai góc kề bù) => ∠GOF = 180°-70°=110° Vậy ∠EOG = ∠FOH = 70° (hai góc đối đỉnh); ∠HOE = ∠GOF = 110° (hai góc đối đỉnh). * Nhận xét: Sau khi tính được số đo một góc ta tính được số đo ba góc còn lại nhờ vận dụng tính chất góc kề bù và góc đối đỉnh. Cho bốn đường thẳng cắt nhau tại mộ điểm. Xét các góc không có điểm trong chung, chứng tỏ rằng tồn tại hai góc nhỏ hơn 45°.4) *Tìm cách giải: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Do đó để chứng tỏ tồn tại hai góc nhỏ hơn hoặc bằng 45, ta chỉ cần chứng minh tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 45. *Trình bày lời giải: Bốn đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo ra 8 góc không có điểm trong chung. Nếu tất cả các góc này đều lớn hơn 45° thì tổng của chúng lơn hơn 45°x8=360°. Điều này vô lý vì tổng của 8 góc này đúng bằng 360°. Vậy phải tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 45°. Góc này và góc đối đỉnh nó bằng nhau. Do đó tồn tại hai góc nhỏ hơn hoặc bằng 45°.5, hai góc AOC và BOD là hai góc đối đinh. Hai tia OE và OF là hai tia đối nhau. Biết OE là tia phân giác của góc AOC, chứng tỏ rằng OF là tia phân giác của góc BOD H 1. * Tìm cách giải : Ta cần chứng tỏ ∠ O3 = ∠ O4. Muốn vậy ta phải sử dụng tính chất của hai góc đối đỉnh. * Trình bày lời giải : Hai góc AOC và BOD là hai góc đối đỉnh nên các tia OA, OB đối nhau. Ngoài ra hai tia OE, OF cũng đối nhay nên ta có ∠ O1 = ∠ O3 ; ∠ O2 = ∠ O4 Vì ∠ O1 = ∠ O2 nên ∠ O3 = ∠ O4 (1) THCS.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 Mặt khác tia OF nằm giữa hai tia OB, OD (2) Nên từ (1), (2) suy ra OF là tia phân giác của góc BOD. Bài tập vận dụng.1 Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc không kể góc bẹt. Biết ∠ AOC + ∠ BOD= 100°. Tính số đo mỗi góc tạo thành.2 Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt biết ∠ 2 NOP= ∠MOP . Tính số đo mỗi góc tạo thành.3 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O. Vẽ tia OM là tia phân giác góc AOC. Tìm giá trị của a để ∠ BOM= 155° 1.4 Cho hai đường thẳng EF, GH cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác OK của góc EOG. Tìm giá trị của m để ∠ FOH= 110°.5 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O, ∠ BOC =60°. Một tia Ox có thể trùng với tia OB hoặc OC hoặc nằm giữa hai tia này. Vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox. Tìm số đo lớn nhất của góc Aoy.6 Cho ba đường thẳng AB, CD, MN cắt nhay tại O. a) Trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc. b) Chứng tỏ rằng trong các góc trên tồn tại hai góc tù. • Chứng tỏ hai tia đối nhau: 1.7 Chứng tỏ hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau.8 Cho hai đường thẳng AB và MN cắt nhau tại O sao cho ∠ AOM< 90°. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chưa tia OM, vẽ tia OC sao cho tia OM là tia phân giác của góc AOC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia ON vẽ tia OD sao cho ON là tia phân giác góc BOD. Chứng tỏ ràng hai tia OC và OD đối nhau. • Chứng tỏ một tia là phân giác: 1.9 Cho hai góc AOB và AOC là hai góc kề bằng nhau, mỗi góc đều là góc tù. Vẽ tia OB’ là tia đối cuartia OB, tia OC’ là tia đối của tia OC. Chứng tỏ rằng OA là tia phân giác góc B’OC’.10 Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia OC và OD sao cho ∠ AOC= ∠ BOD= 150°. Vẽ tia OE là tia đối của tia OD. Chứng tỏ rằng tia OB là tia phân giác góc COE. • Đếm góc, đếm tia: 1.11 Cho bốn đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Tìm số cặp góc đối đỉnh được tạo thành (không kể góc bẹt). a) Bằng cách liệt kê. b) Bằng cách tính toán.12 Cho n đường thẳng cắt nhau tại một điểm, chúng tạo thành: THCS.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 a) 20 cặp góc đối đỉnh. (không kể góc bẹt) b) 90 cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) Tính giá trị của n trong mỗi trường hợp trên. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. Kiến thức cần nhớ 1.Hai đường thẳng AB,CD cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc.1 ta có AB ⊥CD.Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua O và vuông góc với dường thằng a cho trước (h.Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đonạ thẳng ấy.3,đường thẳng xy là đường trung trực của AB B. Một số ví dụ � = 60°. Vẽ tia ON nằm trong góc BOM Ví dụ 1.Cho góc bẹt AOB và tia OM sao cho 𝐴𝑂𝑀 sao cho ON⊥OM.Chứng tỏ rằng 𝐵𝑂𝑁 � = 1 𝐴𝑂𝑀�.4) Muốn so sánh hai góc BON và AOM ta cần tính số đo của chúng. Đã biết số đo của góc AOM nên chỉ cần tính số đo của góc BON * Trình bày lời giải:  + BOM Hai góc AOM và BOM kề bù nên AOM = 1800  = 1800 − 600 = 1200 . Vì OM ⊥ ON nên MON ⇒ BOM  = 900  + MON Tia ON nằm trong góc BOM nên BON =  BOM  = 1200 − 900 = 300 .600 nên BON ⇒ BON  = 1 AOM  2 2 THCS.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 Ví dụ 2: Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia OE, OF sao cho = BOF AOE  < 900 . Vẽ tia phân giác OM của góc EOF. Chứng tỏ rằng OM ⊥ AB Giải (h.25) *Tìm cách giải Để chứng minh OM ⊥ AB ta cần chứng tỏ góc AOM (hoặc góc BOM) có số đo bằng 900. *Trình bày lời giải: Ta=  BOF; có: AOE  =  MOF MOE  (đề bài cho) 1.  + MOE ⇒ AOE  = BOF  + MOF(1)  Tia OE nằm giữa hai tia OA, OM. Tia OF nằm giữa hai tia OB, OM nên từ (1) suy ra  = BOM AOM  . Mặt khác AOM  + BOM =  180 1800 (hai góc kề bù) nên = AOM = 0 : 2 900 , suy ra OM ⊥ OA . Do đó OM ⊥ AB Ví dụ 3: Cho góc tù AOB. Vẽ vào trong góc này các tia OM, ON sao cho OM ⊥ OA , ON ⊥ OB .Vẽ tia OK là tia phân giác của góc MON. Chứng tỏ rằng tia OK cũng là tia phân giác của góc AOB Giải (h. *Tìm cách giải: Muốn chứng tỏ tia OK là tia phân giác của góc AOB ta cần  = BOK chứng tỏ AOK  . Muốn vậy cần chứng tỏ  + NOK AON  = BOM  + MOK  *Trình bày lời giải: = Ta có OM ⊥ OA ⇒ AOM = 900 ; ON ⊥ OB ⇒ BON 900  + NOM Tia ON nằm giữa hai tia OA, OM nên AON  = AOM  = 900  + MON Tia OM nằm giữa hai tia OB, ON nên BOM  = BON  =900  = BOM Suy ra AON  (cùng phụ với MON )  = MOK Tia OK là tia phân giác của góc MON nên NOK   + NOK Do đó AON  = BOM + MOK . (1) Vì tia ON nằm giữa hai tia OA, OK và tia OM nằm giữa hai tia OB, OK nên từ (1) suy ra  = BOK AOK  Mặt khác, tia OK nằm giữa hai tia OA, OB nên tia OK cũng là tia phân giác của góc AOB. Bài tập vận dụng: • Tính số đo góc THCS.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 2. Cho hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau tại O. Vẽ tia OK là tia phân giác của góc AOC. Tính số đo góc KOD và KOB. Cho góc AOB và tia OC nằm trong góc đó sao cho AOC  . Vẽ tia phân giác OM của góc AOC. Tính số đo của góc AOB nếu OM ⊥ OB 2. Cho góc từ AOB, AOB = m0. Vẽ vào trong góc này các tia OC, OD sao cho OC ⊥ OA;OD ⊥ OB  = BOC a) Chứng tỏ rằng AOD   b) Tìm giá trị của m để AOD  = DOC  = COB • Chứng tỏ hai đường thẳng vuông góc: 2.7 có góc MON là góc bẹt, góc AOC là góc vuông. Các tia OM, ON lần lượt là các tia phân giác của các góc AOB và COD. Chứng tỏ rằng OB ⊥ OD 2. Cho góc nhọn AOB.