Luận án Tiến sĩ: Phương pháp phần tử biên cho thiết kế mỏ của Barry Hugh Garnet Brady (1979)

Luận án 1979 giới thiệu phương pháp phần tử biên ứng dụng trong thiết kế mỏ, cung cấp giải pháp phân tích hiệu quả cho các bài toán phức tạp trong khai thác

• Tác giả: Barry Hugh Garnet Brady
• Người hướng dẫn: Dr E.Brown
• Trường học: University of London (Imperial College of Science and Technology)
• Chuyên ngành: Engineering
• Đề tài: Boundary Element Methods for Mine Design
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 1979
• Địa điểm: London

Tóm tắt

I. Phương pháp Phân Tử Biên cho Thiết Kế Mỏ

Phương pháp Phân Tử Biên (Boundary Element Method - BEM) là một phương pháp tính toán mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi trong thiết kế và phân tích các cấu trúc mỏ. Nó được phát triển để giải quyết các vấn đề về tính toán và phân tích trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm cơ học đất, cơ học kết cấu, và cơ học chất lỏng. Trong lĩnh vực thiết kế mỏ, phương pháp này đã được chứng minh là một công cụ quan trọng cho việc phân tích và thiết kế các cấu trúc mỏ.

1.1. Nguyên lý của Phương pháp Phân Tử Biên

Phương pháp Phân Tử Biên dựa trên nguyên lý biến đổi tích phân. Nó sử dụng một tập hợp các điểm trên biên của vùng tính toán để xây dựng một hệ phương trình tuyến tính. Hệ phương trình này sau đó được giải để tìm nghiệm của vấn đề.

1.2. Ưu điểm của Phương pháp Phân Tử Biên

So với phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM), phương pháp Phân Tử Biên có một số ưu điểm quan trọng. Nó thường yêu cầu ít thời gian tính toán và dung lượng bộ nhớ hơn, và có thể xử lý các vấn đề với các ranh giới phức tạp một cách dễ dàng hơn.

II. Ứng Dụng của Phương pháp Phân Tử Biên trong Thiết Kế Mỏ

Phương pháp Phân Tử Biên đã được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của thiết kế mỏ, bao gồm phân tích tính toán của các cấu trúc mỏ, tính toán dòng chảy của chất lỏng và khí trong mỏ, và phân tích của các hiện tượng địa chất như sụt lún và biến dạng mỏ.

2.1. Phân Tích Tính Toán Cấu Trúc Mỏ

Phương pháp Phân Tử Biên đã được sử dụng để phân tích tính toán của các cấu trúc mỏ, bao gồm các tường mỏ, các vách mỏ, và các cấu trúc hỗ trợ khác. Nó cho phép tính toán chính xác của các lực tác động lên các cấu trúc và dự đoán của các biến dạng và phá vỡ có thể xảy ra trong quá trình khai thác.

2.2. Tính Toán Dòng Chảy Chất Lỏng và Khí

Phương pháp Phân Tử Biên cũng được sử dụng để tính toán dòng chảy của chất lỏng và khí trong mỏ. Nó cho phép dự đoán của các dòng chảy trong các hầm mỏ và các đường ống, và giúp trong việc thiết kế các hệ thống thông gió và thoát nước hiệu quả.

III. Phát Triển Hóa của Phương pháp Phân Tử Biên trong Thiết Kế Mỏ

Trong những năm gần đây, phương pháp Phân Tử Biên đã được phát triển để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn trong thiết kế mỏ. Các phương pháp mới đã được phát triển để xử lý các vấn đề ba chiều, các vấn đề không tuyến tính, và các vấn đề liên kết với các hiện tượng địa chất phức tạp.

3.1. Phát Triển Phương pháp Phân Tử Biên Ba Chiều

Phương pháp Phân Tử Biên ba chiều đã được phát triển để giải quyết các vấn đề phức tạp trong các cấu trúc mỏ ba chiều. Nó cho phép phân tích chính xác của các lực tác động và biến dạng trong các cấu trúc phức tạp, và cho phép dự đoán của các hiện tượng địa chất có thể xảy ra trong quá trình khai thác.

3.2. Phát Triển Phương pháp Phân Tử Biên Không Tuyến Tính

Phương pháp Phân Tử Biên không tuyến tính đã được phát triển để giải quyết các vấn đề không tuyến tính trong thiết kế mỏ. Nó cho phép phân tích của các hiện tượng địa chất phức tạp, như sụt lún và biến dạng mỏ, và cho phép dự đoán của các biến dạng và phá vỡ có thể xảy ra trong quá trình khai thác.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong ngành khai thác khoáng sản ngầm hiện đại, việc gia tăng độ sâu khai thác đặt ra những thách thức kỹ thuật nghiêm trọng về kiểm soát áp lực mỏ và đảm bảo an toàn cơ học đá. Theo thống kê từ các báo cáo địa kỹ thuật mỏ hầm lò, tỷ lệ thu hồi quặng tại các thân quặng sâu thường chỉ đạt từ 60% đến 65% do phải để lại các trụ bảo vệ kích thước lớn nhằm ngăn ngừa sụt lún và nổ đá cục bộ. Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn là sự thiếu hụt các phương pháp số học hiệu quả, có khả năng phân tích chính xác trạng thái ứng suất và biến dạng quanh các cấu trúc khai đào ngầm có hình học phức tạp trong môi trường đá cứng.

Mục tiêu cụ thể của công trình là phát triển, hoàn thiện và kiểm chứng hệ thống thuật toán thuộc Phương pháp Phần tử Biên (Boundary Element Methods - BEM), bao gồm cả công thức trực tiếp và gián tiếp, phục vụ công tác thiết kế các kết cấu mỏ hầm lò tự đỡ và có trợ lực. Phạm vi nghiên cứu được triển khai trên các mô hình hình học khai trường thực tế tại mỏ Mount Isa, đặc biệt là các thân quặng chì và đồng có chiều dày phân bố từ 8m đến 30m chịu tác động của trường ứng suất ba trục không đồng đều. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu thể hiện qua việc tối ưu hóa tỷ lệ khai thác quặng đạt từ 75% đến 90%, đồng thời thiết lập công cụ dự báo định lượng giúp kiểm soát tốc độ giải phóng năng lượng dưới ngưỡng nguy hiểm 40 MJ/m3, ngăn chặn triệt để nguy cơ đổ vỡ dây chuyền trong các hệ thống buồng và trụ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên sự kết hợp chặt chẽ giữa hai lý thuyết nền tảng: Lý thuyết đàn hồi tĩnh vô hạn (Elastostatics) và Lý thuyết biến dạng phẳng toàn phần (Complete Plane Strain). Khung lý thuyết này cho phép phân tích toàn diện các thành phần ứng suất và biến dạng trong trường hợp trục dọc của đường lò không trùng với các phương ứng suất chính của trường ứng suất nguyên sinh.

Bốn khái niệm then chốt cấu thành mô hình phân tích bao gồm:

1. Độ cứng cục bộ của mỏ (Mine Local Stiffness - ký hiệu là kl): Đại diện cho phản ứng lực đàn hồi của khối đá vây quanh tác động lên từng vị trí trụ khi diễn ra dịch chuyển hội tụ.
2. Độ cứng sau đỉnh của trụ đá (Post-peak Pillar Stiffness - ký hiệu là lambda): Đặc trưng cho độ dốc suy giảm khả năng chịu tải của trụ đá sau khi ứng suất vượt quá giới hạn bền.
3. Tốc độ giải phóng năng lượng (Energy Release Rate - ERR): Đại lượng đo lường mật độ động năng phát tán trên mỗi đơn vị thể tích quặng khai đào, quyết định khả năng phát sinh nổ đá.
4. Điểm kỳ dị biên (Boundary Singularities): Các hàm giải tích cơ bản mô tả nghiệm tải trọng tập trung và lưỡng cực lực, làm cơ sở toán học để thiết lập phương trình tích phân biên.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu của nghiên cứu bao gồm các thông số cơ lý đá nguyên khối, cấu trúc nứt nẻ tự nhiên và số liệu đo đạc ứng suất thực tế tại mỏ Mount Isa, kết hợp cùng dữ liệu thí nghiệm nén nén mẫu đá quy mô lớn được công bố trên thế giới.

Cỡ mẫu phân tích bao gồm 5 sơ đồ bố trí buồng - trụ giả định với các tỷ lệ hình học khác nhau, kết hợp kiểm chứng trên bộ dữ liệu thực nghiệm từ các khối đá thể tích 1m3 đến 2m2 được cắt thử nghiệm tại hiện trường. Phương pháp chọn mẫu là chọn mẫu điển hình có chủ đích, tập trung vào các thân quặng dạng tầng và khối đặc trưng cho khai thác hầm lò sâu.

Phương pháp phân tích chủ đạo là Phương pháp Phần tử Biên (BEM). Luận văn phát triển công thức BEM gián tiếp cho các khe nứt hẹp dạng 2 chiều và 3 chiều, cùng công thức BEM trực tiếp cho môi trường không đồng nhất. Lý do lựa chọn BEM thay vì Phương pháp Phần tử Hữu hạn (FEM) là vì BEM chỉ cần chia lưới trên đường biên của khai trường, tự động thỏa mãn điều kiện biên ở vô hạn, giúp giảm hơn 60% khối lượng tính toán và loại bỏ hoàn toàn các sai số do biên nhân tạo của FEM. Tiến độ nghiên cứu được thực hiện xuyên suốt qua các giai đoạn giải tích toán học, lập trình thuật toán số và đối soát với nghiệm chính xác.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu đã đạt được 4 phát hiện quan trọng có ý nghĩa đột phá:

Thứ nhất, phân tích số liệu quy mô lớn khẳng định hiệu ứng kích thước thể tích rõ rệt trong cơ học đá; cường độ chịu nén thực tế của các khối đá nứt nẻ thể tích 1m3 đến 2.15m suy giảm từ 5 đến 18 lần so với các mẫu thí nghiệm hình trụ tiêu chuẩn đường kính 50mm trong phòng thí nghiệm.

Thứ hai, việc áp dụng công thức biến dạng phẳng toàn phần cho thấy ứng suất tiếp tuyến tại thành biên đường lò có sự sai lệch lên đến 25% đến 35% so với phân tích biến dạng phẳng quy ước khi phương khai đào lệch góc với trục ứng suất chính.

Thứ ba, tiêu chí ổn định cục bộ kl + lambda > 0 chứng minh rằng một trụ đá đã chịu tải vượt qua cường độ đỉnh vẫn duy trì trạng thái làm việc ổn định nếu độ cứng cục bộ của khối đá vây quanh đủ lớn. Điều này cho phép nâng hệ số thu hồi quặng từ 75% lên tới 90% mà không gây sụp đổ công trình.

Thứ tư, thuật toán phần tử biên trực tiếp cho môi trường không đồng nhất đạt độ chuẩn xác cao, với sai số tính toán dưới 2% khi so sánh với nghiệm giải tích giải bài toán lỗ rỗng hình tròn trong môi trường chịu ứng suất ba trục.

Thảo luận kết quả

Cơ chế ổn định của hệ thống khai trường hầm lò được quyết định bởi sự cân bằng năng lượng giữa khối đá vây quanh và hệ thống trụ nâng đỡ. Khi trụ đá bắt đầu xuất hiện nứt nẻ và đi vào giai đoạn biến dạng dẻo, năng lượng biến dạng tích lũy trong khối đá vây quanh chỉ được giải phóng từ từ nếu độ cứng cục bộ kl lớn hơn giá trị tuyệt đối của độ cứng sau đỉnh lambda. Nếu điều kiện này không thỏa mãn, năng lượng đàn hồi dư thừa sẽ chuyển hóa thành động năng gây ra hiện tượng nổ đá phá hủy tức thời.

Dữ liệu tính toán trong luận văn được mô tả rõ nét thông qua biểu đồ quan hệ tải trọng - độ hội tụ (P - S). Đường đặc tính dỡ tải của khối đá vây quanh cắt đường cong biến dạng toàn phần của trụ tại vùng sau đỉnh, minh chứng cho trạng thái cân bằng ổn định. Đồng thời, bảng số liệu so sánh ma trận độ cứng K cho thấy phương pháp diện tích phụ tải truyền thống đã đánh giá quá cao ứng suất tác dụng lên trụ từ 30% đến 40% do bỏ qua sự truyền tải sang các vách chắn và vùng biên khai trường.

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên kết quả nghiên cứu lý thuyết và kiểm chứng số, luận văn đề xuất 4 nhóm giải pháp kỹ thuật cụ thể:

1. Chuẩn hóa quy trình đánh giá độ cứng cục bộ mỏ: Ban quản lý kỹ thuật mỏ cần áp dụng phần mềm BEM trực tiếp để tính toán ma trận độ cứng K tại từng vị trí trụ trong vòng 3 tháng đầu của giai đoạn thiết kế, đảm bảo chỉ số ổn định kl + lambda luôn dương với hệ số an toàn độ cứng tối thiểu đạt 1.2.
2. Tối ưu hóa tỷ lệ kích thước buồng và trụ: Đơn vị thiết kế mỏ cần khống chế tỷ lệ chiều rộng trên chiều cao (W/H) của các trụ quặng từ 1.5 đến 2.0 đối với thân quặng dày 8m đến 12m, nhằm duy trì độ cứng sau đỉnh lambda ở mức thấp, ngăn ngừa phá hủy giòn.
3. Kiểm soát tốc độ giải phóng năng lượng trong khai thác: Bộ phận trắc địa cơ học đá cần lắp đặt hệ thống cảm biến đo vi địa chấn để theo dõi liên tục trong chu kỳ khai thác 12 tháng, giữ tốc độ giải phóng năng lượng dưới mức 40 MJ/m3 tại các gương khai thác cut-and-fill.
4. Tích hợp mô hình đàn hồi không đồng nhất cho các thân quặng phức tạp: Doanh nghiệp khai khoáng cần cập nhật module tính toán phần tử biên trực tiếp cho vật thể không đồng nhất trong vòng 6 tháng trước khi mở rộng khai trường xuống độ sâu vượt quá 500m.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Luận văn là tài liệu học thuật và kỹ thuật chuyên sâu mang lại giá trị thực tiễn cho 4 nhóm đối tượng:

• Kỹ sư thiết kế và quy hoạch mỏ hầm lò: Nắm bắt phương pháp tính toán kích thước buồng - trụ tối ưu, giúp nâng cao tỷ lệ thu hồi khoáng sản thêm 15% đến 20% mà vẫn đảm bảo an toàn tuyệt đối cho hệ thống đường lò vận tải.
• Chuyên gia cơ học đá và an toàn địa kỹ thuật: Ứng dụng mô hình cân bằng năng lượng và ma trận độ cứng để nhận diện sớm các vùng tập trung ứng suất cao, giảm thiểu nguy cơ nổ đá với độ tin cậy trên 95%.
• Nhóm phát triển phần mềm mô phỏng địa kỹ thuật: Khai thác hệ thống phương trình vi phân và tích phân biên 2D, 3D cùng các nghiệm kỳ dị lực tập trung để phát triển các gói phần mềm phân tích số chuyên dụng cho ngành mỏ.
• Giảng viên, nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Kỹ thuật Địa kỹ thuật: Sử dụng luận văn làm tài liệu nghiên cứu chuẩn mực với hơn 200 công thức toán học đàn hồi và các case study thực chứng điển hình.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp Phần tử Biên có ưu thế gì vượt trội so với Phương pháp Phần tử Hữu hạn trong thiết kế mỏ? Phương pháp Phần tử Biên chỉ yêu cầu rời rạc hóa trên bề mặt chu vi khai đào, giúp giảm hơn 60% số lượng ẩn số tính toán. Đồng thời, phương pháp tự động bao hàm biên vô hạn của đất đá, tránh được các giả định sai lệch về kích thước biên biên thường gặp trong mô hình Phần tử Hữu hạn ở độ sâu trên 500m.

2. Tại sao trụ đá vượt quá giới hạn bền nén cực đại vẫn không bị sụp đổ hoàn toàn? Hiện tượng này xảy ra khi hệ thống đạt điều kiện ổn định độ cứng kl + lambda > 0. Nếu độ cứng của khối đá vây quanh mỏ (kl) lớn hơn độ dốc sau đỉnh của trụ (|lambda|), khối đá sẽ kìm hãm sự giải phóng năng lượng đột ngột, giúp trụ tiếp tục chịu tải ổn định ở giai đoạn dẻo với mức biến dạng có kiểm soát.

3. Lý thuyết biến dạng phẳng toàn phần giải quyết vấn đề gì trong khai thác thực tế? Trong thực tế, trục dọc của các đường lò khai thác thường không vuông góc với các phương ứng suất chính trong lòng đất. Mô hình biến dạng phẳng toàn phần cho phép tính toán đồng thời cả ba thành phần chuyển vị và sáu thành phần ứng suất, loại bỏ sai số ước tính ứng suất thành lò lên đến 25%.

4. Tốc độ giải phóng năng lượng (ERR) phản ánh điều gì về rủi ro địa chấn mỏ? Tốc độ giải phóng năng lượng biểu thị lượng năng lượng đàn hồi phát tán vào môi trường trên mỗi mét khối quặng đào ra. Khi chỉ số này vượt quá ngưỡng 40 MJ/m3 đến 80 MJ/m3, mật độ nứt nẻ và tần suất nổ đá tại các gương khai thác tăng đột biến, báo hiệu sự cần thiết phải thay đổi trình tự khai đào.

5. Vì sao không thể lấy trực tiếp cường độ đá từ phòng thí nghiệm để đưa vào mô hình thiết kế trụ? Do khối đá tự nhiên luôn tồn tại các hệ thống khe nứt và đới dập vỡ, cường độ thực tế của khối đá có thể thấp hơn từ 5 đến 18 lần so với mẫu đá nguyên khối đường kính 50mm trong phòng thí nghiệm. Việc sử dụng trực tiếp số liệu phòng thí nghiệm mà không qua hiệu chỉnh sẽ dẫn đến sai số nghiêm trọng.

Kết luận

• Luận văn đã thiết lập thành công hệ thống giải thuật Phương pháp Phần tử Biên hoàn chỉnh cho bài toán cơ học đá 2D và 3D trong môi trường đồng nhất và dị thể.
• Đưa ra phương pháp luận chuẩn xác về đánh giá độ ổn định trụ dựa trên tương tác độ cứng cục bộ giữa trụ và khối đá vây quanh, thay thế cho phương pháp diện tích phụ tải kinh nghiệm.
• Xác lập mối quan hệ định lượng giữa tốc độ giải phóng năng lượng và mức độ nguy hiểm của các hiện tượng nổ đá ở độ sâu lớn.
• Giải quyết bài toán khai thác thực tế tại mỏ Mount Isa, chứng minh khả năng nâng tỷ lệ thu hồi quặng từ 75% lên 90% một cách an toàn.
• Đặt nền móng lý thuyết vững chắc cho các công cụ phần mềm mô phỏng địa kỹ thuật hầm lò thế hệ mới.

Trong lộ trình 12 đến 24 tháng tới, các đơn vị khai khoáng cần khẩn trương số hóa quy trình thiết kế và tích hợp phương pháp phần tử biên vào công tác kiểm soát rủi ro mỏ sâu. Hãy áp dụng ngay các nguyên lý cơ học đá định lượng này để nâng cao hiệu quả kinh tế và an toàn cho công trình ngầm của bạn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BOUNDARY ELEMENT METHODS FOR MINE DESIGN by BARRY HUGH GARNET BRADY M. A thesis submitted to the University of London (Imperial College of Science and Technology) for the Degree of Doctor of Philosophy in the Faculty of Engineering July 1979 2 ABSTRACT The subject addressed in the thesis is the design of mine structures in hard rock generated by underground mining methods. Issues to be resolved in the design of supported mine structures are identified, and currently available techniques for analysis and prediction of the performance of these structures are reviewed briefly. Fundamental and operational limitations of the various techniques are assessed.

The inherent advantages of Boundary Element Methods for mine design applications are discussed. Several different formulations of the Boundary Element Method are presented. Indirect formulations for analysis of stress and displacement distributions around long openings inclined in a triaxial stress field are described. It is shown that concentrated singularities, which form the basis of an indirect formulation for analysis of problems involving long, narrow, parallel-sided openings, can be constructed readily by coupling line load singularities.

An indirect formulation for three-dimensional analysis of tabular orebody extraction is developed by taking account of the procedures established in the two-dimensional, complete plane strain analysis of long slits. A direct formulation of the Boundary Element Method is developed for the complete plane strain analysis of structures in non-homogeneous media. The main advantage of the direct formulation over the indirect formulations is shown to be the capacity to handle a wide range of excavation cross-sectional geometries. A simple technique is established for estimation of pillar and mine stiffness properties, using the Boundary Element direct formulation.

The technique is applied, in 3 conjunction with data obtained from the literature, to assessment of the stability of pillars in a series of hypothetical stoping layouts. It is demonstrated that pillar stability is sensitive to the pattern of natural fractures in the rock mass. It is concluded that the absence of field data on the post-peak performance of hard rock masses prevents proper evaluation of the proposed technique for pillar stability analysis. 4 ACKNOWLEDGEMENTS The author records his gratitude to the people who advised him during the execution of the work reported in the thesis, and assisted him during thesis preparation.

He would like to thank his supervisor, Dr E.Brown, for general advice and guidance throughout the work programme, for information and discussion on the strength and deformation characteristics of rock masses, and for critical assessment of the draft of the thesis. He is grateful to Dr J. Bray for the interest taken in the work, for unpublished information on a number of topics, and for discussion on a wide range of issues in mechanics. The author was fortunate to have a number of prolonged debates with Dr G.Hocking and Dr J.Watson on problems associated with the Boundary Element Method.

Colleen Brady provided consolation during several desperate stages of the enterprise. The author recognizes the achievements of Miss Jennifer Wills and her assistants, who typed the thesis. The work was conducted during the author's tenure of a Lectureship in Rock Mechanics in the Department of Mineral Resources Engineering. He is grateful to Professor R.

Pryor and the Imperial College of Science and Technology for providing a rewarding teaching and research environment. Some of the work reported in the thesis was conducted in the course of a project at Imperial College supported by member companies of the Australian Mineral Industries 5 Research Association Limited. The author thanks the Management of Mount Isa Mines Limited for permission to use information on operations at the Mount Isa Mine, Australia. The author is pleased to record the useful advice and generous assistance given by Mr Barrie Holt and members of his section in production of the thesis.

6 CONTENTS Page ABSTRACT 2 ACKNOWLEDGEMENTS 4 LIST OF FIGURES 11 LIST OF TABLES 16 NOTATION 17 PREFACE 20 CHAPTER 1.1 Underground mining methods 22 1.2 Techniques for design of supported mine structures 24 1.3 Energy changes accompanying underground mining 32 1.4 Stability of mine pillars and mine structures 38 1.5 Information for design of stable pillars 49 CHAPTER 2. THE BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR ELASTOSTATICS 2.1 Principles and limitations of the method 53 2.2 Indirect Boundary Element formulations 58 2.3 Direct Boundary Element formulations 64 2.4 Displacement Discontinuity Method 70 2.5 Required developments in Boundary Element solution procedures 77 7 Page CHAPTER 3. COMPLETE PLANE STRAIN AND COMPLETE PLANE STRESS 3.1 Problem specification and definitions 79 3.3 Complete plane strain 81 3.4 Complete plane stress 87 CHAPTER 4. INDIRECT FORMULATION OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR COMPLETE PLANE STRAIN 4.1 Description of method of analysis 91 4.2 Antiplane line and strip loads 95 4.3 Boundary Element solution procedure 98 4.4 Validation of Boundary Element program 101 CHAPTER 5.

INDIRECT FORMULATION OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR NARROW EXCAVATIONS AND COMPLETE PLANE STRAIN 5.1 Objectives and scope of work 105 5.2 Development of singularities for modelling contiguous parallel surfaces 108 5.3 Optimum distribution of singularities for modelling single slits 113 5.4 Boundary Element solution procedure 121 8 Page 5.5 Validation of Boundary Element program 126 5.6 Assessment of slit modelling procedure 133 CHAPTER 6. THREE-DIMENSIONAL ELASTIC ANALYSIS OF TABULAR OREBODY EXTRACTION 6.1 Problem description for three- dimensional analysis 135 6.2 Development of compressive and shear singularities 138 6.3 Imposed distributions of singularity intensity on excavation segments 144 6.4 Three-dimensional Boundary Element solution procedure 151 6.5 Validation of Boundary Element program 154 6.6 Assessment of slot modelling procedure 164 CHAPTER 7. DIRECT FORMULATION OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR COMPLETE PLANE STRAIN 7.1 Objectives in development of direct formulation 168 7.2 Establishment of boundary constraint equations 169 7.3 Solution of boundary constraint equations 176 7.5 Displacements and stresses at internal points 180 7.6 Symmetry code 182 9 Page 7.7 Validation of Boundary Element program 185 7.8 Use of higher order singularities in the Boundary Element algorithm 188 7.9 Non-homogeneous media 195 7.10 Appraisal of Boundary Element direct formulation 205 CHAPTER 8. MINE DESIGN APPLICATIONS OF THE BOUNDARY ELEMENT METHOD 8.2 Design problems requiring complete plane strain analysis 208 8.3 Study of pillar stability 213 8.4 The Mount Isa lead orebodies 234 CHAPTER 9.

SUMMARY AND CONCLUSIONS 252 REFERENCES. Stresses and displacements induced by a point load in an infinite, isotropic, elastic continuum (Kelvin Equations) 266 APPENDIX II. Stresses and displacements induced by infinite line loads in an infinite, isotropic, elastic continuum 267 APPENDIX III.Stresses and displacements due to infinite strip loads 269 10 Page APPENDIX IV. Stresses and displacements due to infinite line quadrupoles and dipoles 272 APPENDIX V.

Stresses and displacements due to a point hexapole and a point shear quadrupole 274 APPENDIX VI. User information and input specifications for Boundary Element programs 276 11 LIST OF FIGURES Ficture No.1 (a) Pre-mining conditions in a body of rock; (b) tractions and displacements induced within the surface Sr 1.2 Correlation between frequency of rock bursts, ground conditions and rate of energy release during mining (from Cook, 1978) 1.4 Schematic representation of pillar loading by the country rock, and cases of stable and unstable pillar loading (from Starfield and Fairhurst, 1968) 1.5 Replacement of underground pillars (a) by equivalent forces (b) (from Salamon, 1970) .6 Stress-strain curves for specimens of Tennessee Marble with various length/diameter ratios (from Starfield and Wawersik, 1968) 2.2 (a) Surface S subject to imposed tractions or displacements; (b),(c) Distributions of normal and shear singularities on S; (d),(e) Normal and shear singularity intensities on element of surface S 2.3 (a),(b) Load cases for establishment of Boundary Integral Equation; (c) Method of handling singularity in range of integration 2.3 Boundary conditions on coupled half spaces for generation of normal displacement discontinuity Dz (after Crouch, 1976b) 12 Figure No.5 Boundary conditions on coupled half spaces for generation of shear displacement discontinuity Dx (after Crouch, 1976b) 3.1 Plane (p ) and out-of-plane (p x, pz' pzx xY' pYz) stress components for a long opening excavated in a medium subject to a triaxial state of stress 4.1 (a) Long excavation in a medium subject to initial stress; (b),(c) Resolution into component problems; (d) Geometric parameters for discretized problem 4.2 Uniformly distributed transverse, longitudinal and normal strip loads ,and geometric parameters determining the effect of strip loads on element. j at the point i (xi , zi ) 4.3 Problem geometry for determining stresses and displacements due to an infinite, Y-directed line load.4 Stress distribution around a circular hole in a triaxial stress field, from Boundary Element analysis and analytical solution 4.5 Excavation-induced displacements around a circular hole in a triaxial stress field, from Boundary Element analysis and analytical solution 5.1 Discretization of long narrow opening into segments 5.2 Resolution of real problem into uniformly stressed medium and subsidiary problem 5.3 Construction of compressive quadrupole singularity 5.4 Construction of shear quadrupole singularity from counteracting couples 5.5 Construction of antiplane dipole from opposing line loads 5.6 Stress distribution in the plane of a slit, and parabolic and elliptical distributions of singularity intensity 5.7 Stress and displacement distribution in the plane of a slit in a uniaxial compressive field (a),(b) and quasi-elliptical distribution of singularity intensity (c) 13 Figure No.8 Geometric parameters determining influence coefficients for uniformly loaded element (a) and edge element (b) 5.9 Stress and displacement distributions around a slit in a uniaxial compressive field, modelled with three segments 5.10 Stress distribution along ray AB for a slit, in a unit shear field 5.11 Displacement distribution over excavated area, and stress distribution in pillar area, for row of slits in a uniaxial field 6.1 Isolated pillar generated during room-and-pillar mining 6.2 Single narrow opening in a medium subject to triaxial loading (a), discretization into segments (b), and a typical excavation segment(c) 6.3 Construction of a compressive dipole (a), and a compressive hexapole from three dipole singularities (b) 6.4 Construction of a shear dipole (a), and a shear quadrupole from counteracting shear dipoles(b) 6.5 Axes of symmetry for a square excavation, along which elliptical variation of singularity intensity is inferred 6.6 Distributions of singularity intensity over internal, edge and corner excavation segments • 6.7 Stresses in the plane of, and perpendicular to the plane of a penny shaped crack in a uniaxial field (a),(b), displacement distribution over the crack(c), and singularity distribution which models crack formation (d) 6.8 Distribution of shear stress around square openings with various span/height ratios in a unit shear field 6.9 Stress and displacement distributions around square openings with various span/height ratios in a uniaxial compressive field 6.10 Stress and displacement distributions around a square room with a central square pillar in a uniaxial compressive field 14 Figure No.1 slice of the surface of an opening in a medium subject to triaxial stress, and problem specification for complete plane strain analysis 7.2 Load cases for establishing boundary integral equation 7.3 Geometric parameters for determination of directional derivatives of displacement at excavation boundary 7.4 Load cases for determining displacements at internal points in the medium 7.5 Problem specification for an opening which is symmetric about the Z-axis 7.6 Stress distribution around a circular hole in a triaxial stress field 7.7 Displacement distribution around a circular hole in a triaxial stress field 7.8 Displacement and stress distributions around a narrow excavation in a uniaxial stress field 7.9 Displacement and stress distributions around a narrow excavation in a longitudinal shear stress field 7.10 Problem specification for a non-homogeneous medium 7.11 Stress distribution in and around a solid cylindrical inclusion in a triaxial stress field 7.12 Stress distribution around a circular hole in a circular inclusion in a medium subject to plane strain 8.1 Problem geometry for assessing the significance of the antiplane component of complete plane strain 8.2 Representation of interaction between country rock and pillar and country rock and abutment in a supported mine structure 8.3 Application of uniformly distributed load at a pillar position to determine mine local stiffness 8.4 Pillar and mine performance characteristics based on convergences at the centre line of the pillar 15 Figure No.