I. 1729 bài toán biên
Luận án tập trung nghiên cứu 1729 bài toán biên thứ nhất không có điều kiện ban đầu đối với hệ Schrödinger mạnh trong miền không trơn. Bài toán này xuất phát từ các mô hình vật lý và kỹ thuật, đặc biệt trong cơ học lượng tử. Lý thuyết biên và phương trình đạo hàm riêng là nền tảng chính để phân tích. Nghiên cứu này nhằm giải quyết các vấn đề về sự tồn tại, tính duy nhất và tính trơn của nghiệm trong miền có điểm kỳ dị.
1.1. Phát biểu bài toán
Bài toán được đặt trong hình trụ Q = Ω × R, với Ω là miền không trơn chứa điểm nón. Toán tử vi phân cấp 2m được xét với các điều kiện biên Dirichlet. Nghiệm suy rộng được định nghĩa thông qua đẳng thức tích phân, đảm bảo tính chính quy và sự tồn tại của nghiệm.
1.2. Điều kiện ban đầu
Khác với các bài toán truyền thống, điều kiện ban đầu không được áp đặt. Thay vào đó, nghiên cứu tập trung vào các giả thiết về tính bị chặn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → -∞. Điều này phù hợp với các quá trình không dừng trong tự nhiên.
II. Hệ Schrödinger mạnh
Hệ Schrödinger mạnh là đối tượng chính của luận án. Phương trình này có dạng (-1)^(m-1)iL(x, t, D)u - u_t = f(x, t), với L là toán tử vi phân cấp 2m. Nghiên cứu tập trung vào việc xây dựng các không gian hàm phù hợp để đảm bảo tính giải được của bài toán. Phương trình vi phân và toán học ứng dụng là các công cụ chính được sử dụng.
2.1. Tính giải được
Sự tồn tại nghiệm được chứng minh bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Dãy nghiệm xấp xỉ được xây dựng từ các bài toán có điều kiện ban đầu, sau đó chuyển qua giới hạn khi thời điểm ban đầu tiến tới -∞. Tính duy nhất nghiệm được đảm bảo thông qua bổ đề tương tự Gronwall trong miền vô hạn.
2.2. Tính trơn của nghiệm
Nghiên cứu tính trơn của nghiệm theo biến thời gian và biến không gian. Kết quả cho thấy nghiệm có tính chính quy cao trong miền không trơn, đặc biệt là trong lân cận của điểm nón.
III. Miền không trơn
Miền không trơn với điểm nón là đặc điểm nổi bật của bài toán. Luận án sử dụng phương pháp cắt thiết diện để chuyển bài toán không dừng về bài toán elliptic phụ thuộc tham số. Nghiên cứu toán học và lý thuyết biên được áp dụng để phân tích dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong lân cận điểm kỳ dị.
3.1. Biểu diễn tiệm cận
Nghiệm được biểu diễn dưới dạng tổng hai phần: phần kỳ dị và phần trơn. Phần kỳ dị đặc trưng cho tính chất của điểm nón, trong khi phần trơn phụ thuộc vào tính chính quy của vế phải phương trình.
3.2. Ứng dụng thực tiễn
Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong cơ học lượng tử và các lĩnh vực khoa học tự nhiên khác. Việc hiểu rõ dáng điệu tiệm cận của nghiệm giúp cải thiện các mô hình toán học ứng dụng trong thực tế.
