Chương 1 : TẬP MỜ VÀ LOGIC MỜ 1.1 Khái niệm Lý thuyết tập hợp mờ được đưa ra vào năm 1965 bởi Lotfi Asker Zadeh (một kỹ sư điện và nhà nghiên cứu về toán học, khoa học máy tính, trí tuệ nhân tạo), người ban đầu có ý định truyền đạt một phương pháp toán học về một số thuật ngữ chủ quan của ngôn ngữ (trừu tượng của từ ngữ), chẳng hạn như “xung quanh” và "khoảng". Và từ đây sẽ là bước đầu tiên trong việc hướng tới việc lập trình và lưu trữ các khái niệm còn mơ hồ trên máy tính, giúp nó có thể thực hiện các phép tính trên các thực thể mơ hồ hoặc không chính xác như con người. Ví dụ, tất cả đều nhất trí đồng ý rằng việc nhân đôi một số lượng “khoảng 3” dẫn đến một số lượng khác “khoảng 6”. Để dễ hiểu chúng ta hãy nhớ lại cách nhìn khái niệm tập hợp kinh điển như là khái niệm các hàm số.
Trong lý thuyết về tập cổ điển, một tập thực (không mờ) các phần tử có thể nằm hoàn toàn hay không nằm hoàn toàn trong tập này. Hàm thành viên A(x) của x trong tập truyền thống A, là tập con của vũ trụ X, thì được định nghĩa là: A(x)= {1 khi x ∈ A, 0 khi x ∉ A} Điều này có nghĩa là phần tử x có thể là thành viên của tập A khi và chỉ khi A(x)=1, hay không thuộc khi và chỉ khi A(x)=0. Như vậy tập hợp được biểu diễn bằng hai giá trị nhằm trình bày tính logic, đúng hoặc sai. Logic toán học hay cổ điển thường nhấn mạnh đến tính chính xác, trong khi trong thực tế có nhiều tình huống ta không thể đưa ra một quyết định chính xác được.
Chẳng hạn gọi S là tập hợp tất cả con người, được sử dụng như vũ trụ thiết lập tập hợp: Sf ={s ∈ S | s là người già} 9 Lúc này Sf có thể được xem là một “tập con mờ” của S vì thuộc tính “người già” không thể xác định rõ, không thể đo lường chính xác: với một người 40 tuổi, không rõ người này có thuộc tập Sf hay không. Do đó, để xác định tập hợp con Sf , chúng ta phải định lượng khái niệm “người già” là như thế nào, để mô tả tập hợp con S f một cách chính xác và chặt chẽ. Ta có thể quy ước những “người già” là trên 60 tuổi, “người trẻ” tuổi sẽ thường xung quanh 25 tuổi, “trung niên” thường xấp xỉ 40 tuổi. Giữa các biên này, ta còn có độ tuổi khác không thể nói rõ ràng là đã già hay trẻ hay trung niên.
Trong ngưỡng này, có thể dùng thang độ tuổi để đánh giá. Lúc này có thể dùng tập mờ, trong đó các hàm thành viên được cho điểm trong khoảng [0,1]. Môt tập mờ A là tập có các thành viên được cho điểm trong khoảng thực: μA(x) ∈ [0, 1]. Tức là các phần tử có thể thuộc vào tập mờ với một mức độ nào đó.
Định nghĩa: Một tập mờ A trong vũ trụ (miền) X là tập được định nghĩa bởi hàm thành viên A(x) là ánh xạ từ vũ trụ X vào một khoảng đơn vị A(x):X → [0, 1]. Ánh xạ A được gọi là hàm thuộc (membership function) của tập mờ A. Tập không gian X được gọi là nền của tập mờ A.2 Các phép toán phổ biến trên tập mờ [2] Cho A, B là hai tập mờ trên không gian nền X có các hàm thuộc tương ứng là A, B. Khi đó: ● Phép hợp hai tập mờ (T-Conorm): A ∪ B Phép hợp chuẩn (Zadeh): μA∪B(x) = Max{ A(x), B(x)} Phép hợp Lukasiewicz (bold): μA∪B(x) = Min{1, A(x)+ B(x)} Phép hợp xác suất (tổng đại số): μA∪B(x) = A(x)+ B(x) - A(x).3 Độ cao, miền xác định và miền tin cậy của tập mờ [2] ● Chiều cao (độ phụ thuộc) của một tập mờ A (được định nghĩa trên không gian X) là mức độ thành viên cao nhất của các phần tử trong A H = supx∈X A(x) ● Miền xác định của tập mờ A (được định nghĩa trên không gian X), được ký hiệu bởi S, là tập con của X đều có mức độ thành viên lớn hơn 0: S ={ x∈X | A(x) >0} ● Miền tin cậy của tập mờ A (được định nghĩa trên không gian X), được ký hiệu bởi T, là tập con của X bao gồm mỗi phần tử có mức độ thành viên bằng một: T ={ x∈X | A(x)=1 } 1.4 Biến ngôn ngữ (Linguistic Hedges) L.Zadeh viết “khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài của những vấn đề phức tạp, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các biến ngôn ngữ, đó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo.
Động lực cho việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là đặc trưng ngôn ngữ của các từ, các câu thường là ít xác định hơn của số”. Trong cơ sở dữ liệu quan hệ, các quan hệ hay các bảng dữ liệu chứa các thuộc tính hay các tên cột. Nó chỉ tính chất của đối tượng. Các thuộc tính này cũng thể hiện trong ngôn ngữ như để mô tả tính chất đối tượng là con người, trong ngôn ngữ tự nhiên chúng ta có những thuộc tính TUỔI, CHIỀU CAO, LƯƠNG, NĂNG LỰC ….
Các thuộc tính này có thể được mô tả bằng giá trị ngôn ngữ ví dụ thuộc tính tuổi có các giá trị như trẻ, già, rất trẻ, … Vì lý do như vậy, Zadeh gọi các thuộc tính kiểu như vậy là biến ngôn ngữ và miền giá trị của chúng là giá trị ngôn ngữ hay gọi là miền ngôn ngữ (linguistic domain hay term domain). Bản thân giá trị ngôn ngữ không phải là đối tượng toán học, ngữ nghĩa của chúng được biểu thị bằng các tập mờ hay hàm thuộc. 11 Định nghĩa: Biến ngôn ngữ L được định nghĩa là tập gồm năm giá trị (quintuple: Klir and Yuan, 1995): L=(x,A,X,g,m), Trong đó x là biến nền (biến ngôn ngữ), A={A1,A2,.,An} là tập các thừa số ngôn ngữ, X là miền (vũ trụ hoạt động) của x, g là luật cú pháp nhằm tạo ra các thừa số ngôn ngữ và m là luật ý nghĩa nhằm định nghĩa từng thừa số ngôn ngữ (tập mờ trong X) [3]. Ví dụ: Biến ngôn ngữ “Tuổi” với ba thừa số ngôn ngữ “Trẻ”, “Trung niên” và “Già”.
Biến nền là độ tuổi có giá trị phù hợp.5 Quan hệ mờ Quan hệ mờ là tập mờ trong tích Đề-các X i, i=1,. Mức độ thành viên biểu diễn mức tương quan của các phần tử trong các miền Xi khác nhau. Quan hệ mờ bậc n là ánh xạ R: X1×X2×…×Xn →[0,1], Quy định mức độ thành viên của mọi cặp (x1,x2,.,xn) của tích Đề-các X1×X2×…×Xn. Logic mờ (Fuzzy logic) Logic mờ (Fuzzy logic) được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo logic vị từ cổ điển.
Logic mờ có thể được coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong thế giới thực cho các bài toán phức tạp.1 Số mờ Xét tập mờ A trên tập các số thực R. Về nguyên tắc, không có ràng buộc chặt đối với việc xây dựng các tập mờ để biểu thị ngữ nghĩa của các khái niệm ngôn ngữ. Tuy nhiên, để đơn giản trong xây dựng các tập mờ và trong tính toán trên các tập mờ, người ta đưa ra khái niệm tập mờ có dạng đặc biệt, gọi là số mờ để biểu thị các khái niệm mờ về số như gần 10, khoảng 15, lớn hơn nhiều so với 10, … Số mờ là tập mờ có đặc điểm sau: 1. Là tập mờ chuẩn, tức là có điểm x’ sao cho A(x’)=1 2.
Mọi tập mức A , ∈ (0,1], là các khoảng đóng Trong nhiều tài liệu nghiên cứu và trong ứng dụng, người ta thường sử dụng các số mờ đặc biệt, gọi là các số mờ tam giác hay hình thang.2 Lượng từ mờ Các từ dùng để ước lượng như khoảng, nhiều, ít nhất, khoảng một nửa,hầu hết. thể hiện ngữ nghĩa không chính xác, mờ về số lượng được gọi là các lượng hóa mờ. Zadeh, có hai loại lượng hóa mờ: thứ nhất là lượng hóa tuyệt đối với ngữ nghĩa mờ được ấn định liên quan đến một giá trị (tuyệt đối) cụ thể và thứ hai là lượng hóa tương đối xác định trên tập [0;1] chỉ tỷ lệ mờ số phần tử thỏa một điều kiện hay mệnh đề nào đó.3 Mệnh đề mờ Các mệnh đề được xây dựng trên các phát biểu đơn giản như “Bạn nữ tóc đen”. Các mệnh đề phức tạp hơn được hình thành từ các phát biểu đơn giản sử dụng phép nối logic như phủ định, và, hoặc, nếu…thì…,nếu…chỉ nếu… [4] Ví dụ phát biểu “Cô gái lương cao và chàng trai lương thấp” là một mệnh đề được xây dựng bằng phép nối “và” với biến ngôn ngữ “lương”.
Trong logic mờ, các mệnh đề thường có cấu trúc: NẾU (mệnh đề điều kiện). THEN (clause) Ký hiệu: p ⇒ q (từ p suy ra q) Ví dụ: Nếu tôi làm tốt thì lương tôi cao. Phép toán mệnh đề mờ Các phép toán ∧ (AND), ∨ (OR), ¬ (NOT): ¬ A(x)=C( A(x)) A(x)∧ B(y)=T( A(x), B(y)) A(x) ∨ B(y)=S( A(x), B(y)) A(x) ⇒ B(y)=S(C( A(x)), B(y)) A(x) ⇒ B(y)=S(C( A(x)), T( A(x), B(y))) Trong đó: C là hàm bù mờ (phủ định), T là hàm T-norm phép giao, S là hàm T-Conorm phép hợp.4 Phép toán kéo theo mờ Các phép toán kéo theo có vai trò quan trọng trong logic mờ. Chúng tạo nên các luật mờ để thực hiện các suy diễn trong tất cả các hệ mờ.
14 2 Một cách tổng quát, phép kéo theo mờ là một hàm J : [0;1] → [0;1] với ý nghĩa nói rằng với giá trị chân lý s và t tương ứng của hai mệnh đề p và q, J(s, t) sẽ cho ta giá trị chân lý của mệnh đề “Nếu p, thì q”. Một số phép kéo theo [1]: - Kleene-Dienes: Jb(s, t) = – s ∨ t, ∀s, t ∈ [0;1] và – s = 1 – t, chỉ số b có nghĩa là binary - Phép kéo theo Mamdani: J(s, t) = min(s, t). - Phép kéo theo Lukasiewicz: J(s, t) = min{1, 1 – s + t}. - Phép kéo theo của Goguen đưa ra năm 1969: JGoguen(s, t) = min{1,t/s}.
- Phép kéo theo của Zadeh: J(s, t) =max{1-s,min(s, t)} 2.5 Luật hợp thành mờ (Rule Base) Cơ sở luật hợp thành mờ là sự kết hợp của nhiều mệnh đề mờ: Trong các hệ thống dựa trên luật mờ, mỗi mệnh đề mờ có dạng: 15 If “state” then “answer” Trong đó mỗi state (trạng thái) và mỗi answer (câu trả lời) là một giá trị mờ được sử dụng bởi các biến ngôn ngữ. Các tập mờ tạo nên state được gọi là tiền đề.