Chương 1: Một số kiến thức cơ sở. Trình bày và hệ thống lại một số khái niệm và tính chất của tổ hợp, xác suất. Chương 2: Phân loại các dạng toán tổ hợp - xác suất. Phân loại và đưa ra phương pháp giải, cũng như các ví dụ minh họa cho các dạng toán về tổ hợp, các dạng toán về xác suất Chương 3: Một số bài toán ứng dụng thực tế Trình bày một số bài toán ứng dụng của tổ hợp xác suất trong toán học, trong một số trò chơi, trong y học.
1 Chƣơng 1: Một số kiến thức cơ sở 1. Các phép đếm cơ bản 1. Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thức hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công viêc có m n cách thực hiện.
Trong một hợp chưá sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cần đen được đánh số 7, 8, 9 (h. có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy? Giải Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kỳ là một lần chọn. Nếu chọn quả trắng thì có 6 cách chọn, còn nếu chọn quả đen thì có 3 cách. Do đó, số cách chọn một trong các quả cầu là 6 3 9 (cách).
Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoành thành công việc. Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và ba quần kiểu khác quần kiểu khác nhau. Hỏi Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo? Giải Hai áo được ghi chữ a và b, ba quần được đánh số 1, 2, 3.
Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động: Hành động 1: Chọn áo, Có hai cách chọn (chọn a hoặc b). Hành động 2: Chọn quần. Ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn quần (chọn 1, hoặc 2, hoặc 3). Kết quả ta có các bộ quần áo như sau : a1, a2, a3, b1, b2, b3 (h.
Vậy số cách chọn một bộ quần áo là 2.Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1. 2 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc, bac của ba phần tử a, b, c là khác nhau.
Số các hoán vị Số các hoán vị của n phần tử là Pn n n 1. Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thực hiện đá luân lưu 11m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11m. Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt.
Giải Để xác định, ta giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A, B, C, D, E. Để tổ chức đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai,. và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cần thủ. Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai,.
và B đá quả cuối cùng. Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau: Cách 1: ABCDE Cách 2: ACBDE Cách 3: CABED Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị tên của năm cầu thủ. Có 3 vận động viên An, Bình, Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì có bao nhiêu khả năng xảy ra ? Giải Do các vận động viên về đích được tính theo một thứ tự nên có P3 3! 3.
Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1. kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chính hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là n! Ank n n 1. n k ! Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Vì vậy Pn Ann. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,. , 9 ? Giải Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 9.
Vậy số các số đó là A95 9. Một nhóm có 5 bạn A; B; C; D; E. Hãy kể ra các cách phân công 3 bạn làm trực nhật: 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng, 1 bạn xếp bàn ghế. Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử n 1.
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điệu kiện 1 k n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp 0 của n phần tử là tập rỗng. Số các tổ hợp Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử 0 k n .
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là n! Cnk . Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “mùa hè xanh” của đoàn THCS HCM. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Giải Vì chỉ cần chọn 4 học sinh nam trong 20 học sinh nam mà không cần quan tâm đến thứ tự nên ta có C204 4845 cách chọn.
Tương tự chọn 3 học sinh nữ trong 15 học sinh nữ có C153 455 cách Vậy số cách chọn là 4845. Xác suất cổ điển 1. Phép thử và biến cố 1. Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử kí hiệu là (đọc là ô-mê-ga). Gieo một đồng tiền. Đó là phép thử với không gian mẫu S , N . Ở đây, S kí hiệu cho kết quả “Mặt sấp xuất hiện” và N kí hiệu cho kết quả “ Mặt ngửa xuất hiện”.
Biến cố Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi là biến cố không). Còn tập được gọi là biến cố chắc chắn 1. Phép toán trên các biến cố Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A.
Tập A B được gọi là hợp của các biến cố A và B. Tập A B được gọi là giao của các biến cố A và B. Tập A B thì ta nói A và B xung khắc. Xét phép thử gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố sau A là kết quả của hai lần gieo là như nhau, B là có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp, C là lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp, D là lần đầu xuất hiện mặt sấp.
Ta có A SS , NN ; B SN , NS , SS ; C NS ; D SS , SN . 5 Do đó A B SN , NS , SS B ; A B SS là biến cố “ Cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp”. Xác suất của biến cố 1. Định nghĩa cổ điển của xác suất Đinh nghĩa 1.
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu n A hạn kết quả có đồng khả năng xuất hiện. Khi đó ta gọi tỉ số là xác suất của biến n cố A, kí hiệu là P(A) và ta viết n A P A . n Chú ý: n A là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cổ A, còn n là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần.
Tính xác suất của các biến cố sau a) A là mặt sấp xuất hiện hai lần. b) B là mặt sấp xuất hiện đúng một lần. c) C là mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần. Giải Không gian mẫu SS , SN , NS , NN gồm bốn kết quả.
Vì đồng tiền cân đối, đồng chất và việc gieo là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta có n A 1 a) A SS , n A 1, n 4 , theo định nghĩa ta có P A . n 4 n B 2 1 b) B SN , NS , n B 2 nên P B . n 4 2 n C 3 c) C NN , SN , NS , n C 3 nên P C .
Các tính chất cơ bản của xác suất 6 Định lí 1. Giả sử A, B là các biến cố liên quan đến một phép thử có không gian mẫu . b) 0 P A 1 ,với mọi biến cố A. c) Nếu A và B xung khắc với nhau thì ta có P A B P A P B (công thức cộng xác suất).
Với mọi biến cố A, ta luôn luôn có: P A 1 P A. Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên cùng quê ở Đà Nẵng, 4 sinh viên cùng quê Tiền Giang và 5 bạn còn lại ở TP.