Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC GẮN VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chương này chúng tôi kế thừa những kết quả đã nghiên cứu được trong luận văn của Nguyễn Hoàng Vũ (2012) “Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12” và của Trương Thị Oanh (2018) “Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân” để thấy được: Mối quan hệ thể chế toán 12 đối với khái niệm tích phân như thế nào? Những tổ chức toán học nào liên quan đến tích phân xuất hiện trong SGKHH 12? Đồng thời, chúng tôi kí hiệu lại, bổ sung thêm và trình bày lại các kiểu nhiệm vụ theo hướng nghiên cứu của chúng tôi. Khái niệm tích phân trình bày trong SGKHH 12 Khái niệm tích phân được trình bày ở chương III – Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Đối với SGKCB 12, khái niệm tích phân được trình bày như sau: Luan van 7 Đối với SGKNC 12, khái niệm tích phân được trình bày như sau: Như vậy, cả 2 bộ sách đều chọn định nghĩa tích phân theo cách tiếp cận: tích phân là phép toán ngược của đạo hàm.
Các SGV giải thích sự lựa chọn này là “vì lí do sư phạm”. Các SGKHH đều giới thiệu định nghĩa bằng con đường quy nạp. SGKCB12 chọn cách dẫn dắt từ các bài toán tính diện tích hình thang. Mở đầu là tính diện tích dựa vào các công thức cơ bản của hình học sơ cấp và bằng đạo hàm với hình thang vuông.
Sau đó chứng minh để chỉ ra mối quan hệ đạo hàm và tích phân cho trường hợp một hình thang cong cụ thể. Cuối cùng tổng quát hóa cho trường hợp hình thang cong bất kì. Trong các tình huống đều kèm hình vẽ minh họa trên hệ trục tọa độ. SGKNC12 lại chọn trình bày bài toán tính diện tích hình thang cong bất kì và bài toán quãng đường – một ứng dụng vật lí dựa trên mối liên hệ tích phân và đạo hàm, để tổng quát hóa thành định nghĩa tích phân.
Bài toán quãng đường cũng được phát biểu tổng quát. Sau khi phát biểu định nghĩa tích phân, SGKNC12 có một hoạt động yêu cầu chứng minh công thức tính quãng đường trong trường hợp tổng quát và ví dụ minh họa cách làm trong trường hợp cụ thể. Các phương pháp tính tích phân được trình bày trong SGKHH SGKHH trình bày 2 phương pháp để tính tích phân đó là: 1. Phương pháp đổi biến số Có 2 cách để áp dụng phương pháp đổi biến đó là: Luan van 9 1.
Phương pháp tích phân từng phần 1. Các tổ chức toán học liên quan đến tích phân xuất hiện trong SGKHH 12 Gồm 7 kiểu nhiệm vụ cùng với kĩ thuật giải quyết và công nghệ được chúng tôi tóm tắt như sau: 1) Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝟏 : Tính tích phân từ 𝒂 đến 𝒃 của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) Đối với kiểu nhiệm vụ này thì có nhiều kĩ thuật để giải quyết tùy thuộc vào mỗi ví dụ cụ thể. Kiểu nhiệm vụ 𝑇1 thể hiện thông qua ví dụ 2 trang 105 SGKCB như sau: Dựa vào ví dụ này, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏11 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇1 là: • Kĩ thuật 𝜏11 : Tính tích phân bằng định nghĩa Bước 1: Tìm một nguyên hàm 𝐹(𝑥) của 𝑓(𝑥) Bước 2: Tính hiệu số 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎) 𝑏 Bước 3: Tích phân cần tính là ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎). Công nghệ 𝜃11 để giải thích cho kĩ thuật 𝜏11 là: + Định nghĩa tích phân Luan van 10 + Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.
Kiểu nhiệm vụ 𝑇1 thể hiện thông qua bài tập 1c trang 112 trong SGKCB như sau: 2 1 Tính ∫1 𝑑𝑥 𝑥(𝑥+1) Lời giải có thể là: 2 2 1 1 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( − ) 𝑑𝑥 = ln |𝑥||12 − 𝑙𝑛|𝑥 + 1|12 = 2𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛3 1 𝑥(𝑥 + 1) 1 𝑥 𝑥 + 1 Và ví dụ 3 trang 152 trong SGKNC như sau: Dựa vào ví dụ này, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏12 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇1 là: • Kĩ thuật 𝜏12 : Vận dụng các tính chất tích phân 𝜏121 : Áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân để biến đổi tích phân cần tính về dạng tổng của các tích phân có thể tìm được nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm thường gặp. 𝜏122 : Biến đổi tích phân cần tính thành tổng của các tích phân đã biết kết quả mà đề bài cho. Công nghệ 𝜃12 để giải thích cho kĩ thuật 𝜏12 là: + Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp. + Các tính chất cơ bản của tích phân.
+ Hệ quả của định lý 1 trang 98 SGKCB12 liên quan đến phương pháp đổi biến số ở bài nguyên hàm: “Với 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), ta có ∫ 𝑓 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = Luan van 11 1 𝐹 (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶". 𝑎 Kiểu nhiệm vụ 𝑇1 được thể hiện thông qua ví dụ 5, ví dụ 6 trang 108,109 SGKCB như sau: Dựa vào ví dụ này, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏13 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇1 như sau: • Kĩ thuật 𝜏13 : Phương pháp đổi biến số ✓ Đổi biến số loại 1: Bước 1: Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥), tính 𝑑𝑢 = 𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥 Bước 2: Đổi cận theo biến 𝑢 𝑏 Bước 3: Thay vào công thức tích phân và tiến hành tính: ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑏) ∫𝑢(𝑎) 𝑔(𝑢)𝑑𝑢. ✓ Đổi biến số loại 2: Luan van 12 Bước 1: Đặt 𝑥 = 𝑥 (𝑡 ) (𝑡 ∈ 𝐾), tính 𝑑𝑥 = 𝑥 ′ (𝑡 )𝑑𝑡. Bước 2: Đổi cận: tìm 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 thỏa mãn 𝑎 = 𝑥 (𝛼), 𝑏 = 𝑥 (𝛽).
𝑏 Bước 3: Thay vào công thức tích phân và tiến hành tính: ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝛽 ∫𝛼 𝑓[𝑥 (𝑡 )]𝑥 ′ (𝑡 )𝑑𝑡 Công nghệ 𝜃13 để giải thích cho kĩ thuật 𝜏13 là: + Định nghĩa tích phân, bảng nguyên hàm, các tính chất cơ bản của tích phân. + Định lí của phương pháp đổi biến số SGKCB trang 108 như sau: Và chú ý trong SGKCB trang 109 như sau: Kiểu nhiệm vụ 𝑇1 được thể hiện thông qua ví dụ 7, ví dụ 8 trang 110,111 trong SGKCB như sau: Luan van 13 Dựa vào ví dụ này, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏14 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇1 như sau: • Kĩ thuật 𝜏14 : Phương pháp tích phân từng phần 𝑏 𝑏 Bước 1: Đặt 𝑢, 𝑑𝑣 hợp lý rồi thay vào công thức ∫𝑎 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣|𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑣𝑑𝑢 Bước 2: Áp dụng một số quy tắc như sau: + Nếu 𝑓 (𝑥) = 𝑃(𝑥)𝑒 𝑎𝑥+𝑏 , 𝑓 (𝑥) = 𝑃(𝑥) sin(𝑎𝑥 + 𝑏) , 𝑓 (𝑥) = 𝑃(𝑥) cos(𝑎𝑥 + 𝑏) thì đặt 𝑢 = 𝑃(𝑥), 𝑑𝑣 = 𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 với 𝑣′ là nhân tử còn lại. Công nghệ 𝜃14 để giải thích cho kĩ thuật 𝜏14 như sau: + Định nghĩa tích phân, bảng nguyên hàm, các tính chất cơ bản của tích phân. Luan van 14 + Định lý phương pháp tích phân từng phần trong SGKCB trang 110 như sau: Kiểu nhiệm vụ 𝑇1 thể hiện thông qua bài tập 10 trang 152 trong SGKNC như sau: Và lời giải của SGVNC như sau: Luan van 15 Dựa vào bài tập này, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏15 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇1 là • Kĩ thuật 𝜏15 : Áp dụng công thức tính diện tích các hình phẳng cơ bản đã biết.
Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Bước 2: Quan sát hình phẳng tạo thành tương ứng với hình nào (tam giác, hình thang vuông, hình tròn,…) để áp dụng công thức tính diện tích đã biết trước đó. Công nghệ 𝜃15 để giải thích cho kĩ thuật 𝜏15 là: + Công thức tính diện tích của các hình cơ bản. + Định lí 1 trang 150 SGKNC như sau: 2) Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝟐 : Tính quãng đường đi được của một vật từ thời điểm 𝒕 = 𝒂 đến thời điểm 𝒕 = 𝒃 biết hàm vận tốc 𝒗 = 𝒇(𝒕) Kiểu nhiệm vụ 𝑇2 được thể hiện thông qua bài tập 14 trang 153 SGKNC như sau: Cùng với lời giải của SGVNC như sau: Luan van 16 Từ bài tập này, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏2 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇2 là: Bước 1: Xác định công thức tính vận tốc theo thời gian của chuyển động 𝑣 = 𝑓(𝑡) (thường đề bài cho sẵn, nếu cho gia tốc 𝑎(𝑡) thì 𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡 )𝑑𝑡).
Bước 2: Xác định các thời điểm 𝑡 = 𝑎 và 𝑡 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏). 𝑏 Bước 3: Công thức tính quãng đường đi được là 𝑆 = ∫𝑎 𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡. Bước 4: Áp dụng kĩ thuật tính tích phân phù hợp để tính tích phân thu được. Công nghệ 𝜃2 để giải thích cho kĩ thuật 𝜏2 là: Kết quả chứng minh trong hoạt động 3 SGKNC12 trang 150 như sau: 3) Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝟑 : Tính diện tích hình phẳng Kiểu nhiệm vụ 𝑇3 bao gồm 8 KNV tương ứng như sau: 3.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝟑𝟏 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số Kiểu nhiệm vụ 𝑇31 được thể hiện thông qua ví dụ 2, ví dụ 3 trang 116 SGKCB như sau: Luan van 17 Từ ví dụ này, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏31 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇31 là: Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm 𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥) = 0 để tìm 𝑎, 𝑏 (nếu cần) với 𝑦 = 𝑓1 (𝑥), 𝑦 = 𝑓2 (𝑥) là hai hàm số đã cho. Luan van 18 𝑏 Bước 2: Áp dụng công thức: 𝑆 = ∫𝑎 |𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥)| 𝑑𝑥 Bước 3: Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối 𝑆. Có 3 kĩ thuật giải quyết KNV con “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S” được Nguyễn Hoàng Vũ (2012) trình bày là: 𝛼: Xét dấu 𝛽: Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân. Công nghệ 𝜃31 để giải thích cho kĩ thuật 𝜏31 là: + Các định lý về phép biến đổi tương đương, các kiến thức về xét dấu và đồ thị.
+ Công thức và chú ý ở SGKCB12 trang 115-116 như sau: Luan van 19 3. Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝟑𝟐 : Tính tỉ số diện tích của hai hình phẳng Kiểu nhiệm vụ này được thể hiện thông qua bài tập 3 trang 121 SGKCB như sau: Lời giải của SGVCB như sau: Từ đây, chúng tôi đưa ra kĩ thuật 𝜏32 để giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑇32 đó là: Bước 1: Tính diện tích của từng hình là 𝑆1 , 𝑆2 bằng cách sử dụng công thức hình học hoặc sử dụng kĩ thuật 𝜏31 để tính diện tích 𝑆1 , 𝑆2. 𝑆 𝑆 Bước 2: Lập tỉ số 1 hoặc 2.