Chương 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG BIẾN ĐỔI LAPLACE 1. Định nghĩa hàm gốc: 1. Định nghĩa: Hàm gốc là hàm phức đơn trị ( ) với biến số thực t, thỏa mãn 3 điều kiện: a. Khi đó, được gọi là số mũ tăng của ( ).
Nhận xét: Điều kiện b) được đặt ra vì trong ứng dụng, biến số t thường là thời gian, hàm ( ) biểu diễn một quá trình nào đó mà ta chỉ cần khảo sát lúc. Hàm gốc ( ) khi hoặc là hữu hạn hoặc tăng (tiến) ra , nhưng không nhanh hơn hàm mũ. Ví dụ 1: Hàm bậc thang đơn vị (hàm Heaviside) ( ) là hàm số được định nghĩa bởi: ( ) 2 Hàm Heaviside ( ) (còn được gọi là hàm nấc đơn vị hay hàm bước nhảy đơn vị) là hàm gốc. Ví dụ 2: Hàm trễ đơn vị thời gian: ( ) 2 Hàm ( ) là hàm gốc.
SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 10 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Ví dụ 3: Hàm lọc đơn vị là hàm có dạng: ( ) ( ) ( ) { Hàm lọc đơn vị là hàm gốc. Ví dụ 4: Hàm xung là hàm gốc có dạng: ( ) { ( ) Trong đó, ( ) là hàm số sơ cấp. Hàm xung có thể biểu diễn qua hàm lọc đơn vị: ( ) , ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) 1. Quy ƣớc: Để đơn giản, khi xét hàm gốc, thay vì viết ( ) ( ), ta viết ( ).
Giới hạn phải của ( ) khi được viết là ( ). Định nghĩa phép biến đổi Laplace: 1. Định nghĩa: Hàm ảnh của hàm gốc ( ) là hàm phức ( ) biến số phức xác định bởi tích phân Laplace: ( ) ∫ ( ) Phép biến đổi từ hàm gốc ( ) sang hàm ảnh ( ) xác định bởi công thức trên được gọi là phép biến đổi Laplace. Định lý tồn tại ảnh: Định lý: Nếu ( ) là hàm gốc với số mũ tăng thì hàm ảnh ( ) hội tụ trong nửa mặt phẳng ( ) và là hàm giải tích trong miền đó.
Hệ quả: Nếu hàm ( ) là hàm ảnh của hàm gốc ( ) với số mũ tăng thì: ( ) ( ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 11 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng 1. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng: 1. Hàm bậc thang đơn vị ( ): (xem Tính đẳng cấp) Ta có: ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) Với ( ). Hàm ( ) Ta có: ( ) ∫ ∫ 4 5 Vậy: ( ) ( ) ( ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 12 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng 1.
Hàm ( ) Với n là số nguyên dương. Tương tự như trên có thể lấy số mũ tăng của gốc là. Sau n lần tích phân từng phần, ta có: ( ) ∫ Vậy: ( ) ( ) ( ) ============== ============== SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 13 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Chương 2: CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2. Tính đẳng cấp: Định lý 2.1: Nếu * ( )+ ( ) thì * ( )+ ( ) với a là hằng số.
Chứng minh: * ( )+ ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Ví dụ: Nếu C là hằng số thì theo (A. Tính cộng đƣợc: Định lý 2. Hệ quả 1: Ảnh của tổng một số hữu hạn gốc bằng tổng các ảnh của chúng. Hệ quả 2: Với các hằng số phức a và b: * ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) Chú ý: Nếu các hàm ( ) và ( ) lần lượt giải tích trong các miền ( ) và ( ) thì biểu thức ở vế phải của (B.1) giải tích trong miền ( ) ( ).
Ví dụ 1: Tìm ảnh của các gốc ( ) ( ) và ( ) ( ) với m là hằng số thực.2) ta có: * ( )+ ( ) Và: * ( )+ ( ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 14 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Vậy: * ( )+ ( ) | | ( ) * ( )+ Ví dụ 2: Tìm ảnh của các gốc ( ) và ( ) với m thực. Tính đồng dạng: Định lý 2. / tức đúng với (B. Ví dụ 4: Cho biết: * ( )+ ( ) Ta có: * ( )+.
Đạo hàm gốc: Định lý 2. Các trƣờng hợp riêng: * ( )+ ( ) ( ) * ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 16 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Chứng minh: Vì ( ) thuộc tập gốc, dùng tích phân từng phần: * ( )+ ∫ ( ) ( ) | ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) Nhưng vì với thì | ( ) | , số hạng đầu ở vế phải của (*) triệt tiêu khi và bằng ( ) khi. Số hạng thứ hai bằng ( ).5) được chứng minh cho .5) với hai lần, ta có: * ( )+ *, ( )- + , ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) Chứng minh bằng quy nạp cho n bất kỳ. Đặc biệt nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) Thì: { ( ) ( )} ( ) ( ) Ví dụ 5: Nếu biết: ( ) Với ( ) ta có thể tìm ảnh của ( ) như sau: ( ) ( ( )).
Đạo hàm ảnh: Định lý 2.5: (Định lý nhân): Lấy đạo hàm ảnh tương ứng với nhân hàm gốc cho –. Tổng quát nếu * ( )+ ( ) thì: * ( )+ ( ) ( ) ( ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 17 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Chứng minh: Vì tích phân suy rộng xác định ( ) hội tụ đều trong nửa mặt phẳng ( ) ta có thể lấy đạo hàm ở đó n lần và lần lượt có: ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ∫ ( ) Nhưng theo định nghĩa ảnh thì (***) tương đương với (B.7), tức định lý đã được chứng minh. Ví dụ 6: Áp dụng định lý nhân vào (A.3), ta lần lượt có: ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )+ ( ) | | ( ) * ( )+ ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ 7: Biết ( ) , ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) Biết ( ) , ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 18 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Ví dụ 8: Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) ( ) Ta có: ( ) Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) Ta có: ( ) Vậy: ( ) ( ). Tích phân gốc: Định lý 2.6: Lấy tích phân gốc tương ứng với chia ảnh cho.
Nghĩa là nếu * ( )+ ( ) thì: ( ) (∫ ( ) ) ( ) Chứng minh: Trước hết, ta dễ dàng thấy rằng nếu ( ) là một gốc thì: ( ) ∫ ( ) cũng là một gốc với ảnh được ký hiệu là ( ). Từ đó và do: ( ) , theo (**) ta có: * ( )+ * ( )+ ( ) ( ) Vậy đối với ảnh ( ) của ( ) ta có: ( ) ( ) hay ( ). Nói cách khác, ta nhận được: ( ) (∫ ( ) ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 19 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Ví dụ 9: Nếu biết: ( ) ( ) * ( )+ ( ) | | Ta có thể tìm ảnh của và ( ) như sau: ( ) ( ∫ ) ( ) * ( )+ ( ∫ ( ) ) ( ) | | Ví dụ 10: Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) ( ) ∫ Với: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy: * ( )+ ( ) b) ( ) ∫ Ta có: ( ) ∫( ) *∫ ∫ + Với: ( ) ,∫ - SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 20 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng Và: ( ) ,∫ - ( ) Vậy: * ( )+ [ ] ( ) 2. Tích phân ảnh: Định lý 2.
Ví dụ 12: Ta có: ( ) ∫ ( ) Từ đó: (∫ ) ( ) SV thực hiện: 070447M Lê Thu Hà 070478M Nguyễn Thị Thanh Ngọc Trang 21 Một số tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng 2. Tịnh tiến gốc: Định lý 2.8: (Định lý hoãn) Nếu * ( ) ( )+ ( ) với ( ) là bước nhảy đơn vị thì với mọi , ta có: * ( ) ( )+ ( ) ( ) Trong đó ( ) 2 Chứng minh: Vì: ( ) với nhờ phép biến đổi biến , ta có: * ( ) ( )+ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Định lý hoãn thường dùng để tìm ảnh khi hàm gốc cho bởi nhiều công thức trên những khoảng khác nhau.