Chương 1 đã giải quyết được các vấn đề sau: • Tổng quan về các hệ thống biến đổi năng lượng gió • Đưa ra đối tượng nghiên cứu là hệ thống phát điện sức gió sử dụng máy điện không đồng bộ nguồn kép và các phương pháp điều khiển. Vấn đề đặt ra là cần nghiên cứu áp dụng các thuật toán điều khiển hệ thống đa biến tuyến tính, không sử dụng các bộ bù và có thể đảm bảo sự làm việc ổn định của hệ thống ngay cả khi tham số của máy phát thay đổi. Luận văn đề xuất nghiên cứu lý thuyết điều khiển bền vững trong không gian, kỹ thuật gain schduling cho các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính, phụ thuộc affine và có thể đo được trong thời gian thực, từ đó áp dụng kết quả nghiên cứu cho máy phát điện không đồng bộ nguồn kép. TỔNG HỢP BỘ ĐİỀU KHİỂN BỀN VỮNG Chương này được dành để trình bày các vấn đề liên quan việc tổng hợp bộ điều khiển bền vững 𝐻∞.
Nội dung chính của chương được trình bày dựa trên các tài liệu. 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Ma trận xác định dương Một ma trận vuông 𝑀 ∈ ℝ𝑛×𝑛 được gọi là xác định dương nếu: 𝑥 𝑇 𝑀𝑥 > 0 với ∀𝑥 ∈ ℝ𝑛 Ma trận xác định dương được ký hiệu là 𝑀 ≻ 0, ma trận xác định bán dương là 𝑀 ≽ 0, ma trận xác định âm là 𝑀 ≺ 0, ma trận xác định bán âm là 𝑀 ≼ 0. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ký hiệu ℒ 2 là một không gian các tín hiệu có thể lấy tích phân bình quân phương xác định trong khoảng [0, ∞).
Một ma trận 𝐴 được gọi là đối xứng nếu nó thỏa mãn 𝐴 = 𝐴𝑇. Một tập tất cả ma trận đối xứng 𝑚 × 𝑚 được ký hiệu bởi 𝕊𝑚. Một hàm truyền 𝑀(𝑠) của biểu diễn không gian trạng thái (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) được ký hiệu như sau: 𝐴 𝐵 𝑀=[ ]. 𝐶 𝐷 Một bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequality - LMI) có dạng: 𝑛 𝐹 (𝑥) = 𝐹0 + ∑ 𝑥𝑖 𝐹𝑖 𝑖=1 ≺0 (2.
, 𝑥𝑛 ) biểu thị một vector các biến quyết định và 𝐹𝑖 ∈ 𝕊𝑛 , 𝑖 = 0,1,. Bất đẳng thức ([EQ:MLIDEF]) là 𝐹(𝑥) một ma trận xác định âm, nghĩa là 𝑣 𝑇 𝐹 (𝑥)𝑣 ≺ 0 ∀𝑣 ∈ ℝ𝑛 , 𝑣 ≠ 0. (2 Quan sát rằng 𝐹 là một hàm affine, kéo theo tập 𝑥 ∈ ℝ𝑛 thỏa mãn (2. Cả bài toán xác định tính khả thi của (2.1) hay tối ưu hóa một hàm tuyến tính với các ràng buộc trên được gọi là bài toán LMI có thể được giải theo các đa thức bằng các phần mềm thương mại.
Cần nhấn mạnh rằng các chương trình giải LMI đặc trưng cho phép thực hiện một hữu hạn các LMI 𝐹1 (𝑥) ≺ 0, … , 𝐹𝑁 (𝑥) ≺ 0 được mô tả bởi các ánh xạ đối xứng giá trị affine 𝐹1 (𝑥), … , 𝐹𝑁 (𝑥). Chuẩn 𝑯∞ 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét một hệ vào-ra tuyến tính 𝛴 được mô tả bởi 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑤 𝛴: { 𝑧 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑤 và ma trận hàm truyền của nó được cho bởi 𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷. Nếu 𝐴 là ổn định và nếu ta chọn điều kiện đầu 𝑥(0) là zero thì 𝛴 định nghĩa một ánh xạ tuyến tính 𝑤 → 𝑧 trên ℒ 2 với năng lượng hữu hạn được định nghĩa như sau ∥𝐺𝑤∥2 sup. 𝑤∈ℒ2 , 𝑤≠0 ∥𝑤 ∥2 Chú ý rằng năng lượng của 𝛴 cũng chính là chuẩn 𝐻∞ của ma trận hàm truyền tương ứng 𝐺 cho bởi ∥𝐺 ∥∞ = sup 𝜎(𝐺(𝑗𝜔)) 𝜔∈ℝ trong đó 𝜎(𝑀) biểu thị cho giá trị suy biến lớn nhất của ma trận phức 𝑀.
Phương trình và bất phương trình đại số Riccati Cho các ma trận đối xứng 𝑅 và 𝑄 , xét bất phương trình đại số Riccati (Algebraic Riccati Inequality - ARI) chặt 𝐴𝑇 𝑋 + 𝑋𝐴 + 𝑋𝑅𝑋 + 𝑄 < 0 phương trình đại số Riccati (Algebraic Riccati Equation - ARE) tương ứng 𝐴𝑇 𝑋 + 𝑋𝐴 + 𝑋𝑅𝑋 + 𝑄 = 0 Chú ý là 𝑋 được giả thiết là ma trận đối xứng thực hoặc mà trận phức Hermitian. Hơn nữa, 𝑄 được phép là không xác định. Bổ đề chặn biên Bồ đề chặn biên (bounded real lemma - BRL) (2.1) cho biết điều kiện cho một hệ tuyến tính bất biến có chuẩn 𝐻∞ của hàm truyền bị chặn. Khi đó các phát biểu sau là tương đương 𝑃𝐴 + 𝐴𝑇 𝑃 + 𝐶 𝑇 𝐶 𝑃𝐵 + 𝐶 𝑇 𝐷 1.
𝑃 ≻ 0, ( )≼0 𝐵𝑇 𝑃 + 𝐷𝑇 𝐶 𝐷𝑇 𝐷 − 𝛾 2 𝐼 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Với mọi 𝜔 ∈ ℝ, det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐴) ≠ 0, 𝐺(𝑗𝜔)∗ 𝐺(𝑗𝜔) ≤ 𝛾 2 𝐼 ⇒ 𝜎(𝐺(𝑗𝜔)) =∥ 𝐺(𝑗𝜔) ∥2 = √𝜆𝑚𝑎𝑥 (𝐺(𝑗𝜔)∗ 𝐺(𝑗𝜔) ≤ 𝛾 3. Chuẩn 𝐻∞ của 𝐺(𝑗𝜔) hay ∥ 𝐺 ∥∞ ≤ 𝛾 ∥𝑦∥ℒ2 4. Chuẩn ℒ 2 của hệ ≤ 𝛾 Khi 𝑥(0) = 0 ta có sup ≤𝛾 𝑢∈ℒ2 ∥𝑢∥ℒ2 Chứng minh.
Xem xem trong [7]. Bổ đề bù Schur Bổ đề bù Schur được phát biểu như sau Bổ đề 2.2 (Bù Schur): 𝑀11 𝑀12 Một ma trận đối xứng 𝑀 = ( ) là xác định âm khi và chỉ khi 𝑀21 𝑀22 −1 1.3 Biến đổi phân thức tuyến tính Ánh xạ 𝐹: ℂ ↦ ℂ có dạng 𝐹 (𝑠 ) 𝑎𝑠 + 𝑏 = (2.4) 𝑐𝑠 + 𝑑 với 𝑎, 𝑏, 𝑐 và 𝑑 ∈ ℂ được gọi là biến đổi phân thức tuyến tính (Linear Fractional Transformation - LFT). Biến đổi LFT cũng được mở rộng cho các ma trận. Giả sử 𝐹(𝛿) là một ma trận hàm phụ thuộc vào một vector tham số 𝛿 = (𝛿1 ,.
, 𝛿𝑚 )𝑇 ∈ ℝ𝑚 ánh xạ một vector 𝜉 vào vector 𝜂 = 𝐺(𝛿)𝜉 (hình 2. Một 𝑀11 𝑀12 ma trận 𝛥(𝛿) phụ thuộc tuyến tính theo 𝛿 và ma trận hằng 𝑃 = [ ] sao 𝑀21 𝑀22 cho có được nghịch đảo [𝐼 − 𝑀11 𝛥(𝛿)]−1 với mọi 𝛿.5) 𝑃21 𝑃22 𝜉 với định nghĩa 𝛥 ℱ𝑢 = 𝑀22 + 𝑀21 𝛥(𝛿)(𝐼 − 𝑀11 𝛥(𝛿 ))−1 𝑀12 (2.6) Tương tự, biểu diễn LFT dưới của 𝐹(𝛿) được định nghĩa như sau 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.8) Trong thiết kế các bộ điều khiển bền vững và/hoặc phân tích ổn định bền vững cho hệ thống điều khiển thì 𝛥(𝛿) thường biểu diễn các thành phần bất định hoặc bộ điều khiển. Các thành phần bất định này có thể là các tham số bất biến theo thời gian, các tham số biến đổi theo thời gian, hay các thành phần động học.1: Biểu diễn LFT trên (a) và dưới (b) 2. Tính chuẩn 𝑯∞ Xét một ma trận hàm truyền hợp thức 𝑀(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 (2.9) với 𝐴 là ổn định.
Nhớ lại là chuẩn 𝐻∞ của 𝑀 được định nghĩa như sau 𝛥 ∥ 𝑀 ∥∞ = sup ∥ 𝑀(𝑗𝜔) ∥. 𝜔∈ℝ Đây là bài toán tối ưu hóa và thông thường thì cách này là không thích hợp để tính chuẩn 𝐻∞ của 𝑀. Thay vào đó ta sẽ tìm cách tính khác hiệu quả hơn bằng cách mô tả 𝑀 bằng các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶 và xem có hay không ∥ 𝑀 ∥∞ <1 (2.10) Theo định nghĩa của chuẩn 𝐻∞ thì (2.10) tương đương với 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ∥ 𝑀 ∥∞ < 1 với mọi 𝜔 ∈ ℝ ∪ {∞}. Do 𝑀 là hợp thức chặt nên bất đẳng thức này luôn đúng với 𝜔 = ∞.
Vậy nên ta chỉ cần xét ∥ 𝑀 ∥∞ < 1 với mọi 𝜔 ∈ ℝ.11) Điều này chỉ đúng khi và chỉ khi det(𝑀(𝑗𝜔)∗ 𝑀(𝑗𝜔) − 𝐼) ≠ 0 với mọi 𝜔 ∈ℝ (2. Do 𝑀 là một hàm thực hữu tỷ nên 𝑀(𝑗𝜔)∗ = 𝑀(−𝑗𝜔)𝑇. Nếu ta định nghĩa 𝛥 𝐺(𝑠) = 𝑀 𝑇 (−𝑠)𝑀(𝑠) − 𝐼 thì (2.12) cũng là det(𝐺(𝑗𝜔)) ≠ 0 với mọi 𝜔 ∈ ℝ. Mặt khác, do 𝑀(−𝑠)𝑇 = [𝐶(−𝑠𝐼 − 𝐴−1 𝐵]𝑇 = 𝐵𝑇 (−(𝑠𝐼 − 𝐴𝑇 )−1 𝐶 𝑇 = 𝐵𝑇 (𝑠𝐼 − (−𝐴𝑇 ))−1 (−𝐶 𝑇 ).
Khi đó dạng biểu diễn không gian trạng thái của 𝐺 sẽ là 𝐺 𝐴 0 𝐵 = [−𝐶 𝑇 𝐶 −𝐴𝑇 0 ].13) 0 𝐵𝑇 −𝐼 Nhớ lại là (nếu 𝐷 không suy biến) det(𝐷̃) det(𝐶̃ (𝑠𝐼 − 𝐴̃)−1 𝐵̃ + 𝐷 ̃) = det(𝐴̃ − 𝐵̃ 𝐷 ̃ −1 𝐶̃ )). ̃ det(𝑠𝐼 − 𝐴) Áp dụng công thức này để tính định thức của 𝐺 ta có 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. −𝐶 𝐶 −𝐴𝑇 Vậy nên det(−𝐼) det(𝐺(𝑗𝜔)) = det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐻 ) det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐴)det(𝑗𝜔𝐼 + 𝐴𝑇 ) Do 𝐴 là ổn định làm cho det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐴) và det(𝑗𝜔𝐼 + 𝐴𝑇 ) khác không. Do đó det(𝐺(𝑗𝜔)) = 0 khi và chỉ khi 𝑗𝜔 là giá trị riêng của 𝐻.
Điều đó nói lên rằng (2.12) 𝐻 không có các giá trị riêng trên trục ảo. ∥ 𝑀(𝑗𝜔) ∥∞ < 1 khi và chỉ khi ( 𝐴𝑇 𝐵𝐵𝑇 ) không có các giá trị −𝐶 𝐶 −𝐴𝑇 riêng trên trục ảo.14) có thỏa mãn hay không. Bất đắng thức này cũng tương đương với 1 1 ∥ [ 𝐶] (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 ∥∞ < 1 hoặc ∥ 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 [ 𝐵] ∥∞ < 1 (2.15) 𝛾 𝛾 1 Ta có thể thấy rằng các ma trận 𝐵 hoặc 𝐶 được định lại tỷ lệ với hệ số để kiểm 𝛾 tra chuẩn 𝐻∞ bị chặn bởi 1.14) thỏa mãn khi và chỉ khi 1 𝐴 𝐵𝐵𝑇 ( 𝛾2 ) không có các giá trị riêng trên trục ảo −𝐶 𝑇 𝐶 −𝐴 𝑇 hoặc tương đương với 𝐴 𝐵𝐵𝑇 ( 1 ) không có các giá trị riêng trên trục ảo. − 2 𝐶𝑇𝐶 −𝐴𝑇 𝛾 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết quả này có lợi ích gì? Nó cho phép đưa việc kiểm tra ∥ 𝑀(𝑗𝜔) ∥∞ < 𝛾 vốn liên quan đến việc tính chuẩn của một số vô hạn các tần số về việc kiểm chứng ma trận Hamilton được định nghĩa thông qua các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶 and giá trị chặn 𝛾 có một giá trị riêng trên trục ảo hay không.
Vấn đề này có thể được thực hiện thông qua thuật toán chia đôi (Bisection). Bài toán điều khiển 𝑯∞ Xét một đối tượng tổng quát 𝑧 𝑤 (𝑦 ) = 𝑃 ( ) 𝑢 𝐴 𝐵1 𝐵2 𝑤 = [𝐶1 𝐷11 𝐷12 ] ( ).16) 𝑢 𝐶2 𝐷21 𝐷22 Giả sử 𝑃 được ổn định bởi một bộ điều khiển làm cho (𝐴, 𝐵2 ) ổn định được và (𝐴, 𝐶2 ) phát hiện được. Bộ điều khiển là một hệ LTI 𝐴 𝐵𝐾 𝑢 = 𝐾𝑦 = [ 𝐾 ] 𝑦. 𝐶𝐾 𝐷𝐾 Mục tiêu của bài toán điều khiển 𝐻∞ là cực tiểu chuẩn 𝐻∞ của ma trận hàm truyền 𝑤 → 𝑧 bằng cách sử dụng một bộ điều khiển.
Ta có hệ kín được điều khiển là 𝒜 ℬ 𝑧 = 𝑆(𝑃, 𝐾)𝑤 = [ ] 𝑤.