Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 HIỆN HÀNH Việc phân tích đầy đủ phần bài học, phần bài tập liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu vượt quá thời gian dành cho một luận văn thạc sĩ. Vì vậy, chúng tôi chọn phân tích các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành để rút ra những đặc trưng của tri thức cần dạy liên quan đến thực hành giải toán về đường thẳng2, mặt phẳng, mặt cầu. Để phân tích, chúng tôi xuất phát từ sách Hình học 12 cơ bản, có bổ sung sách Hình học 12 nâng cao và việc quan sát thực hành dạy học của giáo viên khi cần.
Kết quả phân tích sẽ giúp chúng tôi đối chiếu với các TCTH trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) ở chương 2 và xây dựng thực nghiệm ở chương 3. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành Về cấu trúc, chương III – Hệ tọa độ trong không gian ở sách giáo khoa Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao đều gồm ba bài theo thứ tự: Hệ tọa độ trong không gian, Phương trình mặt phẳng, Phương trình đường thẳng. Nội dung liên quan đến mặt cầu chỉ là một tiểu mục trong bài 1. Ngoài ra, sách giáo viên ở cả hai ban đã cụ thể hóa mục tiêu cần đạt dưới dạng những kiểu nhiệm vụ của các tổ chức toán học cần giảng dạy ở mỗi bài của chương.
Cụ thể, ở bài “Hệ tọa độ trong không gian”, học sinh cần: Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính của mặt cầu đó (Sách giáo viên HH12CB, trang 64). 2 Trong luận văn này, trừ trường hợp có nêu rõ, đường thẳng được hiểu là đường thẳng trong không gian. Luan van 7 Viết được phương trình mặt cầu với các điều kiện cho trước. Xác định được tâm và tính được bán kính mặt cầu khi biết phương trình của nó (Sách giáo viên HH12NC, trang 69).
Liên quan đến mặt cầu, chúng tôi nhận thấy chỉ có các TCTH sau đây: 1. Tổ chức toán học O1: Viết phương trình mặt cầu Kiểu nhiệm vụ (KNV) tương ứng T1: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính. Trong đó, cả hai loại sách giáo khoa Cơ bản và Nâng cao đều giới thiệu định lý như là một bước trong kỹ thuật để thực hiện KNV trên. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 (Sách giáo khoa HH12CB, trang 66) Mặt cầu tâm I(x0; y0; z0), bán kính R có phương trình: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 (Sách giáo khoa HH12NC, trang 79) Dưới đây, chúng tôi trình bày các ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết tương ứng.
Ví dụ 1 (bài 6, trang 68, HH12CB): Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây: a/ Có đường kính AB với A(4; - 3; 7), B(2; 1; 3) b/ Đi qua điểm A(5; - 2; 1) và có tâm C(3; - 3; 1) Lời giải mong đợi (trang 100, sách bài tập HH12CB): a/ Mặt cầu có tâm là trung điểm I của đoạn AB. b/ Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. Lời giải mong đợi (booktoan.com) a/ Vì tâm mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên ta gọi tâm mặt cầu là 𝐼 = (0; 𝑏; 𝑐). Vì mặt cầu đi qua A, B, C nên ta có hệ: 𝐴𝐼 = 𝐵𝐼 2 2 { ⇔ {𝐴𝐼 2 = 𝐵𝐼2 𝐵𝐼 = 𝐶𝐼 𝐵𝐼 = 𝐶𝐼 (𝑏 − 8)2 + 𝑐 2 = 16 + (𝑏 − 6)2 + (𝑐 − 2)2 ⇔{ 16 + (𝑏 − 6)2 + (𝑐 − 2)2 = (𝑏 − 12)2 + (𝑐 − 4)2 3𝑏 + 𝑐 = 26 𝑏=7 ⇔{ ⇔{ −𝑏 + 𝑐 = −2 𝑐=5 Vậy phương trình mặt cầu là: 𝑥 2 + (𝑦 − 7)2 + (𝑧 − 5)2 = 26 b/ Vì tâm mặt cầu nằm trên Ox nên ta gọi tâm mặt cầu là I(a; 0; 0).
Vì mặt cầu tiếp xúc với (Oyz) nên bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = |𝑎|. Theo đề bài ta có a = 2. Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 c/ Vì phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm là I = (1; 2; 3) nên ta có bán kính mặt cầu là: 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = 1 Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 3)2 = 1. Hai ví dụ trên giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T1.
Luan van 9 Kỹ thuật τ1: B1. Dùng các điều kiện đề bài đã cho để tìm tâm và bán kính của mặt cầu. Vận dụng định lý mà sách giáo khoa đã giới thiệu để viết phương trình mặt cầu. Công nghệ θ1: - Định lý về dạng của phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
- Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và điểm trong không gian; hệ quả từ định lý về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian; ứng dụng của tích vô hướng trong không gian. Lý thuyết Θ1: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều. Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy có một ghi chú được giáo viên lưu ý đối với học sinh để giúp giải nhanh bài toán dù rằng điều này không được sách giáo khoa giới thiệu. Tổ chức toán học O2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó Kiểu nhiệm vụ tương ứng T2: Từ phương trình mặt cầu hoặc một số điều kiện cho trước, tìm tâm và bán kính của mặt cầu.
Chúng tôi cũng tiến hành phân tích một số ví dụ để có thể tìm thấy kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết tương ứng. Ví dụ 3 (ví dụ, trang 67, HH12CB): Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0. Lời giải do sách giáo khoa trình bày (trang 68, HH12CB): Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 3)2 = 32 Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3), bán kính r = 3. Luan van 10 Tuy nhiên, với nội dung nhận xét về dạng khác của phương trình mặt cầu mà cả hai sách giáo khoa đã giới thiệu, học sinh có thể tìm ra ngay tâm và bán kính của mặt cầu mà không cần trải qua bước biến đổi như trên.
Người ta chứng minh được rằng phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I( - A; - B; - C) có bán kính 𝑟 = √𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 − 𝐷 .(HH12CB, trang 67) Phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0. Khi đó tâm mặt cầu là điểm I( - a; - a; - a) và bán kính mặt cầu là R= √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑑 .(HH12NC, trang 80) Hơn nữa, chúng tôi cũng nhận thấy giáo viên đã cho học sinh ghi nhớ: “Muốn tìm tọa độ tâm mặt cầu, lấy hệ số trước x, y, z lần lượt chia cho – 2” để tìm nhanh tọa độ tâm I, từ đó áp dụng công thức tìm bán kính mặt cầu. Lời giải mong đợi: Mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3), bán kính 𝑟 = √(−2)2 + 12 + (−3)2 − 5 = 3 Ví dụ 4 (bài 5, câu b, trang 68, HH12CB): Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0 Lời giải mong đợi: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0 8 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 − 1 = 0 3 4 5 Mặt cầu có tâm 𝐼 (1; − ; − ), 3 2 4 2 5 2 19 bán kính 𝑟 = √12 + (− ) + (− ) − (−1) = 3 2 6 Ví dụ 5 (bài 2, câu a, trang 91, HH12CB): Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6; 2; - 5), B( - 4; 0; 7). Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của Luan van 11 mặt cầu (S).
Lời giải mong đợi (booktoan.com): Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB, vậy I(1; 1; 1). 𝐴𝐵2 = 248⇒𝐴𝐵 = 2√62 𝐴𝐵 Bán kính 𝑟 = = √62 2 Các ví dụ vừa trình bày rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T2. Kỹ thuật τ2: - TH1. Nếu cho trước phương trình mặt cầu, biến đổi phương trình về dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2.
Vận dụng định lý mà sách giáo khoa đã giới thiệu để tìm tâm và bán kính của mặt cầu. Nếu không có phương trình mặt cầu, từ các điều kiện cho trước và các tính chất liên quan đến mặt cầu, suy ra tâm và bán kính. Công nghệ θ2: - Định lý và nhận xét về dạng của phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính. - Hệ quả từ định lý về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian; ứng dụng của tích vô hướng trong không gian.
Lý thuyết Θ2: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều. Ở nội dung này, chúng tôi nhận thấy O2 đóng vai trò là TCTH hỗ trợ cho TCTH O1. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt phẳng trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành Sách Hình học 12 Cơ bản chỉ nhắc đến một cách sơ lược mục tiêu cần đạt ở bài “Phương trình mặt phẳng”: Trong hình học không gian ở lớp 11 ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng, chẳng hạn như xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai Luan van 12 đường thẳng cắt nhau,. Bây giờ ta sẽ xác định mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ (HH12CB, trang 69).
Mục đích của bài “Phương trình mặt phẳng” được định hướng: Biết cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước.