Siêu đối xứng trong cơ học lượng tử: Khái niệm cơ bản - Los Alamos National Laboratory; Institute Of Physics, Bhubaneswar; University Of Illinois, Chicago

I. Siêu đối xứng trong cơ học lượng tử Giới thiệu khái niệm

Siêu đối xứng (SUSY) nổi lên như một phản ứng trước những nỗ lực của các nhà vật lý nhằm đạt được một mô tả thống nhất về tất cả các tương tác cơ bản của tự nhiên. SUSY liên hệ các bậc tự do bosonic và fermionic, kết hợp chúng thành các siêu trường, từ đó cung cấp một mô tả thanh lịch hơn về tự nhiên. Đại số liên quan đến SUSY là một đại số Lie được phân loại, khép lại dưới sự kết hợp của các quan hệ giao hoán và phản giao hoán. Cần lưu ý rằng cho đến nay vẫn chưa có bằng chứng thực nghiệm nào về việc SUSY được hiện thực hóa trong tự nhiên. Tuy nhiên, trong mười lăm năm qua, những ý tưởng của SUSY đã kích thích các cách tiếp cận mới cho các nhánh vật lý khác như vật lý nguyên tử, phân tử, hạt nhân, thống kê và vật chất ngưng tụ, cũng như cơ học lượng tử phi tương đối tính. Ngây thơ mà nói, SUSY không phá vỡ dẫn đến sự thoái hóa giữa các phổ của các fermion và boson trong một lý thuyết thống nhất. Vì điều này không được quan sát thấy trong tự nhiên, nên người ta cần SUSY phải bị phá vỡ một cách tự phát. Chính trong bối cảnh cố gắng hiểu sự phá vỡ của SUSY trong lý thuyết trường mà toàn bộ chủ đề về cơ học lượng tử siêu đối xứng lần đầu tiên được nghiên cứu. Khi mọi người bắt đầu nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của cơ học lượng tử siêu đối xứng (SUSY QM), người ta sớm nhận ra rằng lĩnh vực này rất thú vị theo đúng nghĩa của nó, không chỉ là một mô hình để kiểm tra các phương pháp lý thuyết trường. Người ta nhận ra rằng SUSY QM cung cấp cái nhìn sâu sắc về phương pháp phân tích nhân tử của Infeld và Hull, đây là nỗ lực đầu tiên để phân loại các vấn đề tiềm năng có thể giải quyết được một cách phân tích. Dần dần, một công nghệ hoàn chỉnh đã được phát triển dựa trên SUSY để hiểu các vấn đề tiềm năng có thể giải quyết được và thậm chí khám phá ra những vấn đề tiềm năng có thể giải quyết được mới. Một mục đích của cuốn sách này là giới thiệu và trình bày chi tiết về việc sử dụng những ý tưởng mới này trong việc thống nhất cách người ta xem xét việc giải quyết các vấn đề về trạng thái liên kết và cơ học lượng tử liên tục.

1.1. Tổng quan về đại số siêu đối xứng SUSY

Đại số siêu đối xứng (SUSY) không chỉ là một công cụ toán học, mà còn là một cách tiếp cận mới để mô tả thế giới vật chất. Nó liên quan đến việc mở rộng các đối xứng không-thời gian thông thường để bao gồm các phép biến đổi giữa boson và fermion. Điều này có ý nghĩa sâu sắc, vì nó có thể cung cấp một cái nhìn thống nhất về các hạt cơ bản và các lực tương tác của chúng. Các đặc tính của đại số SUSY bao gồm cả quan hệ giao hoán và phản giao hoán, cho phép nó mô tả một cách tự nhiên cả các hạt có spin nguyên (boson) và các hạt có spin bán nguyên (fermion). Fred Cooper và các đồng nghiệp đã chỉ ra rằng việc nghiên cứu SUSY trong cơ học lượng tử đã mở ra những cánh cửa mới cho việc giải quyết các bài toán vật lý phức tạp.

1.2. Tại sao siêu đối xứng vẫn chưa được chứng minh

Mặc dù có nhiều lợi ích về mặt lý thuyết, siêu đối xứng vẫn chưa được chứng minh bằng thực nghiệm. Các nhà vật lý đã tìm kiếm các bằng chứng về các hạt siêu đối xứng tại các máy gia tốc hạt lớn, nhưng cho đến nay vẫn chưa có kết quả thuyết phục. Có nhiều lý do có thể giải thích cho sự vắng mặt này, bao gồm việc các hạt siêu đối xứng có thể quá nặng để được tạo ra trong các thí nghiệm hiện tại, hoặc chúng có thể tương tác theo những cách mà chúng ta chưa hiểu đầy đủ. Tuy nhiên, sự thiếu hụt bằng chứng thực nghiệm không làm giảm giá trị của SUSY như một khuôn khổ lý thuyết tiềm năng. Nó vẫn là một trong những ứng cử viên hàng đầu cho một lý thuyết vượt ra ngoài Mô hình Chuẩn của vật lý hạt, và nó tiếp tục truyền cảm hứng cho các nghiên cứu mới trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý.

II. Cách siêu đối xứng khám phá tiềm năng giải quyết cơ học lượng tử

Hãy để chúng tôi đề cập ngắn gọn một số hệ quả của siêu đối xứng trong cơ học lượng tử. Nó cho chúng ta cái nhìn sâu sắc về lý do tại sao một số thế năng một chiều có thể giải quyết được một cách phân tích và cũng gợi ý cách người ta có thể khám phá ra các thế năng có thể giải quyết được mới. Đối với các thế năng không thể giải quyết chính xác, siêu đối xứng cho phép chúng ta phát triển một loạt các phương pháp xấp xỉ mới mạnh mẽ. Trong cuốn sách này, chúng tôi xem xét công thức lý thuyết của SUSY QM và thảo luận về cách SUSY giúp chúng ta tìm ra các giải pháp chính xác và gần đúng cho nhiều bài toán cơ học lượng tử thú vị. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng lý do một số thế năng nhất định có thể giải quyết chính xác có thể được hiểu theo một vài ý tưởng cơ bản bao gồm thế năng đối tác siêu đối xứng và tính bất biến hình dạng. Các thế năng có thể giải quyết quen thuộc đều có thuộc tính của tính bất biến hình dạng. Chúng ta cũng sẽ sử dụng các ý tưởng của SUSY để khám phá mối liên hệ sâu sắc giữa tán xạ ngược và thế năng đẳng phổ liên quan đến các phương pháp SUSY QM. Sử dụng những ý tưởng này, chúng tôi chỉ ra cách xây dựng các giải pháp đa soliton của phương trình Korteweg-de Vries (KdV). Sau đó, chúng ta chuyển sự chú ý sang giới thiệu các phương pháp xấp xỉ hoạt động đặc biệt tốt khi được sửa đổi để sử dụng các khái niệm mượn từ SUSY. Đặc biệt, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một phép xấp xỉ WKB lấy cảm hứng từ siêu đối xứng là chính xác đối với một lớp thế năng bất biến hình dạng. Những ý tưởng về siêu đối xứng cũng mang lại những kết quả đặc biệt tốt cho tốc độ đường hầm trong một thế năng giếng đôi và để cải thiện các mở rộng N lớn và các phương pháp biến phân.

2.1. Thế năng siêu đối xứng và bài toán giải chính xác

Một trong những ứng dụng quan trọng của siêu đối xứng trong cơ học lượng tử là khả năng xác định và giải quyết các bài toán thế năng có thể giải được một cách chính xác. Điều này liên quan đến việc tìm ra các thế năng đối tác siêu đối xứng, tức là các thế năng có phổ năng lượng liên quan đến nhau thông qua các phép biến đổi SUSY. Khi một thế năng có thể được liên kết với một thế năng đơn giản hơn thông qua SUSY, thì việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn nhiều. Ví dụ, Cooper, Khare và Sukhatme đã chỉ ra rằng nhiều thế năng có thể giải được quen thuộc, như thế năng dao động điều hòa và thế năng Morse, có thể được hiểu và giải quyết một cách hiệu quả bằng cách sử dụng các kỹ thuật SUSY.

2.2. Siêu đối xứng và phương pháp WKB trong cơ học lượng tử

Phương pháp WKB là một kỹ thuật xấp xỉ mạnh mẽ để giải các bài toán cơ học lượng tử trong trường hợp thế năng thay đổi chậm. Tuy nhiên, phương pháp WKB thông thường có thể không chính xác trong một số trường hợp, đặc biệt là gần các điểm ngoặt cổ điển. Siêu đối xứng có thể được sử dụng để cải thiện độ chính xác của phương pháp WKB, dẫn đến một phương pháp SWKB (siêu đối xứng WKB) chính xác hơn. SWKB đặc biệt hiệu quả đối với các thế năng bất biến hình dạng, nơi nó có thể cho kết quả chính xác ngay cả trong những trường hợp mà WKB thông thường thất bại.

2.3. Mối liên hệ giữa tán xạ ngược và thế năng đẳng phổ

Một ứng dụng thú vị khác của siêu đối xứng trong cơ học lượng tử là khả năng thiết lập mối liên hệ giữa tán xạ ngược và thế năng đẳng phổ. Tán xạ ngược là một hiện tượng trong đó một hạt bị tán xạ ngược lại hướng ban đầu của nó bởi một thế năng. Thế năng đẳng phổ là các thế năng có cùng phổ năng lượng, nhưng có thể có hình dạng khác nhau. Siêu đối xứng cung cấp một cách để xây dựng các thế năng đẳng phổ từ một thế năng ban đầu, và để liên hệ các tính chất tán xạ của chúng. Điều này có thể hữu ích trong việc nghiên cứu các hệ thống cơ học lượng tử phức tạp, nơi việc giải bài toán tán xạ trực tiếp có thể rất khó khăn.

III. Hamiltonian siêu đối xứng Cấu trúc và ứng dụng thực tế

Trong SUSY QM, người ta đang xem xét một hiện thực đơn giản của một đại số SUSY liên quan đến các toán tử bosonic và fermionic tuân theo các quan hệ giao hoán và phản giao hoán tương ứng. Hamiltonian cho SUSY QM là một Hamiltonian ma trận 2 x 2, khi được đường chéo hóa, sẽ tạo ra 2 Hamiltonian riêng biệt có giá trị riêng, hàm riêng và S-ma trận liên quan với nhau vì sự tồn tại của các toán tử fermionic giao hoán với Hamiltonian. Những mối quan hệ này sẽ được khai thác để phân loại các vấn đề tiềm năng có thể giải quyết được một cách phân tích. Khi cấu trúc đại số được hiểu rõ, các kết quả sẽ theo sau và người ta không bao giờ cần phải quay lại nguồn gốc của đối xứng Fermi-Bose. Việc giải thích SUSY QM như một lý thuyết trường Wess-Zumino suy biến trong một chiều đã không dẫn đến bất kỳ hiểu biết sâu sắc hơn nào về hoạt động của SUSY QM. Để hoàn thiện, chúng tôi sẽ cung cấp trong Phụ lục A một trường siêu cũng như công thức tích phân đường dẫn của cơ học lượng tử SUSY.

3.1. Xây dựng Hamiltonian ma trận 2x2 trong SUSY QM

Trong cơ học lượng tử siêu đối xứng (SUSY QM), Hamiltonian không chỉ là một toán tử đơn lẻ, mà là một ma trận 2x2. Điều này phản ánh sự tồn tại của cả các trạng thái bosonic và fermionic trong hệ thống. Cấu trúc của Hamiltonian ma trận này có dạng: H = [[H1, 0], [0, H2]], trong đó H1 và H2 là các Hamiltonian đối tác siêu đối xứng. Việc đường chéo hóa Hamiltonian này sẽ cho ra hai Hamiltonian riêng biệt, H1 và H2, có các giá trị riêng, hàm riêng và S-ma trận liên quan với nhau thông qua các toán tử fermionic. Cooper nhấn mạnh rằng sự tồn tại của các toán tử fermionic giao hoán với Hamiltonian là chìa khóa để hiểu sự thoái hóa phổ năng lượng trong SUSY QM.

3.2. Liên hệ giữa Hamiltonian siêu đối xứng và đại số Lie

Một khía cạnh quan trọng khác của Hamiltonian siêu đối xứng là mối liên hệ của nó với đại số Lie. Đại số Lie là một cấu trúc toán học mô tả các đối xứng của một hệ thống. Trong SUSY QM, đại số Lie liên quan đến Hamiltonian bao gồm cả các toán tử bosonic và fermionic, và các quan hệ giao hoán và phản giao hoán giữa chúng. Sự tồn tại của một đại số Lie đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất của hệ thống, bao gồm cả tính bất biến và các định luật bảo toàn. Việc hiểu rõ đại số Lie liên quan đến Hamiltonian siêu đối xứng là rất quan trọng để giải quyết các bài toán cơ học lượng tử phức tạp.

3.3. Phân tích hàm riêng và giá trị riêng trong SUSY QM

Để hiểu đầy đủ về Hamiltonian siêu đối xứng, cần phải phân tích các hàm riêng và giá trị riêng của nó. Các hàm riêng là các trạng thái của hệ thống không thay đổi theo thời gian, và các giá trị riêng là các năng lượng tương ứng của các trạng thái đó. Trong SUSY QM, các Hamiltonian đối tác siêu đối xứng H1 và H2 có các phổ năng lượng liên quan với nhau. Điều này có nghĩa là các giá trị riêng của H1 và H2 có thể được liên hệ với nhau thông qua một phép biến đổi SUSY. Sự thoái hóa phổ năng lượng này là một đặc điểm quan trọng của SUSY QM, và nó có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán cơ học lượng tử một cách hiệu quả hơn.

IV. Bất biến hình dạng Công cụ then chốt trong SUSY QM

Năm 1983, khái niệm về thế năng bất biến hình dạng (SIP) trong cấu trúc của SUSY QM đã được Gendenshtein giới thiệu. Định nghĩa được đưa ra như sau: một thế năng được cho là bất biến hình dạng nếu thế năng đối tác SUSY của nó có cùng sự phụ thuộc không gian với thế năng ban đầu với các tham số có thể thay đổi. Người ta dễ dàng chỉ ra rằng đối với bất kỳ SIP nào, phổ giá trị riêng năng lượng có thể thu được một cách đại số. Sau đó, một danh sách các SIP đã được đưa ra và người ta đã chỉ ra rằng các hàm riêng năng lượng cũng như ma trận tán xạ cũng có thể thu được một cách đại số cho các thế năng này. Người ta sớm nhận ra rằng hình thức của SUSY QM cộng với tính bất biến hình dạng (liên quan đến các phép tịnh tiến của các tham số) có liên quan mật thiết đến phương pháp phân tích nhân tử của Infeld và Hull. Có lẽ thích hợp tại thời điểm này để đi sâu một chút và nói về lịch sử của phương pháp phân tích nhân tử. Phương pháp phân tích nhân tử lần đầu tiên được Schrodinger giới thiệu để giải bài toán nguyên tử hydro một cách đại số. Sau đó, Infeld và Hull đã tổng quát hóa phương pháp này và thu được một loạt các thế năng có thể giải được bằng cách xem xét sáu dạng phân tích nhân tử khác nhau. Hóa ra phương pháp phân tích nhân tử cũng như các phương pháp của SUSY QM bao gồm khái niệm về tính bất biến hình dạng (với phép tịnh tiến của các tham số), đều là những cách diễn đạt lại ý tưởng của Riccati về việc sử dụng sự tương đương giữa các nghiệm của phương trình Riccati và một phương trình vi phân tuyến tính bậc hai liên quan.

4.1. Định nghĩa và điều kiện cần thiết của tính bất biến hình dạng

Tính bất biến hình dạng là một khái niệm quan trọng trong cơ học lượng tử siêu đối xứng (SUSY QM). Một thế năng được gọi là có tính bất biến hình dạng nếu thế năng đối tác SUSY của nó có cùng sự phụ thuộc không gian với thế năng ban đầu, chỉ khác nhau ở các tham số. Điều kiện này có thể được biểu diễn bằng phương trình: V2(x; a1) = V1(x; a2) + R(a1), trong đó V1 và V2 là các thế năng đối tác SUSY, a1 và a2 là các tham số, và R(a1) là một hàm chỉ phụ thuộc vào a1. Điều kiện này cho phép chúng ta giải các bài toán cơ học lượng tử một cách đại số, mà không cần phải giải các phương trình vi phân phức tạp.

4.2. Phương pháp đại số để giải các bài toán bất biến hình dạng

Khi một thế năng có tính bất biến hình dạng, chúng ta có thể sử dụng một phương pháp đại số để tìm các giá trị riêng và hàm riêng của nó. Phương pháp này dựa trên việc xây dựng một chuỗi các Hamiltonian đối tác SUSY, và sử dụng các phép biến đổi SUSY để liên hệ các trạng thái của chúng. Quá trình này cho phép chúng ta tìm ra các giá trị riêng và hàm riêng của Hamiltonian ban đầu, mà không cần phải giải các phương trình vi phân. Ví dụ, Gendenshtein đã sử dụng phương pháp này để giải các bài toán dao động tử điều hòa và thế năng Morse.

4.3. Mối liên hệ giữa bất biến hình dạng và phương pháp phân tích nhân tử

Tính bất biến hình dạng có mối liên hệ mật thiết với phương pháp phân tích nhân tử, một kỹ thuật được Schrodinger giới thiệu để giải bài toán nguyên tử hydro. Phương pháp phân tích nhân tử dựa trên việc phân tích Hamiltonian thành tích của hai toán tử, và sử dụng các toán tử này để xây dựng các trạng thái của hệ thống. Infeld và Hull đã tổng quát hóa phương pháp này, và phát hiện ra rằng nó có thể được sử dụng để giải một loạt các bài toán cơ học lượng tử. Người ta đã nhận ra rằng tính bất biến hình dạng và phương pháp phân tích nhân tử thực chất là hai cách tiếp cận tương đương để giải các bài toán cơ học lượng tử.

V. Ứng dụng SUSY trong giải pháp multi soliton của KdV

Trong những năm gần đây, cơ học lượng tử một chiều đã trở nên rất quan trọng trong việc hiểu các giải pháp đa soliton chính xác cho các hệ động lực học Hamiltonian nhất định được điều chỉnh bởi các phương trình vi phân từng phần bậc cao như phương trình Korteweg-de Vries và sine-Gordon. Người ta nhận thấy rằng giải pháp của các phương trình này có liên quan đến việc giải một bài toán cơ học lượng tử có thế năng là chính giải pháp đó. Công nghệ được sử dụng để ban đầu tìm ra các giải pháp đa soliton này dựa trên việc giải bài toán tán xạ ngược. Vì các giải pháp đa soliton tương ứng với các thế năng mới, nên người ta sớm nhận ra rằng các giải pháp mới này có liên quan đến các thế năng đẳng phổ với thế năng soliton đơn. Vì SUSY QM cung cấp một cách đơn giản để thu được các thế năng đẳng phổ bằng cách sử dụng các kỹ thuật Darboux hoặc Abraham-Moses hoặc Pursey, người ta có được một kết nối thú vị giữa các phương pháp của bài toán tán xạ lượng tử ngược và SUSY QM, và chúng ta sẽ thảo luận về kết nối này.

5.1. Mối liên hệ giữa cơ học lượng tử và phương trình KdV

Phương trình Korteweg-de Vries (KdV) là một phương trình vi phân từng phần phi tuyến tính mô tả sự lan truyền của sóng trong môi trường phân tán. Điều thú vị là các giải pháp của phương trình KdV có thể được liên hệ với các bài toán cơ học lượng tử một chiều. Cụ thể, các giải pháp soliton của phương trình KdV có thể được hiểu là các thế năng trong bài toán cơ học lượng tử, và các trạng thái liên kết của Hamiltonian tương ứng có thể được sử dụng để xây dựng các giải pháp đa soliton.

5.2. Giải pháp đa soliton và thế năng đẳng phổ

Các giải pháp đa soliton của phương trình KdV tương ứng với các thế năng đẳng phổ, tức là các thế năng có cùng phổ năng lượng. Siêu đối xứng (SUSY) cung cấp một cách để xây dựng các thế năng đẳng phổ từ một thế năng ban đầu. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các kỹ thuật Darboux, Abraham-Moses hoặc Pursey, cho phép chúng ta tìm ra các giải pháp đa soliton một cách hiệu quả.

5.3. Kết nối giữa tán xạ lượng tử ngược và SUSY QM

Tán xạ lượng tử ngược là một kỹ thuật để xác định thế năng từ dữ liệu tán xạ. Kỹ thuật này có thể được sử dụng để tìm ra các giải pháp soliton của phương trình KdV. Siêu đối xứng cung cấp một kết nối thú vị giữa tán xạ lượng tử ngược và SUSY QM. Các phương pháp của SUSY QM có thể được sử dụng để xây dựng các thế năng đẳng phổ, và các thế năng này có thể được sử dụng để tìm ra các giải pháp đa soliton của phương trình KdV.

VI. Phương pháp xấp xỉ mới bằng SUSY Hiệu quả trong cơ học lượng tử

Chúng tôi cũng sẽ phát triển các loại xấp xỉ mới để giải các bài toán cơ học lượng tử được gợi ý bởi một số chủ đề được thảo luận ở đây, cụ thể là sự tồn tại của một siêu thế năng, thế năng đối tác và hệ thống phân cấp Hamiltonian đẳng phổ. Chúng tôi sẽ tập trung vào bốn phương pháp xấp xỉ mới, mở rộng 1/N trong SUSY QM, mở rộng 6 cho siêu thế năng, một phép xấp xỉ WKB lấy cảm hứng từ SUSY (SWKB) trong cơ học lượng tử và một phương pháp biến phân sử dụng hệ thống phân cấp của Hamiltonian liên quan đến SUSY và phân tích nhân tử. Chúng tôi chuyển sang Phụ lục A một cuộc thảo luận về công thức tích phân đường dẫn của SUSY QM. Về mặt lịch sử, việc nghiên cứu SUSY QM như vậy là một phương tiện để kiểm tra các ý tưởng về phá vỡ SUSY trong các lý thuyết trường lượng tử. Trong Phụ lục B, chúng tôi thảo luận ngắn gọn về phương pháp biến đổi toán tử cho phép người ta tìm ra bằng cách biến đổi tọa độ các thế năng có thể giải được mới từ các thế năng cũ. Đặc biệt, điều này cho phép người ta mở rộng các thế năng có thể giải được để bao gồm lớp thế năng Natanzon không bất biến hình dạng. Lớp thế năng có thể giải được mới có các hàm sóng và giá trị riêng năng lượng được biết một cách ngầm định hơn là rõ ràng.

6.1. Mở rộng 1 N trong SUSY QM

Mở rộng 1/N là một phương pháp xấp xỉ mạnh mẽ để giải các bài toán cơ học lượng tử trong trường hợp số lượng chiều không gian lớn. Trong SUSY QM, phương pháp này có thể được sử dụng để tính toán các giá trị riêng và hàm riêng của Hamiltonian, cũng như các tính chất khác của hệ thống. Phương pháp mở rộng 1/N trong SUSY QM thường cho kết quả chính xác hơn so với phương pháp mở rộng 1/N thông thường.

6.2. Phương pháp WKB siêu đối xứng SWKB

Phương pháp WKB là một kỹ thuật xấp xỉ để giải các bài toán cơ học lượng tử trong trường hợp thế năng thay đổi chậm. Siêu đối xứng có thể được sử dụng để cải thiện độ chính xác của phương pháp WKB, dẫn đến một phương pháp SWKB (siêu đối xứng WKB) chính xác hơn. SWKB đặc biệt hiệu quả đối với các thế năng bất biến hình dạng, nơi nó có thể cho kết quả chính xác ngay cả trong những trường hợp mà WKB thông thường thất bại.

6.3. Biến đổi toán tử và các thế năng có thể giải được mới

Phương pháp biến đổi toán tử cho phép chúng ta tìm ra các thế năng có thể giải được mới từ các thế năng cũ bằng cách biến đổi tọa độ. Phương pháp này có thể được sử dụng để mở rộng lớp thế năng có thể giải được để bao gồm lớp thế năng Natanzon không bất biến hình dạng. Các thế năng này có các hàm sóng và giá trị riêng năng lượng được biết một cách ngầm định hơn là rõ ràng.

Siêu đối xứng trong Cơ học Lượng tử: Lý thuyết, Ứng dụng và Bài tập

Preface

1. Chapter 1 Introduction

2. Chapter 2 The Schrodinger Equation in One Dimension

2.1. General Properties of Bound States

2.2. General Properties of Continuum States and Scattering

2.3. The Harmonic Oscillator in the Operator Formalism

3. Chapter 3 Factorization of a General Hamiltonian

3.2. SUSY Harmonic Oscillator

3.3. Factorization and the Hierarchy of Hamiltonians

4. Chapter 4 Shape Invariance and Solvable Potentials

4.1. General Formulas for Bound State Spectrum. Wave Functions and S-Matrix

4.2. Strategies for Categorizing Shape Invariant Potentials

6. Chapter 6 Charged Particles in External Fields and Super- symmetry

5.2. Non-relativistic Electrons and the Pauli Equation

5.3. Relativistic Electrons and the Dirac Equation

5.4. SUSY and the Dirac Equation

5.5. Dirac Equation with a Lorentz Scalar Potential in 1+1Dimensions

5.6. Supersymmetry and the Dirac Particle in a Coulomb Field

5.7. SUSY and the Dirac Particle in a Magnetic Field

6. Chapter 6 Isospectral Hamiltonians

6.1. One Parameter Family of Isospectral Potentials

6.2. Generalization to n-Parameter Isospectral Family

6.3. Inverse Scattering and Solitons

7. Chapter 7 New Periodic Potentials from Supersymmetry

7.1. Unbroken SUSY and the Value of the Witten Index

7.2. Lam6 Potentials and Their Supersymmetric Partners

7.3. Associated Lam6 Potentials and Their Supersymmetric Partners

8. Chapter 8 Supersymmetric WKB Approximation

8.1. Lowest Order WKB Quantization Condition

8.1. Simpler Approach €or the Lowest Order Quantization Condition

8.2. Some General Comments on WKB Theory

8.3. Tunneling Probability in the WKB Approximation

8.4. SWKB Quantization Condition for Unbroken Supersymmetry

8.5. Exactness of the SWKB Condition for Shape Invariant Potentials128

8.6. Comparison of the SWKB and WKB Approaches

8.7. SWKB Quantization Condition for Broken Supersymmetry

8.8. Tunneling Probability in the SWKB Approximation

9. Chapter 9 Perturbative Methods for Calculating Energy Spec- tra and Wave F’unctions

9.2. SUSY 6 Expansion Method

9.3. Supersymmetry and Double Well Potentials

9.4. Supersymmetry and the Large-N Expansion

Appendix A Path Integrals and SUSY

A.2. Path Integral for the Evolution Operator

A.3. Path Integrals for Fermionic Degrees of Freedom

A.1. Hilbert Space for Fermionic Oscillator

A.4. Path Integral Formulation of SUSY Quantum Mechanics.5

A.5. Superspace Formulation of SUSY Quantum Mechanics

Appendix B Operator Transforms - New Solvable Potentials from Old

Appendix C Logarithmic Perturbation Theory

Appendix D Solutions to Problems

Index