Chương I. (NG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT HAM SO 5 Bai 4, Khao sit và vẽ đồ thi một số ham sé co ban 25 Bài tập cuối chương II PHAN THONG KE VA XAC SUAT Chương III. CAC SO DACTRUNG DO MUC DO PHAN TAN CHO MAU SO LIEU GHEP NHOM Bảng giải thích thuật ngữ ˆ Bing tra cứu từ ngữ Phân | MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH UNG DUNG DAO HAM Chương Í ` ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đạo hàm l t công cụ toán học có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, ki thuật và đời sống. Trong chương nay, chúng ta sẽ \ dụng đạo hàm để khảo sát một số tính chất quan trọng của hàm số (như tính đơn điệu, cực trị ậ ị của hàm số Số lượng thành phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để thu đượclợi nhuận cao nhất? ~ Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó.
~ Thể hiện được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên. ~ Nhận biết được tính đơn điệu, điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số. Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước. ~ Xác định được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản.
~ Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: y= ax) + bx” + cx + d (4# 0); CĐ (20 2g— pczg;y~ đỀ 2 +ÐX+c œ+d mx+n (a#0,mz0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu). ~ Nhận biết được tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm số trên. ~ Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Từ khoá: Đồng biến; Nghịch biến; Cực trị; Cực đại; Cực tiểu.
©) Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ caoh (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm £ phút được cho bởi công thie h(t) = 6È — 81Ẻ + 324t. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm3 phút và 6 phút sau khi xuất phátcó gì đặcbiệt? 1. Tính đơn điệu của hàm số Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.
Giả sử hàm số y = /(x) xác định trên K. Nếu hàm số y = /(x) đồng bién trén K thi dé thi cua né di /én tir trai sang phai (Hinh 1a). Néu hàm số y = /(x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phai (Hinh 1b). » y Hình 1 b) Ham sé đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Tìm các khoảng đơn điệu của hảm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 2. Hình2 Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (~2; 1) và (5; 8), nghịch biến trên khoảng (1; 5). 9 “Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = /(x) có đồ thị cho ở Hình 3. Hình 3 Tính đơn điệu của hàm số @ Cho ham sé y= f(x) =.
a) Từ đỏ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho. b) Tinh dao ham f"(x) va xét dau f'(x). c) Tir dé, nhan xét vé méi liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dầu của ƒ"(x). Hình4 Trong /ÊÌ, ta thấy hàm số y = f(x) déng biến trên khoảng mà ƒ'(x) dương, nghịch biến trên khoảng mà ƒ'(x) âm.
Tổng quát, ta có kết quả sau đây: ` Cho hàm số y=/(x) có đạo hàm trên K. Nếu ƒ'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số, én trén K, Nếu ƒ'() < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = ƒ(x) nghịch biến trén K. Chứng minh rằng hàm sé g(x) = TT nghịch biến trên khoảng (1; +). x Giải Ham số xác định trên (1; +s).
Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiéu xét tinh đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó. Từ kết quả trên, đề xét tính đơn điệu của hàm số y = /(x), ta thực hiện các bước sau: Bước I. Tìm tập xác định D của hàm số. Tỉnh đạo hàm ƒ'(x) của hàm số.
Tìm các điểm x thuộc Ð mà tại đó đạo hàm ƒ'(x) bằng 0 hoặc dao hàm không tồn tại. Xét #') và lập bảng biến thiên. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) fe) = + 3x; b)g()=x+ ©)h@)=x.
Bảng biến thiên: x | 0 2 + #œ) - 0 + 0 - ø TỐ a ¬— Vay ham số ƒ(x) = -x` + 3xˆ đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên các khoảng. b) Xét hàm số g(x) =x + 1 x Tập xác dinh: D= R \ {0}. e) Xét hàm số j (x) = x” Tập xác định: D = E. Bang bién thién: 0 +00 —20' a) Nếu hàm số y = ƒ(x) có đạo hàm trên K, f"(x) > 0 với mọi x e K và ƒ'(x) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.
b) Néu ham séy = f(x) c6 dao ham trén K, f"(x) < 0 với mọi x e K và ƒ'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K. e) Nếu ƒ'(x) = 0 với mọi x e K thì hàm số không trên K. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) fe) = 2° — 6x? + 9x; bg@=+ x Chimg minh ring ham sé f(x) = 3x — sinx dong bién trén R. ®@ Hãy trả lời câu hỏi trong ẤP) (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số.
Cực trị của hàm số 2 Quan sát đồ thị của hàm sé y = f(x) =° — 3x? + 1 trong Hình 5. a) Tìm khoảng (4; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó ƒ(+) < /(0) với mọi x # 0. b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểmx = 2 mà trên d6 f(x) > f(2) với mọi x # 2. e) Tôn tại hay không khoảng (ø; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó 0) >/) với mọi x# 1 hoặc fx) </(1) với mọix # 12 ` Cho hàm số y = ƒ(x) xác định trên tập hợp D và xe D.
e Nếu tồn tại một khoảng (a; ö) chứa điềm x„ và (4; b) D sao cho ƒ(x) < ƒ(xạ) với mọi x € (a; b) \ {xạ} thì xạ được gọi là một điểm cực đại, ƒ(x,) được gọi là giá trị cực đại của ham s6 y = f(x), ki hiéu yep. e Nếu tồn tại một khoảng (a; 5) chứa điểm x, va (a; b) < D sao cho f(x) > f(x) voi moi x e (4; ở) \ {xạ}, thì xạ được gọi là một điểm cực tiểu, ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y = ƒ(x), kí hiệu y. Chú ý: a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực frị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá tr] cw frị (còn gọi là cực trị) của hàm số.
b) Nếu xạ là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f(x) thi ta cũng nói hàm số y = /(x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại xụ. c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên 7). đ) Nếu xạ là điểm cực trị của hàm số y = ƒ(x) thì điểm A⁄(x,; /(x,)) là một điểm cực trị cua dé thi ham sé y= f(x). Tìm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị được cho ở Hình 7.
Giải Hàm số y = ƒ(x) có: *x= I là điểm cực đại vì ƒ(x) < ƒ(1) với mọi xe(0:2)\ {1}, yeø= ƒ() =5; +x = 6 là điểm cực đại vì ƒ(x) < /(6) với mọi xe; 7) \ {6}, ycp =/(6) = 6; *x=4 là điểm cực tiểu vì ƒ(x) > /(4) với mọi xe@:5)\ {4),y. “Tìm các điểm cực trị của hàm số y = ƒ(x) có đồ thị cho ở Hình 8. Tìm cực trị của hàm số R < 2 khix<l @ Đồ thị của hàm số y= 4” 1 Sư cho ở Hình 9. ¢ 2—x khix>l > a) Tim điểm cực đại và điểm cực tiểu của hầm số.
b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không? ) Thay mỗi dau ? bang ki hiệu (+, —) thích hợp đề hoàn thành bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại và điểm cực tiết x_ | 0 1 too Hinh9 20) Cho ham sé y = f(x) lién tue trén khoang (a; b) chtta diém x, va cé đạo hàm trên cae khoang (a; x,) va (x,; b). Khi đó: + Néu f'(x) < 0 véi moix € (a; x) va f"(x) > 0 véi moix € (x); ð) thi ham sé y = f(x) đạt cực tiểu tại diém x,; * Nếu ƒ'@) > 0 với mọix e (4; xạ) và ƒ'() < 0 với mọix e (xạ; ð) thì hàm số đạt cực đại tại điểm xụ. Tìm cực trị của hàm số ƒ(x) = 2x` ~ 9x” ~ 24x + 1.
Giải Tập xác dinh: D= R. Bảng biến thiên: x| -1 4 too /#%œ) + 0 - 0 + Se) _—” Tu” — Vay ham số đạt cực đại tại x = —1, giá trị cực đại là f(-1) = 14; ham số đạt cực tiểu tại x= 4, giá trị cực tiểu là ƒ(4) = —111. Nhận xét: Từ kết quả trên, đề tìm cực trị cua him sé y = f(x), ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
Tính đạo hàm ƒ (x) của hàm số. Tìm các điểm x thuộc D ma tại đó đạo hàm ƒ'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tổn tại. Lập bảng biến thiên của hàm Bước 4. Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số.
Tìm cực trị của hàm số /(x) = xÌ— 3x? + 3x — 4. Giải Tập xác định: D =. Bảng biến thiên: —*_—] LR) #œ) Vay hàm số không có cực trị. Chú ý: a) Nếu ƒ '(xạ) = 0 và ƒ '(x) không đổi dấu khi x qua điểm xạ thì hàm số không có cực trị tai x,.