I. Tổng Quan Phương Pháp Tìm Nghiệm Chung Luận Án Tiến Sĩ
Luận án tiến sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm chung cho bài toán cân bằng và điểm bất động. Đây là một lĩnh vực quan trọng trong toán ứng dụng, có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như kinh tế và kỹ thuật. Bài toán chấp nhận lồi (CFP) đóng vai trò then chốt, khi các tập lồi thành phần được cho dưới dạng nghiệm của các bài toán khác. Luận án xem xét sự kết hợp của các phương pháp khác nhau để giải quyết các bài toán phức tạp này. Cần nói thêm rằng về lý thuyết, bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định có thể quy về bài toán điểm bất động và ngược lại.
1.1. Giới thiệu bài toán cân bằng và điểm bất động
Luận án giới thiệu hai bài toán quan trọng: bài toán điểm bất động và bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực. Bài toán điểm bất động có phạm vi ứng dụng rộng rãi, tuy nhiên, thuật toán hiệu quả để tìm điểm bất động vẫn còn hạn chế. Bài toán cân bằng, được định nghĩa bởi bất đẳng thức Nikaido-Isoda-Ky Fan, bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng, bao gồm bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân và điểm bất động.
1.2. Vai trò của bài toán chấp nhận lồi CFP
Bài toán chấp nhận lồi có vai trò quan trọng trong việc tìm nghiệm chung. Luận án nghiên cứu các tập lồi thành phần được cho dưới dạng nghiệm của các bài toán khác, như bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, hay tổng quát hơn là bài toán cân bằng. Việc giải bài toán CFP sẽ giúp tìm ra nghiệm thỏa mãn tất cả các điều kiện ràng buộc, tạo ra một giải pháp cân bằng cho toàn bộ hệ thống.
II. Thách Thức Tìm Nghiệm Chung Bài Toán Cân Bằng và Điểm Bất Động
Việc tìm nghiệm chung cho bài toán cân bằng và điểm bất động đặt ra nhiều thách thức. Thứ nhất, các thuật toán hiện tại thường đòi hỏi các điều kiện chặt chẽ về tính chất của các toán tử và hàm số liên quan, như tính liên tục Lipschitz, tính đơn điệu, và tính lồi. Thứ hai, việc kết hợp các phương pháp giải khác nhau, như phương pháp điểm gần kề và phương pháp lặp, đòi hỏi sự cẩn trọng để đảm bảo tính hội tụ và hiệu quả của thuật toán. Cần nói thêm rằng về lý thuyết, bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định có thể quy về bài toán điểm bất động và ngược lại.
2.1. Giới hạn của các thuật toán hiện tại
Các thuật toán hiện tại thường đòi hỏi các điều kiện chặt chẽ về tính chất của các toán tử và hàm số liên quan. Ví dụ, để tìm điểm bất động của một toán tử, người ta thường phải giả thiết về tính liên tục Lipschitz hoặc tính co. Tuy nhiên, các điều kiện này không phải lúc nào cũng được thỏa mãn trong thực tế, làm hạn chế khả năng áp dụng của các thuật toán.
2.2. Vấn đề hội tụ và hiệu quả của thuật toán
Việc kết hợp các phương pháp giải khác nhau, như phương pháp điểm gần kề và phương pháp lặp, đòi hỏi sự cẩn trọng để đảm bảo tính hội tụ và hiệu quả của thuật toán. Cần phải thiết lập các điều kiện hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của thuật toán để đảm bảo rằng nó có thể tìm ra nghiệm trong một khoảng thời gian chấp nhận được. Một ví dụ là thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động, đồng thời áp dụng vào một mô hình cân bằng cung-cầu Walras với cung, cầu được cho dưới dạng ấn như là nghiệm của các bài toán tối ưu.
III. Phương Pháp Lặp Krasnoselskii Mann Tìm Nghiệm Chung
Luận án nghiên cứu việc sử dụng phương pháp lặp Krasnoselskii-Mann để tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động. Phương pháp này có ưu điểm là không đòi hỏi các điều kiện quá chặt chẽ về tính chất của các toán tử và hàm số liên quan. Tuy nhiên, việc chứng minh tính hội tụ của phương pháp này có thể gặp nhiều khó khăn. Bài toán tìm nghiệm chung này thuộc lớp bài toán chấp nhận lồi khi các tập nghiệm của bài toán này là lồi.
3.1. Ưu điểm của phương pháp Krasnoselskii Mann
Phương pháp Krasnoselskii-Mann không đòi hỏi các điều kiện quá chặt chẽ về tính chất của các toán tử và hàm số liên quan. Điều này giúp mở rộng phạm vi áp dụng của phương pháp và cho phép giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Tính chất co này sau đó được giảm nhẹ bằng các tính chất giả co, không giãn, tiệm cận không giãn, tựa không giãn v.
3.2. Điều kiện hội tụ của phương pháp Krasnoselskii Mann
Việc chứng minh tính hội tụ của phương pháp Krasnoselskii-Mann có thể gặp nhiều khó khăn. Cần phải thiết lập các điều kiện về các tham số của thuật toán để đảm bảo rằng dãy lặp hội tụ đến nghiệm chung. Thông thường người ta giả thiết ƒ(z,#) > 0 với mọi z € Œ, điều kiện này được gọi là điều kiện cân bằng, xuất phát từ các bài toán trong lý thuyết trò chơi.
IV. Thuật Toán Điểm Gần Kề Giải Bài Toán Cân Bằng Hiệu Quả
Luận án tập trung vào thuật toán điểm gần kề để giải quyết hiệu quả bài toán cân bằng. Thuật toán này đặc biệt hữu dụng khi song hàm thỏa mãn điều kiện đơn điệu hoặc đơn điệu suy rộng. Việc kết hợp thuật toán này với các phương pháp lặp, chẳng hạn như phương pháp lặp Mann, cho phép tìm nghiệm chung một cách hiệu quả. Thường có giả thiết về một tính chất đơn điệu và một tính chất lồi nào đó cho song hàm, trong khi với bài toán điểm bất động, người ta phải dùng đến một tính chất co, hoặc không giãn suy rộng nào đó.
4.1. Điều kiện áp dụng thuật toán điểm gần kề
Thuật toán điểm gần kề đặc biệt hữu dụng khi song hàm thỏa mãn điều kiện đơn điệu hoặc đơn điệu suy rộng. Điều kiện này đảm bảo rằng thuật toán hội tụ đến nghiệm của bài toán cân bằng. Ví dụ như ta thấy thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động, đồng thời áp dụng vào một mô hình cân bằng cung-cầu Walras với cung, cầu được cho dưới dạng ấn như là nghiệm của các bài toán tối ưu.
4.2. Kết hợp thuật toán điểm gần kề và phương pháp lặp
Việc kết hợp thuật toán điểm gần kề với các phương pháp lặp, chẳng hạn như phương pháp lặp Mann, cho phép tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động một cách hiệu quả. Việc kết hợp này đòi hỏi sự cẩn trọng để đảm bảo tính hội tụ và ổn định của thuật toán. Để tìm điểm chung của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T và tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(Œ, ƒ), A. Takahashi đã kết hợp thuật toán lặp Mann và thuật toán điểm gần kề.
V. Ứng Dụng Mô Hình Cân Bằng Cung Cầu Walras Trong Kinh Tế
Luận án áp dụng các phương pháp nghiên cứu vào mô hình cân bằng cung-cầu Walras, một mô hình quan trọng trong kinh tế học. Bằng cách biểu diễn cung và cầu dưới dạng nghiệm của các bài toán tối ưu, luận án đưa ra một thuật toán để tìm điểm cân bằng của mô hình. Điều này cho thấy tính ứng dụng thực tiễn của các phương pháp tìm nghiệm chung trong việc giải quyết các bài toán kinh tế phức tạp. Mô hình này có thể coi như bài toán chấp nhận lồi (CF'P) với mm = 1, có đặc điểm bài toán cân bằng ở đây là một bài toán bù, nhưng ánh xạ giá lại được cho dưới dạng ấn thông qua các nghiệm tối ưu của hai bài toán quy hoạch lồi.
5.1. Biểu diễn cung và cầu dưới dạng bài toán tối ưu
Luận án biểu diễn cung và cầu dưới dạng nghiệm của các bài toán tối ưu, tạo ra một mô hình toán học chặt chẽ cho mô hình cân bằng cung-cầu Walras. Bằng cách này, các yếu tố kinh tế được thể hiện một cách chính xác và có thể được phân tích bằng các công cụ toán học. Cần nói thêm rằng về lý thuyết, bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định có thể quy về bài toán điểm bất động và ngược lại.
5.2. Thuật toán tìm điểm cân bằng của mô hình Walras
Luận án đề xuất một thuật toán để tìm điểm cân bằng của mô hình Walras. Thuật toán này dựa trên các phương pháp tìm nghiệm chung đã được nghiên cứu trong luận án. Việc tìm ra điểm cân bằng cho phép phân tích tác động của các chính sách kinh tế và dự đoán sự thay đổi của thị trường. Chúng tôi phối hợp thuật toán Ishikawa, với các thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng, để tìm điểm chung của tập điểm bất động của một ánh xạ lai ghép (hybrid) đối xứng tổng quát và tập nghiệm của bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực khi song hàm là đơn điệu hoặc giả đơn điệu và lồi theo biến thứ hai.
VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Trong Toán Ứng Dụng
Luận án đã đạt được những kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động. Các kết quả này có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc cải tiến các thuật toán hiện tại và mở rộng phạm vi ứng dụng của chúng. Cần nói thêm rằng về lý thuyết, bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định có thể quy về bài toán điểm bất động và ngược lại.
6.1. Tóm tắt các kết quả đạt được
Luận án đã nghiên cứu các tính chất đơn điệu của ánh xạ gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị và bài toán cân bằng. Luận án cũng đã xây dựng một số thuật toán mới để tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động, khi song hàm cân bằng là lồi hoặc tựa lồi theo biến thứ hai.
6.2. Các hướng nghiên cứu tiếp theo
Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc cải tiến các thuật toán hiện tại để tăng tốc độ hội tụ và giảm yêu cầu về bộ nhớ. Ngoài ra, cũng có thể nghiên cứu các ứng dụng mới của các phương pháp tìm nghiệm chung trong các lĩnh vực khác nhau, như khoa học máy tính, kỹ thuật, và tài chính. Hoặc ánh xạ của bài toán điểm bất động là ánh xạ tiệm cận không giãn, còn song hàm của bài toán cân bằng là tựa lồi theo biến thứ hai;.
