MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG

• Tác giả: Nguyễn Văn Hồng
• Người hướng dẫn: PTS. Phạm Ngọc Anh
• Trường học: Trường Đại Học Thăng Long
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Một Số Phương Pháp Giải Bài Toán Cân Bằng Trên Tập Điểm Bất Động
• Loại tài liệu: Luận Án Tiến Sĩ
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Hà Nội

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: Một số kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng và điểm bất động
• 1.1. Không gian Hilbert
• 1.2. Bài toán cân bằng
• 1.2.1. Bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan
• 1.2.2. Điều kiện tồn tại nghiệm
• 1.2.3. Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động
• 1.2.3.1. Phát biểu bài toán
• 1.2.3.2. Một số thuật toán thông dụng
• 2. CHƯƠNG 2: Các phương pháp chiếu mở rộng
• 2.1. Phương pháp chiếu song song xấp xỉ
• 2.2. Phương pháp dưới đạo hàm song song
• 2.3. Một số ví dụ minh họa và kết quả tính toán
• 2.4. Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường song song
• 2.4.1. Thuật toán và định lý hội tụ
• 2.4.2. Tính toán thực nghiệm
• 3. CHƯƠNG 3: Phương pháp dưới đạo hàm quán tính
• 3.1. Phương pháp dưới đạo hàm quán tính
• 3.1.1. Thuật toán và định lý hội tụ
• 3.1.2. Một số tính toán thực nghiệm
• 3.2. Nguyên lý bài toán phụ quán tính song song
• 3.2.1. Thuật toán và định lý hội tụ
• 3.2.2. Một số tính toán
• Kết luận
• Hướng nghiên cứu tiếp theo
• Danh mục công trình khoa học đã công bố
• Tài liệu tham khảo

I. Tổng Quan Bài Toán Cân Bằng Điểm Bất Động Luận Án Tiến Sĩ

Luận án này đi sâu vào nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Bài toán cân bằng đã chứng minh vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu, toán học ứng dụng và các mô hình thực tế. Bài toán này xuất hiện khi cần tìm một điểm x** trong một tập C sao cho f(x*, y) ≥ 0* với mọi y thuộc C, trong đó f là một song hàm. Bài toán này tổng quát hóa mô hình cân bằng Nash và nhiều bài toán quan trọng khác. Nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán này trên tập điểm bất động là hướng đi mới, hứa hẹn nhiều ứng dụng trong các mô hình kinh tế và kỹ thuật. Luận án tập trung vào việc đề xuất các thuật toán mới, cải tiến các thuật toán đã có và ứng dụng chúng vào giải các bài toán thực tế. Theo luận án, các hướng nghiên cứu đang được chú trọng hiện nay đối với một lớp Bài toán (2) là: Nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm.

1.1. Lịch Sử Phát Triển và Ý Nghĩa Bài Toán Cân Bằng

Lý thuyết bài toán cân bằng đã phát triển hơn nửa thế kỷ, bắt nguồn từ công trình của Nikaido năm 1955. Blum E. tiếp tục nghiên cứu bài toán cân bằng trong [22]. Bài toán này có thể mô tả nhiều bài toán quan trọng như bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash. Việc giải quyết bài toán cân bằng tổng quát có thể dựa trên kết quả của các bài toán riêng lẻ, do đó thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Bài toán cân bằng được xác định bởi song hàm f và tập C, tìm x thuộc C sao cho f(x, y) >= 0 với mọi y thuộc C.

1.2. Liên Hệ Giữa Bài Toán Cân Bằng và Bài Toán Điểm Bất Động

Lý thuyết điểm bất động ra đời từ đầu thế kỷ 20 và phát triển mạnh mẽ. Định lý điểm bất động Brouwer (1912) và ánh xạ co Banach (1922) hình thành 2 hướng chính. Lý thuyết này có ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland, chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng trong mô hình kinh tế, và sự tồn tại nghiệm tối ưu của nhiều bài toán trong lý thuyết tối ưu. Trong những năm gần đây, nhiều nhà nghiên cứu đã quan tâm đến bài toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng khác hoặc tìm nghiệm của bài toán cân bằng trên tập điểm bất động chung của các ánh xạ.

II. Thách Thức Giải Bài Toán Cân Bằng Trên Tập Điểm Bất Động

Giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động đặt ra nhiều thách thức. Các thuật toán hiện tại còn hạn chế về hiệu quả tính toán trên máy tính. Chẳng hạn như, tại mỗi bước lặp của thuật toán hiệu chỉnh, cần phải tìm một nghiệm chính xác của một bài toán cân bằng phụ. Miền ràng buộc là giao của một họ các tập điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt vẫn là một hướng nghiên cứu mở. Sự hội tụ của các thuật toán hiện tại đòi hỏi giả thiết khá chặt trên song hàm f, ví dụ như đơn điệu mạnh và hội tụ theo dãy. Luận án này hướng đến giải quyết những hạn chế này bằng cách đề xuất các thuật toán mới, có tính ứng dụng cao và yêu cầu ít giả thiết hơn.

2.1. Các Hạn Chế Của Thuật Toán Hiện Tại Về Hiệu Quả Tính Toán

Một số thuật toán chưa thực sự được giải một cách hữu hiệu trên máy tính. Tại mỗi bước lặp của thuật toán hiệu chỉnh, cần phải tìm một nghiệm chính xác của một bài toán cân bằng phụ. Điều này gây khó khăn cho việc ứng dụng các thuật toán vào thực tế. Việc cải thiện hiệu quả tính toán là một trong những mục tiêu quan trọng của luận án này. Nghiên cứu đề xuất các thuật toán mới, ứng dụng tính toán trên phần mềm MATLAB với các số liệu cụ thể.

2.2. Yêu Cầu Về Giả Thiết Quá Chặt Cho Sự Hội Tụ

Sự hội tụ của các thuật toán đề xuất vẫn đòi hỏi giả thiết khá chặt trên song hàm f, như đơn điệu mạnh, hội tụ theo dãy. Điều này hạn chế khả năng ứng dụng của các thuật toán vào các bài toán thực tế, nơi các giả thiết này có thể không được thỏa mãn. Mục tiêu của luận án là phát triển các thuật toán có tính hội tụ cao hơn với các giả thiết đơn giản hơn trên song hàm của tập ràng buộc. Bằng việc sử dụng các công cụ và các kỹ thuật trong tối ưu và giải tích, một mặt chúng tôi nghiên cứu đề xuất thuật toán mới, mặt khác nghiên cứu cải tiến các phương pháp đã có với các giả thiết đơn giản hơn trên song hàm của tập ràng buộc.

2.3. Miền Ràng Buộc Phức Tạp Giao Của Nhiều Tập Điểm Bất Động

Một số thuật toán đã được đề xuất khi miền ràng buộc Ω là tập điểm bất động của một ánh xạ. Tuy nhiên, miền ràng buộc là giao của một họ các tập điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt vẫn là một hướng nghiên cứu mở. Điều này tạo ra thách thức trong việc xây dựng các thuật toán hiệu quả. Đây cũng là một trong những vấn đề mà luận án này tập trung giải quyết.

III. Phương Pháp Chiếu Mở Rộng Giải Bài Toán Cân Bằng Hiệu Quả

Luận án trình bày các phương pháp chiếu mở rộng để giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Phương pháp chiếu song song xấp xỉ được phát triển dựa trên kỹ thuật của Santos P. và Yamada I. Kỹ thuật song song được kết hợp với lặp điểm cố định của Mann W. để xây dựng lược đồ dưới đạo hàm song song. Thuật toán chiếu đạo hàm tăng cường song song được đề xuất, và sự hội tụ mạnh được chứng minh trong không gian Hilbert thực H. Các thuật toán được áp dụng vào tính toán trên một số ví dụ minh họa. Kết quả tính toán cho thấy thuật toán được đề xuất ở đây hiệu quả với lớp mô hình nhất định.

3.1. Phương Pháp Chiếu Song Song Xấp Xỉ và Kỹ Thuật Hướng Giảm Lai Ghép

Bằng cách phát triển phương pháp dưới đạo hàm xấp xỉ của Santos P. và kỹ thuật hướng giảm lai ghép của Yamada I., luận án đề xuất một phương pháp chiếu mới giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Kỹ thuật này cho phép giải quyết bài toán một cách hiệu quả, đặc biệt trong các trường hợp mà các phương pháp truyền thống gặp khó khăn.

3.2. Lược Đồ Dưới Đạo Hàm Song Song Kết Hợp Kỹ Thuật Song Song và Lặp Điểm Cố Định

Luận án kết hợp kỹ thuật song song với kỹ thuật lặp điểm cố định của Mann W. để xây dựng lược đồ dưới đạo hàm song song. Kỹ thuật này cho phép xử lý các bài toán lớn và phức tạp một cách hiệu quả hơn. Đây là một trong những đóng góp quan trọng của luận án.

3.3. Ứng Dụng và Đánh Giá Hiệu Quả của Phương Pháp Chiếu Mở Rộng

Thuật toán chiếu đạo hàm tăng cường song song được áp dụng vào việc tính toán trên một số ví dụ minh họa. Kết quả tính toán so sánh với các thuật toán khác cho thấy thuật toán được đề xuất ở đây hiệu quả với lớp mô hình nhất định. Điều này chứng minh tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp chiếu mở rộng.

IV. Phương Pháp Dưới Đạo Hàm Quán Tính Giải Quyết Bài Toán FEP Ω f

Luận án trình bày hai thuật toán lặp mới giải bài toán FEP(Ω, f ) trên tập ràng buộc là giao của các tập điểm bất động của ánh xạ nửa co trong không gian Hilbert H. Thuật toán thứ nhất kết hợp phương pháp hướng giảm lai ghép, kỹ thuật dưới đạo hàm với giả thiết song hàm f là đơn điệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz. Thuật toán thứ hai là sự kết hợp giữa kỹ thuật ngoại suy quán tính, phép chiếu song song và nguyên lý bài toán phụ giải bài toán cân bằng. Sự hội tụ mạnh của các dãy lặp sinh bởi thuật toán được chứng minh dưới các giả thiết tiêu chuẩn của song hàm f và bộ tham số điều chỉnh được lựa chọn phù hợp.

4.1. Thuật Toán Kết Hợp Hướng Giảm Lai Ghép và Kỹ Thuật Dưới Đạo Hàm

Thuật toán thứ nhất là sự kết hợp của phương pháp hướng giảm lai ghép, kỹ thuật dưới đạo hàm với giả thiết song hàm f là đơn điệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz. Kỹ thuật này cho phép giải quyết bài toán một cách hiệu quả, đặc biệt trong các trường hợp mà các phương pháp truyền thống gặp khó khăn. Giúp tiếp cận các bài toán tối ưu phi lồi hiệu quả hơn.

4.2. Thuật Toán Sử Dụng Ngoại Suy Quán Tính và Phép Chiếu Song Song

Thuật toán thứ hai là sự kết hợp giữa kỹ thuật ngoại suy quán tính, phép chiếu song song và nguyên lý bài toán phụ giải bài toán cân bằng. Kỹ thuật này cho phép xử lý các bài toán lớn và phức tạp một cách hiệu quả hơn. Với sự kết hợp này giúp cho thuật toán mạnh mẽ hơn trong nhiều tình huống.

4.3. Chứng Minh Sự Hội Tụ Mạnh của Thuật Toán

Sự hội tụ mạnh của các dãy lặp sinh bởi thuật toán được chứng minh dưới các giả thiết tiêu chuẩn của song hàm f và bộ tham số điều chỉnh được lựa chọn phù hợp. Điều này chứng minh tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp chiếu mở rộng. Giúp thuật toán có thể tin cậy trong việc giải quyết bài toán cân bằng.

V. Ứng Dụng Thực Tiễn và Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo

Luận án không chỉ tập trung vào lý thuyết mà còn chú trọng đến ứng dụng thực tiễn. Các thuật toán được đề xuất được minh họa bằng các ví dụ cụ thể trong không gian vô hạn và hữu hạn chiều. Các kết quả tính toán được so sánh với các thuật toán đã có của các tác giả khác. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, mở ra nhiều cơ hội để phát triển thêm các phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động.

5.1. Minh Họa Thuật Toán Bằng Các Ví Dụ Cụ Thể

Luận án thực hiện các tính toán số trong không gian vô hạn, hữu hạn chiều để minh họa cho các bước tính toán trong các thuật toán và sự hội tụ của các dãy lặp sinh bởi thuật toán. Điều này giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động của các thuật toán và khả năng ứng dụng của chúng.

5.2. So Sánh Với Các Thuật Toán Đã Có

Các kết quả tính toán được so sánh với các thuật toán của các tác giả khác đã được công bố. Điều này cho phép đánh giá khách quan hiệu quả của các thuật toán được đề xuất trong luận án. Bên cạnh đó, việc so sánh cũng giúp làm rõ những ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp.

5.3. Đề Xuất Các Hướng Nghiên Cứu Mở Rộng

Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, mở ra nhiều cơ hội để phát triển thêm các phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Đây là một đóng góp quan trọng, khuyến khích các nhà nghiên cứu tiếp tục khám phá và phát triển lĩnh vực này. Hơn nữa, những hướng nghiên cứu được đề xuất có tính thực tiễn cao và có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

VI. Kết Luận Đóng Góp Quan Trọng Về Giải Bài Toán Cân Bằng

Luận án đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển các phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Các thuật toán mới được đề xuất có tính ứng dụng cao và yêu cầu ít giả thiết hơn so với các thuật toán hiện tại. Các kết quả tính toán đã chứng minh tính hiệu quả của các phương pháp này. Luận án là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các nhà nghiên cứu và các chuyên gia trong lĩnh vực tối ưu hóa và toán học ứng dụng.

6.1. Các Kết Quả Chính Đạt Được

Luận án đã đạt được các kết quả sau: (i) Đề xuất hai thuật toán mới giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động trong không gian Hilbert thực H với giả thiết song hàm f là đơn điệu mạnh và có tập dưới vi phân xấp xỉ là liên tục Lipschitz trên tập C. (ii) Đề xuất hai thuật toán lặp mới giải bài toán cân bằng trên tập ràng buộc là giao của các tập điểm bất động của ánh xạ nửa co trong không gian Hilbert. (iii) Thực hiện các tính toán số trong không gian vô hạn, hữu hạn chiều để minh họa cho các bước tính toán trong các thuật toán và sự hội tụ của các dãy lặp sinh bởi thuật toán. So sánh thuật toán đề xuất với một số thuật toán của các tác giả khác đã được công bố.

6.2. Ý Nghĩa Khoa Học và Thực Tiễn

Luận án có ý nghĩa khoa học và thực tiễn quan trọng. Về mặt khoa học, luận án đã đóng góp vào việc phát triển lý thuyết về bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động. Về mặt thực tiễn, các thuật toán được đề xuất có thể được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như kinh tế, kỹ thuật và khoa học máy tính.

6.3. Giá Trị Tham Khảo Cho Nghiên Cứu Sinh và Chuyên Gia

Luận án là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các nghiên cứu sinh và các chuyên gia trong lĩnh vực tối ưu hóa và toán học ứng dụng. Luận án cung cấp một cái nhìn tổng quan về các phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động và đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo.