I. Tổng Quan Về Bài Toán Cân Bằng Hai Cấp Khái Niệm Ứng Dụng
Cân bằng là trạng thái mà mọi vật hướng tới để đạt sự tồn tại bền vững. Trong toán học, mô hình cân bằng phát triển từ bài toán bất đẳng thức biến phân và lý thuyết tối ưu nhiều chủ thể, mỗi chủ thể có mục tiêu khác nhau. Điểm cân bằng Nash được chấp nhận rộng rãi, giúp phân tích các tình huống cạnh tranh và giải quyết mâu thuẫn quyền lợi. Mô hình bài toán cân bằng (EP) tìm x* ∈ C sao cho f(x*, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. EP là mô hình tổng quát cho nhiều lớp bài toán quan trọng như bài toán tối ưu (OP), bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (MVI), bài toán tối ưu véc tơ, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash. EP có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng lớn. Cân bằng kinh tế Nash-Cournot là ứng dụng nổi bật, được J. Nash đưa ra và đoạt giải Nobel kinh tế năm 1994.
1.1. Lịch sử phát triển của bài toán cân bằng
Bài toán cân bằng (EP) được giới thiệu lần đầu bởi H. Isoda năm 1955. Ky Fan tiếp tục nghiên cứu vào năm 1972. Tuy nhiên, phải đến những năm 1990, khi các kết quả nghiên cứu của L. Oettli và E. Oettli được công bố, bài toán này mới thực sự thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Các tác giả đã chỉ ra rằng, bài toán EP chính là một mô hình tổng quát cho nhiều lớp bài toán quan trọng, mở ra nhiều hướng nghiên cứu và ứng dụng tiềm năng. Ứng dụng nổi bật là cân bằng kinh tế Nash-Cournot.
1.2. Ứng dụng bài toán cân bằng trong các lĩnh vực khác nhau
Bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, sinh học và vật lý. Ví dụ, trong kinh tế, nó có thể được sử dụng để mô hình hóa cạnh tranh giữa các công ty hoặc để thiết kế các cơ chế phân bổ tài nguyên hiệu quả. Trong kỹ thuật, nó có thể được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển hoặc để tối ưu hóa hiệu suất của các mạng lưới. Trong sinh học, nó có thể được sử dụng để mô hình hóa tương tác giữa các loài trong một hệ sinh thái. Trong vật lý, nó có thể được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống cơ học ở trạng thái cân bằng.
1.3. Bài toán cân bằng hai cấp BEP và sự quan tâm của các nhà nghiên cứu
Gần đây, bài toán cân bằng hai cấp (BEP) nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. BEP được phát biểu như sau: Tìm x̄ ∈ Sol(C, g) sao cho f(x̄, y) ≥ 0, ∀y ∈ Sol(C, g). BEP là một bài toán cân bằng với tập ràng buộc là tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác và là một dạng của bài toán hai cấp. Bài toán này được đề cập lần đầu tiên bởi O. Chadli và các cộng sự vào năm 2000 và được xem là tổng quát hóa của nhiều lớp bài toán hai cấp trước đó.
II. Thách Thức Khi Giải Bài Toán Cân Bằng Hai Cấp Điểm Nghẽn Cần Vượt Qua
Nghiên cứu các thuật giải hữu hiệu giải bài toán cân bằng hai cấp rất được quan tâm, nhưng tập ràng buộc không được cho dưới dạng hiển. Các thuật toán giải bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng thường không được áp dụng trực tiếp. Thuật toán điểm gần kề, nguyên lý bài toán phụ và thuật toán đạo hàm tăng cường là các thuật toán hữu hiệu. Tuy nhiên, các thuật toán này đều có những hạn chế nhất định, đòi hỏi điều kiện mạnh và giải quyết các bài toán phụ phức tạp.
2.1. Khó khăn trong việc xác định tập nghiệm ràng buộc của bài toán con
Một trong những khó khăn lớn nhất khi giải bài toán cân bằng hai cấp là tập nghiệm ràng buộc (Sol(C, g)) không được cho dưới dạng hiển. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể dễ dàng kiểm tra xem một điểm có thỏa mãn ràng buộc hay không, mà phải giải một bài toán cân bằng khác để xác định. Việc giải bài toán này có thể rất tốn kém về mặt tính toán, đặc biệt là khi bài toán con này phức tạp.
2.2. Yêu cầu về điều kiện mạnh trên song hàm để đảm bảo sự hội tụ
Sự hội tụ của các dãy lặp trong các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp thường đòi hỏi các giả thiết khá mạnh trên các song hàm như giả thiết đơn điệu mạnh và liên tục kiểu Lipschitz. Những điều kiện này có thể không được đáp ứng trong nhiều ứng dụng thực tế, làm hạn chế khả năng áp dụng của các thuật toán hiện có. Việc tìm ra các thuật toán hội tụ dưới các điều kiện yếu hơn là một thách thức quan trọng.
2.3. Giới hạn trong nghiên cứu về thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp
Bài toán cân bằng hai cấp là một dạng bài toán cân bằng với miền ràng buộc là tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác. Vì vậy, bài toán cân bằng hai cấp là một bài toán hai cấp khó giải và thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp được nghiên cứu khá hạn chế so với các mô hình toán học khác.
III. Phương Pháp Chiếu Mở Rộng Giải Pháp Hiệu Quả Cho Bài Toán Hai Cấp BEP
Phương pháp chiếu mở rộng là một hướng tiếp cận tiềm năng để giải quyết các khó khăn trong giải bài toán cân bằng hai cấp. Phương pháp này sử dụng phép chiếu để tìm nghiệm của bài toán, kết hợp với các kỹ thuật mở rộng để cải thiện hiệu quả và độ chính xác. Luận án tập trung vào nghiên cứu mở rộng thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ và đạt được kết quả trong chương 2 và chương 3.
3.1. Ưu điểm của thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ
Ưu điểm của thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ là thuật toán chỉ tính một phép chiếu và tính toán dưới đạo hàm xấp xỉ tại mỗi bước lặp, giúp giảm độ phức tạp tính toán so với các phương pháp khác. Thuật toán được viết dưới dạng đơn giản, dễ cài đặt và áp dụng cho nhiều bài toán thực tế.
3.2. Mở rộng thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ cho BEP
Luận án nghiên cứu mở rộng thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ giải bài toán cân bằng hai cấp. Thuật toán và phân tích sự hội tụ của nó được trình bày chi tiết trong chương 2 và chương 3. Nghiên cứu này có ý nghĩa trong việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn cho lớp bài toán này.
3.3. Kỹ thuật quán tính trong phương pháp chiếu mở rộng
Kỹ thuật quán tính là một kỹ thuật quan trọng trong phương pháp chiếu mở rộng. Kỹ thuật này sử dụng thông tin từ các bước lặp trước để cải thiện tốc độ hội tụ của thuật toán. Trong luận án, kỹ thuật quán tính được kết hợp với thuật toán chiếu tổng quát để giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động giao với tập nghiệm của bài toán cân bằng khác.
IV. Thuật Toán Đạo Hàm Tăng Cường Giải Pháp Mới Cho Bài Toán Cân Bằng
Tiếp cận thứ ba, nguyên lý bài toán phụ được G. Cohen giới thiệu cho bài toán tối ưu và mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân. Mastroeni đã mở rộng nguyên lý bài toán phụ cho bài toán cân bằng EP (C, f). T. Quốc và cộng sự đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường. Thuật toán đạo hàm tăng cường được tiếp tục mở rộng trong một số kết quả gần đây. Luận án nghiên cứu thuật toán đạo hàm tăng cường mở rộng cho bài toán cân bằng hai cấp.
4.1. Ưu điểm của thuật toán đạo hàm tăng cường
Dãy lặp {xk } xác định bởi thuật toán đạo hàm tăng cường hội tụ trong không gian hữu hạn chiều dưới giả thiết song hàm f giả đơn điệu và liên tục kiểu Lipschitz. Giả thiết này yếu hơn so với giả thiết đơn điệu mạnh, giúp mở rộng phạm vi ứng dụng của thuật toán.
4.2. Nghiên cứu mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường cho BEP
Luận án nghiên cứu thuật toán đạo hàm tăng cường mở rộng cho bài toán cân bằng hai cấp và đạt được kết quả trong chương 3. Thuật toán này được đánh giá là một hướng tiếp cận đầy hứa hẹn để giải quyết các bài toán phức tạp.
4.3. Ứng dụng cho mô hình cân bằng kinh tế Nash Cournot
Các thuật toán được đề xuất được áp dụng cho mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot. Việc này cho thấy tính ứng dụng thực tế của các kết quả nghiên cứu và khả năng giải quyết các bài toán kinh tế phức tạp.
V. Phân Tích DC Tiếp Cận Mới Giải Bài Toán Cân Bằng Trên Tập Nghiệm
Tiếp cận DC giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine được nghiên cứu và đề xuất một thuật toán nguyên lý bài toán phụ DC dạng hiển mới. Tại mỗi bước lặp chỉ đòi hỏi giải một bài toán lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương. Thuật toán được tính toán một cách hữu hiệu với các ví dụ số thực hiện trên phần mềm MATLAB.
5.1. Ưu điểm của thuật toán nguyên lý bài toán phụ DC
Tại mỗi bước lặp, thuật toán nguyên lý bài toán phụ DC chỉ đòi hỏi giải một bài toán lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương. Điều này giúp giảm đáng kể độ phức tạp tính toán so với các phương pháp khác, đặc biệt là khi giải các bài toán lớn.
5.2. Tính hiệu quả của thuật toán trong các ví dụ số thực
Thuật toán được tính toán một cách hữu hiệu với các ví dụ số thực hiện trên phần mềm MATLAB. Kết quả này chứng minh tính khả thi và hiệu quả của thuật toán trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
5.3. Khả năng áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân affine
Thuật toán được thiết kế đặc biệt để giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine. Điều này mở ra một hướng tiếp cận mới cho lớp bài toán này và có thể dẫn đến những kết quả tốt hơn so với các phương pháp truyền thống.
VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Tiềm Năng Của Bài Toán Cân Bằng Hai Cấp
Luận án nghiên cứu mở rộng thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ giải bài toán cân bằng hai cấp. Đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp. Sử dụng kỹ thuật phân tích DC, đề xuất thuật toán mới giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine. Thực hiện các tính toán số minh họa và ứng dụng cho mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot.
6.1. Tổng kết những đóng góp mới của luận án
Luận án đã đề xuất hai thuật toán kiểu chiếu mới, thuật toán đạo hàm tăng cường và thuật toán dựa trên kỹ thuật phân tích DC. Các thuật toán này được chứng minh là hội tụ và có tính ứng dụng cao trong việc giải quyết bài toán cân bằng hai cấp.
6.2. Các hướng nghiên cứu tiếp theo cho bài toán cân bằng
Có nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng cho bài toán cân bằng trong tương lai. Một trong số đó là nghiên cứu các thuật toán hiệu quả hơn để giải các bài toán lớn. Một hướng khác là nghiên cứu các ứng dụng mới của bài toán cân bằng trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật và khoa học máy tính.
6.3. Tầm quan trọng của việc nghiên cứu BEP trong bối cảnh hiện nay
Việc nghiên cứu bài toán cân bằng hai cấp ngày càng trở nên quan trọng trong bối cảnh hiện nay, khi các bài toán tối ưu và ra quyết định ngày càng trở nên phức tạp và liên quan đến nhiều yếu tố và chủ thể khác nhau. Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này có thể đóng góp quan trọng vào việc giải quyết các vấn đề thực tế và nâng cao hiệu quả hoạt động của các hệ thống kinh tế và kỹ thuật.
