Tổng quan luận án
Mô hình cân bằng là một hướng phát triển tiếp theo của bài toán bất đẳng thức biến phân và lý thuyết tối ưu đa mục tiêu, phục vụ phân tích các tình huống cạnh tranh và giải quyết xung đột lợi ích giữa nhiều chủ thể. Bài toán cân bằng tổng quát $EP(C, f)$ do H. Isoda giới thiệu năm 1955 và Ky Fan phát triển năm 1972 (dưới tên gọi bất đẳng thức Ky Fan) đã trở thành khuôn khổ bao quát cho bài toán tối ưu $OP(C, h)$, bài toán bù $CP(C, F)$, bài toán bất đẳng thức biến phân $VI(C, F)$, bài toán điểm yên ngựa và cân bằng Nash. Khi mở rộng sang cấu trúc hai cấp, bài toán cân bằng hai cấp $BEP(C, g, f)$ xuất hiện như một mô hình cân bằng mà miền ràng buộc là tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác: $$\text{Tìm } \bar{x} \in \text{Sol}(C, g) \text{ sao cho } f(\bar{x}, y) \ge 0, \quad \forall y \in \text{Sol}(C, g)$$ trong đó $C$ là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực $H$, $g: C \times C \to \mathbb{R}$ và $f: H \times H \to \mathbb{R}$ là các song hàm thỏa mãn điều kiện cân bằng $g(x, x) = f(x, x) = 0, \forall x \in C$, còn $\text{Sol}(C, g) = {x^* \in C : g(x^*, y) \ge 0, \forall y \in C}$.
Tính cấp thiết của đề tài xuất phát từ việc giải bài toán cân bằng hai cấp gặp phải bốn khó khăn kỹ thuật then chốt:
- Vấn đề nghiệm chính xác của bài toán phụ: Các thuật toán lặp hiện có thường đòi hỏi giải chính xác nghiệm của các bài toán cân bằng phụ hoặc bài toán bất đẳng thức biến phân phụ tại mỗi bước lặp, gây tốn kém chi phí tính toán.
- Độ chặt của giả thiết hội tụ: Sự hội tụ của các dãy lặp đòi hỏi các giả thiết ngặt nghèo trên các song hàm, điển hình là tính đơn điệu mạnh và tính liên tục kiểu Lipschitz.
- Tập ràng buộc không tường minh: Miền ràng buộc $\text{Sol}(C, g)$ là tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác, không được cho dưới dạng tường minh, khiến các thuật toán tối ưu và cân bằng thông thường không thể áp dụng trực tiếp.
- Phương pháp chiếu cho cấu trúc hai cấp: Phương pháp chiếu là công cụ hữu hiệu trong bài toán biến phân và cân bằng đơn cấp, nhưng việc mở rộng kỹ thuật chiếu cho cấu trúc hai cấp vẫn còn nhiều khoảng trống cần hoàn thiện về mặt tính toán số.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm 4 nội dung cụ thể:
- Nghiên cứu đề xuất thuật toán chiếu dưới đạo hàm và thuật toán chiếu tổng quát kết hợp với kỹ thuật quán tính cho bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu.
- Nghiên cứu mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường cho bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp.
- Kết hợp phương pháp chiếu tổng quát và kỹ thuật phân tích DC để đề xuất thuật toán mới giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine.
- Triển khai các tính toán số minh họa cho các thuật toán đề xuất, so sánh với các thuật toán đã có và ứng dụng cho mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot.
Đối tượng nghiên cứu là lớp các bài toán cân bằng hai cấp trong không gian Hilbert thực:
- Bài toán cân bằng với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân;
- Bài toán cân bằng với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán cân bằng khác;
- Bài toán cân bằng với ràng buộc là giao của tập điểm bất động và tập nghiệm của bài toán cân bằng;
- Bài toán cân bằng hai cấp hỗn hợp ($BMEP$);
- Mô hình ứng dụng thực tế: Cân bằng kinh tế Nash-Cournot và bài toán điều khiển công suất mạng CDMA.
Phạm vi nghiên cứu tập trung vào việc đề xuất thuật toán lặp mới, cải tiến phương pháp xấp xỉ nghiệm qua việc mở rộng phương pháp chiếu, phương pháp đạo hàm tăng cường, nguyên lý bài toán phụ kết hợp kỹ thuật DC; thiết lập chứng minh sự hội tụ mạnh/yếu của dãy lặp và phân tích sai số tính toán trong không gian Hilbert thực.
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Lịch sử nghiên cứu bài toán cân bằng ghi nhận mốc khởi đầu từ công trình của H. Isoda (1955), bất đẳng thức Ky Fan (1972) và các công trình nền tảng của L. Blum - W. Oettli (1992, 1994). Mô hình cân bằng hai cấp $BEP(C, g, f)$ được O. Chadli và các cộng sự giới thiệu lần đầu tiên vào năm 2000, tổng quát hóa bài toán tối ưu hai cấp, bất đẳng thức biến phân hai cấp và cân bằng trên tập điểm bất động.
Các hướng nghiên cứu trước được luận án tổng thuật chia thành hai nhánh chính:
- Hướng nghiên cứu sự tồn tại và tính chất tập nghiệm: Tiêu biểu là các công trình của S. Dempe, V. Kalashnikov, N. Kalashnykova (2000, 2005, 2012).
- Hướng nghiên cứu thuật toán giải và tính toán số:
- Thuật toán điểm gần kề (PPA): Khởi xướng bởi B. Martinet (1970), mở rộng bởi R. T. Rockafellar (1976) và I. V. Konnov (2003). Năm 2010, A. Moudafi đề xuất thuật toán điểm gần kề kết hợp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp. Tuy nhiên, thuật toán của Moudafi đòi hỏi giải chính xác bài toán cân bằng phụ tại mỗi bước và cần điều kiện $|x_{k+1} - x_k| < o(\epsilon_k)$ để đảm bảo hội tụ yếu. Năm 2015, Z. Chbani và cộng sự đề xuất thuật toán D-PPA sử dụng khoảng cách Bregman tổng quát.
- Nguyên lý bài toán phụ: G. Cohen giới thiệu cho bài toán tối ưu (1980) và bất đẳng thức biến phân (1988), sau đó G. Mastroeni (2003) mở rộng cho bài toán cân bằng $EP(C, f)$. Hạn chế là đòi hỏi song hàm đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz.
- Thuật toán đạo hàm tăng cường (Extragradient): T. D. Quoc và cộng sự (2008, 2012) phát triển cho bài toán cân bằng dưới giả thiết giả đơn điệu và liên tục Lipschitz trong không gian hữu hạn chiều.
- Phương pháp chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ: P. Santos và cộng sự (2011) áp dụng cho bài toán cân bằng $EP(C, f)$, chỉ yêu cầu tính toán một phép chiếu và một dưới vi phân xấp xỉ tại mỗi bước lặp.
- Thuật toán tiến-lùi tách ($PFBSA$): H. Riahi và cộng sự (2018) đề xuất giải $BEP(C, g, f)$ dưới giả thiết giả đơn điệu và điều kiện bức.
- Kỹ thuật quán tính (Inertial technique): Được đưa vào thuật toán tối ưu và biến phân (F. Alvarez, H. Attouch, A. Beck, M. Teboulle) để tăng tốc độ hội tụ bằng cách kết hợp thông tin của hai bước lặp liền trước.
Khoảng trống nghiên cứu được luận án lựa chọn giải quyết là: Xây dựng các thuật toán chiếu mở rộng, kết hợp dưới vi phân xấp xỉ, kỹ thuật quán tính, đạo hàm tăng cường và phân tích DC nhằm loại bỏ yêu cầu giải chính xác bài toán phụ phức tạp, giảm nhẹ các điều kiện đơn điệu, đồng thời thiết lập sự hội tụ mạnh của dãy lặp trong không gian Hilbert.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lý thuyết và các khái niệm sử dụng
Luận án vận dụng hệ thống giải tích lồi, giải tích phi tuyến và giải tích đa trị trong không gian Hilbert thực $H$:
- Không gian Hilbert thực $H$: Tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle$, chuẩn $| \cdot |$, khái niệm hội tụ mạnh $x_k \to \hat{x}$ ($\lim |x_k - \hat{x}| = 0$) và hội tụ yếu $x_k \rightharpoonup \hat{x}$ ($\lim \langle y, x_k \rangle = \langle y, \hat{x} \rangle, \forall y \in H$).
- Hình học tập lồi và nón pháp tuyến: Tập lồi $C$, nón pháp tuyến ngoài tại $x^* \in C$: $$N_C(x^) = {\omega \in H : \langle \omega, y - x^ \rangle \le 0, \forall y \in C}$$
- Tính chất lồi của hàm số: Khái niệm hàm lồi mạnh (hệ số $\beta > 0$), lồi chặt, lồi, tựa lồi; miền hữu hiệu $\text{dom} f$, tập trên đồ thị $\text{epi} f$, tập mức dưới $L_\alpha(f) = {x \in C : f(x) \le \alpha}$.
- Dưới vi phân và dưới vi phân xấp xỉ:
- Dưới vi phân của $f$ tại $x_0$: $\partial f(x_0) = {w \in H : \langle w, x - x_0 \rangle + f(x_0) \le f(x), \forall x \in H}$.
- Dưới vi phân xấp xỉ ($\epsilon > 0$): $\partial^\epsilon f(x_0) = {w \in H : \langle w, x - x_0 \rangle + f(x_0) \le f(x) + \epsilon, \forall x \in H}$.
- Ký hiệu $\partial_2^\epsilon f(x, x)$ là dưới vi phân xấp xỉ của hàm $f(x, \cdot)$ tại điểm $x$.
- Phép chiếu trực giao: Ánh xạ $P r_C(x) = \text{argmin}{|t - x| : t \in C}$.
- Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập $A, B \subset H$: $$d_H(A, B) = \max \left{ \sup_{x \in A} \inf_{y \in B} |x - y|, \sup_{y \in B} \inf_{x \in A} |x - y| \right}$$
- Phân loại tính đơn điệu của song hàm $f: C \times C \to \mathbb{R}$:
- Đơn điệu mạnh (hệ số $\alpha > 0$): $f(x, y) + f(y, x) \le -\alpha |x - y|^2$;
- Đơn điệu: $f(x, y) + f(y, x) \le 0$;
- Giả đơn điệu mạnh (hệ số $\beta > 0$): $f(x, y) \ge 0 \Rightarrow f(y, x) \le -\beta |x - y|^2$;
- Giả đơn điệu: $f(x, y) \ge 0 \Rightarrow f(y, x) \le 0$;
- Para-đơn điệu trên $S \subset C$: $f$ đơn điệu trên $C$ và ${x \in S, y \in C, f(y, x) = f(x, y) = 0} \Rightarrow y \in S$;
- Liên tục kiểu Lipschitz với hằng số $c_1, c_2 > 0$: $f(x, y) + f(y, z) \ge f(x, z) - c_1 |x - y|^2 - c_2 |y - z|^2$.
- Toán tử và song hàm bổ trợ: Khái niệm ánh xạ $\delta$-dương mạnh ($\langle T(x), x \rangle \ge \delta |x|^2$), song hàm đối xứng lệch (skew-symmetric: $\varphi(u, u) - \varphi(u, v) - \varphi(v, u) + \varphi(v, v) \ge 0$).
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp giải tích: Sử dụng bổ đề kỹ thuật Maingé (2008) cho các dãy số thực không đơn điệu, các bất đẳng thức giải tích lồi và tính nửa đóng của toán tử không giãn/giả co.
- Phương pháp chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ: Thay thế việc giải bài toán phụ bằng việc lấy một vector dưới đạo hàm xấp xỉ và thực hiện một phép chiếu trực giao lên tập lồi $C$.
- Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng: Sử dụng hai bước dự báo - hiệu chỉnh cho bài toán cân bằng trên nghiệm cân bằng hỗn hợp.
- Nguyên lý bài toán phụ kết hợp phân tích DC: Tách bài toán phi tuyến phức tạp thành hiệu hai hàm lồi, đưa về việc giải một bài toán lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương dạng hiển tại mỗi bước lặp.
- Phương pháp thực nghiệm số: Lập trình thuật toán trên phần mềm MATLAB, đánh giá thời gian chạy CPU (CPU-times/s), số bước lặp (Dim./Iterations) và độ lệch sai số.
Nội dung chính theo từng chương
Chương 1. Bài toán cân bằng hai cấp
Chương 1 hệ thống hóa cơ sở lý thuyết về giải tích lồi, phép chiếu và các bài toán liên quan. Tác giả chỉ ra $BEP(C, g, f)$ là mô hình tổng quát bao hàm:
- Bài toán cân bằng $EP(C, g)$ (khi chọn $f \equiv 0$);
- Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp $BVI(C, G, F)$ (khi chọn $g(x, y) = \langle G(x), y - x \rangle$ và $f(x, y) = \langle F(x), y - x \rangle$);
- Bài toán cân bằng trên tập nghiệm bất đẳng thức biến phân;
- Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng;
- Bài toán cân bằng hai cấp hỗn hợp $BMEP$: $$\text{Tìm } \bar{x} \in S_{g, \varphi} \text{ sao cho } f(\bar{x}, y) + \psi(y, \bar{x}) - \psi(\bar{x}, \bar{x}) \ge 0, \quad \forall y \in S_{g, \varphi}$$ với $S_{g, \varphi} = {x^* \in C : g(x^, y) + \varphi(y, x^) - \varphi(x^, x^) \ge 0, \forall y \in C}$.
Chương 1 thiết lập các điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm:
- Định lý 1.2 khẳng định $BEP(C, g, f)$ có nghiệm duy nhất khi $\text{Sol}(C, g) \neq \emptyset$, $f$ giả đơn điệu mạnh, $f(\cdot, y)$ bán liên tục trên và $f(x, \cdot)$ lồi, nửa liên tục dưới, khả dưới vi phân.
- Định lý 1.2 (cho $BMEP$) chứng minh khi $g, f$ thỏa mãn tính đơn điệu mạnh/đơn điệu mạnh ngược, $T$ là toán tử $\delta$-dương mạnh, $\psi, \varphi$ đối xứng lệch và điều kiện $\max{\frac{|T|}{\delta + \rho \beta}, \frac{|T|}{\delta + \rho \alpha}} < 1$ thỏa mãn thì tập nghiệm $BMEP$ là tập lồi, compact, khác rỗng.
Đồng thời, chương này tổng kết ba thuật toán tiêu biểu: Thuật toán điểm gần kề Moudafi (2010), Thuật toán D-PPA của Chbani (2015), và Thuật toán tiến-lùi tách PFBSA của Riahi (2018).
MÔ HÌNH TỔNG QUÁT: BEP(C, g, f)
f(x, y) ≡ 0 g, f dạng affine g dạng biến phân
EP(C, g) BVI(C, G, F) BEP trên VI
(Bài toán cân bằng) (Bất đẳng thức biến phân hai cấp)
Chương 2. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm
Chương 2 tập trung xây dựng và chứng minh sự hội tụ của Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ giải bài toán cân bằng hai cấp $BEP(C, g, f)$.
1. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ (Thuật toán 2.1)
Các giả thiết áp dụng cho thuật toán:
- $(A_1)$: Với mỗi $x \in C$, $g(x, \cdot)$ khả dưới vi phân trên $C$; $g(x, \cdot)$ và $f(x, \cdot)$ lồi, nửa liên tục dưới trên $H$. Nếu ${x_k}$ bị chặn và $\epsilon_k \searrow 0$ thì ${w_k}$ với $w_k \in \partial_2^{\epsilon_k} g(x_k, x_k)$ bị chặn.
- $(A_2)$: $g$ giả đơn điệu trên $C$ và thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu trên $\text{Sol}(C, g)$.
- $(A_3)$: Với mỗi $y \in C$, $g(\cdot, y)$ nửa liên tục trên yếu trên $C$.
- $(A_5)$: $f$ là $\beta$-đơn điệu mạnh trên $H$; với mỗi $\epsilon \ge 0$, $\partial_2^\epsilon f(x, x)$ compact và liên tục Lipschitz với hằng số $L > 0$ sao cho $\beta \le L$.
Cấu trúc bước lặp của Thuật toán 2.1:
- Khởi tạo: $x_0 \in C$, $\epsilon > 0$, các dãy số thực không âm ${\epsilon_k}, {\beta_k}, {\xi_k}, {\eta_k}, {\rho_k}, {\tau_k}$.
- Bước 1: Chọn $g^k \in \partial_2^{\epsilon_k} g(x_k, x_k)$, tính $\gamma_k = \max{\rho_k, |g^k|}$, $\alpha_k = \frac{\beta_k}{\gamma_k}$.
- Bước 2: Tính $y^k = P r_C^{\xi_k}(x_k - \alpha_k g^k)$.
- Bước 3: Chọn $u_k \in \partial_2^{\tau_k} f(y^k, y^k)$ và tính: $$x_{k+1} = P r_C(y^k - \eta_k u_k)$$
- Tiêu chuẩn dừng: Nếu $|x_{k+1} - x_k| < \epsilon$ thì dừng; ngược lại gán $k := k + 1$ và lặp lại.
2. Định lý hội tụ và các khẳng định then chốt
Điều kiện ràng buộc trên các dãy tham số (2.4): $$\sum_{k=0}^\infty \eta_k = \infty, \quad \sum_{k=0}^\infty \eta_k^2 < \infty, \quad \tau_k \le \eta_k, \quad \sum_{k=0}^\infty \tau_k < \infty, \quad \lim_{k \to \infty} \frac{\delta_k}{\eta_k} = 0, \quad \sum_{k=0}^\infty \beta_k = \infty, \quad \sum_{k=0}^\infty \beta_k^2 < \infty$$ với $\delta_k = 2(\alpha_k \epsilon_k + \beta_k^2 + \xi_k)$.
Định lý 2.1 khẳng định các dãy ${x_k}$ và ${y^k}$ sinh ra bởi Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất $x^*$ của bài toán $BEP(C, g, f)$. Quá trình chứng minh dựa trên ba khẳng định chính:
- Khẳng định 2.1: Dãy ${x_k}, {y^k}, {u_k}$ bị chặn và: $$|x_{k+1} - x^|^2 \le (1 - \tau \eta_k)|x_k - x^|^2 + 2\alpha_k(1 - \tau \eta_k)g(x_k, x^) + \delta_k + \frac{\eta_k(2 + |w_k^|)^2}{\tau}$$ đồng thời $\lim_{k \to \infty} |x_k - y^k| = \lim_{k \to \infty} |x_{k+1} - x_k| = 0$.
- Khẳng định 2.2: Thiết lập bất đẳng thức sai phân: $$a_{k+1} \le a_k - 2\eta_k f(x^, y^k) + \eta_k^2 |u_k|^2 + 2\eta_k \tau_k$$ với $a_k = |x_k - x^|^2 - 2\sum_{j=0}^{k-1} \alpha_j (1 - 2\eta_j \beta) g(x_j, x^*) - \sum_{j=0}^{k-1} \delta_j (1 - 2\eta_j \beta)$.
- Khẳng định 2.3: Chứng minh ${x_k}$ và ${y^k}$ hội tụ theo chuẩn về $x^*$ qua hai trường hợp: dãy ${a_k}$ giảm từ chỉ số $k_0$, hoặc tồn tại dãy con không giảm áp dụng kỹ thuật dãy chỉ số $\tau(k)$ của Maingé.
3. Mở rộng tăng cường quán tính và ứng dụng
Chương 2 mở rộng thuật toán chiếu tổng quát kết hợp kỹ thuật quán tính (kết hợp $x_k$ và $x_{k-1}$) để giải bài toán cân bằng trên giao của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động $\text{Sol}(C, g) \cap \text{Fix}(T)$, với $T$ là ánh xạ không giãn hoặc giả co.
Chương 3. Phương pháp đạo hàm tăng cường
Chương 3 mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường (Extragradient) để giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp:
- Xây dựng thuật toán hai bước tính toán dạng đạo hàm tăng cường cải tiến, tránh việc giải bài toán phụ lặp phức tạp.
- Chứng minh định lý hội tụ của thuật toán dưới giả thiết song hàm mục tiêu cấp dưới giả đơn điệu và liên tục kiểu Lipschitz trên tập ràng buộc.
- Ứng dụng giải quyết mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot: Mô hình gồm nhiều công ty sản xuất cùng một loại sản phẩm cạnh tranh trên thị trường, trong đó mỗi điểm cân bằng Nash biểu diễn trạng thái tối đa hóa lợi nhuận của các doanh nghiệp, còn bài toán cấp trên đóng vai trò là hàm điều tiết kinh tế vĩ mô của nhà nước.
Chương 4. Nguyên lý bài toán phụ DC
Chương 4 nghiên cứu giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine: $$\text{Tìm } \bar{x} \in \text{Sol}(C, F) \text{ sao cho } f(\bar{x}, y) \ge 0, \quad \forall y \in \text{Sol}(C, F)$$ với $F(x) = Qx + q$, $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ là ma trận nửa xác định dương và $q \in \mathbb{R}^n$.
Nội dung chính của chương bao gồm:
- Nguyên lý bài toán phụ DC: Sử dụng kỹ thuật phân tích hàm mục tiêu và ràng buộc thành hiệu hai hàm lồi ($DC$ - Difference of Convex functions), kết hợp phương pháp chiếu tổng quát.
- Cấu trúc thuật toán dạng hiển: Tại mỗi bước lặp, thuật toán không đòi hỏi giải bài toán cân bằng phi tuyến mà chỉ yêu cầu giải đúng một bài toán lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương (Quadratic Programming).
- Định lý hội tụ và đánh giá sai số: Chứng minh dãy lặp hội tụ về nghiệm của bài toán và thiết lập tốc độ hội tụ/đánh giá sai số qua khoảng cách tới tập nghiệm $\text{Sol}(C, F)$.
- Thực nghiệm số: Lập trình trên phần mềm MATLAB, chạy thử nghiệm trên các bài toán kiểm tra ngẫu nhiên với số chiều không gian khác nhau, ghi nhận thời gian CPU và số bước lặp, so sánh hiệu quả với các thuật toán đã có.
+-------------------------------------------------------------------------------+
| QUY TRÌNH THUẬT TOÁN DC (CHƯƠNG 4) |
| |
| [Bước lặp k] |
+-------------------------------------------------------------------------------+
Kết quả và những đóng góp mới
Luận án đã đạt được 4 kết quả mới chính về mặt lý thuyết và tính toán ứng dụng:
| STT | Nội dung đóng góp mới | Chi tiết kỹ thuật |
|---|---|---|
| 1 | Đề xuất hai thuật toán kiểu chiếu mới | - Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ giải bài toán đơn điệu mạnh với ràng buộc cân bằng đơn điệu, chứng minh hội tụ mạnh. - Thuật toán chiếu tổng quát kết hợp kỹ thuật quán tính giải bài toán cân bằng trên tập $\text{Sol}(C, g) \cap \text{Fix}(T)$. |
| 2 | Mở rộng phương pháp đạo hàm tăng cường | Thiết lập thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp ($BMEP$) và chứng minh sự hội tụ. |
| 3 | Đề xuất thuật toán nguyên lý bài toán phụ DC | Kết hợp kỹ thuật phân tích DC và phép chiếu tổng quát giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine; mỗi bước lặp chỉ giải một bài toán lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương. |
| 4 | Thực nghiệm số và ứng dụng kinh tế | Triển khai tính toán trên MATLAB, so sánh hiệu năng (thời gian CPU, số bước lặp) và áp dụng giải bài toán cân bằng kinh tế Nash-Cournot. |
Các kết quả nghiên cứu trong luận án được công bố trong 04 bài báo khoa học:
- 01 bài báo xuất bản trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục SCI Q1;
- 02 bài báo xuất bản trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục SCIE (Q1, Q2);
- 01 bài báo gửi đăng trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục SCIE Q1.
Các kết quả chính đã được báo cáo tại 4 hội nghị, hội thảo chuyên ngành: Hội thảo "Những hướng mới trong tối ưu tính toán và ứng dụng" (Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán, 2021); Hội nghị quốc tế ISAS2022 (Đại học Bách khoa TP.HCM, 2022); Hội thảo "Tối ưu và Tính toán Khoa học" lần thứ 21 (Ba Vì, 2023); Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ X (Đà Nẵng, 2023); cùng các seminar chuyên môn tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN và Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
Căn cứ trên phạm vi nghiên cứu được văn bản xác định:
- Hạn chế:
- Thuật toán chiếu dưới đạo hàm đòi hỏi các dãy tham số điều chỉnh bước lặp ${\eta_k}, {\beta_k}, {\tau_k}$ phải thỏa mãn điều kiện chuỗi hội tụ/phân kỳ chặt chẽ (hệ điều kiện 2.4).
- Song hàm cấp trên $f$ cần giả thiết $\beta$-đơn điệu mạnh để thiết lập sự hội tụ mạnh trong không gian Hilbert.
- Phương pháp phân tích DC ở Chương 4 mới tập trung giải quyết cho lớp bài toán có toán tử cấp dưới dạng affine $F(x) = Qx + q$.
- Hướng nghiên cứu tiếp:
- Nghiên cứu mở rộng thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ và kỹ thuật quán tính cho các lớp song hàm không đơn điệu hoặc giả đơn điệu tổng quát.
- Phát triển nguyên lý bài toán phụ DC cho các bài toán cân bằng hai cấp với toán tử phi tuyến phi affine.
- Nghiên cứu áp dụng thuật toán cho các bài toán tối ưu mạng viễn thông thực tế quy mô lớn (như điều khiển công suất mạng CDMA đa kênh).
Giá trị tham khảo
Luận án cung cấp tài liệu tham khảo cho:
- Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán Ứng dụng, Giải tích, Toán Tin: Tham khảo phương pháp xây dựng thuật toán chiếu dưới đạo hàm, kỹ thuật phân tích biến đổi tiệm cận, kỹ thuật xử lý dãy số không đơn điệu theo bổ đề Maingé để chứng minh sự hội tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều.
- Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Tối ưu hóa và Tính toán Khoa học: Tham khảo khung thuật toán DC dạng hiển ở Chương 4 và mã nguồn thực nghiệm trên MATLAB để giải các bài toán tối ưu và biến phân hai cấp.
- Nhà kinh tế học định lượng và kỹ sư viễn thông: Tham khảo cách mô hình hóa bài toán cân bằng kinh tế vĩ mô Nash-Cournot (Chương 3) và bài toán điều khiển công suất mạng vô tuyến CDMA (Chương 1) dưới dạng bài toán cân bằng hai cấp.
Câu hỏi thường gặp
1. Bài toán cân bằng hai cấp $BEP(C, g, f)$ bao hàm những mô hình toán học cụ thể nào?
$BEP(C, g, f)$ bao hàm bài toán cân bằng đơn cấp $EP(C, g)$ (khi $f \equiv 0$), bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp $BVI(C, G, F)$ (khi $g, f$ là các song hàm tuyến tính sinh bởi toán tử), bài toán cân bằng trên tập nghiệm bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp hỗn hợp $BMEP$.
2. Ưu điểm nổi bật của thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ (Thuật toán 2.1) so với thuật toán điểm gần kề Moudafi (2010) là gì?
Thuật toán điểm gần kề của Moudafi đòi hỏi phải tìm nghiệm chính xác của một bài toán cân bằng phụ tại mỗi bước lặp và yêu cầu điều kiện $|x_{k+1} - x_k| < o(\epsilon_k)$ để hội tụ. Trong khi đó, Thuật toán 2.1 chỉ yêu cầu tính một vector dưới đạo hàm xấp xỉ và thực hiện một phép chiếu trực giao lên tập lồi $C$, giúp giảm chi phí tính toán và đảm bảo hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất $x^*$.
3. Cấu trúc tính toán ở mỗi bước lặp của thuật toán nguyên lý bài toán phụ DC (Chương 4) có gì đặc biệt?
Thuật toán DC ở Chương 4 đưa bài toán cân bằng trên tập nghiệm bất đẳng thức biến phân affine về dạng hiển. Tại mỗi bước lặp, thuật toán không cần giải bài toán phi tuyến phức tạp mà chỉ cần giải tuần tự hai bài toán con: một bài toán lồi mạnh và một bài toán quy hoạch toàn phương (Quadratic Programming).
4. Điều kiện chính nào đảm bảo tính hội tụ mạnh của Thuật toán 2.1 trong Chương 2?
Sự hội tụ mạnh được đảm bảo bởi: (i) Song hàm $g$ thỏa mãn tính giả đơn điệu và para-đơn điệu; (ii) Song hàm $f$ là $\beta$-đơn điệu mạnh và dưới vi phân xấp xỉ $\partial_2^\epsilon f(x, x)$ liên tục Lipschitz với hằng số $L \ge \beta$; (iii) Các dãy tham số thỏa mãn hệ điều kiện phân kỳ/hội tụ (2.4), đặc biệt là $\sum \eta_k = \infty$, $\sum \eta_k^2 < \infty$, $\tau_k \le \eta_k$ và $\lim \frac{\delta_k}{\eta_k} = 0$.
5. Thuật toán của luận án được kiểm nghiệm thực tế và ứng dụng trên những mô hình nào?
Thuật toán được lập trình thực nghiệm số trên phần mềm MATLAB để đo lường thời gian CPU và số bước lặp trên các bài toán ngẫu nhiên, đồng thời được ứng dụng giải mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot (quản lý vĩ mô thị trường cạnh tranh sản lượng của các doanh nghiệp) và mô hình điều khiển công suất mạng CDMA.
Kết luận
Luận án của nghiên cứu sinh Hồ Phi Tứ đã nghiên cứu và phát triển các phương pháp chiếu mở rộng nhằm giải quyết lớp bài toán cân bằng hai cấp trong không gian Hilbert thực. Bằng việc kết hợp phương pháp chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ, kỹ thuật tăng cường quán tính, phương pháp đạo hàm tăng cường và nguyên lý bài toán phụ DC, luận án đã khắc phục các hạn chế kỹ thuật của các phương pháp truyền thống khi không cần giải chính xác bài toán phụ và giảm nhẹ các giả thiết đơn điệu. Các kết quả lý thuyết về sự hội tụ mạnh cùng các tính toán số minh họa trên phần mềm MATLAB và mô hình kinh tế Nash-Cournot khẳng định tính đúng đắn và khả năng áp dụng thực tiễn của các thuật toán đề xuất.