Phương Pháp Hướng Gradient Liên Hợp Cho Bài Toán Tối Ưu Lồi

• Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Xuyên
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Song Hà
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Phương Pháp Hướng Gradient Liên Hợp Trong Tối Ưu Hóa Lồi
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số vấn đề cơ bản về không gian Hilbert
• 1.2. Tập lồi và hàm lồi
• 1.3. Ánh xạ đơn điệu
• 1.4. Ánh xạ không giãn và điểm bất động
• 2. CHƯƠNG 2
• KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Phương Pháp Gradient Liên Hợp Tối Ưu Lồi

Nhiều bài toán lý thuyết và thực tiễn dẫn đến mô hình tối ưu: Tìm x* thuộc C sao cho f(x*) = min f(x) với x thuộc C. C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và f: C → R là hàm số xác định trên C. Giải pháp số hiệu quả là cần thiết để áp dụng lý thuyết. Đề xuất phương pháp mới hoặc cải tiến phương pháp hiện tại để giải bài toán là chủ đề nghiên cứu quan trọng. Các kỹ thuật tìm nghiệm xấp xỉ đã được thiết lập, ví dụ như phương pháp chiếu gradient. Trường hợp H = Rn, các phương pháp giải có lịch sử lâu đời bao gồm phương pháp Newton, phương pháp tựa Newton, phương pháp đường dốc nhất, hay phương pháp gradient liên hợp. Cấu trúc chung là xk+1 = xk + αk dk, k = 0, 1, 2, . trong đó xk là nghiệm xấp xỉ thứ k, αk là kích thước bước lặp và dk là hướng tìm kiếm. Luận văn này trình bày lại hệ thống về một số phương pháp gradient liên hợp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán tối ưu lồi trên không gian Hilbert thực, dựa trên nghiên cứu của Iiduka và cộng sự năm 2009.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Không Gian Hilbert Ứng Dụng

Không gian Hilbert là một không gian vector thực với tích vô hướng thỏa mãn các điều kiện: tính giao hoán, tính tuyến tính, tính đồng nhất dương. Tích vô hướng của hai vector x và y ký hiệu là <x, y>. Không gian hữu hạn chiều Rn, tích vô hướng của hai vector x = (x1, x2, ..., xn) và y = (y1, y2, ..., yn) xác định bởi <x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn. Bất đẳng thức Schwarz khẳng định rằng |<x, y>|² ≤ <x, x><y, y> với mọi x, y thuộc không gian Hilbert. Chuẩn của một vector x, ký hiệu là ||x||, được định nghĩa là căn bậc hai của <x, x>. Không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn này được gọi là không gian Hilbert.

1.2. Tính Chất Hội Tụ Quan Trọng Trong Tối Ưu Hóa

Dãy {xn} các phần tử trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H khi n tiến ra +∞ nếu lim ||xn - x|| = 0, và ký hiệu là xn → x. Dãy {xn} được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ H khi n tiến ra +∞ nếu lim <xn, y> = <x, y>, ∀y ∈ H, và ký hiệu là xn * x. Một dãy hội tụ mạnh thì cũng hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, dãy {en} (hệ trực chuẩn) trong không gian l2 là một ví dụ. Trong không gian Hilbert, nếu xn * x và ||xn|| → ||x|| thì xn → x.

II. Giải Quyết Bài Toán Tối Ưu Hóa Lồi Không Ràng Buộc

Bài toán tối ưu hóa lồi không ràng buộc là một bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Mục tiêu là tìm điểm cực tiểu của một hàm lồi trên toàn bộ không gian. Phương pháp gradient liên hợp là một trong những phương pháp hiệu quả nhất để giải quyết bài toán này. Phương pháp này tận dụng thông tin về gradient của hàm mục tiêu để xác định hướng tìm kiếm và bước nhảy tối ưu. Các biến thể của phương pháp gradient liên hợp, như phương pháp Fletcher-Reeves và phương pháp Polak-Ribiere, cung cấp các cách khác nhau để tính toán hệ số cập nhật, giúp cải thiện hiệu suất và hội tụ của thuật toán.

2.1. Ứng Dụng Hàm Lồi Trong Tối Ưu Hóa

Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. Hàm f: C → R được gọi là hàm lồi nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y). Nếu f là một hàm lồi thì giá trị của nó tại một tổ hợp lồi nào đó của hai điểm bất kỳ x, y không lớn hơn giá trị nhận được khi lấy cùng tổ hợp lồi như thế của hai giá trị f(x), f(y).

2.2. Vai trò Gradient Của Hàm Mục Tiêu Lồi

Nếu f : H → R khả vi Gâteaux tại x ∈ H với f'G(x) = x* và f khả dưới vi phân tại x thì ∂f(x) = {x*}. Nếu f : H → R là hàm khả vi Gâteaux (Fréchet) trên H thì f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi f(y) ≥ f(x) + <∇f(x), y - x>, ∀x, y ∈ C. Điều này thể hiện mối liên hệ giữa tính lồi và đạo hàm của hàm số, là cơ sở cho nhiều thuật toán tối ưu.

III. Phương Pháp Gradient Liên Hợp Hướng Dẫn Chi Tiết

Phương pháp gradient liên hợp (CGM) là một thuật toán lặp để giải các bài toán tối ưu hóa , đặc biệt là các hệ phương trình tuyến tính đối xứng xác định dương. Trong lĩnh vực tối ưu hóa, CGM thường được sử dụng để tìm cực tiểu của các hàm lồi. Ý tưởng chính là xây dựng một dãy các hướng tìm kiếm liên hợp, sao cho mỗi hướng mới vuông góc với tất cả các hướng trước đó theo nghĩa của tích vô hướng xác định bởi ma trận Hessian của hàm mục tiêu. Việc sử dụng các hướng liên hợp giúp thuật toán hội tụ nhanh hơn so với phương pháp gradient đơn thuần.

3.1. Các Bước Thực Hiện Conjugate Gradient Method

Khởi tạo: Chọn điểm xuất phát x0 và đặt r0 = -∇f(x0), d0 = r0. Lặp: Với k = 0, 1, 2, ...: Tính bước nhảy αk = (rk^T rk) / (dk^T A dk), trong đó A là ma trận Hessian hoặc một xấp xỉ của nó. Cập nhật nghiệm: xk+1 = xk + αk dk. Tính gradient mới: rk+1 = rk + αk A dk = -∇f(xk+1). Tính hệ số βk = (rk+1^T rk+1) / (rk^T rk). Cập nhật hướng tìm kiếm: dk+1 = rk+1 + βk dk. Kiểm tra điều kiện dừng.

3.2. Các Biến Thể Của Thuật Toán Gradient Liên Hợp

Phương pháp Fletcher-Reeves sử dụng βk = (rk+1^T rk+1) / (rk^T rk). Phương pháp Polak-Ribiere sử dụng βk = ((rk+1 - rk)^T rk+1) / (rk^T rk). Phương pháp Hestenes-Stiefel sử dụng βk = ((rk+1 - rk)^T A dk) / (dk^T A dk). Lựa chọn biến thể phù hợp có thể ảnh hưởng đáng kể đến hiệu suất của thuật toán.

IV. Ứng Dụng Của Gradient Liên Hợp Trong Thực Tế Nghiên Cứu

Phương pháp gradient liên hợp (CGM) có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Trong học máy, nó được sử dụng để huấn luyện các mô hình như mạng nơ-ron, đặc biệt khi số lượng tham số lớn. Trong xử lý ảnh, CGM được áp dụng để giải các bài toán khôi phục ảnh và phân tích ảnh. Trong kỹ thuật, nó được sử dụng để giải các bài toán tối ưu hóa trong thiết kế và điều khiển hệ thống. Các nghiên cứu gần đây tập trung vào việc phát triển các biến thể của CGM để cải thiện hiệu suất và độ tin cậy của thuật toán, đặc biệt trong các bài toán có độ phức tạp cao.

4.1. Ứng dụng Trong Học Sâu Với Dữ Liệu Lớn

Trong các mô hình học sâu với số lượng tham số khổng lồ, việc sử dụng các phương pháp tối ưu hóa hiệu quả là rất quan trọng. Phương pháp gradient liên hợp, đặc biệt là các biến thể như L-BFGS, được sử dụng để huấn luyện các mạng nơ-ron sâu. Việc này giúp giảm thời gian huấn luyện và cải thiện độ chính xác của mô hình.

4.2. Bài Toán Khôi Phục Ảnh Xử Lý Ảnh

Trong lĩnh vực xử lý ảnh, CGM được sử dụng để giải quyết các bài toán khôi phục ảnh, loại bỏ nhiễu, và tăng cường độ phân giải. Việc sử dụng CGM giúp tìm ra các giải pháp tối ưu, tạo ra những hình ảnh có chất lượng cao hơn.

V. Kết Luận Hướng Phát Triển Phương Pháp Gradient Liên Hợp

Phương pháp gradient liên hợp là một công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán tối ưu hóa lồi. Với sự phát triển của khoa học máy tính và các lĩnh vực ứng dụng, CGM vẫn tiếp tục được nghiên cứu và cải tiến. Các hướng phát triển bao gồm việc xây dựng các biến thể thích nghi, kết hợp với các kỹ thuật khác, và ứng dụng vào các bài toán mới. Hy vọng rằng, với những nỗ lực không ngừng, CGM sẽ tiếp tục đóng góp vào sự tiến bộ của khoa học và công nghệ.

5.1. Các Biến Thể Thích Nghi Của Gradient Liên Hợp

Nghiên cứu các biến thể thích nghi của gradient liên hợp nhằm tự động điều chỉnh các tham số của thuật toán dựa trên đặc điểm của bài toán. Các biến thể này giúp cải thiện hiệu suất và độ tin cậy của thuật toán trong các bài toán phức tạp.

5.2. Kết Hợp Với Các Thuật Toán Tối Ưu Khác

Kết hợp phương pháp gradient liên hợp với các thuật toán tối ưu hóa khác, chẳng hạn như phương pháp Newton, phương pháp tựa Newton, để tận dụng ưu điểm của cả hai. Sự kết hợp này có thể giúp đạt được sự hội tụ nhanh hơn và độ chính xác cao hơn.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực toán ứng dụng, bài toán tối ưu lồi trên không gian Hilbert thực đóng vai trò quan trọng trong nhiều mô hình lý thuyết và thực tiễn. Theo ước tính, việc giải quyết các bài toán tối ưu này có ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu quả của các thuật toán trong khoa học máy tính, kỹ thuật và kinh tế. Luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp hướng gradient liên hợp cho bài toán tối ưu lồi trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, một lớp bài toán có tính ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như xử lý tín hiệu, học máy và điều khiển tự động.

Mục tiêu chính của nghiên cứu là trình bày hệ thống các phương pháp hướng gradient liên hợp nhằm tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán tối ưu lồi trên không gian Hilbert thực, đồng thời chứng minh sự hội tụ của các phương pháp này và minh họa bằng các ví dụ số cụ thể. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào không gian Hilbert thực hữu hạn chiều, với các giả thiết về tính khả vi, đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của gradient hàm mục tiêu, cùng với tính không giãn của ánh xạ liên quan. Thời gian nghiên cứu được thực hiện trong năm 2020 tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.

Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các thuật toán giải số hiệu quả cho bài toán tối ưu lồi, góp phần nâng cao hiệu suất tính toán và độ chính xác trong các ứng dụng thực tế. Các chỉ số đánh giá như tốc độ hội tụ và độ chính xác nghiệm được phân tích chi tiết, giúp định hướng phát triển các phương pháp tối ưu trong tương lai.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết giải tích hàm và giải tích lồi trong không gian Hilbert thực. Hai lý thuyết trọng tâm được áp dụng gồm:

1. Không gian Hilbert thực và tính chất của nó: Không gian Hilbert là không gian véctơ thực có tích vô hướng và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng, thỏa mãn quy tắc hình bình hành. Tính chất hội tụ mạnh và hội tụ yếu của dãy phần tử trong không gian này được sử dụng để phân tích sự hội tụ của các dãy lặp trong thuật toán.

2. Tập lồi, hàm lồi và ánh xạ không giãn: Tập lồi là tập chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập. Hàm lồi có đồ thị không vượt quá dây cung nối hai điểm bất kỳ, và gradient của hàm lồi là ánh xạ đơn điệu. Ánh xạ không giãn là ánh xạ có chuẩn sai số không tăng, đặc biệt quan trọng trong việc xác định tập điểm bất động và đảm bảo tính ổn định của thuật toán.

Các khái niệm chính bao gồm:

• Tập điểm bất động của ánh xạ không giãn (Fix(T)) là tập đóng lồi.
• Phép chiếu mêtric lên tập lồi là ánh xạ không giãn.
• Hàm khả vi Fréchet và Gâteaux, đạo hàm gradient, và tính đơn điệu mạnh của gradient.
• Bất đẳng thức Schwarz và các tính chất chuẩn trong không gian Hilbert.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các tài liệu học thuật, bài báo khoa học và các công trình nghiên cứu liên quan đến tối ưu lồi và phương pháp gradient liên hợp. Phương pháp nghiên cứu bao gồm:

• Phân tích lý thuyết: Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, tập lồi, ánh xạ không giãn và các tính chất của hàm lồi để xây dựng nền tảng cho mô hình bài toán và thuật toán.

• Xây dựng mô hình bài toán: Mô hình bài toán tối ưu lồi trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn được thiết lập với các giả thiết về tính khả vi, đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của gradient hàm mục tiêu.

• Phát triển thuật toán: Trình bày chi tiết hai phương pháp hướng gradient liên hợp gồm phương pháp cơ bản (CGM) và phương pháp lai ghép (HCGM), cùng các điều kiện tham số đảm bảo sự hội tụ.

• Phân tích sự hội tụ: Chứng minh các tính chất hội tụ mạnh của dãy lặp nghiệm, bao gồm tính bị chặn của dãy, giới hạn sai số và hội tụ đến nghiệm duy nhất.

• Ví dụ số minh họa: Thực hiện các phép tính trên không gian hữu hạn chiều Rn với các ma trận xác định dương và tập lồi cụ thể, đánh giá ảnh hưởng của tham số bước lặp µ đến tốc độ hội tụ.

Thời gian nghiên cứu kéo dài trong năm 2020, với các bước thực hiện từ tổng hợp lý thuyết, xây dựng mô hình, phát triển thuật toán đến kiểm chứng bằng ví dụ số.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán tối ưu lồi trên tập điểm bất động: Dưới các giả thiết về tính khả vi Fréchet liên tục, α-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz của gradient hàm mục tiêu, cùng với ánh xạ không giãn có tập điểm bất động không rỗng, bài toán tối ưu lồi có nghiệm duy nhất. Điều này được chứng minh thông qua bất đẳng thức biến phân và tính chất ánh xạ co của phép chiếu mêtric.

2. Hiệu quả của phương pháp hướng gradient liên hợp (CGM): Thuật toán CGM với tham số bước lặp µ trong khoảng (0, 2α/L²) cho thấy dãy lặp nghiệm {x_n} hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất. Kết quả tính toán minh họa cho thấy khi µ = 1, tốc độ hội tụ nhanh hơn so với µ = 1/100 hoặc µ = 1/1000, với sai số nghiệm giảm dần rõ rệt qua các bước lặp.

3. Phương pháp hướng gradient liên hợp lai ghép (HCGM) cải thiện tính ổn định: Thuật toán HCGM cũng hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất với điều kiện tương tự. Các kết quả thực nghiệm cho thấy HCGM có tính ổn định cao và tốc độ hội tụ tương đương CGM khi chọn tham số µ phù hợp.

4. Ảnh hưởng của tham số bước lặp µ đến tốc độ hội tụ: Cả hai phương pháp đều cho thấy tốc độ hội tụ chậm khi µ gần 0 và cải thiện đáng kể khi µ thuộc khoảng [1, 2). Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc lựa chọn tham số bước lặp phù hợp để tối ưu hiệu quả thuật toán.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính của sự hội tụ mạnh và hiệu quả của các phương pháp là do tính α-đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của gradient hàm mục tiêu, kết hợp với tính không giãn của ánh xạ T và phép chiếu mêtric PC. Các điều kiện này đảm bảo ánh xạ tổ hợp trong thuật toán là ánh xạ co, từ đó áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, phương pháp hướng gradient liên hợp được cải tiến bằng cách kết hợp các tham số α_n, β_n thỏa mãn các điều kiện hội tụ chặt chẽ, giúp tăng tính ổn định và khả năng ứng dụng rộng rãi hơn trong không gian Hilbert thực. Việc minh họa bằng ví dụ số trong không gian R² với các tập lồi cụ thể và ma trận xác định dương làm rõ tính khả thi và hiệu quả của thuật toán trong thực tế.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng kết quả tính toán nghiệm xấp xỉ qua các bước lặp, biểu đồ thể hiện sự giảm dần của sai số theo số bước, giúp trực quan hóa tốc độ hội tụ và ảnh hưởng của tham số bước lặp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tối ưu hóa lựa chọn tham số bước lặp µ: Đề xuất nghiên cứu sâu hơn về phương pháp chọn tham số bước lặp tự động hoặc thích nghi trong khoảng (0, 2α/L²) nhằm tăng tốc độ hội tụ và giảm thiểu sai số trong các ứng dụng thực tế. Chủ thể thực hiện: các nhà nghiên cứu toán ứng dụng và kỹ sư phát triển thuật toán, thời gian: 6-12 tháng.

2. Mở rộng phương pháp sang không gian Hilbert vô hạn chiều: Khuyến nghị phát triển và kiểm chứng các thuật toán hướng gradient liên hợp cho bài toán tối ưu lồi trong không gian Hilbert vô hạn chiều, nhằm ứng dụng trong các bài toán điều khiển và xử lý tín hiệu phức tạp. Chủ thể thực hiện: các viện nghiên cứu toán học và kỹ thuật, thời gian: 12-18 tháng.

3. Phát triển phần mềm mô phỏng và thư viện thuật toán: Xây dựng phần mềm hỗ trợ mô phỏng các phương pháp hướng gradient liên hợp với giao diện thân thiện, giúp các nhà nghiên cứu và sinh viên dễ dàng áp dụng và kiểm tra thuật toán. Chủ thể thực hiện: nhóm phát triển phần mềm khoa học, thời gian: 6 tháng.

4. Ứng dụng trong các lĩnh vực thực tiễn: Khuyến nghị áp dụng các phương pháp nghiên cứu vào các bài toán tối ưu trong học máy, xử lý ảnh và điều khiển tự động để đánh giá hiệu quả và điều chỉnh thuật toán phù hợp với đặc thù từng lĩnh vực. Chủ thể thực hiện: các tổ chức nghiên cứu đa ngành, thời gian: 12 tháng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán ứng dụng: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp giải bài toán tối ưu lồi, giúp nâng cao kiến thức và kỹ năng nghiên cứu trong lĩnh vực toán học ứng dụng.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực tối ưu và giải tích hàm: Tài liệu chi tiết về các phương pháp hướng gradient liên hợp và chứng minh sự hội tụ sẽ hỗ trợ trong việc giảng dạy và phát triển nghiên cứu chuyên sâu.

3. Kỹ sư và chuyên gia phát triển thuật toán trong khoa học máy tính và kỹ thuật: Các thuật toán được trình bày có thể áp dụng trong thiết kế hệ thống tối ưu, học máy và xử lý tín hiệu, giúp cải thiện hiệu suất và độ chính xác.

4. Các tổ chức nghiên cứu đa ngành liên quan đến tối ưu hóa: Luận văn cung cấp cơ sở để phát triển các giải pháp tối ưu trong kinh tế, tài chính, và kỹ thuật, hỗ trợ việc ra quyết định dựa trên mô hình toán học.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp hướng gradient liên hợp là gì?
   Phương pháp hướng gradient liên hợp là thuật toán lặp nhằm tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu lồi bằng cách kết hợp hướng gradient với các hướng tìm kiếm liên hợp, giúp tăng tốc độ hội tụ so với phương pháp gradient đơn thuần.

2. Tại sao cần ánh xạ không giãn trong bài toán tối ưu?
   Ánh xạ không giãn đảm bảo tính ổn định và liên tục của phép chiếu lên tập điểm bất động, giúp thuật toán hội tụ đến nghiệm duy nhất và tránh dao động không mong muốn trong quá trình lặp.

3. Làm thế nào để chọn tham số bước lặp µ hiệu quả?
   Tham số µ nên nằm trong khoảng (0, 2α/L²) để đảm bảo ánh xạ co và sự hội tụ. Thực nghiệm cho thấy µ gần 1 đến 2 thường cho tốc độ hội tụ tốt hơn, tuy nhiên cần điều chỉnh phù hợp với từng bài toán cụ thể.

4. Phương pháp lai ghép (HCGM) khác gì so với CGM?
   Phương pháp HCGM kết hợp thêm các thành phần điều chỉnh trong bước lặp nhằm cải thiện tính ổn định và khả năng hội tụ, đặc biệt hữu ích khi gradient có biến động hoặc trong không gian phức tạp.

5. Ứng dụng thực tế của các phương pháp này là gì?
   Các phương pháp được áp dụng trong học máy để tối ưu hàm mất mát, trong xử lý tín hiệu để lọc và tái tạo dữ liệu, cũng như trong điều khiển tự động để tìm các điểm cân bằng tối ưu.

Kết luận

• Luận văn hệ thống lại kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, tập lồi, ánh xạ không giãn và hàm lồi, làm nền tảng cho nghiên cứu bài toán tối ưu lồi.
• Xây dựng mô hình bài toán tối ưu trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn với giả thiết về tính khả vi và đơn điệu mạnh của gradient.
• Trình bày chi tiết hai phương pháp hướng gradient liên hợp (CGM và HCGM), chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm.
• Minh họa hiệu quả thuật toán qua các ví dụ số trong không gian hữu hạn chiều, phân tích ảnh hưởng của tham số bước lặp đến tốc độ hội tụ.
• Đề xuất các hướng phát triển tiếp theo bao gồm tối ưu tham số, mở rộng không gian nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn.

Tiếp theo, nghiên cứu có thể tập trung vào phát triển thuật toán thích nghi và mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực đa ngành. Độc giả và nhà nghiên cứu được khuyến khích áp dụng và phát triển các phương pháp này trong công việc chuyên môn và nghiên cứu khoa học.