Gradient Suy Rộng và Ứng Dụng Vào Bài Toán Tối Ưu Không Trơn

• Người hướng dẫn: GS. Trần Vũ Thiệu
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Gradient Suy Rộng và Ứng Dụng Vào Bài Toán Tối Ưu Không Trơn
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2010
• Địa điểm: Thái Nguyên

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: GRADIENT SUY RỘNG
• 1.1. Định nghĩa và ký hiệu
• 1.2. Một số tính chất cơ bản của gradient suy rộng
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
• 2.1. Nội dung bài toán
• 2.2. Điều kiện tối ưu
• 2.3. Một số phương pháp giải bài toán tối ưu không trơn
• 2.3.1. Phương pháp dưới gradient
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• LỜI CẢM ƠN

I. Tổng Quan Gradient Suy Rộng Định Nghĩa và Ký Hiệu

Chương này giới thiệu nền tảng về gradient suy rộng cho hàm không trơn. Gradient suy rộng là một công cụ quan trọng trong tối ưu hóa khi hàm mục tiêu không khả vi. Chúng ta bắt đầu bằng việc xác định các khái niệm cơ bản như hàm Lipschitz, đạo hàm theo hướng, đạo hàm theo hướng Dini trên, và đạo hàm suy rộng theo hướng. Luận văn dựa trên định nghĩa của Clarke về đạo hàm suy rộng, còn được gọi là đạo hàm theo hướng Clarke. Hàm f được gọi là khả vi theo hướng tại x nếu đạo hàm suy rộng theo mọi hướng tồn tại tại x. Nếu f khả vi theo hướng tại x và f'(x, d) = f'(x, d), thì f được gọi là chính quy tại x. Hàm f được gọi là hàm chính quy nếu nó chính quy ở mọi nơi. Một ví dụ về một hàm không trơn là hàm giá trị tuyệt đối. Những khái niệm này rất quan trọng để hiểu các phương pháp tối ưu hóa không trơn sẽ được trình bày trong các chương sau.

1.1. Định Nghĩa Hàm Lipschitz và Ý Nghĩa Trong Tối Ưu

Hàm f : Y → R được gọi là Lipschitz trên Y nếu tồn tại một hằng số K sao cho |f(x) - f(y)| ≤ K ||x - y|| với mọi x, y ∈ Y ⊆ X. Hằng số K được gọi là hằng số Lipschitz. Điều kiện Lipschitz đảm bảo rằng hàm không thay đổi quá nhanh, giúp cho việc xây dựng các thuật toán tối ưu trở nên khả thi. Tính Lipschitz là một điều kiện quan trọng trong lý thuyết tối ưu hóa không trơn vì nó cho phép chúng ta kiểm soát sự thay đổi của hàm và đảm bảo sự hội tụ của các thuật toán.

1.2. Đạo Hàm Theo Hướng Khái Niệm và Các Loại Đạo Hàm

Đạo hàm theo hướng d tại x, ký hiệu là f'(x, d), được định nghĩa là giới hạn lim (t↓0) (f(x + td) - f(x))/t, nếu giới hạn này tồn tại. Có thể thấy một hàm có tính Lipschitz ở gần một điểm không nhất thiết khả vi tại điểm đó và có thể không có đạo hàm theo hướng theo nghĩa cổ điển vừa nêu. Đạo hàm theo hướng Dini trên của f tại x theo hướng d, ký hiệu là f (D) (x, d) được định nghĩa là giới hạn f (x + td) − f (x) f (D) (x, d) = lim sup t↓0 t nếu giới hạn này tồn tại.

1.3. Vi Phân Suy Rộng Clarke Định Nghĩa và Liên Hệ

Cho f là hàm Lipschitz ở gần x và d là một vecto bất kì trong X. Đạo hàm suy rộng theo hướng của f tại x theo hướng d, ký hiệu là f'(x, d) được định nghĩa là giới hạn. Vi phân suy rộng (hay vi phân Clarke) của f tại x là tập ∂f (x) = {ξ ∈ X ∗ |f 0 (x, d) ≥ hξ, di, ∀d ∈ X} trong đó X ∗ là không gian liên hợp của X, ξ gọi là gradient suy rộng của f tại x.

II. Tính Chất Quan Trọng của Gradient và Vi Phân Suy Rộng

Gradient suy rộng và vi phân suy rộng sở hữu nhiều tính chất hữu ích cho việc phân tích và tối ưu hóa. Ví dụ, nếu f(x) là hàm lồi và Lipschitz gần x, thì vi phân suy rộng ∂f(x) trùng với dưới vi phân tại x. Điều này cho phép ta áp dụng các kết quả từ giải tích lồi vào bài toán tối ưu không trơn. Ngoài ra, các quy tắc tính toán vi phân suy rộng cho phép ta tính vi phân của các hàm phức tạp từ vi phân của các hàm thành phần. Theo tài liệu gốc, nếu fi (i = 1, 2, .., m) là một số hữu hạn các hàm Lipschitz gần x thì ∑fi cũng Lipschitz gần x và ∂(∑fi)(x) ⊂ ∑∂fi(x). Những tính chất này làm cho gradient suy rộng trở thành một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán tối ưu không trơn.

2.1. Tính Lồi và Liên Hệ Với Dưới Vi Phân Trong Giải Tích Lồi

Nếu f(x) là hàm lồi và Lipschitz gần x, thì vi phân suy rộng ∂f(x) trùng với dưới vi phân tại x. Theo giải tích lồi thì f'(x, d) tồn tại với mỗi d và f'(x, d) là hàm tựa của dưới vi phân tại x. Do đó, ta chỉ cần chứng minh f'(x, d) = f'(x, d). Ta có f (x0 + td) − f (x0 ) f 0 (x, d) = lim sup sup ε↓0 kx0 −xk<εδ 0<t<ε t trong đó δ > 0 là một số cho trước tùy ý.

2.2. Quy Tắc Tính Toán Vi Phân Suy Rộng Cho Các Hàm Hợp

Nếu f(x) = g(h(x)) và h(x) = (h1(x), ..., hn(x))T với mỗi hi(x) là Lipschitz gần x và g(x) là Lipschitz gần h(x) thì f(x) là Lipschitz gần x và ∂f(x) ⊂ CO {∑αi ξi : ξi ∈ ∂hi(x), α ∈ ∂g(h)} trong đó CO là bao lồi compact yếu∗.

2.3. Tính Nửa Liên Tục Trên Của Vi Phân Suy Rộng X Hữu Hạn Chiều

Nếu f(x) Lipschitz gần x thì ξ ∈ ∂f(x) khi và chỉ khi f'(x, d) ≥ <ξ, d> với mọi d ∈ X. Nếu X hữu hạn chiều thì ∂f nửa liên tục trên.

III. Bài Toán Tối Ưu Không Trơn Thách Thức và Ví Dụ

Bài toán tối ưu không trơn có dạng min f(x) với x ∈ X, trong đó f(x) là hàm không khả vi thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Một trong những thách thức lớn nhất là việc xác định tiêu chuẩn dừng phù hợp. Đối với hàm trơn, ta có thể sử dụng độ lớn của gradient làm tiêu chí dừng. Tuy nhiên, đối với hàm không trơn, gradient có thể không tồn tại hoặc có độ lớn không phản ánh độ gần của nghiệm tối ưu. Ngoài ra, việc sử dụng các phương pháp hướng giảm có thể dẫn đến việc hội tụ về các điểm không dừng. Việc sử dụng gradient suy rộng giúp ta giải quyết những vấn đề này.

3.1. Khó Khăn Trong Việc Xác Định Tiêu Chuẩn Dừng Phù Hợp

Với bài toán tối ưu trơn thì với x đủ gần điểm cực tiểu x∗ thì k ∇f (x) k rất nhỏ.2) thường được sử dụng làm tiêu chuẩn dừng. Tuy nhiên, với hàm không trơn thì không có kết quả tương tự. Xét bài toán tối ưu đơn giản với hàm f : R1 → R1 và f (x) = |x|. Khi đó, nếu x không phải là nghiệm cực tiểu của bài toán thì f (x) khả vi và ta có |∂f (x)| = |∇f (x)| = 1.

3.2. Khả Năng Hội Tụ Về Điểm Không Dừng Khi Sử Dụng Hướng Giảm

Nếu f(x) không khả vi mà ta sử dụng phương pháp hướng giảm nhanh nhất với thủ tục tìm chính xác theo tia để giải (2.1) có thể nhận được dãy {xk } hội tụ về điểm không dừng. Xét hàm f : R2 → R, x = (u, v)T và 1 1 f (x) = max[ u2 + (v − 1)2 ; u2 + (v − 1)2 ] 2 2

3.3. Ví Dụ Về Bài Toán Minimax và Bài Toán Chuẩn L1 L

Có nhiều ví dụ về bài toán tối ưu không trơn chẳng hạn bài toán minimax: min max fi (x.) x∈X 1≤i≤m Hơn nữa, để giải hệ phương trình phi tuyến fi (x) = 0, i = 1, ., m ta thường tìm nghiệm của bài toán cực tiểu min f (x) = min k f (x) k (2.5) x∈X x∈X với chuẩn nào đó, trong đó f (x) =k f (x) k, f (x) = (f1 (x), ., fm (x)) là một hàm vecto từ X vào Rn . Rõ ràng bài toán (2.5) là bài toán tối ưu không trơn.

IV. Điều Kiện Tối Ưu Cho Bài Toán Tối Ưu Không Trơn

Điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong việc xác định nghiệm của bài toán tối ưu. Đối với hàm Lipschitz, điều kiện cần cấp 1 cho biết nếu f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x**, thì 0 ∈ ∂f(x**)*. Điều kiện này suy ra trực tiếp từ các bổ đề về gradient suy rộng. Với hàm lồi và Lipschitz, điều kiện này trở thành điều kiện cần và đủ. Việc áp dụng các điều kiện tối ưu này giúp ta tìm ra các điểm tiềm năng là nghiệm của bài toán.

4.1. Điều Kiện Cần Cấp 1 Liên Hệ Giữa Gradient Suy Rộng và Cực Tiểu

Nếu f (x) đạt cực tiểu (hay cực đại) địa phương tại x∗ và f (x) Lipschitz gần x∗ thì 0 ∈ ∂f (x∗ ) Chứng minh. Do x∗ là điểm cực tiểu địa phương của f (x) nên theo định nghĩa 1.5 thì với mọi d ∈ X ta có f 0 (x∗ , d) ≥ 0.

4.2. Điều Kiện Đủ Cho Cực Tiểu Địa Phương Hàm Lồi và Lipschitz

Cho f (x) là hàm lồi và Lipschitz gần x∗ . Do f (x) là hàm lồi và Lipschitz gần x∗ nên theo bổ đề 1.3 vi phân suy rộng và dưới vi phân của f tại x∗ là trùng nhau, tức là {ξ ∈ X ∗ |f (z) − f (x∗ ) ≥ hξ, z − x∗ i, ∀z ∈ X} = {ξ ∈ X ∗ |f 0 (x∗ , d) ≥ hξ, di, ∀z ∈ X}. Vậy x∗ là điểm cực tiểu của f (x).

4.3. Điều Kiện Đủ Cho Cực Tiểu Chặt Ứng Dụng và Hạn Chế

Cho f (x) là hàm lồi và Lipschitz gần x∗ . Nếu f 0 (x, d) > 0, ∀d 6= 0, d ∈ X thì x∗ là điểm cực tiểu chặt của f (x), nghĩa là tồn tại số δ > 0 sao cho f (x) − f (x∗ ) > δ k x − x∗ k với mọi x đủ gần x∗ .

V. Phương Pháp Dưới Gradient Thuật Toán và Ứng Dụng Thực Tế

Phương pháp dưới gradient là một kỹ thuật quan trọng để giải quyết bài toán tối ưu không trơn. Thuật toán này sử dụng hướng âm của một dưới gradient tại điểm hiện tại để tìm kiếm điểm tối ưu. Mặc dù đơn giản, phương pháp này có thể hội tụ chậm và không đảm bảo hội tụ về điểm tối ưu. Tuy nhiên, nó vẫn được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng thực tế, đặc biệt là khi các phương pháp khác không khả thi. Cần lưu ý về việc chọn bước thích hợp để đảm bảo sự hội tụ.

5.1. Mô Tả Chi Tiết Thuật Toán Dưới Gradient và Các Bước Chính

Phương pháp dưới gradient được suy rộng trực tiếp từ phương pháp hướng giảm nhanh nhất bằng cách sử dụng hướng −gk trong đó gk ∈ ∂f (xk ) để sinh ra dãy {xk }. Ta đã biết hàm lồi và Lipschitz gần x thì khả vi hầu x∈R khắp nơi và ∂f (x) = convΩ(x) trong đó convΩ là bao lồi của Ω và Ω(x) = {g|g = lim ∇f (xi ), xi → x, ∃∇f (xi )}.

5.2. Lựa Chọn Bước và Ảnh Hưởng Đến Tốc Độ Hội Tụ

Việc lựa chọn bước là rất quan trọng trong phương pháp dưới gradient. Bước quá lớn có thể dẫn đến việc thuật toán dao động và không hội tụ. Bước quá nhỏ có thể làm cho thuật toán hội tụ rất chậm. Có nhiều chiến lược lựa chọn bước khác nhau, chẳng hạn như bước giảm dần, bước tỉ lệ với độ lớn của dưới gradient, hoặc bước được xác định thông qua tìm kiếm đường thẳng.

5.3. Ưu Điểm và Nhược Điểm Của Phương Pháp Dưới Gradient

Phương pháp dưới gradient có ưu điểm là đơn giản và dễ cài đặt. Nó cũng có thể được áp dụng cho các bài toán có hàm mục tiêu rất phức tạp. Tuy nhiên, phương pháp này có nhược điểm là hội tụ chậm và không đảm bảo hội tụ về điểm tối ưu. Nó cũng nhạy cảm với việc lựa chọn bước.

VI. Các Phương Pháp Tối Ưu Không Trơn Nâng Cao Tổng Quan

Bên cạnh phương pháp dưới gradient, có nhiều phương pháp tối ưu không trơn nâng cao hơn, chẳng hạn như phương pháp bó, phương pháp siêu phẳng cắt, phương pháp miền tin cậy đối với hàm hợp không trơn và phương pháp Newton không trơn. Những phương pháp này thường có tốc độ hội tụ nhanh hơn và độ chính xác cao hơn so với phương pháp dưới gradient. Tuy nhiên, chúng cũng phức tạp hơn và đòi hỏi nhiều tính toán hơn. Theo tài liệu, luận văn còn trình bày một số ví dụ về bài toán tối ưu không trơn và những khó khăn gặp phải khi giải bài toán này. Xây dựng điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu không trơn dựa trên tập vi phân suy rộng.

6.1. Giới Thiệu Phương Pháp Bó và Ưu Điểm So Với Phương Pháp Dưới Gradient

Phương pháp bó là một phương pháp tối ưu không trơn sử dụng thông tin từ nhiều dưới gradient để xây dựng một mô hình xấp xỉ của hàm mục tiêu. Mô hình này được sử dụng để xác định hướng tìm kiếm. Phương pháp bó thường có tốc độ hội tụ nhanh hơn so với phương pháp dưới gradient vì nó sử dụng nhiều thông tin hơn.

6.2. Phương Pháp Siêu Phẳng Cắt Ý Tưởng Cơ Bản và Ứng Dụng

Phương pháp siêu phẳng cắt là một phương pháp tối ưu không trơn sử dụng các siêu phẳng để xấp xỉ hàm mục tiêu. Các siêu phẳng được tạo ra từ các dưới gradient. Phương pháp này thường được sử dụng để giải các bài toán có hàm mục tiêu lồi và Lipschitz.

6.3. Phương Pháp Newton Không Trơn và Các Biến Thể

Phương pháp Newton không trơn là một phương pháp tối ưu không trơn sử dụng thông tin từ vi phân cấp hai của hàm mục tiêu để xác định hướng tìm kiếm. Phương pháp này thường có tốc độ hội tụ rất nhanh, nhưng nó cũng đòi hỏi nhiều tính toán hơn so với các phương pháp khác.

## Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, bài toán tối ưu không trơn là một chủ đề nghiên cứu quan trọng với nhiều ứng dụng thực tiễn. Ước tính khoảng 70% các bài toán tối ưu trong thực tế liên quan đến các hàm không khả vi, hay còn gọi là hàm không trơn. Bài toán tối ưu không trơn được định nghĩa là bài toán tối ưu trong đó hàm mục tiêu hoặc một trong các hàm ràng buộc không khả vi, gây khó khăn trong việc áp dụng các phương pháp tối ưu truyền thống dựa trên đạo hàm. Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là phát triển và ứng dụng khái niệm gradient suy rộng vào giải quyết bài toán tối ưu không trơn, nhằm xây dựng các phương pháp số hiệu quả và có tính ứng dụng cao. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán tối ưu không trơn trong không gian Banach, với các phương pháp được phát triển và thử nghiệm trong giai đoạn 2005-2010 tại Đại học Thái Nguyên. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các công cụ toán học mới giúp giải quyết các bài toán tối ưu phức tạp, góp phần nâng cao hiệu quả trong các lĩnh vực kỹ thuật, kinh tế và khoa học máy tính.

## Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

### Khung lý thuyết áp dụng

- **Gradient suy rộng (Clarke Gradient):** Khái niệm mở rộng của đạo hàm cho các hàm không khả vi, cho phép định nghĩa đạo hàm theo hướng và vi phân suy rộng trong không gian Banach.
- **Hàm Lipschitz:** Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz K, là cơ sở để định nghĩa gradient suy rộng.
- **Vi phân suy rộng và dưới vi phân:** Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục liên quan đến gradient suy rộng, dùng để xây dựng điều kiện tối ưu cho bài toán không trơn.
- **Phương pháp tối ưu không trơn:** Bao gồm các phương pháp dưới gradient, siêu phẳng cắt, bó, miền tin cậy và Newton không trơn, được phát triển dựa trên lý thuyết gradient suy rộng.

### Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu định tính kết hợp với xây dựng và phân tích các thuật toán số. Nguồn dữ liệu chủ yếu là các bài toán mẫu và ví dụ minh họa trong không gian Banach và không gian hữu hạn chiều. Phân tích toán học được thực hiện để chứng minh tính chất của gradient suy rộng và các điều kiện tối ưu cần thiết, đồng thời xây dựng các thuật toán giải bài toán tối ưu không trơn. Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng 3 năm, từ việc khảo sát lý thuyết cơ bản đến phát triển và thử nghiệm các phương pháp số. Các thuật toán được đánh giá qua tính hội tụ và hiệu quả tính toán trên các ví dụ thực tế.

## Kết quả nghiên cứu và thảo luận

### Những phát hiện chính

- **Phát hiện 1:** Gradient suy rộng được chứng minh là một hàm thuần nhất dương và dưới cộng tính, với tập vi phân suy rộng là tập lồi compact yếu* trong không gian liên hợp, đảm bảo tính ổn định và khả năng áp dụng rộng rãi.
- **Phát hiện 2:** Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu không trơn được xây dựng dựa trên tập vi phân suy rộng, trong đó điểm cực tiểu địa phương thỏa mãn điều kiện 0 ∈ ∂f(x*).
- **Phát hiện 3:** Phương pháp dưới gradient với quy tắc chọn bước thích hợp hội tụ tới điểm dừng Clarke, tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm nếu không có kỹ thuật mở rộng không gian.
- **Phát hiện 4:** Phương pháp miền tin cậy đối với hàm hợp không trơn cho thấy khả năng hội tụ toàn cục với điều kiện bán kính miền tin cậy được điều chỉnh linh hoạt, phù hợp với các bài toán thực tế có hàm mục tiêu phức tạp.

### Thảo luận kết quả

Các kết quả trên cho thấy gradient suy rộng là công cụ toán học hiệu quả để xử lý các bài toán tối ưu không trơn, khắc phục được hạn chế của các phương pháp truyền thống dựa trên đạo hàm khả vi. So với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi áp dụng của gradient suy rộng trong không gian Banach và phát triển các thuật toán số có tính hội tụ cao. Việc áp dụng các phương pháp như siêu phẳng cắt và phương pháp bó giúp cải thiện hiệu quả tính toán, mặc dù vẫn tồn tại nhược điểm về chi phí tính toán khi số lượng ràng buộc tăng. Phương pháp Newton không trơn được mở rộng với khái niệm ma trận Jacobi suy rộng, cho phép đạt tốc độ hội tụ nhanh hơn trong các trường hợp hàm nửa trơn bậc p. Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ so sánh tốc độ hội tụ của các phương pháp và bảng tổng hợp các điều kiện tối ưu.

## Đề xuất và khuyến nghị

- **Phát triển thuật toán chọn bước tự động:** Áp dụng kỹ thuật mở rộng không gian để điều chỉnh độ dài bước trong phương pháp dưới gradient, nhằm tăng tốc độ hội tụ và giảm chi phí tính toán trong vòng 12 tháng tới.
- **Tối ưu hóa phương pháp siêu phẳng cắt:** Nghiên cứu các kỹ thuật loại bỏ ràng buộc không cần thiết để giảm số lượng ràng buộc tích lũy, nâng cao hiệu quả thuật toán trong 18 tháng, do các nhóm nghiên cứu toán ứng dụng thực hiện.
- **Mở rộng ứng dụng phương pháp miền tin cậy:** Áp dụng vào các bài toán tối ưu trong kỹ thuật và kinh tế với hàm hợp phức tạp, tập trung vào việc điều chỉnh bán kính miền tin cậy linh hoạt, dự kiến hoàn thành trong 2 năm.
- **Nâng cao phương pháp Newton không trơn:** Phát triển các biến thể của ma trận Jacobi suy rộng để cải thiện tính ổn định và tốc độ hội tụ, đặc biệt trong các bài toán nửa trơn bậc p, với lộ trình nghiên cứu 24 tháng.
- **Đào tạo và phổ biến kiến thức:** Tổ chức các khóa học và hội thảo chuyên sâu về tối ưu không trơn và gradient suy rộng cho sinh viên và nhà nghiên cứu, nhằm nâng cao nhận thức và ứng dụng rộng rãi trong cộng đồng học thuật.

## Đối tượng nên tham khảo luận văn

- **Sinh viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Toán ứng dụng:** Nắm vững kiến thức cơ bản và nâng cao về gradient suy rộng và các phương pháp tối ưu không trơn, phục vụ cho nghiên cứu và luận văn.
- **Giảng viên và nhà nghiên cứu toán học:** Cung cấp tài liệu tham khảo về các phương pháp giải bài toán tối ưu không trơn, hỗ trợ phát triển các đề tài nghiên cứu mới.
- **Kỹ sư và chuyên gia trong lĩnh vực tối ưu hóa:** Áp dụng các thuật toán tối ưu không trơn vào các bài toán thực tế trong kỹ thuật, kinh tế và công nghệ thông tin.
- **Nhà phát triển phần mềm toán học:** Tích hợp các thuật toán tối ưu không trơn vào các phần mềm tính toán và mô phỏng, nâng cao khả năng xử lý các bài toán phức tạp.

## Câu hỏi thường gặp

1. **Gradient suy rộng là gì và tại sao nó quan trọng?**  
Gradient suy rộng là khái niệm mở rộng của đạo hàm cho các hàm không khả vi, giúp định nghĩa điều kiện tối ưu và xây dựng thuật toán giải bài toán tối ưu không trơn hiệu quả.

2. **Phương pháp dưới gradient khác gì so với phương pháp gradient truyền thống?**  
Phương pháp dưới gradient sử dụng các phần tử trong tập vi phân suy rộng thay vì đạo hàm thông thường, phù hợp với hàm không khả vi và đảm bảo hội tụ trong nhiều trường hợp.

3. **Tại sao bài toán tối ưu không trơn khó giải hơn bài toán tối ưu trơn?**  
Do hàm mục tiêu hoặc ràng buộc không khả vi, không thể sử dụng trực tiếp các công cụ đạo hàm cổ điển, gây khó khăn trong việc xác định điểm dừng và xây dựng thuật toán.

4. **Phương pháp miền tin cậy có ưu điểm gì?**  
Phương pháp miền tin cậy điều chỉnh linh hoạt bán kính miền tin cậy, giúp kiểm soát bước đi của thuật toán, tăng tính ổn định và khả năng hội tụ toàn cục.

5. **Phương pháp Newton không trơn áp dụng như thế nào?**  
Phương pháp này sử dụng ma trận Jacobi suy rộng thay cho ma trận Jacobi cổ điển, cho phép áp dụng cho các hàm không khả vi và đạt tốc độ hội tụ nhanh hơn trong trường hợp hàm nửa trơn.

## Kết luận

- Giới thiệu thành công khái niệm gradient suy rộng và các tính chất cơ bản, mở rộng ứng dụng trong tối ưu không trơn.  
- Xây dựng điều kiện cần và đủ tối ưu dựa trên vi phân suy rộng, cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc.  
- Phát triển và phân tích các phương pháp số như dưới gradient, siêu phẳng cắt, bó, miền tin cậy và Newton không trơn với tính hội tụ được chứng minh.  
- Đề xuất các giải pháp nâng cao hiệu quả thuật toán và mở rộng ứng dụng trong thực tế.  
- Khuyến khích nghiên cứu tiếp theo tập trung vào tối ưu hóa thuật toán và đào tạo chuyên sâu để phổ biến kiến thức.

**Hành động tiếp theo:** Áp dụng các phương pháp nghiên cứu vào các bài toán thực tế, phát triển phần mềm hỗ trợ và tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu về tối ưu không trơn.