Chương 1.1 Lý do chọn đề tài Một trong những lĩnh vực nghiên cứu mạnh của toán học hiện nay trên thế giới là lý thuyết tối ưu. Lĩnh vực này được nhiều nhà toán học quan tâm và có rất nhiều kết quả công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín, trong đó bài toán tối ưu và các dạng mở rộng của nó chiếm vị trí quan trọng và đã được nghiên cứu sâu rộng trong những năm gần đây. Từ những công trình đã công bố trong những năm qua, ta thấy rằng bên cạnh các chủ đề về sự tồn tại nghiệm, thuật toán giải, thì việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các mô hình tối ưu có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Theo quan sát của tác giả, chủ đề về tính ổn định nghiệm cho các lớp bài toán trong tối ưu hóa là một lĩnh vực nghiên cứu ngày càng thu hút sự chú ý của các nhà toán học trên thế giới.
Tuy nhiên, do sự phong phú và đa dạng của các loại nhiễu trong bài toán ban đầu, cũng như sự khác nhau về phương pháp và công cụ xử lý để nghiên cứu các điều kiện ổn định, nên việc tìm kiếm và xây dựng các cách tiếp cận thích hợp và các công cụ hiệu quả cho từng trường hợp là rất cần thiết. Chính vì vậy, chủ đề tính ổn định cho đến nay vẫn được xem là chủ đề có tính mới và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất của nghiệm cho các lớp bài toán có cấu trúc tổng quát hơn và gần gũi với thực tế hơn đang gặp phải nhiều thách thức do sự hạn chế về kĩ thuật và cách tiếp cận hiện có. Những cảm hứng và động lực trên chính là lý do để tác giả chọn đề tài của luận án là “Các tính chất nghiệm của bài toán tối ưu và các dạng mở rộng”.2 Mục đích nghiên cứu a) Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu tập.
b) Khảo sát tính liên tục của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng đa trị. c) Nghiên cứu sự tồn tại và ổn định nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu.3 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu 1.1 Đối tượng nghiên cứu e Tính compact, đơn điệu, quan hệ thứ tự giữa các tập hợp. e Các tính chất nửa liên tục, liên tục, liên tục Hausdorff, liên tục Holder, Lipschitz. e Tính chất hàm lồi và lồi suy rộng.
se Các bài toán liên quan đến tối ưu bao gồm bài toán tối ưu vector, bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng đa trị.2 Phuong pháp nghiên cứu e Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết. e Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết. e Phương pháp tổng quát hóa và đặc biệt hóa. e Phương pháp chuyên gia.4 Nội dung và phạm vi nghiên cứu + Nội dung chính của luận án là khảo sát điều kiện ổn định cho các mô hình tối ưu thông qua hàm vô hướng hóa Gerstewitz va các dạng mở rộng của nó.
Cu thể là: - Khảo sát các tính chất của các hàm Gerstewitz suy rộng. - Vô hướng hóa các bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng đa trị bằng các ham vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz. - Nghiên cứu tính ổn định của các bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng đa trị thông qua các hàm vô hướng hóa phi tuyến Gerstewitz. + Trong luận án này chúng tôi chỉ tập trung vào hàm vô hướng hóa dạng Tammer và được xét trong không gian sắp thứ tự theo nón có phần trong khác rỗng.
Các kết quả ổn định được tiếp cận theo nghĩa liên tục Hausdorff, liên tục Hölder/Lipschitz cho các mô hình bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng đa trị.5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tai Nội dung chính của luận án là khảo sát điều kiện ổn định cho các mô hình tối ưu, tức là kiểm soát được độ lệch của nghiệm khi dữ liệu của các mô hình bị thay đổi. Chú ý là khi xem xét các bài toán trong thực tế thì dữ liệu của chúng phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau như thời gian, sự phát triển của khoa học, xã hội và thậm chí là những yếu tố mà chúng ta không lường trước được. Chính vì vậy một bài toán không ổn định thì sẽ gặp nhiều hạn chế khi áp dung để giải quyết các vấn đề thực tiễn vì chỉ cần một thay đổi nhỏ của dit liệu đầu vào sẽ dẫn đến sự mất kiểm soát đối với các phương án mà chúng ta tìm được trước đó. Sự ổn định thường được nghiên cứu theo hai hướng chính.
Một là tính liên tục của ánh xạ nghiệm theo nhiều nghĩa khác nhau như liên tục theo nghĩa Berge, liên tục Hausdorff, liên tục HöIder/Lipschitz. Hai là sự hội tu của dãy nghiệm xấp xỉ về nghiệm của bài bài toán gốc, trong đó sự đặt chỉnh là một dạng ổn định theo cách tiếp cận thứ hai này, và được xem như là sự kết nối giữa chủ đề này và phương pháp tìm nghiệm. TONG QUAN V6 hướng hóa là một phương pháp hữu hiệu thường được sử dung khi nghiên cứu các mô hình tối ưu. Một trong những hàm vô hướng hóa phi tuyến được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu là hàm Gerstewitz [1] và bước dau da thu được nhiều tính chất quan trọng như tính liên tục, tính dưới tuyến tính, tính lồi, tính đơn điệu (chặt),.
Gần đây, nhiều dang mở rộng của hàm Gerstewitz đã được các nhà toán hoc đề xuất và nghiên cứu các tinh chất của chúng (xem [6-13]). Trong [6], các tác giả đã giới thiệu một ham vô hướng hóa Gerstewitz suy rộng cho các tap và khảo sát nhiều tính chất quan trọng của nó. Sau đó, chúng đã được sử dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đa trị thông qua phương pháp vô hướng hóa. Lấy ý tưởng từ [6], Araya [11] đã phát triển và thảo luận về các mối quan hệ của bốn loại hàm vô hướng hóa Gerstewitz cho ánh xa đa trị.
Sau đó, tác giả đã áp dụng các hàm này vào việc nghiên cứu các định lý loại tách không lồi, định lý luân phiên của Gordan cho ánh xạ đa trị, các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu tập và các định lý cực tiểu của Takahashi cho ánh xạ đa trị. Gần đây, một lần nữa ham vô hướng hóa suy rộng Gerstewitz trong [6] đã được Han và Huang [13] khảo sát các tính liên tục và tính lồi để vận dụng vào việc thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu tập. Theo dòng nghiên cứu này, chúng tôi sẽ tiếp tục xem xét các dạng mở rộng của hàm vô hướng hóa Gerstewitz và khảo sát các tính lồi (tựa lồi), tính liên tục Holder của chúng, những tính chất quan trọng được sử dụng để vô hướng hóa các bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng da trị. Cùng với sự phát triển của kinh tế, kỹ thuật,.
các mô hình tối ưu đã không ngừng được giới thiệu và đề xuất nghiên cứu. Một trong những mô hình thu hút được sự quan tâm lớn từ nhiều nhà toán học là bài toán tối ưu tập. Nhiều kết quả quan trọng và thú vị đã đạt được trong các chủ đề khác nhau cho bài toán này bao gồm các điều kiện tồn tại nghiệm (xem [18-20], điều kiện tối ưu (xem [21,22]), tính ổn định (xem [23-25] ) và sự đặt chỉnh (xem [26-29]). Tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu tập chứa tham số lần đầu xuất hiện trong [23].
Trong bài báo này, Xu va Li đã nghiên cứu về tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và tính đóng của ánh xạ nghiệm dựa trên mối quan hệ thứ tự tập kiểu u bằng cách sử dụng các điều kiện bức, được đặt tên là tính chất u, tính chất w ngược, và tính liên tục của ánh xạ mục tiêu có giá trị tập. Sau đó, Xu va Li [25] đã làm yếu và điều chỉnh các giả thiết trong [23], giới thiệu một ánh xạ mức dưới kiểu u và loại bỏ tính chất u. Gần đây, Han và Huang [30] đã giới thiệu mối quan hệ thứ tự tập yếu kiểu wu và mối quan hệ thứ tự tập yếu kiểu | để nghiên cứu tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu tập. Từ những quan sát trên, chúng tôi thấy rằng, tính liên tục của ánh xạ nghiệm xấp xi của bài toán tối ưu tập theo nghĩa Hölder, Hausdorff chưa được đề cập trong các công trình trước đây.
Vì vậy, đối với chủ đề này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính liên tục Hélder, Hausdorff của ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu tập bằng cách sử dụng phương pháp vô hướng hóa. Khi vận dụng các mô hình tối ưu vào thực tế, ví dụ như khoa học máy tính, chúng ta phải đối mặt với nhiều mô hình trong đó hàm mục tiêu được cho trong không gian tuyến tính không nhất thiết phải được trang bị với bất kỳ cấu trúc tôpô nào. Đã có nhiều công trình nghiên cứu bài toán tối ưu trong không gian tuyến tính (xem [42,44-50]). Addn và Novo [42] đã đề xuất khái niệm tựa lồi suy rộng và dưới tựa lồi suy rộng theo nón trong không gian tuyến tính thực, và sau đó các tính chất này cùng với các định lý tách và một mở rộng của định lý luân phiên dạng Gordan được sử dụng để đạt được các đặc trưng và điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vector trong không gian tuyến tính thực có hoặc không có cấu trúc topo.
Ngay sau công trình này, Adán va Novo [48] đã sử dụng lại các khái niệm này để mô tả nghiệm hữu hiệu yếu của các bài toán trên liên quan đến một nón rắn tương đối thông qua quy tắc nhân tử và định lý điểm yên ngựa. Tiếp theo, dựa trên một khái niệm bao đóng vector mới, Addn va Novo [49] giới thiệu các khái niệm tựa lồi giảm nhẹ, và sau đó các tác giả đã sử dụng các khái niệm này cùng với các cách tiếp cận được đưa ra trong [48] để xem xét các điều kiện tối ưu và đặc trưng cho nghiệm hữu hiệu chính thường theo nghĩa của Hurwicz, Benson và Borwein. Rất gần đây, Gũnther, Khazayel và Tammer [44] đã đề xuất và nghiên cứu bài toán tối ưu vector trong không gian tuyến tính thực liên quan đến các nón lồi, không nhất thiết phải nhọn và không nhất thiết phải rắn.