Bài Toán Cực Trị Với Điều Kiện Ràng Buộc Bất Đẳng Thức

Khám phá luận văn về bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức trong toán học. Tìm hiểu ứng dụng và giải pháp.

• Tác giả: Nguyễn Thị Quế
• Người hướng dẫn: PGS. Trịnh Thanh Hải
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Thạc sĩ Toán học
• Đề tài: Giải Bài Toán Cực Trị Với Điều Kiện Ràng Buộc Bất Đẳng Thức
• Loại tài liệu: Luận văn
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức
• 1.2. Một số bất đẳng thức cơ bản
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC, HỆ BẤT ĐẲNG THỨC
• 2.1. Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
• 2.2. Sử dụng giảm số biến của biểu thức
• 2.3. Vận dụng tính chất của tam thức bậc hai
• 2.4. Vận dụng tính chất của hàm số
• 2.5. Vận dụng tính chất của hình học
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Bài Toán Cực Trị Bất Đẳng Thức 55 ký tự

Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức là một chủ đề quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi. Nhiệm vụ chính là tìm giá trị lớn nhất (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (min) của một biểu thức, hàm số với các biến số thỏa mãn một số điều kiện cho trước, thường là các bất đẳng thức hoặc hệ bất đẳng thức. Các bài toán này đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức về đại số, giải tích và kỹ năng biến đổi, chứng minh bất đẳng thức. Ví dụ, bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x, y, z) với điều kiện x + y + z = 1 và x, y, z > 0 là một bài toán cực trị có điều kiện. Luận văn của Nguyễn Thị Quế (2017) đã tổng hợp nhiều phương pháp và ví dụ về dạng toán này.

1.1. Khái niệm cơ bản về cực trị có điều kiện

Bài toán cực trị có điều kiện đòi hỏi tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số F(x1, x2,...xn) với các biến x1, x2,...xn thỏa mãn điều kiện D, D có thể là một bất đẳng thức, một hệ bất đẳng thức... M được gọi là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện F(x1, x2,...,xn) >= M hoặc F(x1, x2,...,xn) <= M với mọi x1, x2,...,xn thỏa mãn D sao cho F(x1, x2,...xn) = M. Vấn đề quan trọng là xác định điều kiện D và xây dựng các phương pháp phù hợp để tìm M.

1.2. Ứng dụng đạo hàm trong bài toán cực trị ràng buộc

Ứng dụng đạo hàm là một phương pháp quan trọng. Thông thường, người ta sẽ khảo sát tính đơn điệu và các điểm dừng của hàm số trên miền xác định bị ràng buộc bởi các bất đẳng thức. Việc xác định các điểm cực trị tiềm năng và so sánh giá trị hàm số tại các điểm này cho phép tìm ra giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số. Phương pháp Lagrange cũng thường được sử dụng.

II. Thách Thức Trong Giải Toán Cực Trị Bất Đẳng Thức 59 ký tự

Giải bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức không hề dễ dàng. Một trong những thách thức lớn nhất là lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Không phải lúc nào cũng có một công thức hoặc quy trình áp dụng trực tiếp. Đôi khi, cần phải biến đổi biểu thức, sử dụng các bất đẳng thức trung gian, hoặc kết hợp nhiều phương pháp khác nhau để tìm ra lời giải. Khả năng tư duy linh hoạt, sáng tạo và kinh nghiệm giải toán đóng vai trò quan trọng. Theo Nguyễn Thị Quế (2017), việc phân loại và tiếp cận bài toán một cách có hệ thống giúp người giải có thể nhận dạng và vận dụng các phương pháp hiệu quả hơn.

2.1. Lựa chọn bất đẳng thức phù hợp AM GM Cauchy Schwarz

Việc lựa chọn bất đẳng thức phù hợp là yếu tố then chốt. Các bất đẳng thức quen thuộc như AM-GM (Cauchy), Cauchy-Schwarz (Bunhiacopski), Chebyshev, Holder đều có những ứng dụng riêng. Quan trọng là phải nhận diện được cấu trúc của bài toán để áp dụng bất đẳng thức một cách hiệu quả. Việc áp dụng sai bất đẳng thức không những không giúp giải bài toán mà còn có thể dẫn đến kết quả sai lệch.

2.2. Xử lý điều kiện ràng buộc phức tạp

Nhiều bài toán có điều kiện ràng buộc rất phức tạp, đòi hỏi phải biến đổi và đơn giản hóa trước khi có thể áp dụng các phương pháp giải. Các điều kiện ràng buộc có thể là các hệ bất đẳng thức, các biểu thức chứa căn thức, hoặc các điều kiện liên quan đến nhiều biến số. Việc xử lý khéo léo các điều kiện ràng buộc giúp giảm bớt độ phức tạp của bài toán và tạo tiền đề cho việc áp dụng các phương pháp giải.

III. Phương Pháp Dồn Biến Hiệu Quả Trong Cực Trị 58 ký tự

Kỹ thuật dồn biến là một phương pháp hữu hiệu. Ý tưởng chính là giảm số lượng biến số trong bài toán bằng cách biểu diễn một số biến qua các biến còn lại, hoặc chứng minh rằng giá trị cực trị đạt được khi một số biến bằng nhau. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi các biến số có vai trò tương tự nhau trong biểu thức. Việc dồn biến giúp đơn giản hóa biểu thức và điều kiện ràng buộc, từ đó làm cho bài toán trở nên dễ giải quyết hơn.

3.1. Áp dụng dồn biến cho bài toán đối xứng

Dồn biến đặc biệt hiệu quả cho bài toán đối xứng, khi các biến số có vai trò như nhau. Ví dụ nếu các biến số có vai trò như nhau thì ta chứng minh bài toán đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi một số biến số đó bằng nhau.

3.2. Dồn biến kết hợp với bất đẳng thức

Dồn biến thường được kết hợp với các bất đẳng thức như AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz để đánh giá biểu thức sau khi đã giảm số lượng biến số. Việc kết hợp này giúp tận dụng tối đa sức mạnh của cả hai phương pháp và đưa ra lời giải tối ưu.

IV. Giải Cực Trị Bất Đẳng Thức Bằng Đạo Hàm 54 ký tự

Sử dụng đạo hàm là một cách tiếp cận khác. Phương pháp này thường được áp dụng khi hàm số có dạng tường minh và các biến số có thể được biểu diễn qua một hoặc một vài biến số độc lập. Việc tìm các điểm dừng và khảo sát tính đơn điệu của hàm số trên miền xác định giúp xác định giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Phương pháp này đòi hỏi kiến thức vững chắc về giải tích và kỹ năng tính toán đạo hàm thành thạo.

4.1. Xác định điểm dừng và khảo sát tính đơn điệu

Việc tìm các điểm dừng và khảo sát tính đơn điệu của hàm số là bước quan trọng nhất. Các điểm dừng là các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không tồn tại. Việc khảo sát tính đơn điệu giúp xác định xem hàm số tăng hay giảm trong các khoảng xác định, từ đó xác định các điểm cực trị.

4.2. Cực trị hàm nhiều biến và điều kiện ràng buộc

Khi hàm số có nhiều biến, việc áp dụng phương pháp đạo hàm trở nên phức tạp hơn. Cần phải sử dụng đạo hàm riêng và giải hệ phương trình đạo hàm riêng để tìm các điểm dừng. Ngoài ra, các điều kiện ràng buộc cần được xem xét cẩn thận để đảm bảo các điểm dừng tìm được thỏa mãn các điều kiện này. Phương pháp Lagrange thường được sử dụng trong trường hợp này.

V. Ứng Dụng Thực Tế Nghiên Cứu Về Cực Trị 52 ký tự

Các bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc không chỉ là vấn đề lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tế. Chúng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý, và khoa học máy tính. Ví dụ, trong kinh tế, bài toán tối ưu hóa lợi nhuận hoặc chi phí thường là các bài toán cực trị có điều kiện. Trong kỹ thuật, bài toán thiết kế cấu trúc tối ưu về độ bền hoặc trọng lượng cũng thuộc loại này. Các nghiên cứu về cực trị tiếp tục được phát triển và mở rộng để giải quyết các vấn đề phức tạp trong thực tế.

5.1. Bài toán min max trong kinh tế và kỹ thuật

Bài toán min max thường xuyên xuất hiện trong kinh tế và kỹ thuật. Ví dụ, trong kinh tế, bài toán tìm giá bán để tối đa hóa lợi nhuận hoặc giảm thiểu chi phí sản xuất. Trong kỹ thuật, bài toán tìm thiết kế cấu trúc để tối đa hóa độ bền hoặc giảm thiểu trọng lượng.

5.2. Ứng dụng trong tối ưu hóa và khoa học dữ liệu

Các phương pháp giải cực trị được sử dụng rộng rãi trong tối ưu hóa và khoa học dữ liệu. Ví dụ, trong máy học, bài toán tìm tham số mô hình để tối thiểu hóa hàm mất mát là một bài toán cực trị có điều kiện. Các thuật toán tối ưu hóa dựa trên gradient descent và các biến thể của nó là những công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán này.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Toán Cực Trị 51 ký tự

Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức là một lĩnh vực nghiên cứu sâu rộng và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc nắm vững các phương pháp giải, kỹ năng biến đổi và tư duy sáng tạo là yếu tố quan trọng để giải quyết các bài toán này. Các nghiên cứu về cực trị tiếp tục được phát triển và mở rộng để đáp ứng nhu cầu giải quyết các vấn đề phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong tương lai, toán cực trị hứa hẹn sẽ có nhiều đóng góp quan trọng cho khoa học và công nghệ.

6.1. Tổng kết các phương pháp giải chính

Các phương pháp giải chính bao gồm sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, kỹ thuật dồn biến, sử dụng đạo hàm, và các phương pháp tối ưu hóa. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào cấu trúc của bài toán và kinh nghiệm của người giải.

6.2. Hướng nghiên cứu và phát triển trong tương lai

Các hướng nghiên cứu và phát triển trong tương lai bao gồm việc phát triển các thuật toán tối ưu hóa hiệu quả hơn, ứng dụng các phương pháp giải cực trị vào các lĩnh vực mới, và nghiên cứu các bài toán cực trị có độ phức tạp cao hơn. Việc kết hợp các phương pháp truyền thống với các công cụ tính toán hiện đại hứa hẹn sẽ mang lại nhiều kết quả đột phá.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm cơ bản về bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức, một số bất đẳng thức cơ bản vận dụng trong việc giải các bài toán cực trị. Nội dung chương chủ yếu lấy từ các tài liéu [3], [6], [8].1 Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức Bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức là dạng bài toán: Cho biểu thức F'{#¡,#s,., #„ thỏa mãn điều kiện D (D có thể là một bất dang thức, một hệ bất đẳng thức,. Ta nói M (M phải là hằng số) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức F khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau: +) Bất đẳng thức F'{zq,zs,.,%n) => M) đúng với mọi #1,#s,. +) Tồn tại #1,za,.,„ thỏa mãn D sao cho F(#1,#a,.

Xét các bộ số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện 1 poet tered sh 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=(a—9b+ e)” + (b— 2e + đ)” + (b— 2a)” + (e— 2đ)”. Xét các số thực a, b, e thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac < 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 P(a,b,e)=—+>. (a,b,¢) a + b + Cc Vi du 1.

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 1<z<min{z,w} rwz>3 yz > 2 Tim giá trị lớn nhất của 30 4 2010 P(ø,u,z)=—+—+ .2 Một số bất đẳng thức cơ bản 1. Bất đẳng thức AM-GM Định lý 1. Giả sử ai, ao, ., ay là các số thực không âm. n Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = a› =.

Với mọi bộ số dương ai, đa,.+— a a an, Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = a› =. Với mọi bộ số dương ay, do, ., dn ta C6 1 1 1 nŸ —+ —+. ay ag An ay +do+. + Qn Dang thtic xay ra khi va chi khi aj = ag =.

Với mọi bộ số không âm ai, aa,. ta có n ay! + ay! +. Fan CV (HH) =a n * Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = a› =. Cho các số dương a,b,c > 1.

Tim giá trị lớn nhất của biểu thức a b Cc 1 1 1 —j+P Pret area abo Phân tích. L1 1 Trong biểu thức P ta nhận thấy rằng biểu thức — + i +— nam trong 2 a Zz C. x căn thức, vì vậy ta hoàn toàn có thể mạnh dan suy nghi dén việc cần tìm một bất đẳng thức phụ sao cho có thể đưa ra được một đánh giá 1 1 <fC +7 +7) ¬ a + b + € a2 + b2 be + ce c2 + a2 1 1 1 2 1 1 1 trong do f(— + + -) là một biểu thức có chứa (— + + =). ~ a b Cc Bài toán đang cần tìm giá trị lớn nhât vì thê ta nghĩ tới chiêu đánh giá P<, khi đó ta cần sử dụng aˆ + bŸ >,b2 + c2 >,c? + a2 >.

Điều này làm ta suy nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-CM. Khi đó ta đánh giá được: a + b + Cc < a + b Cc 1 e+? e+e c?2+a2— 2ab 2c 2ca— 2 Từ đó ta tìm được lời giải như sau: Bài giải. Theo bất đẳng thức AM-CM ta có: a2 + b2 > 2ab, bˆ + c2 > 2bc, c + a2 > 2ca œ a + b + Cc < a + b Cc e+ e+e c?2+a2— 2ab 2be a b Cc 11 1 1 sứ + +2): S&S —=— s1 :z†+—< e+? e+e etae~ Qa c Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b= e khi đó: 11 1 1 1 1 1 P<_-(-+1+-—+¬- a SagGtatot abc t Dat f(t) = 3 + vt Ta tim diéu kiện của biến t: Vì ø,be> nên +) + <8, do đó0<£<3, a t VÀ CS nến 2 Š 5 và vVf < v8 3 3 Suy ra 5 + Vis 5 + V3 hay f() <5 + v3 3 Vay P< 5+ v3. Dang thtic xay ra khia =b=c=1.

Vay giá trị lớn nhất của P là 5 + V tại a = b =e= 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn e > 0,ø > c,b >c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= (/e(a— e) + \/c(b — e) — 2a bẺ. oo + fea va (0-9) + (0-9).

Theo bất đẳng thức AM-GM cho hai số ta có: Vel DeVel- sale 0-2) 36+ 0-9) Bài giải. Ta có ĩ =1 Suy ra \/c(a — c) + \/e(b— 0) < Vab Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi: =1— SIoc=lIco =icoSloe =1— Vậy P < Wab — 2a?2.b = t ta đi xét hàm số ƒ(£) = v† — 2#?,t > 0. Ta c6 P < f(ab) 1 1 Vif) = 5Vvt-dt=0e t= 7. ay Lap bang bién thién ta dé dang thay f(t) < Col Ww Vt € (0; +00) suy ra P< f(ab)< Col Ww Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ab = + LÊ 1 ab ¢ a+b 1 abc _ 1 = Fab) 1 @a=tb=7.

ee pt 14 4, 9 _ 1 , Vay giá trị lớn nhât của P là s tại a =f,Ù = TC 1T? trong đó t là một số thực dương bat ky. Với cách suy luận tương tự nhờ áp dung bất đẳng thức AM-ƠM ta cũng giải được bài toán tương tự: Ví dụ 1. Cho các số thực +, thỏa mãn z + > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=92(œ”+)— 3V+ +.

Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức quan trọng nhất, quen thuộc nhất và có tầm ứng dụng rộng rãi trong các bộ môn của toán học sơ cấp. Nó đóng vai trò quan trọng trong những bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như những bài toán tìm cực trị. Sự thành công cuả việc áp dụng bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc bất đẳng thức, hệ bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào sự linh hoạt của người sử dụng và kỹ thuật chọn các số đi, a2,. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunhiacopski) Dinh ly 1.

Cho các số thực tùy ý: øi, da,., a„ và bị, bạ,. Khi đó ta luôn có: (aibi + asba +. + bề), Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi H6 _— an bị by bn Vi dụ 1. Cho các số a, b, c dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 > 1.

bhetl chatl atb+i1~ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+ec— 2\/3(ab + be + ca). Nhìn vào bài toán trên, ta sẽ quan tâm đến chiều đánh giá œ+b+c> ƒ(ab + be + ca). Tuy nhiên nếu sử dụng hệ quả của AM-GM để đánh giá a+b+c> \/3(ab + be + ca) khi đó ta có P > —⁄3(œb + be + ca) thì đến day bài toán bị dừng lại bởi rất khó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 9 Chính vì vậy mối quan tâm của chúng ta là làm thế nào để tận dụng SA TA ge x I 1 được điều kiện của bài toán ban đầu + + >1 b+e+1 ctat+l a+t+b+l1 dé c6atb+c> f(ab+be+t ca).

Muốn vậy, ta cần đánh giá về phía trái của điều kiện nghĩa là tồn tại 1 1 một hệ thức 4 > + + > 1 và từ đó đưa ra b+e+1 ctatl1 a+b+TI được mối liên hệ a + b+ e> ƒ(ab + be + ca). Do đó ta sẽ tư duy theo chiều b+ + 1> ƒ(a+b+ ©). Nhờ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có (l+b+c)(e+yt+2) > (Vat Vby + Vez) nhưng ta nhận thay dé V# + Wbu+ Wecz — a+b+ec ta cần chọn = a2, = b, z = c. Tương tự cho các nhóm biểu thức còn lại.

Và từ đó ta daénh gia duge: (1+ b+ c)(a?+b+c) > (at+b+c)? ti dé ta có lời giải bài toán như sau: Bài giải. Ap dung bất đẳng thức Bunhiacopski cho các số thực dương a, b, e ta được: (1+b+)(a@?°+b+e)>(a+b+e? (l+cta\(P+ct+a +b+c) (1+a+b)(®+a+b +b+e€)? 1 < a°+b+c b+c+1—~ (a+b+c)? 1 < P+eta ctat+l17~ (a+b+c) 1 < C+atb a+b+17 (a+b+c} ° 1 + 1 + 1 &f+t+ẻ+2(a+b+c) b+c+1l c+a+Tl a+b+T1— (a+b+c) Mat khac, vi )2(a )2 (a 1 1 1 >1 b+e+T cưa aibÐ1C 10 a2+b2+c2+2(a+b+c) >1 (a+b+c) — ©a?+Ù?+c°+2(a+b+e)>(a+b+e) œ©a?+?+c°+2(a+b+e)>a°2+bˆ+c? + 2(ab + be + ca) ©ø+b+c>ub+bc+ ca. Dang thtic xay ra khi va chi khia =b=c=1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P 1A -3 tala =b=c=1.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A=2z +3 biết 2+2 + 3U” < 5. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: A? = (2z + 3u)? = (v2. Đăng thức xảy ra khi: zv2 _ v3 v3 v3 2z? + 3u? = 5 11 hoặc r=y=-l. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -5 đạt được khi x = y = 1.

Giá trị lớn nhất của A là 5 đạt được khi z = ¿ = —1. Cũng giống như bất đẳng thức AM-GM thì bất đẳng thức Bunhiacopski cũng là một bất đắng thức thường xuyên được sử dụng. Bất đẳng thức này không cần điều kiện các bộ số là dương hay không âm, tuy nhiên để có thể áp dụng thành công bất đẳng thức Bunhiacopski thì ứng với mỗi bài toán cực trị cần phải lựa chọn ra các bộ 86 ay, a2, a3, ., Gn Va by, bg, b3, .,6, cho thích hợp. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức Định lý 1.

Xét hai bộ số thực tùy ý ai, đs,., a„ và bị, bạ,., bạ, trong dé b; > 0,Vi = 1,2,. Khi đó, ta có ae độ a2 aj+a +. +a,)Ÿ yy Gay (UF at Fan) by bạ bạ bị + bạ +. + bạ 3 8 có pos Uh a2 Qn my, 4 2 nà Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi Bobb Tw dinh ly nay, ta 1 2 n thu được hai hệ quả quan trọng sau: Hệ quả 1.

Với n số thực tùy ý ai, ag, ., dn, ta cd (œi + a¿ +. a2 > n Kết quả này thu được bằng cách cho bị = bạ =. Với n số thực tùy ¥ 71, 72,. + „ Kết quả này có thể thu được bằng cách cho a; = ag =.

= dn = 1 va by = X1, by —= #2, ws On — 1n. Cho z,, z là các số thực dương thỏa mãn øu> 1,z> 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức to. Bài toán đối xứng theo z, nên ta có điểm rơi khi z =.

Do đó ta đánh giá hai phân thức đầu bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp với bất đẳng thức AM-GM, khi đó ta được: + y 2 y? ~ = + yt1l x+l z+z xyt+y &@ t6 ` — (ety) Ae +) — 9zu+z+— (w+)? _ ø+y+2! y U_ (+) Tư +g y 2 Do z > 1 nên ta đánh giá 3 z+2 > 1 > 4 3(œ+1) — zu+l1— (z+ø)}?+4 p> 2(xz+ø) + 4 z+u+2_ (z+)?