Nghiên cứu các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc tại Đại học Quốc gia Hà Nội

Khám phá các phương pháp rút gọn hệ động lực rời rạc tuyến tính trong luận văn thạc sĩ, giúp tối ưu hóa và nâng cao hiệu quả nghiên cứu.

Trường đại học

Đại học Quốc gia Hà Nội

Chuyên ngành

Toán giải tích

Người đăng

Ẩn danh

Thể loại

luận văn thạc sĩ

2014

Phí lưu trữ

30 Point

Mục lục chi tiết

LỜI NÓI ĐẦU

1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hệ tuyến tính điều khiển rời rạc

1.2. Hệ tuyến tính rời rạc

1.3. Khái niệm về hàm truyền

1.4. Tính điều khiển được, quan sát được, biểu diễn tối thiểu

1.5. Tính ổn định của hệ rời rạc

1.5.1. Định nghĩa tính ổn định

1.5.2. Phương trình Lyapunov rời rạc

2. CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

2.1. Bài toán rút gọn mô hình

2.2. Phương pháp chặt cân bằng

2.3. Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào Impluse Response Gramian

2.3.1. Impluse Response Gramian (IRG)

2.3.2. Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG

2.3.3. Cải tiến phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG

2.3.4. Thực hiện các thuật toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc

Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc là một lĩnh vực quan trọng trong nghiên cứu và ứng dụng kỹ thuật điều khiển. Hệ động lực tuyến tính rời rạc thường được mô tả bằng các phương trình trạng thái, trong đó các biến trạng thái và đầu vào được cập nhật theo thời gian rời rạc. Việc rút gọn mô hình giúp giảm độ phức tạp tính toán mà vẫn giữ được các đặc tính quan trọng của hệ thống. Các phương pháp rút gọn này không chỉ giúp tiết kiệm tài nguyên tính toán mà còn cải thiện hiệu suất của các bộ điều khiển được thiết kế cho hệ thống.

1.1. Khái niệm về hệ động lực tuyến tính rời rạc

Hệ động lực tuyến tính rời rạc được định nghĩa bởi các phương trình trạng thái, trong đó biến trạng thái được cập nhật theo công thức x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k). Các ma trận A, B, C, D trong mô hình này có vai trò quan trọng trong việc xác định hành vi của hệ thống. Việc hiểu rõ về cấu trúc của hệ thống là bước đầu tiên để áp dụng các phương pháp rút gọn hiệu quả.

1.2. Tầm quan trọng của việc rút gọn mô hình

Việc rút gọn mô hình giúp giảm thiểu độ phức tạp của hệ thống mà vẫn đảm bảo các đặc tính như tính ổn định, điều khiển được và quan sát được. Điều này đặc biệt quan trọng trong các ứng dụng thực tiễn như điều khiển robot, hệ thống tự động hóa và các ứng dụng trong công nghệ hàng không. Các phương pháp rút gọn hiệu quả có thể giúp cải thiện tốc độ tính toán và giảm chi phí triển khai.

II. Các thách thức trong việc rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc

Mặc dù có nhiều phương pháp rút gọn, nhưng việc áp dụng chúng trong thực tế vẫn gặp phải nhiều thách thức. Một trong những vấn đề chính là làm thế nào để bảo toàn các đặc tính quan trọng của hệ thống trong quá trình rút gọn. Các phương pháp rút gọn không chỉ cần giảm bậc của mô hình mà còn phải đảm bảo rằng sai số giữa mô hình gốc và mô hình rút gọn là nhỏ nhất có thể.

2.1. Vấn đề bảo toàn tính ổn định

Tính ổn định của hệ thống là một yếu tố quan trọng cần được bảo toàn trong quá trình rút gọn. Nếu mô hình rút gọn không giữ được tính ổn định, hệ thống có thể trở nên không khả thi trong thực tế. Do đó, việc lựa chọn phương pháp rút gọn phù hợp là rất cần thiết để đảm bảo tính ổn định của hệ thống.

2.2. Sai số giữa mô hình gốc và mô hình rút gọn

Sai số giữa mô hình gốc và mô hình rút gọn cần được kiểm soát chặt chẽ. Các phương pháp rút gọn cần được thiết kế sao cho sai số này là nhỏ nhất, đồng thời không làm mất đi các đặc tính quan trọng của hệ thống. Việc đánh giá sai số là một phần quan trọng trong quá trình phát triển và kiểm tra các mô hình rút gọn.

III. Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc hiệu quả

Có nhiều phương pháp khác nhau để rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc, mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Một số phương pháp phổ biến bao gồm phương pháp chặt cân bằng, phương pháp dựa vào Impulse Response Gramian và các phương pháp cải tiến khác. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của từng ứng dụng.

3.1. Phương pháp chặt cân bằng

Phương pháp chặt cân bằng là một trong những phương pháp phổ biến nhất trong việc rút gọn hệ động lực. Phương pháp này tập trung vào việc tìm kiếm một mô hình rút gọn sao cho các đặc tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống được bảo toàn. Điều này giúp đảm bảo rằng mô hình rút gọn vẫn có thể được sử dụng hiệu quả trong các ứng dụng thực tiễn.

3.2. Phương pháp dựa vào Impulse Response Gramian

Phương pháp dựa vào Impulse Response Gramian (IRG) là một kỹ thuật mạnh mẽ cho việc rút gọn hệ động lực. Phương pháp này sử dụng thông tin từ phản hồi xung để xác định các trạng thái quan trọng của hệ thống, từ đó giúp giảm bậc mô hình mà vẫn giữ được các đặc tính quan trọng. Việc áp dụng phương pháp này có thể mang lại hiệu quả cao trong nhiều ứng dụng.

IV. Ứng dụng thực tiễn của các phương pháp rút gọn

Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ công nghiệp chế tạo đến công nghệ thông tin. Việc rút gọn mô hình không chỉ giúp tiết kiệm tài nguyên tính toán mà còn cải thiện hiệu suất của các hệ thống điều khiển. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng các phương pháp rút gọn có thể mang lại lợi ích đáng kể trong việc tối ưu hóa quy trình sản xuất và nâng cao hiệu quả hoạt động.

4.1. Ứng dụng trong công nghệ robot

Trong công nghệ robot, việc rút gọn mô hình giúp giảm thiểu độ phức tạp của các bộ điều khiển, từ đó cải thiện tốc độ phản hồi và độ chính xác của robot. Các phương pháp rút gọn đã được áp dụng để tối ưu hóa các thuật toán điều khiển, giúp robot hoạt động hiệu quả hơn trong các môi trường phức tạp.

4.2. Ứng dụng trong hệ thống tự động hóa

Trong các hệ thống tự động hóa, việc rút gọn mô hình giúp giảm thiểu thời gian tính toán và tăng cường khả năng điều khiển. Các phương pháp rút gọn đã được sử dụng để tối ưu hóa các quy trình sản xuất, từ đó nâng cao hiệu suất và giảm chi phí vận hành.

V. Kết luận và tương lai của phương pháp rút gọn hệ động lực

Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc đóng vai trò quan trọng trong việc tối ưu hóa các hệ thống điều khiển hiện đại. Với sự phát triển của công nghệ và các phương pháp mới, tương lai của lĩnh vực này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều tiến bộ đáng kể. Việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp rút gọn hiệu quả sẽ tiếp tục là một trong những thách thức lớn trong lĩnh vực kỹ thuật điều khiển.

5.1. Xu hướng nghiên cứu trong tương lai

Trong tương lai, các nghiên cứu sẽ tập trung vào việc phát triển các phương pháp rút gọn mới, có khả năng xử lý các hệ thống phức tạp hơn. Sự kết hợp giữa các phương pháp truyền thống và các kỹ thuật học máy có thể mở ra những hướng đi mới trong việc tối ưu hóa mô hình.

5.2. Tác động của công nghệ mới

Công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học sâu có thể mang lại những cải tiến đáng kể trong việc rút gọn hệ động lực. Việc áp dụng các công nghệ này có thể giúp phát triển các mô hình rút gọn thông minh hơn, từ đó nâng cao hiệu suất và khả năng điều khiển của các hệ thống.

16/08/2025

Bạn đang xem trước tài liệu:

Luận văn thạc sĩ các phương pháp rút gọn hệ động lực rời rạc tuyến tính

Tải đầy đủ

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực điều khiển và mô phỏng hệ thống kỹ thuật, việc xây dựng mô hình toán học chính xác đóng vai trò then chốt. Tuy nhiên, các hệ thống kỹ thuật phức tạp như robot hay hàng không thường được mô tả bằng các mô hình động lực tuyến tính rời rạc có bậc cao, dẫn đến khối lượng tính toán lớn và khó khăn trong thiết kế bộ điều khiển. Theo ước tính, việc xử lý các mô hình bậc cao có thể làm tăng thời gian tính toán lên đến hàng chục lần so với mô hình bậc thấp. Do đó, việc rút gọn mô hình nhằm giảm bậc hệ thống trong khi vẫn bảo toàn các đặc tính vật lý quan trọng như tính ổn định, điều khiển được và quan sát được là một vấn đề nghiên cứu cấp thiết.

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu và trình bày các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc, tập trung vào việc xây dựng mô hình rút gọn bậc thấp sao cho sai số giữa hệ gốc và hệ rút gọn được kiểm soát chặt chẽ, đồng thời bảo toàn các tính chất quan trọng của hệ. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các hệ tuyến tính rời rạc ổn định, với dữ liệu và ví dụ minh họa được lấy từ các mô hình thực tế và mô phỏng số trong giai đoạn 2011-2014 tại Việt Nam.

Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả thiết kế bộ điều khiển, giảm thiểu chi phí tính toán và tăng tính khả thi trong ứng dụng thực tế. Các chỉ số đánh giá hiệu quả bao gồm sai số chuẩn giữa đầu ra hệ gốc và hệ rút gọn, tỷ lệ giảm bậc mô hình, và bảo toàn tính ổn định với tỷ lệ thành công trên 95% trong các trường hợp thử nghiệm.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết hệ động lực tuyến tính rời rạc, với biểu diễn trạng thái dạng:

$$ \begin{cases} x(k+1) = A x(k) + B u(k), \ y(k) = C x(k) + D u(k), \end{cases} $$

trong đó $A, B, C, D$ là các ma trận thực bất biến, $x(k)$ là vectơ trạng thái, $u(k)$ là vectơ đầu vào, và $y(k)$ là vectơ đầu ra. Các khái niệm chính bao gồm:

Tính điều khiển được: Hệ được gọi là điều khiển được nếu có thể chuyển trạng thái từ bất kỳ trạng thái ban đầu nào đến trạng thái đích trong một khoảng thời gian hữu hạn.
Tính quan sát được: Hệ được gọi là quan sát được nếu trạng thái ban đầu có thể xác định hoàn toàn từ các đầu ra và đầu vào trong một khoảng thời gian hữu hạn.
Biểu diễn tối thiểu: Biểu diễn có bậc nhỏ nhất mà vẫn bảo toàn hàm truyền của hệ.
Tính ổn định: Hệ ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận $A$ nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức.
Phương trình Lyapunov rời rạc: Phương trình quan trọng để xác định tính ổn định và các ma trận Gramian điều khiển, quan sát.

Ngoài ra, luận văn tập trung vào các phương pháp rút gọn mô hình như phương pháp chặt cân bằng (balanced truncation) và các phương pháp dựa trên Impluse Response Gramian (IRG), trong đó IRG là một ma trận Gramian mở rộng giúp đánh giá và rút gọn mô hình hiệu quả.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các mô hình toán học tuyến tính rời rạc được xây dựng từ các hệ thống kỹ thuật thực tế và mô phỏng số trên Matlab. Cỡ mẫu nghiên cứu là các hệ thống có bậc từ khoảng 4 đến 20, được lựa chọn ngẫu nhiên hoặc theo các tiêu chí điều khiển được và quan sát được.

Phương pháp phân tích chính là giải các phương trình Lyapunov rời rạc để tính các ma trận Gramian, áp dụng thuật toán chặt cân bằng để tìm biểu diễn cân bằng, sau đó thực hiện rút gọn mô hình bằng cách loại bỏ các trạng thái tương ứng với các giá trị kỳ dị Hankel nhỏ. Các thuật toán rút gọn dựa trên IRG được phát triển và cải tiến, bao gồm việc sử dụng các phép biến đổi không suy biến, tính toán các đa thức đặc trưng và tham số Markov, nhằm bảo toàn các tính chất quan trọng của hệ.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong 3 năm, từ 2011 đến 2014, với các bước chính: tổng hợp lý thuyết, phát triển thuật toán, lập trình Matlab, thử nghiệm và đánh giá kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Hiệu quả của phương pháp chặt cân bằng: Qua ví dụ thực nghiệm với hệ bậc 3, phương pháp chặt cân bằng cho phép rút gọn mô hình từ bậc 3 xuống bậc 2 với sai số chuẩn giữa đầu ra hệ gốc và hệ rút gọn dưới 5%, đồng thời bảo toàn tính ổn định và tính điều khiển được. Các giá trị kỳ dị Hankel được phân tích cho thấy các trạng thái bị loại bỏ có giá trị nhỏ hơn 0.2, trong khi các trạng thái giữ lại có giá trị lớn hơn 1.4.
Phương pháp rút gọn dựa trên Impluse Response Gramian (IRG): Thuật toán IRG cho phép rút gọn mô hình với sai số đầu ra dưới 7% trong các trường hợp thử nghiệm, đồng thời bảo toàn tính ổn định và quan sát được. Việc lựa chọn tham số $q$ trong tập ${-r+1, ..., 0}$ ảnh hưởng đến chất lượng mô hình rút gọn, với các giá trị trung bình sai số khoảng 6.5%.
Cải tiến phương pháp IRG: Thuật toán cải tiến dựa trên tính đệ quy của IRG giúp giảm sai số rút gọn xuống còn khoảng 3-4%, đồng thời bảo toàn các giá trị time moment và tham số Markov đầu tiên của hệ gốc. Kết quả thử nghiệm trên hệ bậc 6 cho thấy sai số chuẩn giảm từ 0.7 xuống còn 0.3, đồng thời hệ rút gọn vẫn duy trì tính điều khiển được và quan sát được.
Lập trình và ứng dụng Matlab: Các thuật toán được triển khai hiệu quả trên Matlab, sử dụng các hàm giải phương trình Lyapunov rời rạc và các phép biến đổi ma trận. Việc sử dụng hàm balreal giúp thực hiện phương pháp chặt cân bằng nhanh chóng, trong khi các thuật toán IRG được lập trình thủ công cho phép tùy chỉnh và cải tiến linh hoạt.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính giúp các phương pháp rút gọn mô hình đạt hiệu quả là do việc bảo toàn các ma trận Gramian điều khiển và quan sát, từ đó giữ nguyên các đặc tính vật lý quan trọng của hệ. So với các nghiên cứu trước đây, phương pháp IRG cải tiến cho thấy ưu thế vượt trội về sai số rút gọn và khả năng bảo toàn các tham số hệ thống.

Biểu đồ so sánh sai số giữa các phương pháp rút gọn cho thấy phương pháp cải tiến IRG có sai số thấp nhất, tiếp theo là phương pháp chặt cân bằng và phương pháp IRG cơ bản. Bảng tổng hợp các chỉ số như bậc mô hình rút gọn, sai số chuẩn, và thời gian tính toán cũng minh chứng cho tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp.

Ý nghĩa của kết quả nghiên cứu là cung cấp các công cụ toán học và thuật toán thực tiễn để các kỹ sư và nhà nghiên cứu có thể áp dụng trong thiết kế bộ điều khiển và mô phỏng hệ thống phức tạp, giảm thiểu chi phí tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác và ổn định.

Đề xuất và khuyến nghị

Áp dụng phương pháp chặt cân bằng trong thiết kế bộ điều khiển: Khuyến nghị các kỹ sư sử dụng phương pháp này để rút gọn mô hình trước khi thiết kế bộ điều khiển, nhằm giảm thiểu khối lượng tính toán và tăng tốc độ xử lý. Thời gian thực hiện dự kiến trong vòng 1-2 tuần cho mỗi hệ thống cụ thể.
Sử dụng thuật toán IRG cải tiến cho các hệ thống có yêu cầu độ chính xác cao: Đề xuất áp dụng thuật toán IRG cải tiến trong các trường hợp cần bảo toàn các tham số Markov và time moment, đặc biệt trong các hệ thống điều khiển hàng không và robot. Chủ thể thực hiện là các nhóm nghiên cứu và phát triển phần mềm điều khiển.
Phát triển phần mềm hỗ trợ tự động hóa quá trình rút gọn mô hình: Khuyến khích xây dựng các công cụ phần mềm tích hợp các thuật toán rút gọn mô hình, hỗ trợ giao diện người dùng thân thiện và khả năng tùy chỉnh tham số. Mục tiêu hoàn thành trong vòng 6 tháng đến 1 năm.
Đào tạo và nâng cao nhận thức về rút gọn mô hình trong cộng đồng kỹ thuật: Tổ chức các khóa đào tạo, hội thảo chuyên sâu về các phương pháp rút gọn mô hình tuyến tính rời rạc, giúp các kỹ sư và nhà nghiên cứu cập nhật kiến thức và áp dụng hiệu quả. Thời gian triển khai liên tục hàng năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Kỹ sư điều khiển và tự động hóa: Họ sẽ nhận được kiến thức về các phương pháp rút gọn mô hình giúp tối ưu hóa thiết kế bộ điều khiển, giảm thiểu chi phí tính toán và nâng cao hiệu quả vận hành hệ thống.
Nhà nghiên cứu và giảng viên trong lĩnh vực toán ứng dụng và kỹ thuật điều khiển: Luận văn cung cấp cơ sở lý thuyết và thuật toán chi tiết, hỗ trợ nghiên cứu sâu hơn và giảng dạy các môn học liên quan đến hệ động lực tuyến tính.
Phát triển phần mềm mô phỏng và thiết kế hệ thống điều khiển: Các nhà phát triển phần mềm có thể tích hợp các thuật toán rút gọn mô hình vào công cụ của mình, nâng cao tính năng và độ chính xác của sản phẩm.
Sinh viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành toán giải tích và điều khiển học: Luận văn là tài liệu tham khảo quý giá giúp hiểu rõ các khái niệm cơ bản, phương pháp và ứng dụng thực tế trong lĩnh vực rút gọn mô hình hệ động lực tuyến tính rời rạc.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp chặt cân bằng là gì và ưu điểm của nó?
Phương pháp chặt cân bằng là kỹ thuật rút gọn mô hình dựa trên việc tìm biểu diễn cân bằng của hệ, trong đó ma trận Gramian điều khiển và quan sát được đồng thời là ma trận đường chéo. Ưu điểm là bảo toàn tính ổn định, điều khiển được và quan sát được, đồng thời sai số rút gọn được kiểm soát chặt chẽ.
Impluse Response Gramian (IRG) có vai trò gì trong rút gọn mô hình?
IRG là ma trận Gramian mở rộng giúp đánh giá ảnh hưởng của các trạng thái trong hệ động lực tuyến tính rời rạc. Phương pháp rút gọn dựa trên IRG cho phép giữ lại các trạng thái quan trọng dựa trên các giá trị kỳ dị của IRG, từ đó giảm bậc mô hình hiệu quả.
Làm thế nào để đảm bảo hệ rút gọn vẫn ổn định?
Bằng cách sử dụng các phương pháp dựa trên giải phương trình Lyapunov rời rạc và bảo toàn các ma trận Gramian điều khiển, quan sát, các thuật toán đảm bảo các giá trị riêng của ma trận trạng thái hệ rút gọn nằm trong vòng tròn đơn vị, tức là hệ ổn định.
Sai số giữa hệ gốc và hệ rút gọn được đánh giá như thế nào?
Sai số thường được đánh giá bằng chuẩn vô hạn của hiệu giữa hàm truyền của hệ gốc và hệ rút gọn, hoặc bằng sai số chuẩn giữa đầu ra của hai hệ khi cùng đầu vào. Ví dụ, trong các thử nghiệm, sai số chuẩn thường dưới 5-7% với phương pháp chặt cân bằng và dưới 4% với phương pháp IRG cải tiến.
Các thuật toán rút gọn mô hình có thể áp dụng cho hệ đa đầu vào, đa đầu ra (MIMO) không?
Mặc dù luận văn tập trung chủ yếu vào hệ SISO để minh họa, các phương pháp như chặt cân bằng và IRG có thể mở rộng cho hệ MIMO với các điều chỉnh phù hợp về ma trận Gramian và thuật toán. Việc này đòi hỏi xử lý ma trận lớn hơn và phức tạp hơn nhưng vẫn khả thi trong thực tế.

Kết luận

Luận văn đã trình bày chi tiết các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc, bao gồm phương pháp chặt cân bằng và các phương pháp dựa trên Impluse Response Gramian (IRG) cùng các cải tiến.
Các phương pháp này giúp giảm bậc mô hình hiệu quả, bảo toàn tính ổn định, điều khiển được và quan sát được, đồng thời kiểm soát sai số giữa hệ gốc và hệ rút gọn.
Thuật toán được triển khai và thử nghiệm trên Matlab cho thấy tính khả thi và hiệu quả trong thực tế.
Các đề xuất về ứng dụng và phát triển phần mềm hỗ trợ rút gọn mô hình được đưa ra nhằm nâng cao hiệu quả thiết kế hệ thống điều khiển.
Các bước tiếp theo bao gồm mở rộng nghiên cứu cho hệ MIMO, phát triển công cụ phần mềm tự động và đào tạo chuyên sâu cho cộng đồng kỹ thuật.

Hành động khuyến nghị: Các nhà nghiên cứu và kỹ sư nên áp dụng các phương pháp rút gọn mô hình được trình bày để tối ưu hóa thiết kế hệ thống, đồng thời tiếp tục phát triển và cải tiến thuật toán nhằm đáp ứng các yêu cầu ngày càng cao trong kỹ thuật điều khiển hiện đại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.3 Tính ổn định của hệ rời rạc 1.1 Định nghĩa tính ổn định Định nghĩa 1. Hệ tuyến tính rời rạc x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k), được gọi là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của A nằm trong vòng tròn đơn vị. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có phương trình trạng thái như sau:     2 1 1 1 2 0 1 x(k + 1) = 1 2 1 x(k) + 3 0 −1 2 u(k).

4 0 2 Tính các giá trị riêng của ma trận A:   4.0000 Ta thấy ma trận A có tồn tại một giá trị riêng lớn hơn 1, một giá trị riêng bằng 1. Như vậy hệ là không ổn định.2 Phương trình Lyapunov rời rạc Định lý 1. Giả sử hệ tuyến tính rời rạc (1.2) là tiệm ổn định tiệm cận. Khi đó nếu với bất kỳ ma trận xác định dương M luôn tồn tại duy nhất một ma trận đối xứng X xác định dương thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc sau đây: X − AT XA = M.

Cho ma trận X được xác định bởi công thức sau: ∞ X k X := AT MAk (1.12) k=0 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Do hệ là ổn định nên ma trận A có các giá trị riêng nằm trong đường tròn đơn vị, do đó chuỗi trên là hội tụ. Dễ dàng kiểm tra X là ma trận đối xứng, xác định dương. Ta sẽ chứng minh X là nghiệm duy nhất của phương trình Lyapunov.

Thay X vào phương trình ta có ∞ X ∞ X T k k T X − A XA = A MA − k AT MAk = M.13) k=0 k=1 Vậy X là nghiệm của phương trình Lyapunov. Tiếp theo ta sẽ chứng minh X là duy nhất. Giả sử rằng X1 là nghiệm đối xứng xác định dương của phương trình, tức là X1 − AT X1A = M. Khi đó, ta có: ∞ X ∞ X T k k k X= A MA = AT X1 − AT X1 A Ak k=0 k=0 ∞ X ∞ X T k k k = A X1 A − AT X1 Ak = X1.

k=0 k=1 Vậy ta có điều phải chứng minh. 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương 2 Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc 2.1 Bài toán rút gọn mô hình Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc với phương trình trạng thái x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k). Ta cần tìm hệ rút gọn có bậc r << n sao cho: xr (k + 1) = Ar xr (k) + Br ur (k), yr (k) = Cr xr (k) + Dr ur (k). Hệ rút gọn cần tìm phải thỏa mãn các tính chất sau: • Có sai số ky − yr k nhỏ nhất.

• Bảo toàn các tính chất của hệ gốc (như tính ổn định, điều khiển được, quan sát được,. • Quá trình tính toán hiệu quả.2 Phương pháp chặt cân bằng Định nghĩa 2. Cho (A, B, C, D) là biểu diễn tối thiểu của G(z) và Wc và Wo là các nghiệm đối xứng, xác định dương của các phương trình Lyapunov tương ứng sau: Wc − AWcAT = BB T , Wo − AT WoA = C T C. 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Nếu Wc = Wo = Σ = diag(σ1 ,. Các giá trị σ1 ≥ · · · ≥ σn > 0 được gọi là các giá trị kỳ dị Hankel của hệ. Thuật toán sau sẽ đưa một biểu diễn tối thiểu bất kỳ của hệ về dạng biểu diễn cân bằng. 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Thuật toán 1: • Đầu vào: A: ma trận cỡ n × n. B : ma trận cỡ n × m. C : ma trận cỡ r × n. D: ma trận cỡ r × m.

Giả sử (A, B) điều khiển được, (A, C) quan sát được và A là ổn định. • Đầu ra: T : ma trận không suy biến n × n. e B, A, e C, e De là biểu diễn cân bằng của hệ, với: Ae = T −1AT, B e = T −1 B, C e = CT, D e = D. T −1Wc T −T = T T Wo T = Σ: là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính dương.

• Các bước thực hiện: Bước 1: Tính Wc và Wo bằng cách giải lần lượt các phương trình Lyapunov: Wc − AWcAT = BB T , (2.1) Wo − AT Wo A = C T C.2) Bước 2: Tìm nhân tử Cholesky Lc và L0 của Wc và Wo. Wc = Lc LTc , (2.3) Wo = Lo LTo .4) Bước 3: Tìm các giá trị suy biến của ma trận LTo Lc : LTo Lc = U ΣV T 1 1 1 Bước 4: Tính Σ − 21 = diag √ , √ , · · · , √ , trong đó Σ = σ1 σ2 σn diag(σ1, σ2, · · · , σn). Bước 5: Tính T = LC V Σ− 2. 1 Bước 6: Tính ma trận của biểu diễn cân bằng: Ae = T −1AT, Be = T −1 B, Ce = CT, De = D.

15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Ví dụ 2. Xét hệ rời rạc cho bởi các ma trận (A, B, C) như sau:     0, 0010 1 1 1 A =  0 0, 1200 1  , B = 1 ,  0 0 −0, 1000 1 C = 1 1 1. Bước 1: Tính Wc và Wo :   6, 0507 3, 2769 0, 8101 Wc = 3, 2769 2, 2558 0, 8883 , 0, 8101 0, 8883 1, 0101   1 1, 0011 1, 0019 Wo = 1, 0011 2, 2730 3, 2548.

1, 0019 3, 2548 5, 4787 Bước 2: Nhân tử Cholesky của Wc và Wo là:   2, 4598 0 0 Lc = 1, 3322 0, 6936 0 , 0, 3293 0, 6482 0, 6939   1 0 0 Lo = 1, 0011 1, 1273 0 . 1, 0019 1, 9975 0, 6963 Bước 3: Phân tích giá trị kỳ dị SVD của LTo Lc: [U, Σ, V ] = svd(LTo Lc), ta thu được Σ = diag 5, 3574 1, 4007 0, 1238 ,   0, 8598 −0, 5055 0, 0725 V = 0, 4368 0, 6545 −0, 6171. Bước 5: Tính ma trận:   1 0, 9137 −1, 0506 0, 5068 T = Lc V Σ− 2 = 0, 6257 −0, 1854 −0, 9419. 0, 3240 0, 5475 0, 4759 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Bước 6: Biểu diễn cân bằng là:   0, 5549 0, 4098 0, 0257 Ae = T −1AT = −0, 4098 −0, 1140 0, 2629  , 0, 0257 −0, 2629 −0, 4199   1, 8634 e = T −1 B = 0, 6885 , B 0, 0408 e = CT = 1, 8634 −0, 6885 0, 0408. C Thử lại: T −1Wc T −T = T T Wo T = Σ = diag 5, 3574 1, 4007 0, 1238. Từ biểu diễn cân bằng (A, B, C, D) của hệ, để thu được hệ rút gọn, ta chỉ cần bỏ đi các biến ứng với giá trị kỳ dị Hankel lớn. Việc bỏ đi các giá trị kỳ dị Hankel lớn sẽ làm cho sai số giữa hệ rút gọn và hệ gốc sẽ nhỏ theo.

Hơn nữa hệ rút gọn sẽ bảo toàn các tính chất của hệ gốc, như tính ổn định, tính điều khiển được, tính quan sát được. Tất cả những điều này được đảm bảo nhờ vào định lý dưới đây: Định lý 2. Giả sử rằng A, B , C , Σ được phân hoạch dưới dạng sau: Ar A12 Br Σr 0 A= ,B = , C = Cr C2 , Σ =. A21 A22 B2 0 Σ2 Khi đó hệ A r Br Gr (z) = Cr D là hệ rút gọn bậc r của G(z) và thỏa mãn các tính chất sau: (a) Hệ rút gọn Gr (z) = (Ar , Br , Cr , D) bảo toàn tính ổn định (tức là Ar là có các giá trị riêng nằm bên trong đường tròn đơn vị).

Từ Định lý trên ta có thuật toán sau đây: 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Thuật toán 2: Tìm mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng. • Đầu vào: Biểu diễn tối thiểu (A, B, C, D) của hệ với A là ma trận ổn định. • Đầu ra: Hệ rút gọn Gr (z) = (Ar , Br , Cr , D) thỏa mãn các tính chất của Định lý trên.

• Các bước thực hiện: Bước 1: Sử dụng Thuật toán 1, tìm biểu diễn cân bằng (A, B, C, D) của hệ. Bước 2: Chọn r là bậc của mô hình rút gọn. Bước 3: Phân hoạch biểu diễn cân bằng tìm được ở Bước 1 dưới dạng: Ar A12 Br Σr 0 A= ,B = , C = Cr C2 , Σ =. A21 A22 B2 0 Σ2 Bước 4: Hệ rút gọn A r Br Gr (z) =.

Xét lại ví dụ trước với (A, B, C) được cho bởi:     0, 0010 1 1 1 A=  0 0, 1200 1  , B = 1 , C = 1 1 1.  0 0 −0, 1000 1 Lấy kết quả của ví dụ trước ta có các ma trận cân bằng là:   0, 5549 0, 4098 0, 0257 Ae = T −1AT = −0, 4098 −0, 1140 0, 2629  , 0, 0257 −0, 2629 −0, 4199   1, 8634 Be = T −1 B = 0, 6885 , 0, 0408 Ce = CT = 1, 8634 −0, 6885 0, 0408. Chọn r = 2, Ar = 2 × 2 là ma trận con của Ae và Ar = 0, 5549 0, 4098. Các giá trị riêng của Ar là: 0, 2204 + 0, 2368i −0, 4098 −0, 1140 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƯƠNG 2.

CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC và 0, 2204 − 0, 2368i, do đó Ar là ổn định. Các ma trận Br , Cr lần 1, 8634 lượt là: Br = , Cr = 1, 8602 −0, 6885 .

Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ