chương 1: Ở trên đã trình bày các phương pháp chung để xây dựng bài toán ổn định công trình. Các phương pháp đó là: Phương tĩnh, phương pháp năng lượng và phương động lực học. Các phương pháp nói trên hoàn toàn tương đương nhau. Đã giới thiệu các định nghĩa, các khái niệm và các định lý về ôn định nhằm mục đích hiểu rõ bản chất của bài toán ổn định công trình.
Đã trình bảy phương pháp chung để giải các phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và áp dụng dé nghién ctru ôn định của dam thẳng chịu lực nén P tác dụng ở đầu dầm. Có thể nói đây là phương pháp toán duy nhất và do đó phổ biến nhất trong nghiên cứu 6n định công trình hiện nay. 16 CHƯƠNG 2 PHUONG PHAP PHAN TU HUU HAN 2. Phương pháp phần tử hữu han Trong chương này, sẽ chỉ đề cập tới nội dung cơ bản nhất của phương pháp, và chủ yếu xét tới ứng dụng vào tính toán hệ dầm với vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi.
Tuy nhiên, trong phần lý thuyết cơ bản, van lay vi dụ minh hoạ với bài toán phẳng để thấy rõ hơn bản chất của phương pháp. Rời rạc hoá sơ đồ tính Trong phương pháp phần tử sả oe $ % hữu hạn, áp dụng biện pháp rời rạc 4 j Mi | | a LC ok a, Lay i + %A j hoá, một kết câu liên tục được coi là MT Eve ate 4 wl iN; ` z w một tập hợp các phân tử nôi với ‘ ; TEEN & nhau tại các diém nút.1 CTT „ i K nah ` z À 2 TẠ ie k, Y cho thây hệ dâm gôm các phân tử là 4h p các dam thang được nối với nhau Bà bởi các nút khớp hoặc nút cứng tại đầu dầm (hình 2.1f, ¡ cho hình ảnh các phần tử của bản Hinh 2.1 phẳng, của vật thé khối. Nút phần tử được đặc trưng bởi số bậc tự do của nó. Đó là các chuyển vị thẳng của nút (u¡, v¡) hay đạo hàm của nó (góc xoay @¡), chúng được gọi là thông số chuyển vị nút.
Toàn bộ m chuyên vị nút của một phần tử được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành vectơ chuyền vị nút của một phần tử: ồ, {8}. =4 2 (a) 17 Vectơ chuyển vị nút của phần tử dầm i-j hai đầu nút khớp và hai đầu nút cứng trên hình 2.1b, d lần lượt có cấp (4x1) và (6x1) 5, u, 6, u, Ồ, Vụ Ồ,|_ JYi _JŠ|_J® Peds ful Ph ef] é, Vị 5, Vị ỗ, Ọ, Hình 2.1g cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng và các chuyển vị nút của nó. Toàn bộ n chuyển vị nút có một hệ được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành một vectơ chuyển vị nút của toàn kết cấu: {A}=‡. (b) Nút của một phần tử không nhất thiết phải ở tai các đỉnh của phần tử, mà còn có thể nằm trên các biên của phần tử; hình 2.1h cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng gồm 6 nút và vectơ chuyên vị nút có cấp (12 x 1) Khi tính toán, tải trọng tác dụng trên hệ được thay thế bằng một hệ lực tập trung (P, M) đặt tại các điểm nút có các thành phần tương ứng với chuyển vị nút.
Với một phần tử, vectơ tái trọng nút { f } (lực nút do tải trọng) tương ứng với vectơ chuyên vị nút {Š} của phần tử; còn với toàn kết cầu, tương ứng với vectơ chuyền vị nút {A} có vectơ tải trọng nut {F}. Khi rời rạc hoá kết cấu, số lượng phần tử được phân chia càng lớn, kích thước phần tử càng nhỏ thì mức độ chính xác càng cao, song số lượng phần tử của một hệ cũng như kích thước của phần tử nhất thiết phải là hữu hạn. Tại mỗi nút, tất cả các phần tử nối vào nó đều cùng chung một chuyên vị nên điều kiện liên tục đã được đảm bảo tại các nút. Các điều kiện biên cũng được đảm bảo tại các nút.
18 Khi tách xét riêng một phần tử, có thể xem sự liên kết giữa phần tử đang xét với các phần tử lân cận bằng các dầm liên kết tại các điểm nút. Nội lực trong liên kết nút (lực nút) và chuyên vi nút ö là tương ứng với nhau (hình 2.2) và lập thành véc tơ lực nút {N} 2. Ma trận độ cứng cua một phần tử Trong giai đoạn vật liệu biến dạng đàn hồi, giữa lực nút N và chuyển vị nut 6 của một phần tử có quan hệ phụ thuộc tuyến tính.2 Chẳng hạn với phần tử tam giác của bài toán phẳng (hình 9-2) lực nút thir nhat Ni = Nx (lực tại liên kết ngang cua nut i va theo huéng cia & = u,) được tính bằng tổng các lực nút do chuyển vị các nút của phần tử gây nên: Ni=N¿ =kuu +k„vị +kiu, +Kkay, +kiswx +iev — (€) trong đó &; - phản lực đơn vị tại liên kết thứ ¡ (lực nút thứ i) do chi riêng chuyển vị nút thứ J bằng 1 tai don vi 6; = l gây nên, và được gọi là hệ số độ cứng. Các gạch ngang trên các ký hiệu chỉ rõ các đại lượng đó được xét trong hệ toạ độ riêng cuả phần tử e.
Nếu viết phương trình dạng (b) cho lần lượt theo thứ tự đủ cá 6 lực nút của phần tử tam giác trên hình 2.2, ta được hệ 6 phương trình đại số tuyến tính, viết dưới dạng ma trận như sau: Ni ku ko ee kc o N› kn kn ee kr o2 - ,° (4) Ne Ko Kea ee kes 06 hay 19 (Nh = Le 48h (9-1) Trong đó I}. le lần lượt là các vectơ lực nút phần tử, vectơ chuyên vị nút phần tử và ma trận độ cứng của phần tử e đang xét trong hệ toa độ riêng của phần tử đó. Khi tính toán kết cấu, cần phải lập ma trận độ cứng phần tử lãi cho tất cả các phần tử của hệ. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn Khi phân chia kết cấu thành các phần tử nối với nhau tại các điểm nút, tại mỗi nút có thể có nhiều phần tử được nối vào.
Giả sử tại nút s trong bài toán phẳng có m phần tử được nối như trên hình 2.3 Tại đó, m phân tử có chung một chuyên vị, nên điêu kiện liên tục cũng như điều kiện cân bằng tại nút s đều được thoả mãn. Theo phương trình (c) chuyên vị của tất cả các nút của m phần tử được nối tại nút tại nút s, đều gây nên lực nút tại nút s, do đó vectơ lực tại nút s là (nf bằng tổng các lực nút đo chuyển vị nút của m phần tử xung quanh gây nên (tính theo (c)). Nếu hệ ở trạng thái cân bằng, thi vecto lực nút tính trên phải cân bằng với vectơ ngoại lực tại nút s, và viết được phương trình biểu diễn ðiều kiện cân bằng của nút s như sau: m DIN, }, ABS Œ) r=l Trong đó: {N,}, - vectơ lực nút tai nut s, do các chuyên vị nút của phần tử r nối tại nút s gây nên, và lập ở hệ toạ chung của kết cấu (không có gạch ngang khác với {n} đã lập trong hệ toạ độ riêng của phần tir). {N,} ở đây được lập nên 20 bằng cách tập hợp các vectơ {MVj, =|k| lồ} theo (2.1) sau khi đã chuyển về hệ toạ độ chung nhờ phép biến đổi toạ độ (sẽ được trình bày trong 2.
{F } - vectơ ngoại lực nút s, bằng các thành phần ngoại lực đặt chính tại nút s cộng với các thành phần do các ngoại lực đặt trong các phần tử quanh nút s tính quy về tại nút đó. Nếu viết phương trình dạng (e) cho lần lượt theo thứ tự toàn bộ các nút của kết cấu, ta được hệ phương trình đại số có dạng: [KHA)= tr) (22) Trong đó: [K | - ma trận độ cứng của toàn kết cấu thành lập từ các ma trận độ cứng của từng phần tử le trong (2.1) {A} - vecto chuyén vị nút của toàn kết cấu. {F } - vecto ngoại lực nút. Hệ phương trình (2.2) thực chất là hệ phương trình cân bằng lực tại toàn bộ các nút của hệ.
Sau khi xét điều kiện biên (nút không có chuyền vị hoặc có chuyển vị đã biết trước) thì hệ này hoàn toàn có thê giải được. Bản chất của nó giống hệ phương trình chính tắc trong phương pháp chuyền vị và là phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Giải hệ phương trình (2.2), tìm được các vectơ chuyên vị nút của toàn kết cấu {A} ở hệ toạ độ chung, từ đó sẽ tìm được chuyền vị nút BỊ. của mỗi phần tử trong hệ toạ độ riêng của phần tử, sau đó xác định được nội lực, ứng suất, biến dạng của điểm bất kỳ trong phần tử (cũng như của kết cấu) nhờ các quan hệ đã có trong Cơ kết cấu và Lý thuyết đàn hồi.
Như vậy, vấn đề cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn là phải thiết lập được hệ phương trình (2.2) tức xác định được [K] va {F mà trước hết là xác định được ma trận cứng phần tử le trong (2. Các quan hệ cơ bản trong một phần tử hữu hạn Ma trận độ cứng phần tử le 21 Để lập ma trận cứng phần tử le có thể xuất phát từ nhiều cách khác nhau; dưới đây ta chỉ xét một trong các cách đó - cách áp dụng nguyên lý công khả dĩ của Lagrange đã được đề cập tới trong Cơ học lý thuyết và Lý thuyết đàn hồi. Nguyên lý công khả dĩ của Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi Giả sử có một vật thể đàn hồi có thể tích V, diện tích bề mặt chịu tải là Sp, diện tích bề mặt có điều kiện biên chuyển vị là Sa (hình 2. Ngoại lực tác dụng vào vật gồm: Hình 2.4 - Lực thể tích trong một đơn vị thể tích: X, Y, Z - Lực bề mặt trên một đơn vị diện tích: Xp, Yp, Zp Gọi chuyển vị khả dĩ của phân tố ứng với ngoại lực trên là u, v, w ta được công khả dĩ của các ngoại lực: W= ed +Y¥vt+ Zw)dv+ ff (X,u +Y,v+ Z,w)ds (a) va thé nang ngoai luc A=-W (b) Mat khac, trong vat thể đàn hồi xuất hiện nội lực và biến dạng, tạo nên thé năng biến dạng của vật thé: U=Í[[ ý (5,6, +0,8, +0.3) 22 Phương trình này là cơ sở để rút ra các phương trình cân bằng và các điều kiện biên, do đó là cơ sở của phương pháp chuyên vị trước đây, cũng như phương pháp phần tử hữu hạn sau này.
Hàm chuyến vị và hàm dạng Muốn áp dụng nguyên lý Lagrange theo công thức (2.