SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 5 năm 2015 4.
Tác giả: Họ và tên: Nguyễn Thị Huyền Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường Địa chỉ liên hệ: Xóm 4 - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 0944. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503.167 Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong chương trình hình học lớp 11, 12 bài toán về khoảng cách trong không gian là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học và đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh. Các bài toán về khoảng cách khá phong phú và đa dạng, đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có trí tưởng tượng không gian phong phú và có kĩ năng tính toán tốt.
Do vậy đối với học sinh có lực học trung bình, trung bình khá thì các bài toán về khoảng cách thường là mảng kiến thức khó và dễ mất điểm, còn đối với học sinh có lực học khá, giỏi thì các em có thể Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 làm tốt hơn phần này nhưng bản thân nhiều em chưa tổng quát được phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập nên khi gặp các bài toán dạng này các em thường mất khá nhiều thời gian để giải Với mong muốn giúp các em có cái nhìn tổng quát hơn, hệ thống hơn, có phương pháp giải cho từng dạng bài tập về khoảng cách trong không gian tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp”. Từ đó giúp học sinh đỡ e ngại hơn khi gặp các bài toán về khoảng cách trong không gian tổng hợp. MÔ TẢ GIẢI PHÁP 1. Thực trạng trƣớc khi tạo ra sáng kiến Hình học không gian là một mảng khó trong toán học phổ thông và càng khó hơn khi học sang quan hệ vuông góc.
Đối với quan hệ song song trong không gian, các tính chất và hình vẽ không có nhiều khác biệt đối với hình học phẳng nên các em dễ nắm bắt các dạng toán và phương pháp giải. Còn đối với quan hệ vuông góc, các tính chất có nhiều khác biệt, càng khó hơn khi hình vẽ về sự vuông góc trong không gian hoàn toàn không giống như trong hình học phẳng. Do vậy qua quan sát và để ý tìm hiểu của tôi, tôi nhận thấy rằng học sinh còn những hạn chế sau: + Khả năng tưởng tượng không gian kém do vậy kĩ năng vẽ hình không gian không tốt, đặc biệt các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc + Chưa có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt trong giải bài tập Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 + Chưa tự tổng quát được phương pháp giải bài tập sau mỗi dạng bài tập Mà nguyên nhân của những hạn chế đó là: + Học sinh chưa quen với cách vẽ hình của hình học không gian, đặc biệt là đối với các bài toán trong quan hệ vuông góc + Giáo viên chưa phân loại và đưa ra cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh đối với từng dạng bài tập + Giáo viên chưa chú trọng rèn kĩ năng vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng tổng hợp vấn đề cho học sinh + Giờ học hình học không gian chưa thực sự hấp dẫn và lôi cuốn, còn rời rạc và tẻ nhạt Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ những kiến thức đầu tiên. Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổ sung kịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến bài học.
Trong đề tài này tôi cố gắng đưa ra một số phương pháp giải các dạng bài tập cụ thể hay gặp để từ đó giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và cụ thể nhất. Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. Các phƣơng pháp chứng minh đƣờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng : Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng mà Cách 3. Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với Cách 4.
Chứng minh d là đường thẳng thuộc mặt phẳng trong đó d vuông góc với giao tuyến a của ( ) và 2. Các định nghĩa về khoảng cách a Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến một đường thẳng là khoảng cách giữa A với hình chiếu vuông góc H của A trên Kí hiệu: d(A, ). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và H được gọi là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu: d(A,( )). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu: d(a,( )).
d Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. e Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau + Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b + Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b 3. Một số công thức cần nhớ a/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có: 1 1 1 2 2 2 + 2 hoặc b/ Định lí Cosin trong tam giác: 2 2 2 Trong tam giác ABC có + –2 .cos ̂ Trong một tam giác bất kì bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ 2 lần tích hai cạnh đó với cosin góc xen giữa Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 c/ Các công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi là p, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC.
Khi đó ta có: 1 1 S , S sin S S 2 2 4 S √ ( – )( – )( – ) Công thức Hê rông * Đối với phương pháp tọa độ trong không gian còn có 1 S |[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]| 2 4. Công thức khoảng cách trong hình học không gian Oxyz Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 0 ; 0 ; 0 ), mp(P): a + b + c + d 0 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng P) là: a 0+b 0+c 0+d d( ,( )) √a2 + b2 + c2 B- BÀI TẬP I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ta thực hiện như sau: Bước 1. Trong mặt phẳng , hạ , Bước 2. Tính d( , ) dựa vào các công thức đã học Đặc biệt: + Nếu tồn tại đường thẳng đi qua A và song song với thì Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 d , d , d , , + Nếu đường thẳng đi qua A và cắt tại I thì với mọi điểm B thuộc có: d , d , Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a, và.
Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC và AB. a) Chứng minh rằng: b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM. Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến CM Giải: a) Trong tam giác SAC có I, O lần lượt là trung điểm của SC, AC nên IO // SA Mà nên b) +/ Tính khoảng cách từ I tới CM Gọi là trọng tâm tam giác ABC Trong tam giác ABC có 1 √2 1 √2 , 2 2 3 6 Gọi H là hình chiếu của I trên CM ta có: { d Trong tam giác vuông vuông Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 1 1 1 có 2 2 + 2 √20 2 2 √30 Trong tam giác vuông có √ + 10 √30 Vậy d 10 +/ Tính khoảng cách từ S đến CM d( ) IC 1 √30 Vì nên d( ) d( ) SC 2 5 Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và ( ), vuông tại C với AB = 2a, ̂ 300. Gọi M là 1 điểm di động trên cạnh AC, H là hình chiếu vuông góc của S trên BM.
a) Chứng minh rằng b) Đặt AM = x với 0 √3. Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách từ S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất?