Phương pháp Factorization trong Cơ học Lượng tử: Lý thuyết và Ứng dụng

Khám phá phương pháp Factorization trong Cơ học Lượng tử. Bài viết giải thích chi tiết, dễ hiểu về ứng dụng và tầm quan trọng của phương pháp này.

• Tác giả: Shi-Hai Dong
• Người hướng dẫn: GS. Zhong-Qi Ma
• Trường học: Instituto Politécnico Nacional
• Chuyên ngành: Cơ học Lượng tử
• Đề tài: Phương pháp Factorization trong Cơ học Lượng tử
• Loại tài liệu: Sách chuyên khảo
• Năm xuất bản: 2007
• Địa điểm: Dordrecht

Mục lục chi tiết

• Dedication
• List of Figures
• List of Tables
• Preface
• Acknowledgments
• 1. PART I INTRODUCTION
• 1.1. INTRODUCTION
• 1.1.1. Basic review
• 1.1.2. Motivations and aims
• 2. PART II Method
• 2.1. THEORY
• 2.1.1. Introduction
• 2.1.2. Formalism
• 2.2. LIE ALGEBRAS SU(2) AND SU(1, 1)
• 2.2.1. Introduction
• 2.2.2. Abstract groups
• 2.2.3. Matrix representation
• 2.2.4. Properties of groups SU(2) and SO(3)
• 2.2.5. Properties of non-compact groups SO(2, 1) and SU(1, 1)
• 2.2.6. Generators of Lie groups SU(2) and SU(1, 1)
• 2.2.7. Irreducible representations
• 2.2.8. Irreducible unitary representations
• 2.2.9. Concluding remarks
• 3. PART III Applications in Non-relativistic Quantum Mechanics
• 3.1. HARMONIC OSCILLATOR
• 3.1.1. Introduction
• 3.1.2. Exact solutions
• 3.1.3. Ladder operators
• 3.1.4. Bargmann-Segal transform
• 3.1.5. Single mode realization of dynamic group SU(1, 1)
• 3.1.6. Matrix elements
• 3.1.7. Coherent states
• 3.1.8. Franck-Condon factors
• 3.1.9. Concluding remarks
• 3.2. INFINITELY DEEP SQUARE-WELL POTENTIAL
• 3.2.1. Introduction
• 3.2.2. Ladder operators for infinitely deep square-well potential
• 3.2.3. Realization of dynamic group SU(1, 1) and matrix elements
• 3.2.4. Ladder operators for infinitely deep symmetric well potential
• 3.2.5. SUSYQM approach to infinitely deep square well potential
• 3.2.6. Perelomov coherent states
• 3.2.7. Barut-Girardello coherent states
• 3.2.8. Concluding remarks
• 3.3. MORSE POTENTIAL
• 3.3.1. Introduction
• 3.3.2. Exact solutions
• 3.3.3. Ladder operators for the Morse potential
• 3.3.4. Realization of dynamic group SU(2)
• 3.3.5. Matrix elements
• 3.3.6. Harmonic limit
• 3.3.7. Franck-Condon factors
• 3.3.8. Transition probability
• 3.3.9. Realization of dynamic group SU(1, 1)
• 3.3.10. Concluding remarks
• 3.4. PÖSCHL-TELLER POTENTIAL
• 3.4.1. Introduction
• 3.4.2. Exact solutions
• 3.4.3. Ladder operators
• 3.4.4. Realization of dynamic group SU(2)
• 3.4.5. Alternative approach to derive ladder operators
• 3.4.6. Harmonic limit
• 3.4.7. Expansions of the coordinate x and momentum p from the SU(2) generators
• 3.4.8. Concluding remarks
• 3.5. PSEUDOHARMONIC OSCILLATOR
• 3.5.1. Introduction
• 3.5.2. Exact solutions in one dimension
• 3.5.3. Ladder operators
• 3.5.4. Barut-Girardello coherent states
• 3.5.5. Thermodynamic properties
• 3.5.6. Pseudoharmonic oscillator in arbitrary dimensions
• 3.5.7. Recurrence relations among matrix elements
• 3.5.8. Concluding remarks
• 3.6. ALGEBRAIC APPROACH TO AN ELECTRON IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD
• 3.6.1. Introduction
• 3.6.2. Exact solutions
• 3.6.3. Ladder operators
• 3.6.4. Concluding remarks
• 3.7. RING-SHAPED NON-SPHERICAL OSCILLATOR
• 3.7.1. Introduction
• 3.7.2. Exact solutions
• 3.7.3. Ladder operators
• 3.7.4. Realization of dynamic group
• 3.7.5. Concluding remarks
• 3.8. GENERALIZED LAGUERRE FUNCTIONS
• 3.8.1. Introduction
• 3.8.2. Generalized Laguerre functions
• 3.8.3. Ladder operators and realization of dynamic group SU(1, 1)
• 3.8.4. Concluding remarks
• 3.9. NEW NONCENTRAL RING-SHAPED POTENTIAL
• 3.9.1. Introduction
• 3.9.2. Bound states
• 3.9.3. Ladder operators
• 3.9.4. Mean values
• 3.9.5. Continuum states
• 3.9.6. Concluding remarks
• 3.10. PÖSCHL-TELLER LIKE POTENTIAL
• 3.10.1. Introduction
• 3.10.2. Exact solutions
• 3.10.3. Ladder operators
• 3.10.4. Realization of dynamic group and matrix elements
• 3.10.5. Infinitely square well and harmonic limits
• 3.10.6. Concluding remarks
• 3.11. POSITION-DEPENDENT MASS SCHRÖDINGER EQUATION FOR A SINGULAR OSCILLATOR
• 3.11.1. Introduction
• 3.11.2. Position-dependent effective mass Schrödinger equation for harmonic oscillator
• 3.11.3. Singular oscillator with a position-dependent effective mass
• 3.11.4. Complete solutions
• 3.11.5. Another position-dependent effective mass
• 3.11.6. Concluding remarks
• 4. PART IV Applications in Relativistic Quantum Mechanics
• 4.1. SUSYQM AND SWKB APPROACH TO THE DIRAC EQUATION WITH A COULOMB POTENTIAL IN 2+1 DIMENSIONS
• 4.1.1. Introduction
• 4.1.2. Dirac equation in 2 +1 dimensions
• 4.1.3. Exact solutions
• 4.1.4. SUSYQM and SWKB approaches to Coulomb problem
• 4.1.5. Alternative method to derive exact eigenfunctions
• 4.1.6. Concluding remarks
• 4.2. REALIZATION OF DYNAMIC GROUP FOR THE DIRAC HYDROGEN-LIKE ATOM IN 2+1 DIMENSIONS
• 4.2.1. Introduction
• 4.2.2. Realization of dynamic group SU(1, 1)
• 4.2.3. Concluding remarks
• 4.3. ALGEBRAIC APPROACH TO KLEIN-GORDON EQUATION WITH THE HYDROGEN-LIKE ATOM IN 2+1 DIMENSIONS
• 4.3.1. Introduction
• 4.3.2. Exact solutions
• 4.3.3. Realization of dynamic group SU(1, 1)
• 4.3.4. Concluding remarks
• 4.4. SUSYQM AND SWKB APPROACHES TO RELATIVISTIC DIRAC AND KLEIN-GORDON EQUATIONS WITH HYPERBOLIC POTENTIAL
• 4.4.1. Introduction
• 4.4.2. Relativistic Klein-Gordon and Dirac equations with hyperbolic potential V0 tanh2 (r/d)
• 4.4.3. SUSYQM and SWKB approaches to obtain eigenvalues
• 4.4.4. Complete solutions by traditional method
• 4.4.5. Harmonic limit
• 4.4.6. Concluding remarks
• 5. PART V Quantum Control
• 5.1. CONTROLLABILITY OF QUANTUM SYSTEMS FOR THE MORSE AND PT POTENTIALS WITH DYNAMIC GROUP SU(2)
• 5.1.1. Introduction
• 5.1.2. Preliminaries on control theory
• 5.1.3. Analysis of the controllability
• 5.1.4. Concluding remarks
• 5.2. CONTROLLABILITY OF QUANTUM SYSTEM FOR THE PT-LIKE POTENTIAL WITH DYNAMIC GROUP SU(1, 1)
• 5.2.1. Introduction
• 5.2.2. Preliminaries on the control theory
• 5.2.3. Analysis of controllability
• 5.2.4. Concluding remarks
• 6. PART VI Conclusions and Outlooks
• 6.1. CONCLUSIONS AND OUTLOOKS
• 6.1.1. Conclusions
• 6.1.2. Outlooks
• Appendices
• A. Integral formulas of the confluent hypergeometric functions
• B. Mean values rk for hydrogen-like atom
• C. Commutator identities
• D. Angular momentum operators in spherical coordinates
• E. Confluent hypergeometric function
• References
• Index

Tóm tắt

I. Tổng Quan Phương Pháp Factorization và Ứng Dụng 55 ký tự

Phương pháp Factorization là một kỹ thuật cơ bản trong cơ học lượng tử, giúp đơn giản hóa các phương trình động lực của hệ bằng cách phân tích chúng thành các phương trình đơn giản hơn. Ý tưởng cốt lõi là xem xét một cặp phương trình vi phân bậc nhất, được suy ra từ một phương trình vi phân bậc hai với các điều kiện biên xác định. Phương pháp này cho phép giải quyết các bài toán eigenvalue quan trọng, đặc biệt là khi các phương trình vi phân bậc hai có thể được factorized thông qua các toán tử nâng và hạ tuyến tính. Tập hợp đầy đủ các hàm sóng chuẩn hóa có thể được tạo ra bằng cách tác động liên tiếp các toán tử ladder lên các hàm sóng then chốt, vốn là nghiệm chính xác của các phương trình vi phân bậc nhất. Ưu điểm của phương pháp Factorization bao gồm khả năng áp dụng cho các phổ năng lượng rời rạc (do số lượng vô hạn của các mức năng lượng liên tục), khả năng viết trực tiếp các eigenvalue và hàm sóng từ Hamiltonian mà không cần các phương pháp truyền thống như chuỗi lũy thừa, tránh tính toán các hằng số chuẩn hóa phức tạp, và khám phá tính đối xứng ẩn của hệ lượng tử bằng cách xây dựng một đại số Lie phù hợp. Theo tài liệu gốc, phương pháp này "applies only to the discrete energy spectra since the continuous energy levels are countless."

1.1. Lịch Sử Phát Triển Phương Pháp Factorization

Phương pháp Factorization có nguồn gốc từ những công trình tiên phong của Schrödinger, sau đó được Infeld, Hull và các nhà nghiên cứu khác phân tích và tổng quát hóa. Tuy nhiên, những dấu hiệu ban đầu của ý tưởng này đã xuất hiện trong cách tiếp cận của Weyl đối với hàm điều hòa cầu với spin và cách xử lý của Dirac đối với moment động lượng và bài toán dao động tử điều hòa. Đáng chú ý là, những nguyên tắc cơ bản của phương pháp này có thể được truy ngược về nhà toán học Cauchy. Trong thế kỷ 19, Darboux đã xác định được một tính đối xứng của các phương trình vi phân bậc hai. Darboux transformation liên quan đến các nghiệm của một cặp phương trình vi phân bậc nhất liên kết chặt chẽ, như đã được nghiên cứu bởi Schrödinger, Infeld, Hull và những người khác.

1.2. Ưu Điểm Của Factorization So Với Các Phương Pháp Khác

So với các phương pháp giải phương trình Schrodinger truyền thống, phương pháp Factorization mang lại một số lợi thế. Nó cho phép xác định trực tiếp các eigenvalue và hàm sóng mà không cần giải các phương trình vi phân phức tạp hoặc sử dụng các kỹ thuật chuỗi lũy thừa. Nó cũng có thể tránh được việc tính toán các hằng số chuẩn hóa, đôi khi rất khó khăn. Thêm vào đó, phương pháp Factorization có thể tiết lộ các đối xứng ẩn của hệ lượng tử, giúp hiểu sâu hơn về hành vi của nó. Quan trọng hơn, với toán tử nâng và hạ, phương pháp này xây dựng nên nền tảng vững chắc cho siêu đối xứng và các lý thuyết liên quan.

II. Thách Thức và Hạn Chế của Phương Pháp Factorization 58 ký tự

Mặc dù có nhiều ưu điểm, phương pháp Factorization cũng có những hạn chế nhất định. Một trong số đó là nó đòi hỏi một biểu diễn cụ thể của bài toán cơ học lượng tử, dẫn đến việc các toán tử ladder không thể được biểu diễn dưới dạng đại số trừu tượng. Infeld-Hull nhấn mạnh rằng phương pháp yêu cầu một đại diện cụ thể của vấn đề cơ học lượng tử. Kết quả là, các toán tử ladder không thể được thể hiện dưới dạng một dạng đại số trừu tượng. Nó có thể không áp dụng được cho tất cả các hệ thống lượng tử, đặc biệt là những hệ thống có tiềm năng phức tạp hoặc không có tính đối xứng rõ ràng. Hơn nữa, phương pháp này chủ yếu phù hợp với các phổ năng lượng rời rạc và không thích hợp cho các mức năng lượng liên tục. Vì vậy, nó không phải lúc nào cũng hữu ích cho việc nghiên cứu các hiện tượng tán xạ. Thêm vào đó, trong cuốn sách gốc cũng nhấn mạnh rằng: "the ladder operators cannot be expressed as an abstract algebraic form."

2.1. Yêu Cầu Biểu Diễn Cụ Thể của Bài Toán

Một trong những hạn chế chính của phương pháp Factorization là nó đòi hỏi một biểu diễn cụ thể của bài toán cơ học lượng tử. Điều này có nghĩa là các toán tử ladder không thể được biểu diễn dưới dạng đại số trừu tượng, làm hạn chế tính tổng quát của phương pháp. Nói cách khác, sự thành công của phương pháp phụ thuộc vào việc tìm ra một biểu diễn phù hợp của Hamiltonian cho phép factorization dễ dàng.

2.2. Khó Khăn Trong Ứng Dụng Cho Các Hệ Phức Tạp

Đối với các hệ lượng tử có tiềm năng phức tạp hoặc không có tính đối xứng rõ ràng, việc áp dụng phương pháp Factorization có thể trở nên khó khăn hoặc thậm chí không thể. Trong những trường hợp như vậy, cần phải sử dụng các phương pháp gần đúng hoặc các kỹ thuật số để có được các nghiệm. Ngoài ra, mặc dù phương pháp Factorization hữu ích cho các phổ năng lượng rời rạc, nhưng nó không phù hợp cho các mức năng lượng liên tục, hạn chế khả năng nghiên cứu các hiện tượng tán xạ. Vì thế, cần có thêm sự phát triển hoặc phương pháp hỗn hợp.

III. Cách Xây Dựng Toán Tử Nâng và Hạ Hiệu Quả 59 ký tự

Việc xây dựng toán tử nâng và hạ là một bước quan trọng trong phương pháp Factorization. Các toán tử này cho phép tạo ra các hàm sóng mới từ các hàm sóng đã biết, tạo ra một chuỗi các nghiệm cho phương trình Schrodinger. Một cách tiếp cận là bắt đầu với nghiệm chính xác của hệ và sử dụng các hàm đặc biệt như hàm Laguerre hoặc hàm siêu hình học để biểu diễn các hàm sóng. Sau đó, sử dụng các mối quan hệ đệ quy giữa các hàm đặc biệt này để xây dựng các toán tử nâng và hạ. Một cách tiếp cận khác là factorized trực tiếp Hamiltonian của hệ thành một tích của hai toán tử, từ đó xác định các toán tử nâng và hạ. Điều quan trọng là đảm bảo rằng các toán tử được xây dựng thỏa mãn các quan hệ giao hoán cần thiết và bảo tồn năng lượng của hệ.

3.1. Sử Dụng Hàm Đặc Biệt Và Quan Hệ Đệ Quy

Một phương pháp phổ biến để xây dựng toán tử nâng và hạ là sử dụng các hàm đặc biệt như hàm Laguerre, hàm Hermite hoặc hàm siêu hình học. Những hàm này thường xuất hiện trong các nghiệm chính xác của các hệ lượng tử đơn giản, chẳng hạn như dao động tử điều hòa hoặc nguyên tử Hydrogen. Bằng cách sử dụng các mối quan hệ đệ quy giữa các hàm đặc biệt này, có thể xây dựng các toán tử có tác dụng tăng hoặc giảm chỉ số của các hàm, tương ứng với việc tăng hoặc giảm năng lượng của hệ.

3.2. Factorization Trực Tiếp Hamiltonian

Một cách tiếp cận khác là factorized trực tiếp Hamiltonian của hệ thành một tích của hai toán tử: H = A+A-. Trong đó, A+ và A- lần lượt là toán tử nâng và toán tử hạ. Bằng cách tìm các toán tử này, có thể xác định các trạng thái riêng của Hamiltonian và xây dựng một cơ sở đầy đủ của các hàm sóng. Tuy nhiên, việc factorized trực tiếp Hamiltonian có thể không phải lúc nào cũng dễ dàng, đặc biệt là đối với các hệ phức tạp. Nó thường đòi hỏi một sự khéo léo và trực giác nhất định.

IV. Ứng Dụng Factorization Giải Bài Toán Dao Động Tử 57 ký tự

Bài toán dao động tử điều hòa là một ví dụ điển hình về ứng dụng thành công của phương pháp Factorization. Trong trường hợp này, Hamiltonian có thể được factorized thành các toán tử nâng và hạ đơn giản, cho phép xác định trực tiếp các mức năng lượng và hàm sóng. Các toán tử ladder tạo ra các trạng thái kích thích của dao động tử bằng cách tác động lên trạng thái cơ bản. Các nghiệm này không chỉ mang tính học thuật mà còn có ứng dụng rộng rãi trong vật lý, hóa học. Theo tài liệu, đây là "the harmonic oscillator has become very important for the quantum mechanical treatment of such physical problems as the vibrations of individual atoms in molecules and in crystals..."

4.1. Xác Định Mức Năng Lượng và Hàm Sóng

Phương pháp Factorization cho phép xác định trực tiếp các mức năng lượng của dao động tử điều hòa mà không cần giải phương trình Schrodinger một cách tường minh. Các mức năng lượng được lượng tử hóa và cách đều nhau, với khoảng cách bằng hằng số Planck nhân với tần số dao động. Các hàm sóng cũng có thể được xác định một cách tương tự bằng cách tác động các toán tử nâng lên trạng thái cơ bản. Các hàm sóng này là các đa thức Hermite nhân với một hàm Gaussian.

4.2. Tạo Trạng Thái Kích Thích Với Toán Tử Ladder

Các toán tử ladder đóng một vai trò quan trọng trong việc tạo ra các trạng thái kích thích của dao động tử điều hòa. Bằng cách tác động toán tử nâng lên một trạng thái nào đó, có thể tạo ra một trạng thái mới có năng lượng cao hơn một lượng bằng hằng số Planck nhân với tần số dao động. Quá trình này có thể được lặp lại nhiều lần để tạo ra một chuỗi các trạng thái kích thích với năng lượng tăng dần.

V. Mối Liên Hệ Factorization và Cơ Học Lượng Tử Siêu Đối Xứng 55 ký tự

Phương pháp Factorization có mối liên hệ chặt chẽ với cơ học lượng tử siêu đối xứng (SUSYQM). Trong SUSYQM, Hamiltonian của một hệ được biểu diễn dưới dạng một cặp đối tác siêu đối xứng, liên kết với nhau bằng các toán tử nâng và hạ. Phương pháp Factorization có thể được sử dụng để tìm các tiềm năng bất biến hình dạng (shape-invariant potentials), là những tiềm năng mà các đối tác siêu đối xứng của chúng có cùng hình dạng, chỉ khác nhau về các tham số. Các tiềm năng bất biến hình dạng có thể được giải một cách đại số bằng phương pháp SUSY, cung cấp một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu các hệ lượng tử.

5.1. Tìm Tiềm Năng Bất Biến Hình Dạng

Các tiềm năng bất biến hình dạng đóng một vai trò quan trọng trong SUSYQM. Chúng là những tiềm năng mà các đối tác siêu đối xứng của chúng có cùng hình dạng, chỉ khác nhau về các tham số. Điều này cho phép giải phương trình Schrodinger một cách đại số, mà không cần giải các phương trình vi phân phức tạp. Phương pháp Factorization có thể được sử dụng để tìm các tiềm năng bất biến hình dạng bằng cách tìm các toán tử ladder kết nối các đối tác siêu đối xứng của Hamiltonian.

5.2. Ứng Dụng SUSYQM Giải Hệ Lượng Tử

SUSYQM cung cấp một khung mạnh mẽ để nghiên cứu các hệ lượng tử. Bằng cách biểu diễn Hamiltonian của một hệ dưới dạng một cặp đối tác siêu đối xứng, có thể tận dụng các đối xứng bổ sung để đơn giản hóa bài toán. Phương pháp Factorization có thể được sử dụng để tìm các tiềm năng bất biến hình dạng, cho phép giải phương trình Schrodinger một cách đại số. Điều này đặc biệt hữu ích cho việc nghiên cứu các hệ phức tạp mà các phương pháp giải tích truyền thống không thể áp dụng được.

VI. Tương Lai Của Phương Pháp Factorization trong Cơ Học 55 ký tự

Phương pháp Factorization tiếp tục là một công cụ quan trọng trong cơ học lượng tử, với các ứng dụng mới được khám phá liên tục. Các nhà nghiên cứu đang khám phá các mở rộng của phương pháp cho các hệ lượng tử phức tạp hơn, bao gồm các hệ nhiều hạt và các hệ tương tác với các trường bên ngoài. Ngoài ra, phương pháp Factorization đang được sử dụng để phát triển các thuật toán lượng tử mới và các công nghệ lượng tử, hứa hẹn sẽ cách mạng hóa các lĩnh vực như tính toán, truyền thông và cảm biến. The original document notes that this is "still being developed, various chapters, e., on the group theory, on the supersymmetric quantum mechanics, on the shape invariance, on the higher order factorization method will be added to the extent that the respective topics expand."

6.1. Mở Rộng Cho Các Hệ Phức Tạp Hơn

Một trong những hướng nghiên cứu chính trong tương lai của phương pháp Factorization là mở rộng nó cho các hệ lượng tử phức tạp hơn. Điều này bao gồm việc phát triển các kỹ thuật mới để xây dựng toán tử ladder cho các hệ nhiều hạt, các hệ tương tác với các trường bên ngoài và các hệ có tính bất trật tự.

6.2. Ứng Dụng Trong Công Nghệ Lượng Tử

Phương pháp Factorization có tiềm năng ứng dụng to lớn trong công nghệ lượng tử. Nó có thể được sử dụng để phát triển các thuật toán lượng tử mới, các giao thức truyền thông lượng tử an toàn hơn và các cảm biến lượng tử nhạy hơn. Bằng cách tận dụng các đối xứng và tính chất đại số của các hệ lượng tử, phương pháp Factorization có thể giúp chúng ta khai thác sức mạnh của thế giới lượng tử để giải quyết các bài toán quan trọng và phát triển các công nghệ mới.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Factorization Method in Quantum Mechanics www.com Fundamental Theories of Physics An International Book Series on The Fundamental Theories of Physics: Their Clarification, Development and Application Editor: ALWYN VAN DER MERWE, University of Denver, U. Editorial Advisory Board: GIANCARLO GHIRARDI, University of Trieste, Italy LAWRENCE P. HORWITZ, Tel-Aviv University, Israel BRIAN D. JOSEPHSON, University of Cambridge, U.

CLIVE KILMISTER, University of London, U. LAHTI, University of Turku, Finland FRANCO SELLERI, Università di Bari, Italy TONY SUDBERY, University of York, U. HANS-JÜRGEN TREDER, Zentralinstitut für Astrophysik der Akademie der Wissenschaften, Germany Volume 150 www.com Factorization Method in Quantum Mechanics by Shi-Hai Dong Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Física y Matemáticas, México www. Catalogue record for this book is available from the Library of Congress.

ISBN-13 978-1-4020-5795-3 (HB) ISBN-13 978-1-4020-5796-0 (e-book) Published by Springer, P. Box 17, 3300 AA Dordrecht, The Netherlands.com Printed on acid-free paper All Rights Reserved © 2007 Springer No part of this work may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, microfilming, recording or otherwise, without written permission from the Publisher, with the exception of any material supplied specifically for the purpose of being entered and executed on a computer system, for exclusive use by the purchaser of the work.com This book is dedicated to my wife Guo-Hua Sun, my lovely children Bo Dong and Jazmin Yue Dong Sun.com Contents Dedication v List of Figures xiii List of Tables xv Preface xvii Acknowledgments xix Part I Introduction 1. INTRODUCTION 3 1 Basic review 3 2 Motivations and aims 11 Part II Method 2. THEORY 15 1 Introduction 15 2 Formalism 15 3.

LIE ALGEBRAS SU(2) AND SU(1, 1) 17 1 Introduction 17 2 Abstract groups 19 3 Matrix representation 21 4 Properties of groups SU(2) and SO(3) 22 5 Properties of non-compact groups SO(2, 1) and SU(1, 1) 23 6 Generators of Lie groups SU(2) and SU(1, 1) 23 7 Irreducible representations 25 vii www.com viii FACTORIZATION METHOD IN QUANTUM MECHANICS 8 Irreducible unitary representations 28 9 Concluding remarks 30 Part III Applications in Non-relativistic Quantum Mechanics 4. HARMONIC OSCILLATOR 35 1 Introduction 35 2 Exact solutions 36 3 Ladder operators 37 4 Bargmann-Segal transform 42 5 Single mode realization of dynamic group SU(1, 1) 42 6 Matrix elements 44 7 Coherent states 45 8 Franck-Condon factors 49 9 Concluding remarks 55 5. INFINITELY DEEP SQUARE-WELL POTENTIAL 57 1 Introduction 57 2 Ladder operators for infinitely deep square-well potential 58 3 Realization of dynamic group SU(1, 1) and matrix elements 60 4 Ladder operators for infinitely deep symmetric well potential 61 5 SUSYQM approach to infinitely deep square well potential 62 6 Perelomov coherent states 63 7 Barut-Girardello coherent states 67 8 Concluding remarks 70 6. MORSE POTENTIAL 73 1 Introduction 73 2 Exact solutions 78 3 Ladder operators for the Morse potential 79 4 Realization of dynamic group SU(2) 82 5 Matrix elements 84 6 Harmonic limit 84 7 Franck-Condon factors 86 8 Transition probability 89 9 Realization of dynamic group SU(1, 1) 90 www.com Contents ix 10 Concluding remarks 93 7.

PÖSCHL-TELLER POTENTIAL 95 1 Introduction 95 2 Exact solutions 97 3 Ladder operators 101 4 Realization of dynamic group SU(2) 103 5 Alternative approach to derive ladder operators 105 6 Harmonic limit 107 7 Expansions of the coordinate x and momentum p from the SU(2) generators 109 8 Concluding remarks 110 8. PSEUDOHARMONIC OSCILLATOR 111 1 Introduction 111 2 Exact solutions in one dimension 112 3 Ladder operators 114 4 Barut-Girardello coherent states 117 5 Thermodynamic properties 118 6 Pseudoharmonic oscillator in arbitrary dimensions 122 7 Recurrence relations among matrix elements 129 8 Concluding remarks 135 9. ALGEBRAIC APPROACH TO AN ELECTRON IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD 137 1 Introduction 137 2 Exact solutions 137 3 Ladder operators 139 4 Concluding remarks 142 10. RING-SHAPED NON-SPHERICAL OSCILLATOR 143 1 Introduction 143 2 Exact solutions 143 3 Ladder operators 146 4 Realization of dynamic group 147 5 Concluding remarks 149 www.com x FACTORIZATION METHOD IN QUANTUM MECHANICS 11.

GENERALIZED LAGUERRE FUNCTIONS 151 1 Introduction 151 2 Generalized Laguerre functions 151 3 Ladder operators and realization of dynamic group SU(1, 1) 153 4 Concluding remarks 155 12. NEW NONCENTRAL RING-SHAPED POTENTIAL 157 1 Introduction 157 2 Bound states 158 3 Ladder operators 161 4 Mean values 162 5 Continuum states 165 6 Concluding remarks 168 13. PÖSCHL-TELLER LIKE POTENTIAL 169 1 Introduction 169 2 Exact solutions 169 3 Ladder operators 171 4 Realization of dynamic group and matrix elements 173 5 Infinitely square well and harmonic limits 174 6 Concluding remarks 176 14. POSITION-DEPENDENT MASS SCHRÖDINGER EQUATION FOR A SINGULAR OSCILLATOR 177 1 Introduction 177 2 Position-dependent effective mass Schrödinger equation for harmonic oscillator 178 3 Singular oscillator with a position-dependent effective mass 179 4 Complete solutions 181 5 Another position-dependent effective mass 183 6 Concluding remarks 184 www.com Contents xi Part IV Applications in Relativistic Quantum Mechanics 15.

SUSYQM AND SWKB APPROACH TO THE DIRAC EQUATION WITH A COULOMB POTENTIAL IN 2+1 DIMENSIONS 187 1 Introduction 187 2 Dirac equation in 2 +1 dimensions 188 3 Exact solutions 189 4 SUSYQM and SWKB approaches to Coulomb problem 193 5 Alternative method to derive exact eigenfunctions 195 6 Concluding remarks 198 16. REALIZATION OF DYNAMIC GROUP FOR THE DIRAC HYDROGEN-LIKE ATOM IN 2+1 DIMENSIONS 201 1 Introduction 201 2 Realization of dynamic group SU(1, 1) 201 3 Concluding remarks 206 17. ALGEBRAIC APPROACH TO KLEIN-GORDON EQUATION WITH THE HYDROGEN-LIKE ATOM IN 2+1 DIMENSIONS 207 1 Introduction 207 2 Exact solutions 207 3 Realization of dynamic group SU(1, 1) 209 4 Concluding remarks 211 18. SUSYQM AND SWKB APPROACHES TO RELATIVISTIC DIRAC AND KLEIN-GORDON EQUATIONS WITH HYPERBOLIC POTENTIAL 213 1 Introduction 213 2 Relativistic Klein-Gordon and Dirac equations with hyperbolic potential V0 tanh2 (r/d) 214 3 SUSYQM and SWKB approaches to obtain eigenvalues 216 4 Complete solutions by traditional method 217 5 Harmonic limit 221 6 Concluding remarks 222 www.com xii FACTORIZATION METHOD IN QUANTUM MECHANICS Part V Quantum Control 19.

CONTROLLABILITY OF QUANTUM SYSTEMS FOR THE MORSE AND PT POTENTIALS WITH DYNAMIC GROUP SU(2) 225 1 Introduction 225 2 Preliminaries on control theory 226 3 Analysis of the controllability 227 4 Concluding remarks 228 20. CONTROLLABILITY OF QUANTUM SYSTEM FOR THE PT-LIKE POTENTIAL WITH DYNAMIC GROUP SU(1, 1) 229 1 Introduction 229 2 Preliminaries on the control theory 230 3 Analysis of controllability 233 4 Concluding remarks 234 Part VI Conclusions and Outlooks 21. CONCLUSIONS AND OUTLOOKS 237 1 Conclusions 237 2 Outlooks 238 Appendices 239 A Integral formulas of the confluent hypergeometric functions 239 B Mean values rk for hydrogen-like atom 243 C Commutator identities 247 D Angular momentum operators in spherical coordinates 249 E Confluent hypergeometric function 251 References 255 Index 295 www.com List of Figures 1.1 The relations among factorization method, exact solu- tions, group theory, coherent states, SUSYQM, shape invariance, supersymmetric WKB and quantum control.1 The change regions of parameters j and m for the irre- ducible unitary representations of the Lie algebras so(3) and so(2, 1).1 The mean value of the energy levels Eβ as a function of the parameter |β|. The natural units h̄ = ω = 1 are taken.2 The uncertainty
∆p as a function of the parameter |β|.

The natural unit h̄ = 1 is taken.3 The uncertainty
∆x as a function of the parameter |β|.4 The uncertainty relation
∆x
∆p as a function of the parameter |β|. The natural unit h̄ = 1 is taken.5 Comparison of the uncertainty relation
∆x
∆p be- tween Perelomov coherent states and Barut-Girardello coherent states.The natural unit h̄ = 1 is taken.6 Uncertainty relation
∆x
∆p in the Barut-Giradello coherent states.1 Vibrational partition function Z as function of α for different β (0.2 The comparison of the vibrational partition functions between ZPH (solid squared line) and ZHO ( dashed dot- ted line) for the weak potential strength α = 10.3 Vibrational mean energy U as function of α for different β (0.com xiv FACTORIZATION METHOD IN QUANTUM MECHANICS 8.4 The comparison of the vibrational mean energy between UPH (solid squared line) and UHO (dashed dotted line) for the weak potential strength α = 10.5 Vibrational free energy F as function of α for different β (0.6 The comparison of the vibrational free energy between FPH (solid squared line) and FHO (dashed dotted line) for the weak potential strength α = 10.com List of Tables 3.1 Classifications of irreducible representations of Lie al- gebras so(2, 1) and so(3), where k is a non-negative integer.2 Classifications of irreducible unitary representations of the Lie algebras so(2, 1), where k is a non-negative integer.1 Some exact expressions of the integral (A.com Preface This work introduces the factorization method in quantum mechanics at an advanced level addressing students of physics, mathematics, chemistry and elec- trical engineering. The aim is to put the mathematical and physical concepts and techniques like the factorization method, Lie algebras, matrix elements and quantum control at the reader’s disposal. For this purpose, we attempt to provide a comprehensive description of the factorization method and its wide applica- tions in quantum mechanics which complements the traditional coverage found in the existing quantum mechanics textbooks.

Related to this classic method are the supersymmetric quantum mechanics, shape invariant potentials and group theoretical approaches. It is no exaggeration to say that this method has become the milestone of these approaches. In fact, the author’s driving force has been his desire to provide a comprehensive review volume that includes some new and significant results about the factorization method in quantum mechanics since the literature is inundated with scattered articles in this field and to pave the reader’s way into this territory as rapidly as possible. We have made the effort to present the clear and understandable derivations and include the nec- essary mathematical steps so that the intelligent and diligent reader should be able to follow the text with relative ease, in particular, when mathematically difficult material is presented.

The author also embraces enthusiastically the potential of the LaTeX typesetting language to enrich the presentation of the formulas as to make the logical pattern behind the mathematics more transpar- ent. Additionally, any suggestions and criticism to improve the text are most welcome since this is the first version. It should be addressed that the main effort to follow the text and master the material is left to the reader even though this book makes an effort to serve the reader as much as was possible for the author. This book starts out in Chapter 1 with a comprehensive review for the tradi- tional factorization method and builds on this to introduce in Chapter 2 a new approach to this method and to review in Chapter 3 the basic properties of the Lie xvii www.com xviii FACTORIZATION METHOD IN QUANTUM MECHANICS algebras su(2) and su(1, 1) to be used in the successive Chapters.

As important applications in non-relativistic quantum mechanics, from Chapter 4 to Chap- ter 13, we shall apply our new approach to the factorization method to study some important quantum systems such as the harmonic oscillator, infinitely deep square well, Morse, Pöschl-Teller, pseudoharmonic oscillator, noncentral ring-shaped potential quantum systems and others. One of the advantages of this new approach is to easily obtain the matrix elements for some related phys- ical functions except for constructing a suitable Lie algebra from the ladder operators. In Chapter 14 we are going to study the position-dependent mass Schrödinger equation for a singular oscillator based on the algebraic approach. We shall carry out the applications of the factorization method in relativistic Dirac and Klein-Gordon equations with the Coulomb and hyperbolic potentials from Chapter 15 to Chapter 18.