Chương 1. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của kĩ năng vận dụng toán học. Các biện pháp nhằm bồi dưỡng kĩ năng vận dụng toán học cho học sinh THCS thông qua dạy học phương trình bậc nhất một ẩn số. Thực nghiệm sư phạm.
CƠ SỞ LÝ LUẬN – CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Hai phương hướng Toán học 1. Toán học lý thuyết Dựa theo các giả Trần Đức Chiển, Phan Thị Tình công bố ở các tài liệu [1], [6], [17], [18], [20] thì: Toán học lý thuyết (THLT) là một phần của Toán học, ra đời trong sự phát triển của Toán học theo hướng lý thuyết. - Đặc trưng nổi bật nhất của THLT là sử dụng các khái niệm một cách chính xác chặt chẽ và sử dụng các suy luận diễn dịch (SLDD - suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát).
Ví dụ 1: 1) Weierstrass (1815 - 1897, Đức) là người kiện toàn hệ thống lôgic của giải tich toán học trên nền tảng lý thuyết số thực. 2) Bourbaki là một nhóm các nhà toán học Pháp, dựa và lý thuyết tập hợp và lôgic xây dựng toán học thành những cấu trúc bao gồm: Cấu trúc đại số; cấu trúc thứ tự, cấu trúc tôpô,. Toán học ứng dụng (THƯD) - THƯD là một phần khác của Toán học, ra đời trong sự phát triển của Toán học theo hướng ứng dụng. - Hiện nay vẫn còn có một số quan niệm chưa xác đáng về THƯD: 1) Cho rằng những nhà THƯD là những nhà “Toán học loại hai”; 2) Đồng nhất THƯD với toán học tính toán và toán học máy tính; 3) Cho rằng THƯD là thuộc loại “thường dùng hàng ngày”.
- Một số quan niệm khoa học về THƯD: 1) Toán học ứng dụng là khoa học về các phương pháp giải tối ưu, mà về thực tiễn là chấp nhận được, những bài toán Toán học nảy sinh từ bên ngoài Toán học. 9 2) Toán học ứng dụng là khoa học về các mô hình toán học; hay chúng ta có thể nói rằng:đó là khoa học các kết cấu, nghiên cứu, diễn tả và tối ưu hóa các mô hình toán học. Mặc dù về từ ngữ được sử dụng không hoàn toàn như nhau, nhưng chúng tôi cho rằng hai khái niệm trên về cơ bản là tương đồng. Vì ở khái niệm sau thì cụm từ các mô hình toán học có thể thay thế bởi cụm từ những bài toán Toán học nảy sinh từ bên ngoài Toán học.
- Đặc trưng nổi bật nhất của Toán học ứng dụng là sử dụng những khái niệm và khẳng định hợp lý, kết hợp SLDD với suy luận hợp lý (SLHL – rất gần với suy luận có lý của G.Pôlia áp dụng vào toán học ứng dụng. Một số người còn gọi là suy luận nghe có lý). Đường phân nhánh cơ bản giữa THƯD và THLT Trong cùng một vấn đề toán học chúng ta có thể có nhiều hướng giải quyết khác nhau: a) Quan niệm THLT đòi hỏi sự hoàn thiện. THLT không cho phép có những lỗ hổng trong lôgic tư duy và trong cách giải các bài toán đã được đặt ra, và kết quả đạt được phải là một đỉnh cao của một chuỗi các mắt xích liên tục những lập luận hoàn thiện.
Nếu quan điểm này gặp phải những khó khăn không khắc phục nổi thì nhà toán học lý thuyết sẽ phải tìm cách phát biểu lại bài toán một cách nhanh nhất, hoặc đặt nó khác đi nhưng cùng loại với bài toán cũ, trong đó có thể khắc phục được những khó khăn ("cái có thể khi cần"). Còn có một đường vòng khác nữa: xác định lại xem cái gì được coi là "lời giải của bài toán"; trong thực tế, cách làm này được coi là một bước đi đến nghiệm của bài toán ban đầu. 10 b) Ngược lại với THLT, tính chất của THƯD khác hẳn. Trước hết, THƯD không cho phép chúng ta dễ dàng làm thay đổi hoặc lảng tránh bài toán mà thực tế đã đặt ra.
Vì ở đây đòi hỏi tính thực tiễn, cần phải đưa ra bằng được câu trả lời đúng đắn, đáng tin cậy và tối ưu nhất theo quan điểm chung. Trong một số trường hợp, nhà toán học có thể buộc phải nhượng bộ bằng cách anh ta đưa những dự đoán vào các lập luận cũng như cho phép một sai số nhất định trong những giá trị hằng số. Cũng cần phải nhấn mạnh là ngay cả những bài toán chủ yếu theo phương hướng thực tiễn, (ví dụ về bài toán về các dòng có sóng va chạm), cũng có thể đòi hỏi một công trình nghiên cứu toán học cơ bản để xác định xem bài toán đó đặt ra có đúng hay không. Trong các công trình nghiên cứu ứng dụng cũng có thể đòi hỏi cả những phép chứng minh định lí toán học thuần tuý về sự tồn tại, bởi vì sự tin tưởng là bài toán có nghiệm có thể đảm bảo cho độ tin cậy của mô hình toán học sử dụng được.
Và cuối cùng chế ngự trong THƯD là các phép xấp xỉ vì thiếu chúng thì không thể chuyển được các quá trình vật lí thực tại, thành các mô hình toán học. Hai khía cạnh “Lý thuyết” và “Ứng dụng” luôn thống nhất trong khoa học Toán học. Tuy nhiên sự phát triển lâu dài theo hai hướng khác nhau đã dẫn đến những điểm khác biệt nhau về chất giữa hai khía cạnh này. Theo đó, có những quan niệm không hoàn toàn như nhau đối với cùng một vấn đề.
Quan niệm không hoàn toàn như nhau về sự tồn tại, về vô hạn,. làm thành đặc trưng cơ bản của THƯD, làm cho nó khác với THLT.Storey khi nói về các bài toán ứng dụng đã viết: "Người kĩ sư hay nhà toán học trước hết cần phải nhớ rằng họ sử dụng toán học để mô tả thế giới thực tại. Nhà toán học thuần tuý không hề làm điều đó và ít tìm hiểu cái nghệ thuật này. Bất kỳ một dãy các dấu toán học nào đó do một nhà toán học ứng dụng ghi lại thực tế đều là dãy những khẳng định vật lý.
Nếu một khẳng định viết bằng tiếng Anh thì tác giả phải xem lại nghiêm túc, xem có đúng hay không. 11 Tất nhiên anh ta cũng phải làm như vậy để kiểm tra tinh đúng đắn của khẳng định đã được viết in bằng kí hiệu toán học".Chorafas cho rằng: "Trên một bình diện rộng nhất, toán học có thể chia thành hai lĩnh vực. Ở một trong những lĩnh vực đó, các nhà khoa học quan tâm tới những dấu tượng trưng, những kết hợp các dấu đó và thuộc tính của chúng ở dạng hình thức hoá. Còn ở lĩnh vực kia những nhà toán học lại quan tâm tới ý nghĩa của các dấu tượng trưng, tức là nội dung ý nghĩa của lý thuyết trong mối quan hệ với thế giới hiện thực" (Alecxep M.
(1976), Phát triển tư duy học sinh, bản dịch của Hoàng Yến, NXB Giáo dục, Hà Nội, tr. - Một phong cách lập luận là tạo ra cơ sở lôgic của toán học ứng dụng đã được hình thành và đã kết hợp những lập luận suy diễn với những lập luận không chấp nhận được theo quan điểm toán học thuần tuý, nhưng nếu áp dụng chúng một cách hợp lý thì có khả năng dẫn đến những kết quả đúng đắn. Những lập luận loại này được gọi là những SLHL (giống như đứng yên có thể coi được là dạng đặc biệt của vận động, trong nhiều trường hợp người ta coi là những lập luận suy diễn là trường hợp đặc biệt, giới hạn của những lập luận hợp lý). Tóm lại: sự khác biệt cơ bản nhất về phương pháp giữa toán học ứng dụng và toán học lý thuyết là ở chỗ trong toán học ứng dụng có sự kết hợp của những suy luận diễn dịch và những suy luận hợp lý, trong khi lôgic các toán học lý thuyết là lôgic của chỉ các suy luận diễn dịch.
- Khi nói đến THLT hay THƯD là hàm ý muốn nhấn mạnh khía cạnh này hay khía cạnh kia đóng vai trò chủ đạo chứ không phải là một sự phân chia thật chặt chẽ, loại bỏ nhau: “Thực ra giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng không thể vạch ra một ranh giới rõ rệt được” (R.Courant), vì: 1) Không thể xác định được biên giới của chúng một cách thật rạch ròi; 2) THLT và THƯD cùng là những khía cạnh khác nhau của một khoa học thống nhất đó là khoa học Toán học; 12 3) Từ thế kỷ XX: Thế giới tiến vào nền kinh tế trí thức, không có một lý thuyết nào mà lại không có ứng dụng gì và không có một sự ứng dụng nào mà lại không bắt nguồn từ lý thuyết. Cho nên: Tất cả các thành tựu của toán học hiện đại đều bao hàm trong nó hai hướng THLT và THƯD. - Để mô tả rõ hơn sự liên quan hữu cơ giữa THLT và THƯD, Chúng chúng tôi xin nêu ra đây qui trình (gồm 3 giai đoạn) vận dụng toán học để giải các bài toán của thực tiễn như sau: 1) Xây dựng mô hình Toán học (chẳng hạn lập phương trình là một sự thể hiện); 2) Xử lý mô hình Toán học (chẳng hạn là giải phương trình); 3) Phân tích và biểu thị thực tế kết quả Toán học đã thu được. (Một số người nói tới giai đoạn Chuyển đổi tình huống thực tiễn về bài toán thực tiễn, cách phân chia này nhấn mạnh việc phát hiện và chuyển tình huống thực tiễn về bài toán thực tiễn.) - Có thể nói cách phân chia trên mang tính tương đối, các giai đoạn khác nhau có liên quan mật thiết với nhau.
- Các phương pháp của Toán học lý thuyết thuần tuý được sử dụng chủ yếu ở giai đoạn hai. - Các SLHL và các SLDD được kết hợp sử dụng trong cả 3 giai đoạn kể trên, đặc biệt là giai đoạn 1 và giai đoạn 3. Theo các tác giả Nguyễn Chí Thành, Trần Đức Chiển; chúng ta có thể mô tả quy trình DH các bài toán có nội dung thực tiễn (BTNDTT) theo sơ đồ sau: 13 Ví dụ 2: - Tình huống thực tiễn ngoài toán học: So sánh chất lượng học môn Vật lí của hai lớp 8B1 và 8B2 của một trường THCS. - Xây dựng mô hình Toán học (phỏng thực tiễn): Điều tra điểm thi môn Vật lí của hai lớp 8B1, 8B2 của trường THCS trên ta được như các bảng sau.
Lớp 8B1 Lớp 8B2 X-điểm 5 6 7 8 9 10 Y- điểm 6 7 8 9 ni 3 7 12 14 3 1 mi 8 18 10 4 - Xử lý mô hình Toán học (giải bài toán Toán học): Tìm các số đặc trưng Từ bảng điểm của lớp 8B1 ta có: Giá trị trung bình mẫu X = 7,25; phương sai hiệu chỉnh mẫu S’2X ≈ 1,3205. Từ bảng điểm của lớp 8B2 ta có: Giá trị trung bình mẫu Y = 7,25; phương sai hiệu chỉnh mẫu S’2Y ≈ 0,8076.