CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Mô hình và mô hình hóa 1. Mô hình Mô hình có thể được hiểu là đối tượng vật lí (ví dụ như mô hình hình không gian), mô hình trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như tiên đề của hình học Ơclit).
Mô hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật chất. Hệ thống này phản ánh hay tái hiện đối tượng nghiên cứu có thể thay cho nó và khi nghiên cứu hệ thống này ta thu được những thông tin mới về đối tượng đó (V. Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý.
Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tế ban đầu (Blum và Niss). Tóm lại, “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật.” [12] Như vậy, mô hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây: a. Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu Mô hình là sản phẩm của quá trình hành động nhằm đạt được quá trình nhận thức nên mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm).
Bởi vậy, mô hình phải 11 đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới.
Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn. Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy Mô hình ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã bỏ đi những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa.
Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Như vậy, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực. Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc.
Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản. Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến 12 Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn.
Đặc điểm quan trọng của mô hình Toán học là sử dụng ngôn ngữ Toán học để mô tả hiện thực khách quan. Mô hình Toán học theo cách hiểu vật lí khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ sử dụng ngôn ngữ chính xác để diễn tả những quan hệ số lượng hoặc những mối quan hệ trong không gian, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật nhưng điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. Mô hình hóa Ý tưởng sử dụng mô hình và MHH trong DH được đề xuất bởi Aristides C.
Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm: “MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó”. MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay lại thực tế xem xét tính hiệu quả của mô hình đã sử dụng để mô tả và phân tích và đối chứng phương pháp giải quyết tình huống thực. Sẽ có nhiều công cụ khác nhau hữu ích đối với mỗi tình huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng trước một nhiệm vụ MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức nào phù hợp để giải quyết. Từ quan điểm này, chúng tôi nghiên cứu MHH ở hai cách tiếp cận sau: 13 a.
Mô hình hóa như một phương pháp dạy học Cung cấp cho HS hiểu khái niệm của vấn đề; giúp HS đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán. Để áp dụng phương pháp này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất cứ lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mô hình Toán học để dạy. Chúng tôi đồng ý với thầy Nguyễn Danh Nam [3] Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên về quan điểm của Quy trình MHH trong DH Toán ở trường phổ thông khi thiết kế 7 bước DH với MHH đó là: Bước 1: Đưa ra vấn đề: Đưa cho cả lớp mô tả ngắn gọn về chủ đề, hướng dẫn HS đặt câu hỏi về chủ đề đó. Bước 2: Đơn giản hóa vấn đề: GV lựa chọn một hoặc vài câu hỏi để phát triển kiến thức.
Có thể khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề, đọc lịch sử nghiên cứu hoặc phỏng vấn chuyên gia về vấn đề nghiên cứu. Bươc 3: Thiết lập vấn đề: GV bắt đầu thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả thuyết, tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử kiến thức Toán học trong bài để giải quyết. Bước 4: Phát triển kiến thức của bài học: GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay tính chất có liên hệ chặt chẽ với vấn đề vừa giải quyết. Bước 5: Trình bày ví dụ tương tự: Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự được nêu ra, trình bày ứng dụng.
Kích thích và hướng dẫn sử dụng các phương tiện kĩ thuật như máy tính cầm tay, máy vi tính để thực hành trong lớp. Bước 6: Thiết lập mô hình và lời giải cho vấn đề xuất phát từ mô hình: GV đề nghị HS quay lại vấn đề và tổng quát hóa, giải nó. Bước 7: Hiểu lời giải và cải tiến mô hình: Kết thúc giai đoạn này, HS phải đánh giá lời giải. Điều này cho phép HS hiểu sâu hơn về kết quả đạt được.
Mô hình hóa như một phương pháp nghiên cứu Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình Toán học vào các lĩnh vực khác. HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh cá nhân. Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây: Giai đoạn 1: Lựa chọn chủ đề. Nhóm được tạo bởi ít nhất 4 HS và mỗi nhóm lựa chọn một chủ đề theo sở thích.
Các nhóm với sự hướng dẫn của GV, chịu trách nhiệm về sự lựa chọn và cách thức tổ chức nhóm. GV gợi ý những dữ liệu có thể thu nhập qua lịch sử nghiên cứu hoặc qua phỏng vấn chuyên gia. Giai đoạn 2: Làm quen với chủ đề mô hình. Ở giai đoạn này HS làm quen với chủ đề và có dữ liệu.
GV hướng dẫn đặt các câu hỏi mà các em đã tổng hợp được từ dữ liệu. Tổng hợp này cho phép các em học về chủ đề, khoảng 3 câu hỏi gợi ý cho nhóm. Giai đoạn 3: Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức. Sau khi đơn giản vấn đề và lựa chọn câu hỏi để trả lời, GV bắt đầu thiết lập vấn đề từ câu hỏi để giải.
Khi nhóm có kiến thức cơ bản về chủ đề, phỏng vấn chuyên gia sẽ có hiệu quả. Giai đoạn 4: Thiết kế mô hình, giải và đối chiếu. Khi vấn đề được thiết lập, nhóm cố gắng chi tiết mô hình làm cho lời giải cụ thể hơn cho từng câu hỏi, áp dụng lời giải để dự đoán các kết quả khác. Giai đoạn 5: Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình.
Từ những cách tiếp cận trên, có hai hướng khai thác mô hình hóa. Thứ nhất, mô hình đươc sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như là một phương tiện để dạy và học ở trường. Thứ hai, mô hình được sử dụng để phục vụ nghiên cứu khoa học. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu tập trung nhiều vào hướng khai thác thứ nhất.
Barbosa cho rằng mô hình đóng vai trò quan trọng trong DH toán. MHH là môi trường để HS tìm hiểu, khám phá các kiến thức Toán học cũng như các kiến thức liên môn khác.