CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Mô hình hoá toán học 1. Một số khái niệm 1. Khái niệm mô hình và mô hình toán học Có rất nhiều khái niệm khác nhau về MHH như: Theo từ điển Việt Nam [12, 638], mô hình mang ý nghĩa như sau: mô hình là một vật cùng hình dạng nhưng kích thước lại bị thu nhỏ lại nhiều, mô phỏng lại cấu tạo, hoạt động của một vật khác để trình bày, nghiên cứu.
Mô hình cũng là một hình thức diễn đạt một cách ngắn gọn theo một ngôn ngữ khác mang đặc trưng chủ yếu của một đối tượng, để nghiên cứu đối tượng ấy. Mô hình là sự đơn giản hóa hay thu nhỏ hiện thực một cách có chủ định. Cho phép nhà nghiên cứu bỏ qua các mặt thứ yếu khác nhằm tập trung vào phương diện chính, có ý nghĩa quan trọng đối với vấn đề nghiên cứu. Mô hình như là dạng trừu tượng hóa của một hệ thống thực.
Hay cũng có thể nói: mô hình là một hình ảnh hay một biểu diễn của một hệ thống thực, qua đó diễn tả hệ thống: ở một mức trừu tượng hóa nhất định; theo một quan điểm hay một góc nhìn; bởi một hình thức diễn tả hiểu được (văn bản, hình khối, phương trình, bảng, đồ thị,…). Mô hình là một vật hay hệ thống giữ một vai trò là đại diện hay là một vật thay thế cho đối tượng mà ta đang quan tâm nghiên cứu. Như vậy tóm lại, mô hình giống như một vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng nhằm hướng tới mục đích nhất định nào đó. Vậy còn mô hình toán học được định nghĩa như thế nào? 8 Như Tiến sĩ Katie Fowler của Đại học Clarkson cho rằng: “Mô hình toán học là một công cụ sử dụng toán học để biểu diễn một tình huống trong thế giới thực nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc định lượng, phân tích dự đoán và có cái nhìn sâu sắc hơn về tình huống đó.” Tiến sĩ Joseph Malkevitch, Đại học York, tuyên bố: “Mô hình toán học là một nhánh của toán học liên quan đến việc sử dụng toán học để hiểu sâu hơn về các lĩnh vực và tình huống bên ngoài toán học”.
Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật như ngành vật lý, ngành sinh học, kỹ thuật điện tử và một số ngành khác. Đồng thời còn được dùng trong cả lĩnh vực khoa học xã hội (kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị). Chẳng hạn như trong kinh tế có mô hình nghiên cứu và phân tích quá trình hình thành giá cả của một loại hàng hóa bất kỳ trên thị trường với giả định là điều kiện sản xuất, thu nhập, sở thích người tiêu dùng đã cho trước và không đổi; trong khoa học máy tính: các mô hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu, mô hình toán trong đồ họa máy tính; trong điện tử: mô hình quang phổ, mô hình năng lượng, … 1. Khái niệm mô hình hoá Theo từ điển Việt Nam [12, 638], “MHH là tạo ra mô hình để mô hình ấy nghiên cứu một đối tượng nào đó.
MHH toán học là hệ thống các công thức, phương trình, kí hiệu toán học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng để nghiên cứu đối tượng ấy”. MHH là việc dùng các mô hình để làm sao nhận thức và diễn tả nên được hệ thống. Những mục đích MHH được sử dụng như sau: 9 Một là để hiểu: Muốn không bị mơ hồ với những ý tưởng thì người ta cần hình dung được nó. Ở đây “hiểu” tức là hình thành được một hình ảnh xác thực và đơn giản dù ở trong tưởng tượng hay đã được mô phỏng bên ngoài về đối tượng được tìm hiểu.
Ngược lại, cũng nhờ vào việc sử dụng các mô hình, ta có thể nhận thức được vấn đề dễ dàng và nhanh chóng hơn. Hai là để trao đổi: Khi nó giúp con người hiểu được, thì nó sẽ giúp ta có thể trao đổi. Mô hình giống như một loại ngôn ngữ để giao tiếp giữa những người cùng quan tâm tới một vấn đề hay một hệ thống chung. Ba là để hoàn chỉnh: Nhờ sự minh bạch của mô hình vậy nên ta có thể dễ dàng nhận thấy hệ thống đã phù hợp với nhu cầu hay chưa, có chặt chẽ, đầy đủ chưa và từ đó có thể hoàn thiện thêm.
Ngoài ra, mô hình còn giúp ta kiểm định, mô phỏng và thực hiện. Do đó, yêu cầu đối với một mô hình tốt đó là phải: dễ đọc, dễ hiểu, dễ trao đổi, xác thực, chặt chẽ, đầy đủ, dễ thực hiện. Khái niệm mô hình hoá toán học Trong giáo dục toán học, người ta có thể tìm thấy nhiều cách tiếp cận và quan điểm khác nhau về mô hình hoá toán học. Chẳng hạn : MHH trong dạy học Toán là quá trình học tập và tìm hiểu giúp học sinh tìm hiểu, khai phá các tình huống, vấn đề bên ngoài thực tế bằng công cụ, ngôn ngữ Toán học và biến nó thành ngôn ngữ toán học cùng với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin.
Để thực hiện được tốt quá trình này đòi hỏi học sinh cần phải trang bị đầy đủ các kĩ năng và thao tác tư duy Toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, MHH thể hiện mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức Toán học 10 trong SGK thông qua ngôn ngữ Toán học như ký hiệu, phương trình, công thức, đồ thị, sơ đồ. Như vậy, chúng ta có thể thấy những hoạt động MHH có thể rèn luyện cho học sinh những khái niệm và quá trình Toán học, hệ thống hóa được các khái niệm, ý tưởng Toán học và nắm được cách thức xây dựng, tìm mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Như vậy học sinh sẽ cảm nhận được việc học toán có ý nghĩa hơn từ đó hình thành nên động cơ và niềm say mê học Toán.
[10] Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), “Mô hình toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Quá trình MHH toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học dành cho một vấn đề ngoài toán học. Người thực hiện sẽ giải quyết vấn đề trong mô hình đó rồi thực hiện đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, dựa vào kết quả đánh giá để quay lại cải tiến mô hình nếu như cách giải quyết không thể chấp nhận” [3]. Trong cuốn sách Gaimme, MHH toán học là một quá trình sử dụng toán học để biểu diễn, phân tích, đưa ra dự đoán hoặc cung cấp cái nhìn sâu sắc về các hiện tượng trong thế giới thực.
Mô hình toán học thể hiện mối quan hệ giữa mô hình hóa và thế giới xung quanh chúng ta. Cụ thể: sử dụng ngôn ngữ toán học để định lượng các hiện tượng trong thế giới thực và phân tích; sử dụng toán học để khám phá và phát triển sự hiểu biết của chúng ta về các vấn đề trong thế giới thực; một quá trình giải quyết vấn đề lặp đi lặp lại trong đó toán học được sử dụng để nghiên cứu và phát triển sự hiểu biết sâu sắc hơn [13, 8]. Như vậy, ta có thể hiểu đơn giản MHH toán học là việc giải quyết những bài toán thực tiễn bằng công cụ toán học hay nói cách khác là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học và ngược lại. Quy trình mô hình hoá toán học Quá trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học Toán được thực hiện bằng cách sử dụng các công cụ và ngôn ngữ Toán học phổ biến như là dùng các công thức toán học, những thuật toán, phương trình, hệ phương trình, BPT, hệ BPT, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu, … MHH đã được nhiều nhà toán học, khoa học, nhà giáo dục nghiên cứu và ứng dụng.
Họ đã đưa ra khá nhiều quy trình MHH toán học trong đó có một vài quy trình tiêu biểu như sau: 1.1 Sơ đồ Pollak Sơ đồ trên cho thấy, từ một mô hình trong thế giới thực người thực hiện cần chuyển sang thế giới toán học hoặc tạo ra một mô hình toán học, sau đó giải bài tập toán, áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu. Chiều mũi tên biểu diễn một vòng lặp, thể hiện mối liên hệ giữa thế giới thực và thế giới toán học đồng thời cũng thể hiện quá trình này có thể lặp lại nhiều lần. Sơ đồ Pollak này là một trong những sơ đồ xuất hiện đầu tiên và những sơ đồ sau sẽ tiếp nối tiếp những ưu điểm của sơ đồ này và triển khai nó chi tiết hơn. Chu trình MHH 7 bước của Blum Giữa sự biến đổi giữa toán học và thực tế MHH tập trung nhấn mạnh vào chiều từ thực tiễn đến toán học.
Xuất phát từ tình huống thực tiễn, lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức toán học để giải quyết và sau đó trở lại xem xét tính hữu ích của mô hình toán học vừa sử dụng. Quá trình này được cụ thể hoá bằng những bước như sau: Bước 1: Xác định được tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó. Bước 2: Đơn giản hóa tình huống đó và gọi các biến số phù hợp vào để được mô hình thực của tình huống. Trong bước này người thực hiện cần hệ thống và xác định được các quy luật phải tuân theo để đưa ra được điều kiện, giả thiết sao cho phù hợp.
Điều này giúp tránh yếu tố phi thực tế dẫn tới việc giải sai, bài toán vô lý. 13 Bước 3: Chuyển đổi từ mô hình thực tế sang mô hình toán học. Người thực hiện cần thông dịch từ ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học. Bằng cách sử dụng các kí hiệu của đại số như: dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức, dấu ngoặc,.
cùng với hệ thống chữ cái được gọi dùng làm biến hay tham số,để thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết sau đó tính toán trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết quả cần tìm. Tư tưởng tổng quát của nó là biểu thị đại lượng chưa biết bằng một chữ - gọi là ẩn (có điều kiện thích hợp cho ẩn) và biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng của bài toán bằng một hay nhiều phương trình, bất phương trình. Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để thu được kết quả của biến số.