Luận án tiến sĩ: Lược đồ chữ ký số kháng lượng tử của NCS Dương Thu Mây ĐH Thái Nguyên

Nghiên cứu phát triển lược đồ chữ ký số kháng lượng tử hiệu quả dựa trên bài toán logarit rời rạc ẩn kết hợp giải hệ phương trình đa biến bậc hai.

• Tác giả: Dương Thu Mây
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Hiếu Minh
• Trường học: Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Khoa học máy tính
• Đề tài: Phát triển lược đồ chữ ký số kháng lượng tử dựa trên bài toán logarit rời rạc ẩn và giải hệ phương trình đa biến bậc hai
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2026
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan chữ ký số kháng lượng tử dựa trên bài toán logarit ẩn

An toàn thông tin đang đối mặt thách thức lớn từ máy tính lượng tử. Các thuật toán mật mã truyền thống như RSA hay ECC dựa trên bài toán phân tích số nguyên và logarit rời rạc. Thuật toán lượng tử Shor có thể giải quyết các bài toán này trong thời gian đa thức. Điều đó khiến hệ thống khóa công khai hiện nay đứng trước nguy cơ bị phá vỡ hoàn toàn. Nghiên cứu phát triển chữ ký số kháng lượng tử trở thành nhiệm vụ cấp thiết cho an ninh mạng.

Giải pháp xây dựng lược đồ chữ ký số mới dựa trên nền tảng đại số kết hợp hữu hạn phi giao hoán. Cấu trúc đại số này cung cấp môi trường toán học phong phú và phức tạp. Cấu trúc này cho phép kết hợp bài toán logarit rời rạc ẩn và bài toán giải hệ phương trình đa biến bậc hai. Bài toán logarit ẩn giấu cấu trúc nhóm con giao hoán bên trong không gian vectơ phi giao hoán. Bài toán đa biến bậc hai thuộc lớp NP-đầy đủ, không thể giải bằng thuật toán lượng tử đa thức. Sự kết hợp hai bài toán khó tạo nên cơ chế bảo mật hai tầng vững chắc. Hệ thống đảm bảo tính toàn vẹn và chống chối bỏ cho mọi giao dịch số.

1.1. Khái niệm đại số kết hợp phi giao hoán hữu hạn

Đại số kết hợp phi giao hoán hữu hạn là không gian vectơ m-chiều trên trường hữu hạn. Phép nhân trong đại số có tính chất kết hợp nhưng không giao hoán. Phép nhân cũng phân phối hai phía đối với phép cộng vectơ. Đặc điểm nổi bật của cấu trúc này là sự tồn tại của các đơn vị một phía và phần tử khả nghịch một phía. Cấu trúc đại số đặc biệt làm tăng độ phức tạp khi phân tích toán học. Các nhà nghiên cứu sử dụng nền tảng này để thiết lập các bài toán mật mã mới. Không gian đại số giúp che giấu cấu trúc nhóm con và ngăn chặn tấn công đại số hiệu quả. Đây là nền tảng cốt lõi để xây dựng các thuật toán khóa công khai hiện đại.

1.2. Bản chất bài toán logarit rời rạc ẩn trong FNAA

Bài toán logarit rời rạc ẩn là một biến thể nâng cao của logarit rời rạc cổ điển. Bài toán được định nghĩa trên cấu trúc nhóm con giao hoán ẩn thuộc đại số phi giao hoán. Kẻ tấn công không thể xác định trực tiếp các phần tử sinh của nhóm con này. Các vectơ cơ sở bị biến đổi và che phủ bởi các phép biến đổi khả nghịch bí mật. Thuật toán Shor không thể áp dụng trực tiếp do thiếu cấu trúc nhóm giao hoán tuần hoàn rõ ràng. Muốn giải bài toán, kẻ tấn công phải vượt qua lớp ánh xạ phi tuyến tính phức tạp. Điều này đem lại mức độ an toàn cao trước cả máy tính cổ điển và máy tính lượng tử.

II. Thách thức lượng tử và bài toán đa biến bậc hai trong mật mã

Sự phát triển nhanh chóng của công nghệ lượng tử đặt ra mối đe dọa trực tiếp cho an ninh mạng toàn cầu. Máy tính lượng tử sử dụng thuật toán Shor có thể bẻ khóa các hệ mật mã kinh điển trong thời gian thực. Ngoài ra, thuật toán Grover rút ngắn thời gian tìm kiếm khóa đối xứng xuống căn bậc hai. Mật mã học cần các bài toán nền tảng mới nằm ngoài khả năng xử lý của các cổng lượng tử.

Bài toán giải hệ phương trình đa biến bậc hai trên trường hữu hạn là một ứng viên xuất sắc. Bài toán này yêu cầu tìm nghiệm cho một hệ gồm nhiều phương trình đa thức bậc hai với nhiều biến số. Độ phức tạp tính toán của bài toán đã được chứng minh là thuộc lớp NP-đầy đủ. Không có thuật toán lượng tử nào giải được bài toán đa biến bậc hai tổng quát trong thời gian đa thức. Tuy nhiên, các lược đồ chỉ dựa trên đa biến thuần túy thường có kích thước khóa rất lớn. Do đó, việc kết hợp hệ phương trình đa biến với cấu trúc logarit ẩn là hướng đi đột phá để khắc phục hạn chế này.

2.1. Giới hạn an toàn của mật mã khóa công khai cổ điển

Các lược đồ chữ ký truyền thống như RSA hay ECDSA phụ thuộc vào cấu trúc đại số giao hoán. Tính chu kỳ và cấu trúc nhóm giao hoán tạo điều kiện thuận lợi cho thuật toán lượng tử Shor. Thuật toán này tìm chu kỳ của hàm số với độ phức tạp thời gian đa thức. Khi máy tính lượng tử đạt đủ số lượng qubit vật lý, các hệ thống mật mã này sẽ sụp đổ. Dữ liệu nhạy cảm được lưu trữ hiện nay có thể bị giải mã trong tương lai theo chiến lược thu thập trước giải mã sau. Nhu cầu chuyển đổi sang chuẩn mật mã hậu lượng tử đang trở nên cấp thiết trên quy mô toàn cầu.

2.2. Độ phức tạp của bài toán hệ phương trình đa biến MQ

Bài toán đa biến bậc hai đặt trọng tâm vào việc giải hệ đa thức phi tuyến trên trường hữu hạn. Khi số lượng biến và phương trình tăng lên, không gian nghiệm trở nên hỗn loạn. Các phương pháp giải cổ điển như thuật toán XL hay cơ sở Gröbner đòi hỏi chi phí bộ nhớ và thời gian theo hàm mũ. Máy tính lượng tử không cung cấp lợi thế tăng tốc hàm mũ cho bài toán này. Đặc tính này giúp hệ đa biến trở thành một trong những trụ cột chính của mật mã kháng lượng tử. Việc nhúng bài toán vào phương trình xác minh tạo ra rào cản vững chắc chống lại mọi hành vi giả mạo.

III. Thiết kế lược đồ chữ ký số kháng lượng tử kết hợp HDLP và MQ

Lược đồ chữ ký số kháng lượng tử được thiết kế qua quy trình năm giai đoạn chặt chẽ trên đại số phi giao hoán. Giai đoạn đầu tiên là thiết lập tham số hệ thống và sinh không gian đại số hữu hạn. Giai đoạn thứ hai là sinh cặp khóa công khai và khóa bí mật. Khóa bí mật bao gồm các vectơ khả nghịch ngẫu nhiên và phần tử sinh nhóm con giao hoán ẩn. Khóa công khai được tính toán qua tích các vectơ biến đổi và công bố rộng rãi. Giai đoạn thứ ba là tạo chữ ký số cho thông điệp cụ thể. Người ký sử dụng giá trị băm của thông điệp cùng khóa bí mật để tính toán các thành phần chữ ký.

Giai đoạn thứ tư là xây dựng phương trình xác minh chữ ký. Phương trình này có cấu trúc tương đương với một hệ phương trình đa biến bậc hai. Giai đoạn cuối cùng là kiểm tra tính hợp lệ của chữ ký. Người xác minh chỉ cần sử dụng khóa công khai để kiểm tra phương trình mà không cần biết khóa bí mật. Sự xuất hiện lặp lại của vectơ chữ ký ngăn chặn hiệu quả các tấn công phân tích tham số. Thiết kế này vừa tối ưu tốc độ xử lý vừa đảm bảo tính an toàn toán học vững chắc.

3.1. Quy trình tạo khóa và sinh chữ ký số an toàn

Thuật toán sinh khóa bắt đầu bằng việc chọn ngẫu nhiên các vectơ khả nghịch trong đại số phi giao hoán. Các vectơ này tạo thành một nhóm con giao hoán ẩn đóng vai trò khóa bí mật. Khóa công khai được tạo ra bằng cách liên hợp các phần tử sinh qua các phép biến đổi bí mật. Khi ký thông điệp, người ký băm thông điệp thành giá trị số rồi chọn một vectơ ngẫu nhiên tạm thời. Vectơ chữ ký được tính toán bằng cách giải phương trình đại số chứa khóa bí mật và mã băm. Chữ ký đầu ra có kích thước nhỏ gọn, thuận tiện cho việc truyền tải qua mạng băng thông thấp.

3.2. Cơ chế xác minh chữ ký dựa trên hệ phương trình MQ

Quy trình xác minh chữ ký kiểm tra tính đúng đắn của phương trình đại số công khai. Người xác minh tính toán giá trị băm của thông điệp nhận được và thay thế vào phương trình kiểm tra. Phương trình này liên kết khóa công khai, giá trị băm và chữ ký số. Nếu chữ ký hợp lệ, phương trình đại số sẽ đồng nhất đúng theo cấu trúc nhóm ẩn. Ngược lại, việc tạo ra một chữ ký giả mạo đòi hỏi kẻ tấn công phải giải hệ phương trình đa biến bậc hai. Độ phức tạp tính toán khổng lồ bảo đảm tính bất khả thi cho hành vi làm giả chữ ký.

IV. Đánh giá hiệu năng và ứng dụng thực tiễn của lược đồ PQDSS

Lược đồ chữ ký số kháng lượng tử kết hợp logarit ẩn và phương trình đa biến mang lại hiệu năng vượt trội. Kích thước khóa công khai và chữ ký được tối ưu hóa đáng kể nhờ cấu trúc đại số phi giao hoán. Các phép toán trên trường hữu hạn có thể thực thi nhanh chóng trên phần cứng hạn chế tài nguyên. Tốc độ tạo chữ ký và xác minh đạt hiệu suất cao, đáp ứng yêu cầu xử lý thời gian thực trong môi trường mạng diện rộng.

Lược đồ này mở ra tiềm năng ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực công nghệ trọng yếu. Hệ thống chính phủ điện tử có thể tích hợp lược đồ để bảo vệ các văn bản pháp lý dài hạn. Lĩnh vực tài chính, ngân hàng và công nghệ chuỗi khối được bảo vệ an toàn trước các cuộc tấn công lượng tử trong tương lai. Các thiết bị Internet vạn vật với vi điều khiển công suất thấp cũng có thể triển khai giải pháp nhờ chi phí tính toán thấp. Nghiên cứu khẳng định giá trị thực tiễn và tính khả thi cao của việc phát triển mật mã hậu lượng tử.

4.1. Phân tích ưu thế kích thước khóa và tốc độ xử lý

So với các lược đồ mật mã dựa trên lưới hay mã sửa sai, lược đồ kết hợp có kích thước khóa cân bằng hơn. Cấu trúc ma trận trong đại số phi giao hoán giúp nén biểu diễn khóa công khai mà không làm giảm độ an toàn. Thuật toán ký và xác minh chủ yếu sử dụng phép nhân vectơ và cộng trên trường hữu hạn. Các phép tính này có thể song song hóa dễ dàng trên chip xử lý chuyên dụng hoặc vi mạch nhúng. Kết quả thử nghiệm thực nghiệm chứng minh thời gian ký chỉ mất vài mili-giây, rất thích hợp cho các dịch vụ chứng thực trực tuyến tốc độ cao.

4.2. Tiềm năng triển khai trong bảo mật IoT và Blockchain

Hạ tầng thiết bị kết nối và mạng chuỗi khối đòi hỏi thuật toán chữ ký số có độ trễ thấp và tiêu thụ ít năng lượng. Lược đồ chữ ký mới đáp ứng xuất sắc các tiêu chí kỹ thuật khắt khe này. Trên các vi điều khiển nhúng, thuật toán thực thi mượt mà mà không gây quá tải bộ nhớ. Trong mạng chuỗi khối, kích thước chữ ký nhỏ giúp giảm dung lượng khối và tiết kiệm băng thông lưu trữ sổ cái. Việc triển khai sớm lược đồ giúp các hệ thống chủ động phòng ngừa rủi ro lượng tử, đảm bảo tính bền vững lâu dài cho toàn bộ hạ tầng số.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 trình bày tổng quan về máy tính lượng tử và mật mã hậu lượng tử, làm rõ tác động của máy tính lượng tử cũng như các thuật toán lượng tử như Shor và Grover đối với an toàn thông tin hiện đại. Trên cơ sở đó, chương giới thiệu các hướng tiếp cận trong phát triển các lược đồ PQDSS. Tiếp theo, chương tập trung phân tích nền tảng toán học của đại số FNAA, bài toán HDLP và MQ, đồng thời tổng hợp và phân tích các công trình trong cùng hướng, bao gồm các lược đồ dựa trên HDLP&MQ và các lược đồ PQDSS được NIST chuẩn hóa, nhằm làm cơ sở để đánh giá và so sánh với các lược đồ PQDSS được đề xuất trong luận án. Cuối cùng, chương xác định những vấn đề nghiên cứu của luận án nhằm phát triển các PQDSS có tính hiệu quả và đảm bảo an toàn, đóng góp vào sự phát triển của mật mã kháng lượng tử trong tương lai.1 Tổng quan về máy tính lượng tử và mật mã hậu lượng tử 1.1 Giới thiệu chung Sự phát triển của Internet và các hệ thống thông tin hiện đại làm tăng nhu cầu bảo mật dữ liệu, trong đó mật mã học giữ vai trò trung tâm nhằm đảm bảo tính bí mật, toàn vẹn và xác thực.

Mật mã đối xứng có ưu thế về hiệu suất nhưng gặp khó khăn trong phân phối khóa, trong khi mật mã khóa công khai giải quyết vấn đề này nhờ sử dụng cặp khóa công khai – bí mật, với nền tảng là các hàm một chiều có cửa sập như RSA, DSA hay ECDSA. Tuy nhiên, sự xuất hiện của máy tính lượng tử đã đặt ra thách thức nghiêm trọng đối với tính an toàn của các hệ mật mã hiện nay.1 mô tả ảnh hưởng của các thuật toán lượng tử đối với các hệ mật mã truyền thống. Thuật toán Shor [102] có khả năng phá vỡ các hệ mật mã khóa công khai dựa trên bài toán IFP và DLP, vốn là cơ sở của các hệ thống mật mã khóa công khai như RSA, DSA và ECDSA. Đồng thời, thuật toán √ Grover [38] cho phép tăng tốc độ tìm kiếm vét cạn từ O(N) xuống O( N), khiến mức an toàn của các thuật toán mật mã đối xứng giảm đi một nửa và yêu cầu tăng kích thước khóa cũng như hàm băm để duy trì mức bảo mật tương đương.

Hình minh họa cho thấy rõ rủi ro bảo mật mà điện toán lượng tử mang lại, là động lực thúc đẩy sự phát triển của các thuật toán mật mã hậu lượng tử.1 Mối đe dọa từ thuật toán lượng tử Trước những mối đe dọa này, ngành mật mã đang phát triển theo hai hướng chính: • Mật mã lượng tử (Quantum Cryptography - QC): Sử dụng các nguyên lý của cơ học lượng tử, như nguyên lý bất định Heisenberg và định lý không sao chép (No- cloning theorem), để thiết kế các giao thức bảo mật, tiêu biểu là phân phối khóa lượng tử (Quantum Key Distribution - QKD). • Mật mã hậu lượng tử (Post-Quantum Cryptography - PQC): Là tập hợp các thuật toán mật mã, đặc biệt là các thuật toán khóa công khai, được thiết kế để chống lại các cuộc tấn công từ máy tính lượng tử. Trong phạm vi của luận án này, nghiên cứu sẽ tập trung vào mật mã khóa công khai kháng lượng tử, với mục tiêu phát triển các lược đồ chữ ký số có khả năng chống lại các cuộc tấn công lượng tử, nhưng vẫn đảm bảo hiệu quả triển khai trên các hệ thống máy tính cổ điển hiện nay.2 Máy tính lượng tử Điện toán lượng tử là lĩnh vực nghiên cứu các mô hình tính toán dựa trên cơ học lượng tử, khai thác các hiện tượng như chồng chập, vướng víu và giao thoa lượng tử để xử lý thông tin. Máy tính lượng tử sử dụng qubit thay cho bit cổ điển; nhờ trạng thái chồng chập, mỗi qubit có thể tồn tại đồng thời ở cả hai giá trị là |0⟩ và |1⟩ với xác suất 8 tương ứng là |α|2 hoặc |β |2.

Khi mở rộng lên hệ gồm k qubit, máy tính lượng tử có thể biểu diễn 2k trạng thái cùng lúc, tạo nên khả năng xử lý song song vượt trội. Chính nhờ đó, chúng có tiềm năng giải quyết các bài toán tính toán phức tạp mà máy tính cổ điển không thể thực hiện hiệu quả, đặc biệt trong mật mã học và mô phỏng lượng tử. Tuy nhiên, công nghệ này hiện vẫn đối mặt với nhiều thách thức như kiểm soát lỗi, duy trì tính ổn định của qubit và phát triển các thuật toán lượng tử khả thi trong thực tế [56]. Dòng thời gian dưới đây tóm tắt các mốc phát triển quan trọng của máy tính lượng tử: • 1900–1980: Thiết lập nền tảng lý thuyết cơ bản (Planck, Einstein, Bohr, Heisen- berg, Einstein-Podolsky-Rosen).

• 1980–1994: Khái niệm máy tính lượng tử được hình thành rõ nét (Feynman, Deutsch). • 1994–2000: Các thuật toán lượng tử quan trọng ra đời (thuật toán Shor và Grover). • 2000–2021: Xây dựng và thử nghiệm các máy tính lượng tử thực nghiệm (Google Sycamore 54 qubit, IBM Eagle 127 qubit). • 2021–nay: Các bước tiến mới và hướng phát triển sửa lỗi lượng tử (Google Quan- tum AI với chip Willow, 2024).2 trình bày chi tiết hơn về các mốc thời gian quan trọng trong tiến trình phát triển máy tính lượng tử [96].2 Dòng thời gian phát triển máy tính lượng tử Dự báo trong tương lai, vào khoảng năm 2030, máy tính lượng tử có thể đủ mạnh để đe dọa nghiêm trọng tới các hệ thống mật mã cổ điển như RSA-2048 và ECC-256.

9 Đến năm 2040, máy tính lượng tử quy mô lớn dự kiến sẽ trở thành hiện thực, thúc đẩy mạnh mẽ quá trình chuyển đổi sang các hệ thống PQC để đảm bảo an toàn cho thông tin lâu dài.3 Mật mã hậu lượng tử Mật mã hậu lượng tử (PQC) là lĩnh vực nghiên cứu nhằm phát triển các lược đồ mật mã có thể triển khai trên máy tính cổ điển nhưng vẫn đảm bảo mức độ an toàn cao trước các cuộc tấn công sử dụng máy tính lượng tử quy mô lớn trong tương lai. Trong chương trình chuẩn hóa PQC do NIST khởi xướng từ năm 2016, nhiều thuật toán đã được đề xuất và đánh giá qua nhiều vòng tuyển chọn nghiêm ngặt. Các thuật toán này chủ yếu tập trung vào năm nhóm chính, mỗi nhóm dựa trên các nền tảng toán học khác nhau, bao gồm: • Mật mã dựa trên lưới (Lattice-based Cryptography) Mật mã dựa trên lưới là hướng nghiên cứu nổi bật trong PQC, bắt đầu từ công trình của Ajtai (1996) với hàm băm có độ an toàn tương đương bài toán khó trong trường hợp xấu nhất [1]. Hệ mật công khai NTRU được đề xuất năm 1998 [40], tiếp đó Regev giới thiệu lược đồ dựa trên bài toán LWE vào năm 2005 [97], tạo nền tảng cho nhiều thuật toán kháng lượng tử hiện nay.

An toàn của phương pháp này dựa vào độ khó của hai bài toán SVP và CVP [12], vốn vẫn chưa có thuật toán hiệu quả để giải trên cả máy tính cổ điển và lượng tử. • Mật mã dựa trên mã sửa lỗi (Code-based Cryptography) Mật mã dựa trên mã sửa lỗi là một trong những hướng nghiên cứu PQC lâu đời nhất, bắt đầu từ lược đồ McEliece do Robert McEliece đề xuất năm 1978 [54], sử dụng mã Goppa nhị phân để xây dựng hệ mã khóa công khai. Cơ sở bảo mật của phương pháp này dựa trên bài toán giải mã tuyến tính tổng quát (GDP) – một bài toán NP-đầy đủ, rất khó giải ngay cả với máy tính lượng tử [11]. Nhờ độ khó tính toán cao và hiệu suất tốt, các hệ như McEliece, HQC hay BIKE được xem là những ứng viên tiềm năng cho PQC, và đặc biệt không bị ảnh hưởng đáng kể bởi thuật toán Shor [4, 55].

Nhiều lược đồ đã được đề xuất như Matsumoto–Imai [53], HFE [25], Rainbow [26, 27] và GeMSS [24], trong đó Rainbow và GeMSS nổi bật nhờ hiệu suất cao và chữ ký ngắn. Các hệ này thường 10 dựa trên mô hình cửa sập, che giấu ánh xạ đa biến để tạo ra lược đồ khó đảo ngược. Dù có tiềm năng lớn, mật mã đa biến vẫn đối mặt với các thách thức như lộ cấu trúc ẩn và kích thước khóa lớn, là nguyên nhân khiến một số lược đồ như Rainbow không được chọn trong vòng cuối của chương trình chuẩn hóa PQC [93]. • Mật mã dựa trên đẳng cấu elliptic siêu kỳ dị (Supersingular Elliptic Curve Isogeny Cryptography - SIDH) Mật mã dựa trên đẳng cấu elliptic siêu kỳ dị là hướng tiếp cận mới trong PQC, dựa trên độ khó của bài toán tính toán đẳng cấu giữa các đường cong elliptic siêu kỳ dị – một bài toán khó với cả máy tính cổ điển và lượng tử [42].

Lược đồ SIKE, phiên bản nâng cao của SIDH, đã lọt vào vòng chung kết cuộc thi PQC của NIST [105]. Tuy nhiên, năm 2022 SIKE đã bị tấn công hiệu quả bởi một thuật toán mới, làm dấy lên lo ngại về độ an toàn dài hạn của hướng tiếp cận này và thúc đẩy các nghiên cứu sâu hơn về nền tảng lý thuyết của mật mã đẳng cấu elliptic [17].3 Các hướng tiếp cận trong PQC Hình 1.3 minh họa năm hướng tiếp cận chủ đạo trong lĩnh vực mật mã hậu lượng tử, bao gồm: mật mã dựa trên lưới, mã sửa lỗi, hàm băm, đa biến và đẳng cấu elliptic. Các nhóm này đều hướng tới mục tiêu chung là đảm bảo an toàn trước các thuật toán lượng tử như Shor và Grover, đồng thời tạo nên nền tảng lý thuyết vững chắc cho sự phát 11 triển của PQC. Trong bối cảnh đó, các lược đồ PQDSS khai thác cấu trúc đại số phi giao hoán trên trường hữu hạn, đặc biệt tập trung vào những hệ thống dựa trên các bài toán khó như HDLP và MQ – vốn đang thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu.

Phần tiếp theo của luận án sẽ trình bày tổng quan về chữ ký số, các nguyên lý cơ bản và các tiếp cận kháng lượng tử đã được đề xuất, từ đó hình thành cơ sở khoa học cho việc xây dựng các lược đồ chữ ký số mới trong các chương tiếp theo.2 Lược đồ chữ ký số và các hướng tiếp cận trong mật mã hậu lượng tử 1.1 Lược đồ chữ ký số cổ điển Chữ ký số là cơ chế mật mã khóa công khai giúp xác thực nguồn gốc, bảo vệ tính toàn vẹn dữ liệu và hỗ trợ không chối bỏ trong giao dịch điện tử. Khái niệm lược đồ chữ ký số (Digital Signature Scheme – DSS) bắt nguồn từ Diffie–Hellman (1976) với hàm một chiều; RSA (1978) là lược đồ chữ ký đầu tiên được triển khai rộng rãi, trong khi DSA (FIPS 186, 1994) là chuẩn nhà nước đầu tiên.