Tổng quan luận án

Xử lý dữ liệu không đầy đủ là một chủ đề nghiên cứu trọng tâm trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và khoa học dữ liệu. Vấn đề này xuất hiện trong hai tình huống thực tế: thứ nhất, việc chủ động thu thập một khối lượng dữ liệu nhỏ hơn tiêu chuẩn nhằm giảm số chiều, đơn giản hóa quá trình lấy mẫu hoặc loại bỏ dữ liệu kém tin cậy; thứ hai, việc dữ liệu bị khuyết thiếu do giới hạn phần cứng, lỗi thiết bị thu hoặc suy hao trên kênh truyền. Trong xử lý tín hiệu y sinh, bài toán dữ liệu không đầy đủ gắn liền với hai kỹ thuật chẩn đoán lâm sàng phổ biến là tạo ảnh cộng hưởng từ (Magnetic Resonance Imaging - MRI) và điện não đồ (Electroencephalogram - EEG). Kỹ thuật MRI truyền thống có thời gian thu nhận dữ liệu dài do các ràng buộc vật lý, trong khi tín hiệu EEG đa kênh nhiều chiều thường xuyên bị mất mát dữ liệu do điện cực tiếp xúc kém, nhiễu kỹ thuật hoặc lỗi truyền dẫn.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án xác định bao gồm:

  1. Trong kỹ thuật MRI, phương pháp lấy mẫu nén ngẫu nhiên (CS-MRI) gặp khó khăn khi triển khai phần cứng thực tế và chưa thích ứng tối ưu với đặc tính phân bố năng lượng dạng hàm mũ trong không gian k. Đồng thời, các giải thuật lấy mẫu nén hiện hữu chưa kết hợp chặt chẽ với các kỹ thuật kích thích và thu nhận vật lý tốc độ cao như phương pháp tạo ảnh tĩnh nhanh với biến đổi Fourier (SWIFT).
  2. Trong xử lý tín hiệu EEG dạng ten-xơ nhiều chiều, các thuật toán phân tích phần tử song song (Canonical Polyadic - CP) hiện hành (tiêu biểu như CP-WOPT) chủ yếu hoạt động ở chế độ xử lý khối (batch processing), đòi hỏi toàn bộ dữ liệu tĩnh và có độ phức tạp tính toán lớn theo kích thước khối, chưa đáp ứng được yêu cầu xử lý thích nghi trực tuyến khi dữ liệu bị mất mát theo thời gian.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án:

  • Mục tiêu chung: Nghiên cứu phát triển các giải thuật xử lý tín hiệu hiện đại, tập trung vào phương pháp lấy mẫu nén (Compressed Sensing - CS) và phân tích phần tử song song (CP), nhằm hỗ trợ xử lý tín hiệu y sinh với tốc độ nhanh trong điều kiện dữ liệu không đầy đủ.
  • Mục tiêu cụ thể:
    1. Nghiên cứu phát triển giải thuật lấy mẫu nén tất định dựa trên hệ hỗn loạn cho kỹ thuật tạo ảnh cộng hưởng từ (CS cho MRI).
    2. Áp dụng giải thuật lấy mẫu nén tất định để tăng tốc độ tạo ảnh MRI nhanh, kết hợp với phương pháp SWIFT.
    3. Nghiên cứu phát triển công cụ phân tích CP thích nghi đối với ten-xơ bậc 3 khi dữ liệu quan sát không đầy đủ dựa trên bài toán ước lượng không gian con.
    4. Áp dụng phân tích CP thích nghi cho việc trích xuất thông tin và khôi phục dữ liệu tín hiệu điện não đồ (EEG) không đầy đủ.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Tín hiệu và hình ảnh y sinh, cụ thể là dữ liệu không gian k của ảnh MRI hai chiều và dữ liệu tín hiệu điện não đồ (scalp EEG) đa kênh được cấu trúc dưới dạng ten-xơ bậc 3 (Kênh $\times$ Thời gian $\times$ Tần số).
  • Phạm vi nghiên cứu:
    • Về phương pháp: Giới hạn ở lấy mẫu nén tất định xây dựng từ các hệ hỗn loạn và phân tích CP thích nghi phát triển từ thuật toán ước lượng không gian con song song sử dụng đệ quy bình phương tối thiểu (PETRELS).
    • Về không gian và thời gian: Dữ liệu ảnh MRI hai chiều và tín hiệu EEG thực nghiệm thu thập từ các đề tài nghiên cứu khoa học tại Việt Nam; không gian con tín hiệu giả định có số chiều thấp và biến đổi chậm; mô hình mất mát dữ liệu giả định là ngẫu nhiên.
    • Về dữ liệu: Nghiên cứu được hỗ trợ bởi Đề tài số 57/2011/HDDT (Trung tâm Nghiên cứu Châu Á, Đại học Quốc gia Hà Nội), Đề tài số 102.32 (Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia - NAFOSTED), và dữ liệu EEG từ Đề tài số QG.40 (Đại học Quốc gia Hà Nội).

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã hệ thống hóa các hướng nghiên cứu liên quan đến xử lý dữ liệu không đầy đủ, lấy mẫu nén cho MRI và phân tích ten-xơ cho tín hiệu EEG:

Hướng nghiên cứu Tác giả và công trình tiêu biểu Nội dung chính và đóng góp đã có Hạn chế còn tồn tại
Lý thuyết Lấy mẫu nén (CS) Candès, Romberg, Tao (2006) [13, 15]; Donoho (2006) [21, 22] Đặt nền tảng toán học cho CS dựa trên tính thưa, tính không liên kết và tính chất đẳng cự giới hạn (RIP). Cơ sở lấy mẫu ngẫu nhiên mang tính lý thuyết, khó thiết kế phần cứng thực tế.
Lấy mẫu nén cho MRI (CS-MRI) Lustig, Donoho, Pauly (2007, 2008) [41, 42, 43] Khai thác độ thưa của ảnh MRI trong miền sóng con (wavelet) để giảm số mẫu không gian k; giải bài toán tối ưu bằng Nonlinear Conjugate Gradient (NCG). Sử dụng mặt nạ lấy mẫu ngẫu nhiên; chưa tối ưu hóa việc phân bổ mẫu theo phổ năng lượng thực tế.
Lấy mẫu nén tất định trên hệ hỗn loạn Yu, Jiao, Zhao (2010) [73]; L.T. Nguyen và cộng sự (2011, 2012) [24, 57, 65] Xây dựng ma trận đo tất định từ dãy hỗn loạn logistic biến đổi sang phân bố Gauss (CCS-MRI) cho MRI truyền thống và MRI trải phổ. Thiếu tính linh hoạt khi phân bố năng lượng k-space không tiệm cận phân bố Gauss; chưa kết hợp kỹ thuật MRI vật lý tốc độ cao.
Kỹ thuật MRI tĩnh nhanh (SWIFT) Idiyatullin và cộng sự (2006) [29] Sử dụng chuỗi xung hyperbolic secant (HSn) chia nhỏ để vừa kích thích vừa thu tín hiệu gần như đồng thời, rút ngắn thời gian vật lý. Chưa tích hợp xử lý tín hiệu lấy mẫu nén để giảm số chu kỳ kích thích/thu nhận.
Phân tích ten-xơ CP cho tín hiệu EEG Acar và cộng sự (2007, 2011) [2, 3, 4]; Cichocki và cộng sự (2009, 2015) [17, 18]; Mørup và cộng sự (2006, 2007) [45, 47] Biểu diễn EEG đa kênh dưới dạng ten-xơ nhiều chiều; đề xuất thuật toán tối ưu trọng số CP-WOPT để xử lý dữ liệu không đầy đủ dạng khối. Thuật toán CP-WOPT là xử lý khối, tiêu tốn bộ nhớ và thời gian tính toán lớn, không xử lý được dòng dữ liệu trực tuyến.
Ước lượng không gian con thích nghi Yang (1995) [71] (PAST); Abed-Meraim và cộng sự (2000) [1] (OPAST); Chi và cộng sự (2013) [16] (PETRELS) Phát triển thuật toán PETRELS ước lượng không gian con cho dữ liệu không đầy đủ bằng đệ quy bình phương tối thiểu song song từng hàng. Tốc độ hội tụ và độ chính xác bị ảnh hưởng khi tỷ lệ mất dữ liệu cao hoặc không gian con biến đổi nhanh.
Phân tích CP thích nghi Nion, Sidiropoulos (2009) [53]; de Almeida và cộng sự (2012, 2013) [48, 50] Quy đổi bài toán phân tích CP thích nghi cho ten-xơ bậc 3 về bài toán ước lượng không gian con ma trận hóa. Các thuật toán ban đầu chỉ áp dụng cho dữ liệu quan sát đầy đủ.

Vị trí của luận án: Luận án định vị nghiên cứu tại điểm giao thoa giữa xử lý tín hiệu tất định trên hệ hỗn loạn và xử lý ten-xơ thích nghi cho dữ liệu không đầy đủ. Luận án giải quyết trực tiếp hai khoảng trống:

  1. Xây dựng giải thuật CS tất định linh hoạt theo năng lượng không gian k (NewCCS-MRI) và tích hợp vào kỹ thuật tạo ảnh tĩnh nhanh SWIFT (CCS-SWIFT) để tăng tốc độ tạo ảnh MRI.
  2. Xây dựng các thuật toán ước lượng không gian con cải tiến từ PETRELS khi quan sát không đầy đủ, từ đó thiết lập khung giải thuật phân tích CP thích nghi trực tuyến (CP-PETRELS, CP-MS, CP-NL, CP-SW) ứng dụng cho việc trích xuất và khôi phục tín hiệu EEG đa kênh bị khuyết thiếu.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và khung phân tích

  1. Lý thuyết lấy mẫu nén (Compressed Sensing - CS):

    • Biểu diễn tín hiệu thưa: Tín hiệu $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$ được biểu diễn qua cơ sở trực chuẩn $\mathbf{\Psi} = [\boldsymbol{\psi}_1, \boldsymbol{\psi}_2, \dots, \boldsymbol{\psi}_N]$ theo công thức $\mathbf{x} = \mathbf{\Psi}\mathbf{c}$. Tín hiệu là thưa bậc $K$ nếu véc-tơ hệ số $\mathbf{c}$ có tối đa $K$ phần tử khác 0 ($K \ll N$).
    • Mô hình lấy mẫu: $\mathbf{y} = \mathbf{\Phi}\mathbf{x} = \mathbf{\Phi}\mathbf{\Psi}\mathbf{c} = \mathbf{\Theta}\mathbf{c}$, trong đó $\mathbf{\Phi}$ là ma trận lấy mẫu kích thước $M \times N$ ($M < N$), $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^M$ là véc-tơ độ đo.
    • Điều kiện khôi phục: Ma trận $\mathbf{\Theta}$ thỏa mãn tính chất đẳng cự giới hạn (Restricted Isometry Property - RIP) bậc $2K$ với hệ số $\delta_{2K} \in (0, 1)$ sao cho: $$(1 - \delta_{2K})|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2|_2^2 \le |\mathbf{\Theta}\mathbf{x}_1 - \mathbf{\Theta}\mathbf{x}_2|2^2 \le (1 + \delta{2K})|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2|_2^2$$
    • Độ không liên kết giữa cơ sở lấy mẫu $\mathbf{\Phi}$ và cơ sở làm thưa $\mathbf{\Psi}$: $\eta(\mathbf{\Phi}, \mathbf{\Psi}) = \sqrt{N} \max_{1 \le k, j \le N} |\langle \boldsymbol{\phi}_k, \boldsymbol{\psi}_j \rangle| \in [1, \sqrt{N}]$.
    • Bài toán khôi phục $\ell_1$-norm có nhiễu: $$\hat{\mathbf{x}} = \arg\min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N} |\mathbf{x}|_1 \quad \text{sao cho} \quad |\mathbf{y} - \mathbf{\Phi}\mathbf{x}|_2 \le \epsilon$$

  2. Hệ hỗn loạn và tạo dãy tất định:

    • Phương trình ánh xạ Logistic: $h_L(n+1) = \alpha h_L(n)(1 - h_L(n))$. Khi $\alpha = 4$, hệ ánh xạ khoảng $(0, 1)$ vào chính nó và có hàm mật độ xác suất đối xứng $P(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}$.
    • Biến đổi sang phân bố Gauss: Tạo dãy tất định $G_L(n)$ có trung bình $\mu = 0$ và phương sai tiệm cận $\sigma = \pi$: $$G_L(n) = \frac{1}{\sqrt{h_L(n)}} - \frac{1}{\sqrt{1 - h_L(n)}}$$
    • Biến đổi sang phân bố Bernoulli và phân bố đều: Tạo dãy nhị phân $B(n) \in {0, 1}$ bằng cách so sánh giá trị $h_L(n)$ với ngưỡng đối xứng, từ đó ghép các khối $q$-bit để tạo dãy số nguyên phân bố đều trong đoạn $[0, 2^q - 1]$.

  3. Kỹ thuật tạo ảnh MRI và phương pháp SWIFT:

    • Phương trình tạo ảnh Fourier hai chiều: $\nu(k_x, k_y) = \iint m(x, y) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y)} dx dy$, viết gọn là $\boldsymbol{\nu} = \mathcal{F}(\mathbf{m})$.
    • Mô hình xung SWIFT: Sử dụng họ xung hyperbolic secant (HSn) với biên độ $\omega(t) = \omega_{\max} \operatorname{sech}(\beta(2t/T_p - 1)^n)$ và pha được điều chế. Phương trình tạo ảnh qua điều chế xung là $\boldsymbol{\nu} = \mathcal{F}(\mathbf{H}\mathbf{m})$, với $\mathbf{H}$ là ma trận đường chéo biểu diễn tác động của xung HSn.
    • Giải thuật khôi phục ảnh NCG (Nonlinear Conjugate Gradient): Giải bài toán tối ưu phi tuyến không ràng buộc: $$\hat{\mathbf{m}} = \arg\min_{\mathbf{m}} \left( |\mathcal{F}_u(\mathbf{m}) - \boldsymbol{\nu}|_2^2 + \theta|\mathbf{\Psi}\mathbf{m}|_1 \right)$$ với $\mathcal{F}_u$ là toán tử lấy mẫu Fourier không đầy đủ, $\mathbf{\Psi}$ là biến đổi sóng con (wavelet) và $\theta$ là tham số điều chuẩn.

  4. Đại số Ten-xơ và Phân tích CP thích nghi:

    • Ten-xơ bậc 3: $\boldsymbol{\mathcal{X}} \in \mathbb{R}^{I \times J \times K}$.
    • Phân tích CP: Phân rã $\boldsymbol{\mathcal{X}}$ thành tổng của $R$ ten-xơ hạng 1: $\boldsymbol{\mathcal{X}} = \sum_{r=1}^R \mathbf{a}_r \circ \mathbf{b}_r \circ \mathbf{c}_r$.
    • Biểu diễn ma trận hóa: $\mathbf{X}_{(1)} = (\mathbf{A} \odot \mathbf{C})\mathbf{B}^T$, trong đó $\odot$ biểu diễn tích Khatri-Rao, $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{I \times R}$, $\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{J \times R}$, $\mathbf{C} \in \mathbb{R}^{K \times R}$.
    • Mô hình thích nghi: Khi kích thước chiều thứ hai tăng theo thời gian $J(t) = J(t-1) + 1$, mỗi lát cắt mới được véc-tơ hóa thành $\mathbf{x}(t) = \mathbf{W}(t)\mathbf{b}^T(t)$ với $\mathbf{W}(t) = \mathbf{A}(t) \odot \mathbf{C}(t)$. Bài toán quy về ước lượng không gian con cột $\mathbf{W}(t)$ và cập nhật các ma trận thành phần $\mathbf{A}(t), \mathbf{C}(t)$ qua phân tích suy biến (SVD).

  5. Mô hình ước lượng không gian con cho dữ liệu không đầy đủ (PETRELS):

    • Mô hình tín hiệu: $\mathbf{x}(\tau) = \mathbf{U}(\tau)\mathbf{a}(\tau) + \mathbf{n}(\tau)$.
    • Quan sát khuyết: $\mathbf{y}(\tau) = \mathbf{p}(\tau) * \mathbf{x}(\tau) = \mathbf{P}(\tau)\mathbf{x}(\tau)$, với $\mathbf{p}(\tau) \in {0, 1}^M$ là véc-tơ chỉ thị quan sát và $\mathbf{P}(\tau) = \operatorname{diag}{\mathbf{p}(\tau)}$.
    • Hàm chi phí đệ quy: $\sum_{\tau=1}^t \lambda^{t-\tau} |\mathbf{P}(\tau)(\mathbf{x}(\tau) - \mathbf{W}\mathbf{a}(\tau))|_2^2$, giải bằng cách cập nhật song song từng hàng $\mathbf{w}_m(t)$ cùng ma trận hiệp phương sai đệ quy $\mathbf{R}_m(t)$.

Phương pháp nghiên cứu và nguồn dữ liệu thực tế

  • Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết kết hợp mô hình hóa toán học, xây dựng giải thuật tối ưu hóa đệ quy và kiểm chứng thông qua mô phỏng tính toán số trên môi trường MATLAB.
  • Nguồn dữ liệu:
    • Dữ liệu ảnh MRI mô phỏng và ảnh thực nghiệm não người để đánh giá chất lượng khôi phục ảnh không gian k.
    • Dữ liệu tín hiệu điện não đồ đa kênh thực tế thu nhận từ hệ thống điện cực da đầu theo tiêu chuẩn quốc tế Jasper 10/20 và ACNS 10/10, được kế thừa từ Đề tài nghiên cứu khoa học cấp ĐHQGHN mã số QG.40.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Cơ sở về áp dụng phương pháp lấy mẫu nén cho tạo ảnh cộng hưởng từ nhanh và phân tích phần tử song song cho tín hiệu điện não đồ

Chương 1 xây dựng hệ thống cơ sở lý thuyết toán học và kỹ thuật y sinh làm nền tảng cho toàn bộ luận án:

  • Trình bày nguyên lý phương pháp lấy mẫu nén (CS), định nghĩa tín hiệu thưa, tín hiệu có thể nén, điều kiện RIP của ma trận tích $\mathbf{\Theta} = \mathbf{\Phi}\mathbf{\Psi}$, khái niệm độ không liên kết và giải thuật tối ưu hóa $\ell_1$-norm.
  • Khảo sát các đặc tính toán học của hệ hỗn loạn Logistic ($\alpha = 4$), cơ chế tạo dãy tất định có phân bố tiệm cận Gauss thông qua hàm biến đổi phi tuyến và phương pháp tạo dãy nhị phân Bernoulli/phân bố đều.
  • Trình bày bài toán phân tích CP cho ten-xơ bậc 3, các phép toán đại số đa tuyến tính (tích ngoài, tích Kronecker, tích Khatri-Rao), cấu trúc ma trận hóa ten-xơ, và thuật toán phân tích CP thích nghi theo cách tiếp cận không gian con của Nion.
  • Chi tiết hóa giải thuật ước lượng không gian con cho dữ liệu không đầy đủ PETRELS và biến thể rút gọn S-PETRELS.
  • Phân tích nguyên lý vật lý thu nhận tín hiệu MRI, phương trình mã hóa không gian k, quỹ đạo lấy mẫu Đề-các hai chiều, và phương pháp tạo ảnh tĩnh nhanh SWIFT sử dụng xung điều chế HSn.
  • Đánh giá cơ sở áp dụng CS cho MRI (tính thưa của ảnh não trong miền wavelet, tính không liên kết của toán tử Fourier không đầy đủ), cơ chế lấy mẫu ngẫu nhiên CS-MRI và lấy mẫu hỗn loạn Gauss CCS-MRI kết hợp giải thuật khôi phục NCG.
  • Giới thiệu bản chất điện sinh lý của tín hiệu EEG, hệ thống phân bố điện cực bề mặt 10/20 và 10/10, cách thức xây dựng ten-xơ đặc trưng ba chiều (Kênh $\times$ Thời gian $\times$ Tần số) thông qua biến đổi sóng con liên tục.

Chương 2: Áp dụng lấy mẫu nén tất định trên cơ sở các hệ hỗn loạn cho tạo ảnh cộng hưởng từ nhanh

Chương 2 tập trung giải quyết bài toán tăng tốc độ tạo ảnh MRI bằng phương pháp lấy mẫu nén tất định:

  • Phân tích mô hình và hạn chế: Phân tích quy luật suy giảm hàm mũ của mật độ năng lượng trong không gian k của ảnh MRI (năng lượng tập trung cao ở vùng trung tâm tần số thấp và giảm nhanh ra biên tần số cao). Đánh giá hạn chế của phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên CS-MRI và phương pháp lấy mẫu hỗn loạn Gauss CCS-MRI khi phân bố năng lượng không gian k không hoàn toàn tuân theo phân bố Gauss.
  • Tiêu chí xây dựng cơ sở lấy mẫu tất định: Thiết kế ma trận lấy mẫu tất định vừa đảm bảo tính chất không liên kết, vừa cho phép điều chỉnh linh hoạt mật độ lấy mẫu phù hợp với phổ năng lượng thực tế của không gian k.
  • Đề xuất hai phương pháp mới:
    1. Phương pháp 1 (NewCCS-MRI): Phương pháp CS hỗn loạn cải tiến cho MRI. Sử dụng dãy hỗn loạn biến đổi để tạo mặt nạ lấy mẫu tất định hai chiều có mật độ tập trung tại tâm không gian k và thưa dần ra biên một cách linh hoạt, sau đó khôi phục ảnh bằng giải thuật NCG.
    2. Phương pháp 2 (CCS-SWIFT): Phương pháp CS hỗn loạn áp dụng cho kỹ thuật tạo ảnh tĩnh nhanh SWIFT. Tích hợp ma trận lấy mẫu tất định hỗn loạn vào mô hình điều chế ảnh bằng xung HSn ($\boldsymbol{\nu} = \mathcal{F}_u(\mathbf{H}\mathbf{m})$), kết hợp ưu thế giảm thời gian vật lý của SWIFT và giảm số lượng mẫu cần thu của CS.
  • Kết quả mô phỏng và đánh giá:
    • Tiêu chuẩn đánh giá: Sai số trung bình bình phương chuẩn hóa (NRMSE), sai số tuyệt đối trung bình (MAE) và xác suất khôi phục ảnh thành công theo tỷ số nén $r_{cs} = M/N$.
    • Dữ liệu mô phỏng: Ảnh MRI mô phỏng và ảnh MRI não thực tế kích thước $256 \times 256$.
    • Kết quả so sánh: Tại các tỷ số nén $r_{cs}$ từ 0.2 đến 0.6, phương pháp NewCCS-MRI đạt giá trị NRMSE thấp hơn so với CS-MRI và CCS-MRI. Phương pháp CCS-SWIFT duy trì sai số MAE thấp và đạt xác suất khôi phục thành công cao hơn hẳn các phương pháp truyền thống ở các tỷ lệ lấy mẫu thấp ($r_{cs} = 0.3 - 0.5$).

Chương 3: Phân tích phần tử song song thích nghi cho ten-xơ bậc 3 và áp dụng xử lý tín hiệu EEG không đầy đủ

Chương 3 trình bày các đóng góp về thuật toán ước lượng không gian con và phân tích CP thích nghi cho dữ liệu ten-xơ bị khuyết:

  • Đề xuất các thuật toán ước lượng không gian con cho dữ liệu không đầy đủ:
    1. Thuật toán SW-PETRELS (Sliding Window PETRELS): Tích hợp cơ chế cửa sổ trượt vào thuật toán PETRELS nhằm loại bỏ hoàn toàn ảnh hưởng của dữ liệu quá khứ nằm ngoài cửa sổ quan sát, giúp theo vết chính xác không gian con biến đổi theo thời gian.
    2. Thuật toán NL-PETRELS (Non-Linear PETRELS): Tích hợp kỹ thuật tối ưu hóa phi tuyến vào quá trình cập nhật không gian con, nâng cao độ chính xác ước lượng khi tỷ lệ mất mát dữ liệu lớn.
    3. Thuật toán MS-PETRELS (Modified Simplified PETRELS): Cải tiến thuật toán S-PETRELS bằng cách chuẩn hóa ma trận hiệp phương sai chung $\mathbf{R}(t)$, giảm độ phức tạp tính toán từ $\mathcal{O}(M r^2)$ xuống mức tối thiểu nhưng vẫn duy trì hiệu suất ước lượng tương đương PETRELS chuẩn.
  • Phát triển thuật toán phân tích CP thích nghi cho ten-xơ bậc 3:
    • Thiết lập mô hình ten-xơ $\boldsymbol{\mathcal{X}}(t) \in \mathbb{R}^{I \times J(t) \times K}$ có hai chiều $I, K$ cố định và chiều $J(t)$ tăng theo thời gian, quan sát qua toán tử mặt nạ mất mát dữ liệu.
    • Xây dựng 4 biến thể thuật toán CP thích nghi: CP-PETRELS, CP-SW, CP-MS và CP-NL.
    • So sánh với thuật toán khối CP-WOPT: Các thuật toán đề xuất đạt tốc độ tính toán nhanh hơn đáng kể, cho phép cập nhật ma trận thành phần $\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t), \mathbf{C}(t)$ ngay khi có lát cắt mới mà không cần tính toán lại toàn bộ khối dữ liệu lịch sử.
  • Mô phỏng và đánh giá hiệu năng:
    • Đánh giá qua các chỉ số: Hiệu suất ước lượng không gian con (SEP), sai số chuẩn hóa (NRE), độ lệch chuẩn (STD) của các ma trận thành phần ($\text{STD}_A, \text{STD}_C, \text{STD}_x$), chỉ số khớp ten-xơ (Factor Match Score - FMS) và chỉ số khôi phục ten-xơ (Tensor Completion Score - TCS).
    • Kết quả: Thuật toán MS-PETRELS và NL-PETRELS duy trì giá trị SEP và NRE ổn định ở các tỷ lệ quan sát từ 20% đến 80%.

Bảng dưới đây tổng hợp quan hệ giữa giá trị FMS, TCS trung bình và số lượng kênh bị mất dữ liệu của các thuật toán trên dữ liệu thực nghiệm:

Số kênh bị mất Chỉ số CP-WOPT (Khối) CP-PETRELS CP-MS (Đề xuất) CP-NL (Đề xuất)
0 kênh FMS trung bình Cao Tương đương Tương đương Tương đương
TCS trung bình Cao Tương đương Tương đương Tương đương
2 kênh FMS trung bình Trung bình Tốt Tốt Tốt hơn
TCS trung bình Trung bình Tốt Tốt Tốt hơn
4 kênh FMS trung bình Giảm Khá Khá Ổn định cao
TCS trung bình Giảm Khá Khá Ổn định cao
6 kênh FMS trung bình Giảm mạnh Khá Khá Tối ưu nhất
TCS trung bình Giảm mạnh Khá Khá Tối ưu nhất
  • Ứng dụng trên dữ liệu điện não đồ (EEG) không đầy đủ:
    • Ứng dụng 1 - Trích xuất thông tin đặc trưng: Ước lượng chính xác các ma trận thành phần $\mathbf{A}$ (đặc trưng không gian - vị trí điện cực), $\mathbf{B}$ (đặc trưng thời gian) và $\mathbf{C}$ (đặc trưng phổ tần số) từ dữ liệu EEG bị mất kênh.
    • Ứng dụng 2 - Khôi phục dữ liệu EEG: Tái tạo dạng sóng tín hiệu tại các điện cực bị hỏng hoặc mất tín hiệu với chỉ số TCS cao, bám sát tín hiệu gốc ban đầu.

Kết quả và những đóng góp mới

Những đóng góp mới của luận án

  1. Về phương pháp lấy mẫu nén tất định cho tạo ảnh MRI:

    • Đề xuất phương pháp NewCCS-MRI: Xây dựng cơ sở lấy mẫu tất định trên hệ hỗn loạn có khả năng điều chỉnh linh hoạt theo phân bố năng lượng không gian k, khắc phục hạn chế của việc lấy mẫu ngẫu nhiên trong CS-MRI và lấy mẫu hỗn loạn Gauss cố định trong CCS-MRI.
    • Đề xuất phương pháp CCS-SWIFT: Kết hợp lấy mẫu nén hỗn loạn tất định với kỹ thuật tạo ảnh cộng hưởng từ tĩnh nhanh SWIFT, giải quyết đồng thời bài toán giảm thời gian kích thích/thu nhận vật lý và giảm số lượng mẫu cần đo đạc trong miền Fourier.

  2. Về thuật toán ước lượng không gian con và phân tích CP thích nghi cho dữ liệu không đầy đủ:

    • Đề xuất 3 thuật toán ước lượng không gian con mới cho dữ liệu không đầy đủ: SW-PETRELS (cửa sổ trượt), NL-PETRELS (tối ưu phi tuyến) và MS-PETRELS (đơn giản hóa cải tiến), giúp nâng cao độ chính xác theo vết và giảm độ phức tạp tính toán.
    • Xây dựng khung giải thuật phân tích CP thích nghi cho ten-xơ bậc 3 (có hai chiều cố định và một chiều tăng theo thời gian) khi dữ liệu bị mất mát ngẫu nhiên (CP-PETRELS, CP-SW, CP-MS, CP-NL).
    • Ứng dụng thành công các thuật toán CP thích nghi đề xuất vào bài toán trích xuất đặc trưng đa chiều và khôi phục dạng sóng tín hiệu điện não đồ (EEG) bị mất kênh.

Bảng tổng hợp các phương pháp và thuật toán do luận án đề xuất

Tên phương pháp / Thuật toán Vấn đề giải quyết Cơ sở thuật toán Ưu điểm chính ghi nhận trong thực nghiệm
NewCCS-MRI Lấy mẫu nén cho MRI truyền thống Hệ hỗn loạn Logistic biến đổi + NCG Mặt nạ đo tất định, linh hoạt theo phân bố năng lượng k-space, giảm NRMSE.
CCS-SWIFT Tạo ảnh MRI tĩnh siêu nhanh CS hỗn loạn tất định + Kỹ thuật xung HSn SWIFT Kết hợp tăng tốc vật lý và xử lý tín hiệu, giảm MAE tại tỷ số nén thấp.
SW-PETRELS Ước lượng không gian con thích nghi PETRELS + Cửa sổ trượt (Sliding Window) Khử ảnh hưởng của dữ liệu quá khứ, bám sát không gian con biến đổi.
NL-PETRELS Ước lượng không gian con dữ liệu khuyết PETRELS + Tối ưu hóa phi tuyến Độ chính xác ước lượng và chỉ số FMS cao nhất khi mất nhiều kênh dữ liệu.
MS-PETRELS Ước lượng không gian con tốc độ nhanh S-PETRELS cải tiến chuẩn hóa hiệp phương sai Giảm độ phức tạp tính toán $\mathcal{O}(Mr^2)$, thời gian thực thi ngắn.
CP-PETRELS / CP-MS / CP-NL Phân tích CP ten-xơ EEG trực tuyến Không gian con thích nghi + SVD từng bước Xử lý thích nghi theo thời gian thực, khôi phục dữ liệu EEG mất mát với TCS cao.

Kiến nghị và đề xuất

  • Ứng dụng kỹ thuật NewCCS-MRI và CCS-SWIFT vào cấu hình chuỗi xung của các máy chụp cộng hưởng từ lâm sàng nhằm rút ngắn thời gian chụp cho bệnh nhân.
  • Tích hợp các giải thuật CP-MS và CP-NL vào các hệ thống nhúng thu nhận điện não đồ đa kênh trực tiếp để tự động sửa lỗi mất tín hiệu điện cực và trích xuất đặc trưng phục vụ giao tiếp não - máy tính (BCI).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế của luận án:
    • Đối với kỹ thuật MRI: Luận án mới chỉ tập trung nghiên cứu và đánh giá trên mô hình ảnh MRI hai chiều tĩnh; chưa mở rộng sang không gian ba chiều hoặc ảnh động bốn chiều (tim mạch, tưới máu não).
    • Đối với bài toán ước lượng không gian con và phân tích CP: Nghiên cứu giả định không gian con có số chiều thấp ($r \ll M$) và biến đổi chậm theo thời gian; mô hình mất mát dữ liệu xem xét ở dạng ngẫu nhiên phân bố đều.
    • Về mặt thực nghiệm: Các thuật toán chủ yếu được kiểm chứng thông qua mô phỏng số trên môi trường MATLAB với dữ liệu phân tích và dữ liệu thu sẵn, chưa được triển khai trực tiếp trên phần cứng của hệ thống máy quét MRI hay thiết bị EEG thời gian thực.
  • Hướng nghiên cứu tiếp theo:
    • Mở rộng các phương pháp lấy mẫu nén hỗn loạn cho ảnh MRI 3D và chuỗi ảnh MRI động theo thời gian (4D MRI).
    • Phát triển các thuật toán phân tích CP thích nghi cho ten-xơ bậc cao hơn (bậc 4: Khoảng thời gian $\times$ Kênh $\times$ Thời gian $\times$ Tần số).
    • Nghiên cứu xử lý đối với các mô hình mất mát dữ liệu có cấu trúc phức tạp (mất dữ liệu dạng khối hoặc cụm điện cực liên tiếp).
    • Thiết kế và cài đặt thuật toán trên các nền tảng phần cứng chuyên dụng (DSP, FPGA) để đánh giá độ trễ thực thi trong môi trường lâm sàng thực tế.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu cho các đối tượng và lĩnh vực sau:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Kỹ thuật Viễn thông, Xử lý tín hiệu, Kỹ thuật Y sinh:
    • Tham khảo Chương 1 để nắm vững cơ sở toán học về lấy mẫu nén, đại số ten-xơ, lý thuyết hệ hỗn loạn và nguyên lý tạo ảnh MRI / SWIFT.
    • Tham khảo Phụ lục A, B, C về mã giả chi tiết của các thuật toán PETRELS, phân tích CP thích nghi và thuật toán NCG.
  • Kỹ sư và nhà nghiên cứu phát triển hệ thống tạo ảnh y tế:
    • Tham khảo Chương 2 để áp dụng quy trình thiết kế mặt nạ lấy mẫu tất định trên hệ hỗn loạn và phương pháp kết hợp lấy mẫu nén với kỹ thuật chuỗi xung SWIFT.
  • Các nhóm nghiên cứu về Giao tiếp Não - Máy tính (BCI) và phân tích dữ liệu nhiều chiều:
    • Tham khảo Chương 3 để sử dụng các thuật toán ước lượng không gian con (MS-PETRELS, NL-PETRELS) và phân tích CP thích nghi phục vụ trích xuất đặc trưng hoặc khôi phục dữ liệu chuỗi thời gian nhiều kênh bị lỗi.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án sử dụng hệ hỗn loạn nào để tạo cơ sở lấy mẫu tất định và cơ chế chuyển đổi phân bố ra sao?
Luận án sử dụng hệ hỗn loạn Logistic với phương trình $h_L(n+1) = \alpha h_L(n)(1 - h_L(n))$ tại giá trị tham số $\alpha = 4$. Dãy số sinh ra có giá trị trong khoảng $(0, 1)$ với hàm phân bố xác suất $P(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}$. Từ dãy này, tác giả áp dụng công thức biến đổi phi tuyến $G_L(n) = \frac{1}{\sqrt{h_L(n)}} - \frac{1}{\sqrt{1 - h_L(n)}}$ để tạo dãy tất định có phân bố Gauss (trung bình $\mu = 0$, phương sai tiệm cận $\pi$), hoặc tạo dãy nhị phân phân bố Bernoulli và phân bố đều phục vụ lấy mẫu tọa độ không gian k.

2. Tại sao phương pháp CCS-SWIFT lại kết hợp CS hỗn loạn với kỹ thuật SWIFT?
Kỹ thuật SWIFT (Sweep Imaging with Fourier Transformation) sử dụng chuỗi xung hyperbolic secant (HSn) chia nhỏ để vừa kích thích vừa thu tín hiệu gần như đồng thời, giúp rút ngắn thời gian vật lý. Phương pháp CS hỗn loạn giúp giảm số lượng mẫu cần thu thập trong không gian k. Việc kết hợp CCS-SWIFT cho phép phát huy đồng thời hai ưu thế: rút ngắn thời gian các chu kỳ kích thích/thu nhận ở mức vật lý và giảm tổng số chu kỳ cần thực hiện ở mức xử lý tín hiệu.

3. Ba thuật toán ước lượng không gian con cho dữ liệu không đầy đủ do luận án đề xuất có đặc điểm gì khác nhau?

  • SW-PETRELS: Sử dụng kỹ thuật cửa sổ trượt (Sliding Window) để loại bỏ ảnh hưởng của dữ liệu quá khứ, nâng cao khả năng theo vết khi không gian con thay đổi theo thời gian.
  • NL-PETRELS: Tích hợp kỹ thuật tối ưu hóa phi tuyến (Non-Linear) để tăng cường độ chính xác ước lượng trong điều kiện tỷ lệ mất mát dữ liệu cao.
  • MS-PETRELS: Cải tiến thuật toán S-PETRELS bằng cách chuẩn hóa ma trận hiệp phương sai chung, giảm đáng kể độ phức tạp tính toán nhưng vẫn duy trì hiệu suất ước lượng cao.

4. Phân tích CP thích nghi giải quyết vấn đề gì trong xử lý tín hiệu EEG đa kênh?
Tín hiệu EEG đa kênh khi biểu diễn dưới dạng ten-xơ bậc 3 (Kênh $\times$ Thời gian $\times$ Tần số) thường xuyên bị mất dữ liệu do điện cực tiếp xúc kém hoặc lỗi truyền dẫn. Thuật toán CP thích nghi đề xuất cho phép ước lượng trực tuyến các ma trận thành phần $\mathbf{A}$ (không gian), $\mathbf{B}$ (thời gian), $\mathbf{C}$ (tần số) ngay khi có lát cắt mới theo thời gian mà không cần chạy lại toàn bộ khối dữ liệu lịch sử, đồng thời khôi phục chính xác dạng sóng tại các kênh bị mất với chỉ số khôi phục ten-xơ (TCS) cao.

5. Các chỉ số chính nào được luận án sử dụng để đánh giá chất lượng khôi phục ảnh MRI và ten-xơ EEG?

  • Đối với ảnh MRI: Sai số trung bình bình phương chuẩn hóa (NRMSE), sai số tuyệt đối trung bình (MAE) và xác suất khôi phục thành công tại tỷ số nén $r_{cs}$.
  • Đối với không gian con và ten-xơ EEG: Hiệu suất ước lượng không gian con (SEP), sai số chuẩn hóa (NRE), độ lệch chuẩn ma trận thành phần ($\text{STD}_A, \text{STD}_C, \text{STD}_x$), chỉ số khớp ten-xơ (FMS) và chỉ số khôi phục ten-xơ (TCS).

Kết luận

Luận án của tác giả Trương Minh Chính đã giải quyết trọn vẹn bài toán xử lý tín hiệu cho dữ liệu không đầy đủ trong hai ứng dụng y sinh quan trọng là tạo ảnh cộng hưởng từ (MRI) và điện não đồ (EEG). Bằng việc đề xuất các phương pháp lấy mẫu nén tất định trên hệ hỗn loạn (NewCCS-MRI, CCS-SWIFT), công trình đã cung cấp giải pháp tăng tốc độ tạo ảnh MRI dựa trên sự kết hợp giữa xử lý tín hiệu và kỹ thuật chuỗi xung vật lý. Đồng thời, việc phát triển các thuật toán ước lượng không gian con cải tiến (SW-PETRELS, NL-PETRELS, MS-PETRELS) và khung giải thuật phân tích CP thích nghi đã tạo ra công cụ xử lý trực tuyến hiệu quả cho dữ liệu ten-xơ EEG bị khuyết thiếu. Các kết quả mô phỏng trên phần mềm MATLAB với dữ liệu lý thuyết và dữ liệu y sinh thực nghiệm đã chứng minh tính đúng đắn và hiệu năng của toàn bộ các giải thuật được đề xuất trong luận án.