Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ chuyên ngành Cơ học vật rắn (mã số 9440109.02) của Đỗ Quang Chấn, bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2019, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Đình Đức và PGS.TS Vũ Đỗ Long.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM – Functionally Graded Material) được sử dụng ngày càng rộng rãi trong công nghiệp hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân và các môi trường nhiệt độ cao hoặc tải trọng phức tạp. So với vật liệu composite phân lớp truyền thống, kết cấu FGM có ưu điểm hạn chế tập trung ứng suất, tránh bong tách giữa các lớp và hạn chế rạn nứt nhờ sự biến đổi trơn và liên tục của tính chất cơ lý qua chiều dày. Các kết cấu vỏ tròn xoay FGM — đặc biệt là vỏ nón có gân gia cường — được xem là những bài toán khó về mặt toán học do hệ phương trình điều khiển là các phương trình đạo hàm riêng với hệ số là hàm của tọa độ, khiến việc tìm nghiệm giải tích gặp nhiều thách thức. Vì vậy, số lượng công trình giải tích về nhóm kết cấu này còn hạn chế, đặc biệt là các trường hợp vỏ chịu tải kết hợp cơ-nhiệt-điện, vỏ có gân gia cường FGM, hay vỏ đặt trên nền đàn hồi.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án tập trung vào hai mục tiêu chính:

  1. Phân tích ổn định tĩnh tuyến tính và phi tuyến của kết cấu vỏ nón cụt FGM có gân gia cường; xác định tải tới hạn và phân tích khả năng mang tải sau tới hạn.
  2. Phân tích dao động tự do và đáp ứng động lực phi tuyến của kết cấu vỏ nón cụt FGM chịu các loại tải khác nhau; xác định tần số dao động tự do và các đường cong biên độ độ võng – thời gian, biên độ – tần số.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là vỏ nón cụt FGM và panel nón cụt FGM. Phạm vi nghiên cứu bao gồm vỏ không gia cường hoặc gia cường bởi các gân dọc đường sinh và gân vòng (thuần nhất hoặc FGM), có xét đến sự thay đổi khoảng cách các gân dọc đường sinh. Vỏ tựa đơn, không đặt hoặc đặt trên nền đàn hồi theo mô hình hai hệ số Pasternak. Tải trọng xét đến bao gồm tải cơ, tải nhiệt và tải kết hợp cơ-nhiệt; ngoài ra, panel nón cụt có tích hợp lớp áp điện chịu tải cơ-nhiệt-điện kết hợp cũng được xem xét.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm qua ba nhóm công trình liên quan đến vỏ nón cụt FGM.

Nhóm nghiên cứu của Sofiyev và cộng sự là nhóm có khối lượng công trình lớn nhất trong lĩnh vực này. Sofiyev đã công bố các kết quả về ổn định động của vỏ nón cụt FGM chịu tải xung tuần hoàn [137], tải nén động [139], ổn định nhiệt [138, 153], ổn định của vỏ nón cụt composite ba lớp chứa lớp FGM [140], dao động và ổn định dưới áp lực ngoài [141], tải nén dọc trục [150], tải nén kết hợp áp lực ngoài [151], ổn định và dao động trên nền đàn hồi [143, 147, 152], ảnh hưởng của độ không hoàn hảo đến ổn định phi tuyến [144], ổn định và dao động phi tuyến [145, 146], điều kiện biên hỗn hợp [149], áp lực thủy tĩnh [142] và đáp ứng động lực [148, 154]. Theo nhận xét của luận án, các nghiên cứu này chỉ dừng lại ở trường hợp vỏ không có gân gia cường và ít xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ.

Nhóm nghiên cứu của Eslami và cộng sự đã nghiên cứu ổn định của vỏ nón cụt FGM chịu tải cơ-nhiệt kết hợp dựa trên lý thuyết vỏ Donnell [156], dao động tự do của panel vỏ nón Lévy [157] và ổn định nhiệt với tính chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ [158] bằng phương pháp vi phân cầu phương (DQM).

Các tác giả khác được điểm qua bao gồm: Tornabene và cộng sự [159–160] (dao động vỏ nón và hình trụ FGM, DQM); Viola và cộng sự [161] (phân tích tĩnh vỏ nón FGM, lý thuyết biến dạng trượt bậc ba); Bhangale và cộng sự [162] (phần tử hữu hạn, ổn định nhiệt vỏ nón cụt FGM điều kiện biên ngàm); Heydarpour và cộng sự [163, 164] (dao động tự do và ứng xử nhiệt đàn hồi, DQM); Zhao và Liew [165] (phương pháp phần tử tự do kp-Ritz); Zhang và Li [166, 167] (ổn định động và dao động tự do, DQM); Xu và cộng sự [168] (ổn định phi tuyến vỏ thoải nón FGM); Torabi và cộng sự [169] (vỏ nón cụt FGM tích hợp lớp áp điện, tải nhiệt-điện kết hợp); Selahi và cộng sự [170] (phương pháp lai 3D, DQM); Nejad và cộng sự [171] (phương pháp đa lớp, lý thuyết FSDT); Jam và Kiani [172] (vỏ nón cụt FGM gia cường ống carbon nanotubes); Jabbari và cộng sự [173] (vỏ nón cụt FGM độ dày thay đổi, phương pháp bán giải tích đa lớp).

Các nghiên cứu trong nước được luận án điểm qua gồm: Bích và cộng sự [174] (ổn định tuyến tính panel nón cụt FGM, lý thuyết vỏ cổ điển, phương pháp Galerkin); Dũng và nhóm nghiên cứu [175–180] (ổn định cơ học và phi tuyến vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm, lý thuyết vỏ cổ điển, kỹ thuật san đều gân Lekhnitskii); Đức và cộng sự [181–184] (ổn định tuyến tính và phi tuyến vỏ nón cụt và panel FGM có gân, nền đàn hồi, tải cơ-nhiệt; vỏ nón cụt FG-CNTRC).

Khoảng trống luận án giải quyết: Các nghiên cứu trong và ngoài nước về vỏ nón cụt FGM có gân gia cường mới sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển (CST), vốn bỏ qua ứng suất trượt và chỉ phù hợp với vỏ mỏng. Đối với vỏ dày và vỏ dày vừa, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) là cần thiết nhưng chưa được áp dụng cho nhóm bài toán này. Ngoài ra, các trường hợp vỏ sandwich nón cụt có gân gia cường chịu tải cơ-nhiệt, panel nón cụt áp điện chịu tải kết hợp cơ-nhiệt-điện và vỏ trên nền đàn hồi hai hệ số Pasternak vẫn còn ít được nghiên cứu bằng tiếp cận giải tích.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Lý thuyết và khung phân tích

Luận án sử dụng hai lý thuyết vỏ chính:

  • Lý thuyết vỏ cổ điển (CST – Classical Shell Theory): áp dụng cho vỏ mỏng.
  • Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT – First Order Shear Deformation Theory): áp dụng cho vỏ dày vừa và vỏ dày, dựa trên giả thiết Timoshenko–Mindlin.

Quan hệ phi tuyến hình học được xét theo nghĩa Von Kármán (biến dạng nhỏ, độ võng nhỏ vừa). Tính chất vật liệu FGM được giả thiết biến đổi theo chiều dày theo ba quy luật: hàm lũy thừa P-FGM (công thức 1.1, 1.3), hàm sigmoid S-FGM (công thức 1.6) và hàm mũ E-FGM. Tỷ lệ thể tích thành phần gốm và kim loại được mô tả qua chỉ số tỷ lệ thể tích k (số không âm). Tính chất hiệu dụng xác định theo quy tắc hỗn hợp (công thức 1.2–1.4), trong đó mô đun đàn hồi E, mật độ ρ, hệ số giãn nở nhiệt α và hệ số truyền nhiệt K là hàm của z, còn hệ số Poisson ν được giả thiết là hằng số.

Nền đàn hồi được mô hình theo mô hình Pasternak hai hệ số: hệ số độ cứng Winkler K₁ (N/m³) và mô đun cắt K₂ (N/m) (công thức 2.13). Gân gia cường được xử lý theo kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitskii [192]. Điều kiện biên tựa đơn được áp dụng thống nhất. Bài toán ổn định tuyến tính sử dụng tiêu chuẩn cân bằng lân cận. Bài toán ổn định phi tuyến sử dụng phân tích tải – độ võng (đường cong P–W/h).

Phương pháp giải

  • Hệ phương trình ổn định và phương trình chuyển động được giải bằng phương pháp Bubnov–Galerkin.
  • Phương trình chuyển động phi tuyến được giải thêm bằng phương pháp Runge–Kutta để phân tích đáp ứng thời gian.
  • Để xử lý hệ số là hàm của biến x trong phương trình ổn định của vỏ nón, luận án thực hiện phép nhân hai vế với xⁱ (i = 1, 2) trước khi áp dụng tích phân Galerkin — đây là thủ thuật kỹ thuật giải tích được trình bày trong mục 2.2.3.

Nguồn tư liệu và công cụ tính toán

Tính toán số được thực hiện với sự hỗ trợ của phần mềm Maple và Matlab; các hàm đặc thù được lập riêng để khai thác biểu thức giải tích. Kết quả được đối chiếu với các công trình đã công bố của Sofiyev và cộng sự, Eslami và cộng sự (Naj và cộng sự [156]), Baruch và cộng sự [187], Dũng và nhóm nghiên cứu [175, 177], và Đức cùng cộng sự [182].

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Tổng quan

Chương này trình bày nền tảng lý thuyết về vật liệu FGM (cấu tạo, tính chất, quy luật phân bố thành phần, công nghệ chế tạo, lĩnh vực ứng dụng), các khái niệm về ổn định và mất ổn định kết cấu (tiêu chuẩn rẽ nhánh, tiêu chuẩn cực trị), và tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và quốc tế. Phần tổng quan phân loại các kết quả theo dạng kết cấu (tấm [7–39], vỏ trụ và panel trụ [40–102], vỏ cầu [103–119], vỏ hai độ cong [109, 112, 120–126], vỏ trống [127–135], vỏ nón và panel nón) và theo loại bài toán (ổn định tuyến tính, ổn định phi tuyến, dao động tự do, đáp ứng động lực). Bảng 1.1 liệt kê tính chất của một số vật liệu thành phần FGM điển hình: nhôm (Al), hợp kim Ti–6Al–4V, thép không gỉ, nhôm oxit (Al₂O₃). Chương kết thúc bằng việc xác định mục tiêu cụ thể của luận án từ khoảng trống được nhận diện.

Chương 2. Phân tích ổn định tĩnh của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường

Đây là chương trọng tâm, triển khai ba nhóm bài toán chính.

Nhóm 1: Ổn định tuyến tính xét vỏ nón cụt FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi chịu tải nén dọc trục và tải nhiệt. Hệ tọa độ (x, θ, z) được định nghĩa tại mặt giữa vỏ với các thông số hình học: chiều dày h, chiều dài L, bán kính đáy nhỏ R, góc bán đỉnh β, khoảng cách từ đỉnh nón đến đáy nhỏ x₀. Hệ phương trình ổn định năm phương trình (2.17a–e) được thiết lập theo FSDT và tiêu chuẩn cân bằng lân cận. Nghiệm xấp xỉ thỏa điều kiện biên tựa đơn (2.29–2.30) với m số nửa bước sóng dọc trục và n số bước sóng theo hướng vòng. Sau khi áp dụng phương pháp Galerkin, điều kiện bất kỳ của định thức hệ (5×5) bằng 0 cho biểu thức hiển xác định lực tới hạn P.

Kết quả tính toán số được trình bày trong các bảng so sánh và khảo sát thông số: so sánh với Dũng và nhóm nghiên cứu [175] cho ổn định cơ học, so sánh với Naj và cộng sự [156] và Đức và nhóm nghiên cứu [182] cho ổn định nhiệt (tải nhiệt tăng đều và tăng tuyến tính). Các bảng số liệu khảo sát ảnh hưởng của: tỷ số R/h, tỷ số L/R, góc bán đỉnh β, chỉ số tỷ phần thể tích k, số gân và bố trí gân (ns, nr), các hệ số nền K₁ và K₂ đến tải tới hạn Pcr và Tcr. Riêng trường hợp vỏ sandwich nón cụt FGM có gân gia cường được xét với bốn mô hình bố trí lớp (h = 2h_f + h_co). So sánh bổ sung với Baruch và cộng sự [187] (vỏ đẳng hướng không gia cường, không nền đàn hồi) và Dũng và nhóm nghiên cứu [177] (vỏ sandwich FGM gia cường bởi gân FGM chịu tải cơ).

Nhóm 2: Ổn định phi tuyến xét vỏ nón cụt FGM có gân gia cường chịu tải nén dọc trục và tải cơ-nhiệt kết hợp trên nền đàn hồi. Hệ phương trình phi tuyến (bao gồm số hạng phi tuyến hình học Von Kármán) được thiết lập và giải theo phương pháp Bubnov–Galerkin để thu được phương trình đại số liên hệ tải P và độ võng W, tức là đường cong tải – độ võng P–W/h. Kết quả số khảo sát ảnh hưởng của bố trí gân, số gân, góc bán đỉnh β, tỷ số R/h, chỉ số k, nền đàn hồi (K₁ = 1 được sử dụng trong một số trường hợp), và trường nhiệt độ ∆T đến đường cong P–W/h. So sánh với kết quả của Naj và cộng sự [156], Baruch và cộng sự [187], và Dũng và nhóm nghiên cứu [175] cho trường hợp vỏ đẳng hướng không gia cường không nền đàn hồi.

Chương 3. Phân tích động lực của vỏ nón cụt FGM

Chương này triển khai hai nhóm bài toán động lực.

Nhóm 1: Phân tích động lực phi tuyến và dao động tự do của panel nón cụt FGM áp điện trên nền đàn hồi Pasternak. Phương trình chuyển động theo FSDT có kể đến tính phi tuyến hình học và lớp áp điện (điện áp lớp áp điện V_a) được thiết lập. Sau khi áp dụng Bubnov–Galerkin, hệ phương trình vi phân thường phi tuyến theo thời gian được giải bằng Runge–Kutta để cho đường cong độ võng – thời gian; dao động tự do được phân tích để xác định tần số ω (rad/s).

Kết quả so sánh tần số dao động tự do ω̄ = ω·L²/h·√(ρ_c/E_c) với R/h = 20, L/R = 4, θ₀ = 120° với kết quả của các tác giả khác được trình bày trong bảng. Các bảng số liệu khảo sát ảnh hưởng của k, góc bán đỉnh φ, tỷ số R/h, hệ số nền K₁ và K₂, và mode (m, n) đến tần số ω (rad/s). Đáp ứng động lực phi tuyến được khảo sát theo các thông số: chỉ số k, nền Winkler, nền Pasternak, độ chênh nhiệt độ ∆T, điện áp lớp áp điện V_a, góc bán đỉnh φ và tỷ số R/h.

Nhóm 2: Phân tích động lực phi tuyến của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi. Hệ phương trình chuyển động được thiết lập theo FSDT, kỹ thuật san đều gân Lekhnitskii và mô hình nền Pasternak. Sau khi rút gọn và áp dụng Galerkin–Runge–Kutta, phân tích cho ra đường cong biên độ – tần số dao động và đường cong độ võng – thời gian. So sánh quan hệ biên độ – tần số dao động với kết quả của Sofiyev [146] cho trường hợp vỏ nón cụt không gia cường. Các bảng khảo sát ảnh hưởng của: nhiệt độ môi trường, góc bán đỉnh, gân gia cường, tỷ số R/h đến tần số tự do; đồng thời trình bày bảng các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu cấu thành vỏ (x₀/h = 300, L = 2x₀). Đáp ứng động lực phi tuyến được khảo sát theo nền Winkler, nền Pasternak, chỉ số k, tỷ số L/h (hình 3.13–3.15, đến trang 127).

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự nêu các đóng góp mới sau trong phần kết luận và trong thân các chương:

  1. Thiết lập hệ phương trình cân bằng và ổn định theo FSDT cho vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm trên nền đàn hồi Pasternak, xét đồng thời tải cơ, tải nhiệt và tải kết hợp — mở rộng so với các công trình trước chỉ dùng CST.

  2. Đề xuất cách chọn dạng nghiệm thỏa điều kiện biên tựa đơn cho FSDT (công thức 2.30) — điểm khác biệt so với các công trình đặt theo CST được ghi nhận tường minh trong văn bản.

  3. Thu được biểu thức hiển xác định tải tới hạn Pcr và Tcr cho vỏ nón cụt FGM có gân gia cường chịu tải nén dọc trục và tải nhiệt (tăng đều và tăng tuyến tính), kể đến ảnh hưởng của nền đàn hồi hai hệ số Pasternak.

  4. Phân tích ổn định phi tuyến và xây dựng đường cong tải – độ võng P–W/h cho vỏ nón cụt FGM có gân gia cường chịu tải cơ-nhiệt kết hợp trên nền đàn hồi, cho phép đánh giá khả năng mang tải và ứng xử sau tới hạn.

  5. Phân tích dao động tự do và đáp ứng động lực phi tuyến của panel nón cụt FGM áp điện trên nền đàn hồi, xét ảnh hưởng của điện áp lớp áp điện V_a, nhiệt độ và hệ số nền; xây dựng đường cong biên độ – tần số cho dạng dao động phi tuyến.

  6. Phân tích dao động tự do và đáp ứng động lực phi tuyến của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi theo FSDT, xét sự phụ thuộc nhiệt độ của tính chất vật liệu.

Luận án không nêu tường minh các kiến nghị hay giải pháp ứng dụng thực tiễn cụ thể ngoài nhận định rằng kết quả có thể tham khảo trong tính toán thiết kế và kiểm nghiệm kết cấu, cũng như phục vụ giảng dạy về ổn định và dao động kết cấu.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Luận án liệt kê trong mục "Những vấn đề có thể phát triển từ luận án" (trang 132) — nội dung chi tiết của mục này không được trích dẫn đầy đủ trong phần fulltext cung cấp. Tuy nhiên, từ phạm vi được xác định, một số giới hạn nhận thấy là:

  • Luận án chỉ xét vỏ hoàn hảo về hình dáng (không có khuyết tật hình dáng ban đầu), trong khi ảnh hưởng của độ không hoàn hảo được xem là quan trọng theo đánh giá của Sofiyev [144].
  • Bài toán chỉ xét điều kiện biên tựa đơn; điều kiện biên ngàm hoặc hỗn hợp chưa được đề cập trong khung FSDT.
  • Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (HSDT) và mô hình phi tuyến hình học lớn hơn Von Kármán chưa được xét đến.
  • Các mô hình truyền nhiệt phụ thuộc nhiệt độ đầy đủ (chỉ xét một phần trong chương 3) và bài toán tải động (ngoài đáp ứng thời gian dưới tải tĩnh bước) chưa được triển khai đồng bộ cho mọi cấu hình.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo cho các nhóm đối tượng sau:

  • Nghiên cứu sinh và giảng viên chuyên ngành Cơ học vật rắn, Cơ học kết cấu, Vật liệu composite: phần tổng quan chương 1 cung cấp bản đồ tài liệu có hệ thống về vỏ nón FGM; phần phương pháp giải tích (Bubnov–Galerkin, xử lý hệ số hàm số trong phương trình vỏ nón) cung cấp quy trình kỹ thuật có thể tái sử dụng.
  • Người nghiên cứu lý thuyết vỏ: chương 2 trình bày chi tiết các bước triển khai FSDT cho vỏ nón có gân, bao gồm kỹ thuật san đều gân Lekhnitskii và cách chọn dạng nghiệm thỏa điều kiện biên trong FSDT.
  • Kỹ sư thiết kế kết cấu trong lĩnh vực hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân và công trình chịu nhiệt: các bảng số liệu tải tới hạn Pcr và Tcr theo các thông số hình học (R/h, L/R, β) và vật liệu (k) cung cấp dữ liệu định lượng cho giai đoạn thiết kế sơ bộ.
  • Người nghiên cứu về kết cấu thông minh và áp điện: phần panel nón cụt FGM áp điện trong chương 3 với phân tích ảnh hưởng của V_a đến đáp ứng động lực là tài liệu ít phổ biến trong tiếng Việt.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án sử dụng lý thuyết vỏ nào và lý thuyết đó được áp dụng cho loại kết cấu nào?

Luận án sử dụng đồng thời hai lý thuyết: lý thuyết vỏ cổ điển (CST) cho vỏ mỏng và lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) theo giả thiết Timoshenko–Mindlin cho vỏ dày vừa và vỏ dày. Hệ số điều chỉnh cắt được chọn là κ_x = κ_θ = 5/6. Trong cả hai trường hợp, tính phi tuyến hình học được xét theo nghĩa Von Kármán.

2. Mô hình nền đàn hồi Pasternak khác mô hình Winkler ở điểm nào, và luận án xử lý nó như thế nào?

Mô hình Winkler chỉ có một hệ số nền K₁ (N/m³) — phản lực tuyến tính theo độ võng. Mô hình Pasternak bổ sung thêm hệ số mô đun cắt K₂ (N/m) thể hiện lực cắt giữa các phần tử nền, phù hợp hơn với nhiều loại nền thực tế. Luận án đưa phản lực nền theo công thức (2.13) vào phương trình cân bằng (2.14c), sau đó xử lý trong hệ phương trình ổn định và phương trình chuyển động thông qua các hệ số tương ứng. Trường hợp K₂ = 0 thu được mô hình Winkler.

3. Kỹ thuật san đều gân của Lekhnitskii [192] được áp dụng như thế nào trong luận án?

Theo kỹ thuật này, gân được giả thiết có kích thước nhỏ, mảnh, đặt mau và gắn chặt với vỏ. Thay vì mô hình hóa từng gân riêng lẻ, ảnh hưởng của gân được san đều vào toàn bộ thành vỏ thông qua các số hạng bổ sung vào độ cứng kéo và độ cứng uốn (các thành phần A_ij, B_ij, D_ij trong quan hệ lực–biến dạng, công thức 2.10–2.11). Khoảng cách giữa các gân dọc d_s = d_s(x) được phép thay đổi theo vị trí x, phản ánh đặc điểm hình học của vỏ nón có đường sinh không song song.

4. Tại sao nghiệm cho bài toán vỏ nón khó tìm hơn vỏ trụ, và luận án xử lý khó khăn này ra sao?

Hệ phương trình ổn định của vỏ nón (công thức 2.17a–e, 2.28) là các phương trình đạo hàm riêng với hệ số là hàm của biến x (tọa độ đường sinh), trong khi ở vỏ trụ các hệ số là hằng số. Điều này khiến việc tích phân theo phương pháp Galerkin trực tiếp dẫn đến các tích phân không sơ cấp của dạng cos(mπ(x−x₀)/L)/x^i và sin(mπ(x−x₀)/L)/x^i. Luận án xử lý bằng cách nhân hai vế các phương trình với x (cho nhóm phương trình (2.27)) và x² (cho nhóm phương trình (2.28)) trước khi lấy tích phân Galerkin — theo cách tiếp cận đã được áp dụng trong [174, 175] — để loại bỏ x ở mẫu và đưa về các tích phân có thể tính được.

5. Luận án kiểm chứng kết quả bằng cách nào, và so sánh với những tài liệu nào?

Kết quả được đối chiếu với nhiều tài liệu đã công bố trong từng bài toán cụ thể: (i) so sánh tải nén dọc trục tới hạn Pcr (FSDT) với Dũng và nhóm nghiên cứu [175] cho vỏ nón cụt FGM có gân gia cường; (ii) so sánh tải nhiệt tới hạn Tcr với Naj và cộng sự [156] và Đức và nhóm nghiên cứu [182] cho vỏ nón cụt FGM không gia cường không nền đàn hồi, cả hai trường hợp tải nhiệt tăng đều và tăng tuyến tính; (iii) so sánh với Baruch và cộng sự [187] và Dũng và nhóm nghiên cứu [175] cho vỏ đẳng hướng không gia cường; (iv) so sánh với Dũng và nhóm nghiên cứu [177] cho vỏ sandwich FGM có gân FGM chịu tải cơ; (v) so sánh quan hệ biên độ – tần số dao động với Sofiyev [146] cho vỏ nón cụt FGM không gia cường; (vi) so sánh tần số dao động tự do ω̄ của panel nón cụt FGM áp điện với bảng trong tài liệu tham khảo tương ứng (R/h = 20, L/R = 4, θ₀ = 120°).

Kết luận

Luận án của Đỗ Quang Chấn (2019) xây dựng và giải hệ thống bài toán ổn định tĩnh (tuyến tính và phi tuyến) và đáp ứng động lực (dao động tự do, đáp ứng thời gian phi tuyến) của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường bằng tiếp cận giải tích, sử dụng lý thuyết vỏ biến dạng trượt bậc nhất kết hợp kỹ thuật san đều gân Lekhnitskii và phương pháp Bubnov–Galerkin–Runge–Kutta. Phạm vi bài toán bao phủ nhiều cấu hình (vỏ đơn lớp FGM, vỏ sandwich FGM, panel nón cụt FGM áp điện, gân FGM hoặc thuần nhất) và nhiều loại tải (cơ, nhiệt, cơ-nhiệt, cơ-nhiệt-điện) trên nền đàn hồi Pasternak hai hệ số. Kết quả thu được dưới dạng biểu thức hiển cho tải tới hạn và tần số dao động, cùng với đường cong P–W/h và đường cong biên độ – tần số, cho phép khảo sát tường minh ảnh hưởng của các thông số hình học, vật liệu, gân và nền. Tất cả kết quả được đối chiếu với các công trình đã công bố trong và ngoài nước để khẳng định độ tin cậy.