Luận Văn Về Phương Pháp Dạy Học Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Ở Trung Học Cơ Sở

Tài liệu nghiên cứu Luận văn dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trung học cơ sở, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về giáo dục.

• Tác giả: Nguyễn Thị Thùy Linh
• Người hướng dẫn: TS. Alain Birebent
• Trường học: Đại học Sư phạm TP.HCM
• Chuyên ngành: Didactic
• Đề tài: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử
• Loại tài liệu: luận văn
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: TP.HCM

Tóm tắt

I. Giới thiệu về phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (PTĐTTNT) là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán học trung học cơ sở (THCS). Nội dung này không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng giải toán mà còn tạo nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn. Việc dạy học PTĐTTNT cần được thực hiện một cách có hệ thống và khoa học, nhằm giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề và áp dụng vào thực tiễn. Theo nghiên cứu, việc dạy học PTĐTTNT thường gặp phải những khó khăn nhất định, đặc biệt là trong việc xác định các nhân tử và áp dụng các quy tắc phân tích. Do đó, việc tìm hiểu và phân tích các phương pháp dạy học hiệu quả là rất cần thiết.

1.1. Khái niệm và vai trò của đa thức

Đa thức là một biểu thức đại số được tạo thành từ các hạng tử, trong đó mỗi hạng tử là một tích của các số và biến. Khái niệm này không chỉ xuất hiện trong chương trình Toán học phổ thông mà còn là một phần quan trọng trong lý thuyết đại số. Việc hiểu rõ về đa thức giúp học sinh có thể áp dụng các quy tắc phân tích một cách chính xác. Đặc biệt, trong chương trình Toán THCS, đa thức được giới thiệu với các dạng đơn giản, từ đó học sinh có thể dần dần làm quen với các khái niệm phức tạp hơn. Việc nắm vững khái niệm đa thức sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến PTĐTTNT.

II. Các phương pháp dạy học hiệu quả cho PTĐTTNT

Để dạy học PTĐTTNT một cách hiệu quả, giáo viên cần áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Một trong những phương pháp phổ biến là phương pháp đặt nhân tử chung, giúp học sinh nhận diện và tách biệt các hạng tử trong đa thức. Phương pháp này không chỉ giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc phân tích mà còn phát triển tư duy logic. Ngoài ra, việc sử dụng hằng đẳng thức cũng là một phương pháp quan trọng, giúp học sinh nhanh chóng tìm ra các nhân tử mà không cần phải thực hiện quá nhiều phép toán phức tạp. Việc kết hợp nhiều phương pháp dạy học sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về PTĐTTNT.

2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp đặt nhân tử chung là một trong những kỹ thuật cơ bản trong PTĐTTNT. Kỹ thuật này yêu cầu học sinh phải xác định được nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức. Việc thực hiện phương pháp này không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích mà còn phát triển khả năng tư duy phản biện. Theo nghiên cứu, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc xác định nhân tử chung, do đó giáo viên cần hướng dẫn cụ thể và cung cấp nhiều ví dụ minh họa để học sinh có thể thực hành. Việc áp dụng phương pháp này một cách linh hoạt sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến PTĐTTNT.

III. Đánh giá và ứng dụng thực tiễn của PTĐTTNT

Việc dạy học PTĐTTNT không chỉ có giá trị trong việc trang bị kiến thức cho học sinh mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Ngoài ra, kiến thức này còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực như khoa học máy tính, kỹ thuật và kinh tế. Đánh giá hiệu quả của việc dạy học PTĐTTNT cần được thực hiện thường xuyên để điều chỉnh phương pháp giảng dạy cho phù hợp với nhu cầu và khả năng của học sinh. Việc này không chỉ giúp nâng cao chất lượng dạy học mà còn tạo động lực cho học sinh trong quá trình học tập.

3.1. Ứng dụng trong thực tiễn

Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực như khoa học máy tính và kỹ thuật. Trong khoa học máy tính, việc phân tích đa thức giúp tối ưu hóa các thuật toán và giải quyết các bài toán phức tạp. Trong kỹ thuật, kỹ năng này hỗ trợ trong việc thiết kế và phân tích các hệ thống. Hơn nữa, việc hiểu rõ về PTĐTTNT cũng giúp học sinh có thể áp dụng vào các bài toán thực tế trong cuộc sống hàng ngày, từ đó phát triển tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1 cho thấy môi trường sinh thái của đa thức trong chương trình toán THCS đã xác định phần lớn môi trường sinh thái của đa thức trong bài toán PTĐTTNT. Tuy thể chế đã không chỉ rõ vành đa thức xác định tập các đa thức, nhưng với sự lựa chọn về nội dung đa thức được trình bày trong chương trình, một cách ngầm ẩn môi trường sinh thái của đa thức là vành ĐT-Z, ĐT-Q, ĐT-R mà vùng sống chủ yếu tập trung ở tập các ĐT-Z và ĐT-Q. 19 Theo đó chúng tôi muốn tìm hiểu xem các kết quả phân tích thành nhân tử có còn tập trung vào hai vành đa thức này không? Và với lựa chọn ngầm ẩn như vậy có hình thành lên HS những quan niệm nào trong thực hành giải toán PTĐTTNT hay không? 20 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - MỘT PHÂN TÍCH THỂ CHẾ Mục tiêu của chương Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được đưa vào giảng dạy ở đầu chương trình toán 8 tập 1- chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC, phân bổ chính thức trong 4 nội dung bài học (như đã thống kê ở mục 1.3, chương 1) trên tổng số 12 bài.

Điều này cho thấy thời lượng dành cho nó tương đối nhiều, chiếm 1/3 nội dung chương. Thời lượng được ưu tiên như thế, đã nói lên vị trí khá quan trọng của bài toán PTĐTTNT trong mối quan hệ giữa các đối tượng tri thức trong chương trình. Với mong muốn tìm hiểu đặc trưng bài toán PTĐTTNT trong thể chế THCS, chúng tôi đi vào phân tích từng nội dung bài học với những quan tâm cụ thể sau: - Xác định những tổ chức toán học liên quan đến bài toán này. - Xác định những tình huống hay bài toán mà việc PTĐTTNT sẽ đóng vai trò một phần kĩ thuật giải.

- Cố gắng mô hình hoá các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến những mong đợi của thể chế về vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử. Quan điểm của chương trình 2002: Với nguyên tắc “không coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình… ; tăng tính thực tiễn và tính sư phạm”, chương trình mới chú trọng đến quy tắc thực hành, tạo điều kiện cho HS nắm vững và vận dụng tốt các quy tắc, các phương pháp cụ thể, các phép biến đổi biểu thức hữu tỷ… [GV8.8] Điều này khiến chúng tôi có thể dự đoán: yếu tố công nghệ-lý thuyết của các tổ chức toán học (OM) không có cơ hội xuất hiện một cách tường minh hoặc đầy đủ. Thay vào đó, thể chế sẽ tập trung vào các phương pháp hay cách thức vận dụng để giải bài toán PTĐTTNT. Do vậy, việc tiếp cận và phân tích các kỹ thuật được trình bày trong mỗi bài học cho phép ta xác định được những đặc trưng tồn tại của bài toán PTĐTTNT trong chương trình.

Chúng tôi sẽ phân tích OM xoay quanh kiểu nhiệm vụ T-nhantu: Phân tích đa thức thành nhân tử (KNV PTĐTTNT). Các bài học liên tiếp được xác định trong chương 1 mà chúng tôi nhắc lại ở đây : - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. 21 - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. (Đại số 8, tập 1) sẽ cho phép chúng tôi xác định các kĩ thuật để giải T-nhantu. Phân tích các ràng buộc trên các kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật tương ứng cho phép dự đoán các quy tắc của hợp đồng didactic. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Trong mục tiêu bài học, GV8.1 mong muốn: - HS hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.

- Biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung.25] Nội dung trước, với nhận xét bài toán PTĐTTNT không được trình bày một cách độc lập, nó được lồng ghép vào bài học đầu tiên với nội dung liên quan trong GK8. Dự kiến phần này chúng tôi đi sâu làm rõ thuật ngữ “PTĐTTNT”, tác giả SGK này đã có hướng tiếp cận ra sao để đạt được mục tiêu mong đợi của thể chế. Bài toán PTĐTTNT được tiếp cận như sau: 1. Hãy viết 2x2-4x thành một tích của những đa thức.2=2x(x-2) Việc biến đổi 2x2-4x thành tích 2x(x-2) được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử.

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (một số phương pháp khác để phân tích thành nhân tử chúng ta sẽ nghiên cứu sau) [GK8.1 tiếp cận bài toán PTĐTTNT theo trình tự: đưa ra ví dụ, trình bày cách làm, định nghĩa. Như vậy, thể chế đã đưa ra định nghĩa chính thức cho thuật ngữ “phân tích đa thức thành nhân tử”, theo đó “Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức”. Dựa trên định nghĩa, tác giả không nói rõ đặc trưng của các đa thức nhân tử được xác định trên vành đa thức nào? Dẫn đến việc xuất hiện nhiều kết quả thoả mãn nó, chẳng hạn: A.

2 So với lời giải của GK8.1, tác giả chỉ đưa ra kết quả 2 x 2 − 4 x = 2 x( x − 2). Cách làm này được gọi tên là: “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung” (chúng tôi gọi tắt là PTĐTTNT-NTC). Phải chăng đây được xem là kết quả mong đợi của thể chế. Điều này khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi: khi yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, thể chế mong đợi điều gì? Với cách giải của mình, GK8.1 đã chỉ ra được phần chung của cả hai hạng tử là 2x.

Bằng việc viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của phần chung với đa thức mới x - 2 là hợp thành từ phần còn lại của hai hạng tử sau khi lấy phần chung, yêu cầu bài toán được giải quyết. 2, x hoặc 2x đều được xem là phần chung của hai hạng tử. Nếu lấy phần chung là 2 thì dẫn đến kết quả B, lấy phần chung là x thì dẫn đến kết quả C, 2x- hợp thành của 2 và x, được xem là phần chung lớn nhất. Theo cách làm trên, GK8.1 đã chọn phần chung lớn đặt ra ngoài dấu ngoặc.

Điều này tạo ra một nghi vấn: “Với cách tìm phần chung như trong ví dụ, phải chăng đây là sự nâng cấp việc tìm ước chung lớn nhất của tập hợp số tự nhiên, mở rộng hơn là tập hợp số nguyên trước đó?”. Nghi vấn này nhanh chóng được GV8.1 làm sáng tỏ thông qua phần B. Những điều cần lưu ý, tr.25: Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên - Hệ số là ƯCLN của các hệ số dương của các hạng tử - Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.25] Đến đây kĩ thuật đầu tiên giải quyết KNV “phân tích đa thức thành nhân tử” (T- nhantu) xuất hiện và được mô hình hóa với bốn thành phần trong OM-1 [ T − nhantu , τNTC , θNTC , Θ ] .Trong đó, τ NTC là kỹ thuật giải quyết T-nhantu với hai bước: Bước 1: Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức với các nguyên tắc sau: Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số nguyên dương của các hạng tử. Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.

Biểu diễn hạng tử trong đa thức dưới dạng tích chứa nhân tử chung vừa tìm được.B1; trong đó F là nhân tử chung. Bước 2: Đặt nhân tử chung, viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của đa thức nhân tử chung và đa thức mới là phần còn lại của các hạng tử sau khi lấy đi nhân tử chung, có thể là A+B=F.(A1+B1) Công nghệ θ NTC dùng giải thích kỹ thuật trên là phép nhân hai đa thức; lý thuyết Θ NTC : tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Với cách xác định nhân tử chung của GV8.1 cho thấy τ NTC được chỉ định đối với các đa thức có hệ số nguyên. Do vậy, nhân tử chung tìm được trong quá trình biến đổi là một đa thức với hệ số nguyên, kéo theo đa thức nhân tử còn lại phải là đa thức có hệ số nguyên.

Thêm vào nữa, các hạng tử trong mỗi một đa thức nhân tử không tồn tại phần chung. Điều này có nghĩa là: nếu mỗi hạng tử trong đa thức nhân tử có nhân tử chung thì quá trình phân tích phải được tiếp tục. Tuy nhiên, hiện tượng này là khó có thể xảy ra. Bởi lẽ, việc xác định nhân tử dựa trên quy tắc tìm ước chung lớn nhất (UCLN) đã vét cạn phần chung trong các hạng tử.

Như vậy bằng phương pháp đặt nhân tử chung, quá trình phân tích sẽ kết thúc sau hữu hạn lần đặt nhân tử chung. Vì thế, A là kết quả hợp lý nhất, các kết quả còn lại ngầm ẩn bị bỏ qua, đặc biệt là kết quả phân tích có chứa hệ số hữu tỉ hoặc hệ số thực không thể xuất hiện, mặc dù xét về bản chất chúng hoàn toàn không vi phạm định nghĩa về thuật ngữ PTĐTTNT. Tiếp theo, GK8.1 đưa thêm ví dụ 2, trang 18: Ví dụ 2. Phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử Giải.2 = 5x(3x2 –x +2) Nhận thấy với kỹ thuật được cung cấp, kết quả trong ví dụ 2 đi chung trên “một con đường” với ví dụ 1.

Dẫn đến duy nhất một đáp số được chấp nhận 5x(3x2 –x +2) trong khi các đáp 1 2 2 1 số hợp lý 15 x( x 2 − x + ) ; 10 x( x 2 − x + 1) …đã không được chỉ ra. 3 3 3 2 Lúc này, chúng tôi nhận thấy đa thức cần biến đổi về dạng tích và đa thức nhân tử của nó có hệ số nguyên hay không nguyên đã không được nói rõ trong định nghĩa. Điều đáng chú ý, cả hai đa thức trong hai ví dụ mẫu đều là đa thức có hệ số nguyên. Rõ ràng, khi áp dụng kỹ thuật giải τ NTC các đa thức nhân tử phải có hệ số nguyên.

Còn đối với những đa thức có hệ số không nguyên thì sao? Liệu thể chế có chấp nhận kết quả phân tích thành nhân tử có chứa hệ số không nguyên hay không?