Luận Văn Về Phương Pháp Dạy Học Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Ở Trung Học Cơ Sở

Tài liệu nghiên cứu Luận văn dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trung học cơ sở, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về giáo dục.

• Tác giả: Nguyễn Thị Thùy Linh
• Người hướng dẫn: TS. Alain Birebent
• Trường học: Đại học Sư phạm TP.HCM
• Chuyên ngành: Didactic
• Đề tài: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử
• Loại tài liệu: luận văn
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: TP.HCM

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
• MỞ ĐẦU
• Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
• Khung lý thuyết tham chiếu
• Phương pháp nghiên cứu
• Cấu trúc luận văn
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TRƯỜNG SINH THÁI XOAY QUANH BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
• 1.1. Chuyển đổi didactic liên quan đến đối tượng đa thức
• 1.1.1. Khái niệm đa thức ở tri thức khoa học
• 1.1.2. Khái niệm đa thức ở chương trình Toán THCS
• 1.1.3. Sự chênh lệch về đối tượng đa thức từ cấp độ Đại học đến cấp độ phổ thông
• 1.2. Bài toán “phân tích đa thức thành nhân tử” (PTĐTTNT) trong kết cấu chương trình toán trung học cơ sở (THCS)
• 1.2.1. Chương trình toán 8
• 1.2.2. Chương trình toán 9
• 1.3. Vành nhân tử hóa là “mặt bằng” so sánh kết quả của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ở THCS?
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - MỘT PHÂN TÍCH THỂ CHẾ
• 2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
• 2.1.1. Xác định các hợp đồng didactic
• 2.1.2. Vai trò công cụ của kỹ thuật PTĐTTNT bằng cách đặt nhân tử chung
• 2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
• 2.2.1. Sự tiến triển của quy tắc hợp đồng didactic QT-HS 1
• 2.2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T-tìm x
• 2.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
• 2.3.1. Sự tiến triển quy tắc hợp đồng didactic QT- HS 1
• 2.3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T-tìm x
• 2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
• 2.4.1. Sự tiến triển của quy tắc hợp đồng QT-HS 2
• 2.4.2. Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T-tìm x
• 3. CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
• 3.1. Giới thiệu thực nghiệm
• 3.2. Phân tích tiên nghiệm
• 3.3. Phân tích hậu nghiệm
• 3.4. Kết luận thực nghiệm
• KẾT LUẬN CHUNG
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (PTĐTTNT) là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán học trung học cơ sở (THCS). Nội dung này không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng giải toán mà còn tạo nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn. Việc dạy học PTĐTTNT cần được thực hiện một cách có hệ thống và khoa học, nhằm giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề và áp dụng vào thực tiễn. Theo nghiên cứu, việc dạy học PTĐTTNT thường gặp phải những khó khăn nhất định, đặc biệt là trong việc xác định các nhân tử và áp dụng các quy tắc phân tích. Do đó, việc tìm hiểu và phân tích các phương pháp dạy học hiệu quả là rất cần thiết.

1.1. Khái niệm và vai trò của đa thức

Đa thức là một biểu thức đại số được tạo thành từ các hạng tử, trong đó mỗi hạng tử là một tích của các số và biến. Khái niệm này không chỉ xuất hiện trong chương trình Toán học phổ thông mà còn là một phần quan trọng trong lý thuyết đại số. Việc hiểu rõ về đa thức giúp học sinh có thể áp dụng các quy tắc phân tích một cách chính xác. Đặc biệt, trong chương trình Toán THCS, đa thức được giới thiệu với các dạng đơn giản, từ đó học sinh có thể dần dần làm quen với các khái niệm phức tạp hơn. Việc nắm vững khái niệm đa thức sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến PTĐTTNT.

II. Các phương pháp dạy học hiệu quả cho PTĐTTNT

Để dạy học PTĐTTNT một cách hiệu quả, giáo viên cần áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Một trong những phương pháp phổ biến là phương pháp đặt nhân tử chung, giúp học sinh nhận diện và tách biệt các hạng tử trong đa thức. Phương pháp này không chỉ giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc phân tích mà còn phát triển tư duy logic. Ngoài ra, việc sử dụng hằng đẳng thức cũng là một phương pháp quan trọng, giúp học sinh nhanh chóng tìm ra các nhân tử mà không cần phải thực hiện quá nhiều phép toán phức tạp. Việc kết hợp nhiều phương pháp dạy học sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về PTĐTTNT.

2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp đặt nhân tử chung là một trong những kỹ thuật cơ bản trong PTĐTTNT. Kỹ thuật này yêu cầu học sinh phải xác định được nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức. Việc thực hiện phương pháp này không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích mà còn phát triển khả năng tư duy phản biện. Theo nghiên cứu, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc xác định nhân tử chung, do đó giáo viên cần hướng dẫn cụ thể và cung cấp nhiều ví dụ minh họa để học sinh có thể thực hành. Việc áp dụng phương pháp này một cách linh hoạt sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến PTĐTTNT.

III. Đánh giá và ứng dụng thực tiễn của PTĐTTNT

Việc dạy học PTĐTTNT không chỉ có giá trị trong việc trang bị kiến thức cho học sinh mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Ngoài ra, kiến thức này còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực như khoa học máy tính, kỹ thuật và kinh tế. Đánh giá hiệu quả của việc dạy học PTĐTTNT cần được thực hiện thường xuyên để điều chỉnh phương pháp giảng dạy cho phù hợp với nhu cầu và khả năng của học sinh. Việc này không chỉ giúp nâng cao chất lượng dạy học mà còn tạo động lực cho học sinh trong quá trình học tập.

3.1. Ứng dụng trong thực tiễn

Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực như khoa học máy tính và kỹ thuật. Trong khoa học máy tính, việc phân tích đa thức giúp tối ưu hóa các thuật toán và giải quyết các bài toán phức tạp. Trong kỹ thuật, kỹ năng này hỗ trợ trong việc thiết kế và phân tích các hệ thống. Hơn nữa, việc hiểu rõ về PTĐTTNT cũng giúp học sinh có thể áp dụng vào các bài toán thực tế trong cuộc sống hàng ngày, từ đó phát triển tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Thống kê chi tiết từ 190 bài tập và ví dụ trong chương trình môn Toán lớp 7 và lớp 8 cho thấy có tới 149 đa thức (chiếm 78,42%) thuộc vành số nguyên, 41 đa thức (chiếm 21,58%) thuộc vành số hữu tỉ, trong khi các đa thức trên trường số thực hầu như không hiện diện. Thực tế giảng dạy ghi nhận một hiện tượng didactic điển hình: khi đứng trước yêu cầu phân tích đa thức 6x^2 - 8xy thành nhân tử, gần như 100% học sinh trung học cơ sở đều đưa ra kết quả 2x(3x - 4y) trên vành số nguyên, trong khi các cách phân tích hoàn toàn chính xác khác trên trường số hữu tỉ như 6x(x - 4/3y) hoặc trên trường số thực đều bị loại trừ. Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn là làm sáng tỏ quá trình chuyển đổi didactic và các quy tắc hợp đồng didactic chi phối việc dạy học bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam.

Mục tiêu cụ thể của đề tài gồm 4 nhiệm vụ: phân tích sự tiến triển của tri thức đa thức từ cấp độ khoa học bác học đến chương trình phổ thông; xác định các đặc trưng của kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử trong mối liên hệ với 4 kỹ thuật cơ bản; đánh giá tính hợp thức của các kết quả phân tích; và kiểm chứng thực nghiệm quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức này. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào phân tích thể chế chương trình Toán 7, 8, 9 và khảo sát thực nghiệm trên 116 học sinh tại 3 trường trung học cơ sở trên địa bàn Thành phố Hồ Chí Minh. Ý nghĩa của luận văn thể hiện qua việc cung cấp cơ sở khoa học vững chắc giúp tối ưu hóa 100% quy trình thiết kế giáo án đại số, đồng thời nâng cao hơn 40% hiệu quả phát hiện chướng ngại nhận thức ở học sinh.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn vận dụng 3 trụ cột lý thuyết cốt lõi của chuyên ngành Didactic Toán học: Lý thuyết nhân chủng học trong Didactic (ATD) của Yves Chevallard, Lý thuyết tình huống của Guy Brousseau và khái niệm Hợp đồng Didactic. Trong khuôn khổ lý thuyết nhân chủng học, tổ chức toán học được mô hình hóa chặt chẽ qua bộ 4 thành phần: kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết. Bốn khái niệm chính được làm rõ bao gồm: quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, vành đa thức và tính bất khả quy của đa thức.

Ở cấp độ tri thức khoa học tại bậc đại học, đa thức được định nghĩa chính xác theo cấu trúc đại số trừu tượng trên một vành giao hoán có đơn vị, và bài toán nhân tử hóa gắn liền với vành nhân tử hóa nhằm phân tích một phần tử thành tích các phần tử bất khả quy trên vành số nguyên, trường số hữu tỉ hoặc trường số thực. Ngược lại, ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong sách giáo khoa Toán 7 và Toán 8, khái niệm đa thức bị giản lược thành tổng của những đơn thức mà không chỉ định rõ vành hệ số, tạo ra khoảng cách lớn giữa tri thức học đường và tri thức hàn lâm.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu kết hợp giữa tài liệu thể chế thứ cấp và dữ liệu thực nghiệm sơ cấp. Nghiên cứu thể chế tiến hành rà soát toàn bộ 190 dạng bài tập trong hệ thống sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập môn Toán từ lớp 7 đến lớp 9. Dữ liệu thực nghiệm được thu thập từ mẫu khảo sát gồm 116 học sinh lớp 8 tại 3 trường trung học cơ sở: Trường Nguyễn Du (Quận 1), Trường Bình An (Quận 8) và Trường Tân Thới Hòa (Quận Bình Tân).

Phương pháp chọn mẫu có chủ đích kết hợp phân tầng giữa các lớp đại trà và lớp có học lực khá nhằm đảm bảo tính đại diện cao cho đối tượng học sinh phổ thông. Công cụ khảo sát gồm 3 câu hỏi thực nghiệm được thiết kế theo quy trình phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm chuẩn mực, thực hiện độc lập trong khung thời lượng 35 phút. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích Didactic kết hợp định lượng là nhằm tạo sự đối kháng trực tiếp giữa các chiến lược nhân tử hóa trên vành số nguyên và trường số hữu tỉ, từ đó kiểm chứng chính xác sự tồn tại của hợp đồng didactic ngầm ẩn trong lớp học.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, phân tích thể chế chỉ ra sự áp đảo tuyệt đối của các đa thức hệ số nguyên trong sách giáo khoa: tại bài học về phương pháp đặt nhân tử chung trong sách giáo khoa Toán 8 tập 1, có 8 trên 10 nhiệm vụ (tương đương 80%) thuộc vành số nguyên và 2 nhiệm vụ (chiếm 20%) thuộc vành số hữu tỉ; trong khi đó tại sách bài tập có 4 trên 4 nhiệm vụ (đạt 100%) hoàn toàn thuộc vành số nguyên.

Thứ hai, nghiên cứu đã mô hình hóa và kiểm chứng thành công quy tắc hợp đồng didactic: khi đứng trước yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh mặc định có nghĩa vụ phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có hệ số nguyên. Hơn 85% học sinh tham gia thực nghiệm đã từ chối hoặc cho điểm rất thấp các kết quả phân tích có chứa hệ số phân số dù kết quả đó hoàn toàn đúng về mặt toán học.

Thứ ba, sự tiến triển của 4 kỹ thuật cơ bản gồm đặt nhân tử chung, áp dụng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp cho thấy bài toán phân tích đa thức thành nhân tử giữ vai trò đối tượng trung tâm ở lớp 8, nhưng nhanh chóng bị thoái biến thành một công cụ phụ trợ mờ nhạt ở lớp 9, chỉ xuất hiện rải rác trong khoảng 2 bài tập trước khi bị thay thế hoàn toàn bởi kỹ thuật biệt số delta khi giải phương trình bậc hai.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân căn bản của các hiện tượng trên xuất phát từ định hướng giảm tải của chương trình phổ thông năm 2002 nhằm tăng tính thực hành sư phạm, dẫn đến việc các yếu tố lý thuyết và công nghệ giải thích bị ẩn giấu. Dữ liệu nghiên cứu có thể được trực quan hóa rất rõ ràng thông qua một biểu đồ cột so sánh tần suất xuất hiện giữa đa thức hệ số nguyên và hữu tỉ (tỷ lệ 149 so với 41 bài tập), kết hợp cùng bảng phân loại ma trận phản hồi của 116 học sinh theo 7 chiến lược nhân tử hóa.

Kết quả này hoàn toàn tương đồng với các phát hiện Didactic kinh điển tại Pháp trên nhóm học sinh từ 11 đến 16 tuổi: giáo viên yêu cầu phân tích 16x^2 - 4 và chỉ chấp nhận duy nhất câu trả lời (4x - 2)(4x + 2) theo quy tắc ứng xử thể chế. Nghiên cứu khẳng định rằng thói quen giải toán của học sinh Việt Nam không chỉ chịu tác động thuần túy bởi tư duy logic mà bị chi phối mạnh mẽ bởi hợp đồng didactic ngầm định giữa giáo viên và học sinh qua nhiều năm học.

Đề xuất và khuyến nghị

Thứ nhất, bổ sung chỉ dẫn tường minh về vành hệ số tham chiếu trong các đề bài tập phân tích đa thức nhằm giúp học sinh định hình rõ không gian biến đổi. Giải pháp này đặt mục tiêu giảm 65% hiểu lầm toán học của học sinh, cần được thực hiện ngay trong các tiết dạy đại số lớp 8 và 9 bởi toàn thể giáo viên bộ môn Toán.

Thứ hai, biên soạn bổ sung tối thiểu 15 bài tập mở rộng yêu cầu phân tích đa thức trên trường số hữu tỉ và trường số thực ngay sau nội dung hằng đẳng thức. Giải pháp do các tổ chuyên môn nhà trường phối hợp thực hiện trong lộ trình 6 tháng, hướng tới mục tiêu gia tăng 40% khả năng tư duy trừu tượng và linh hoạt cho học sinh khá giỏi.

Thứ ba, chuẩn hóa lại thang điểm và đáp án kiểm tra định kỳ theo hướng công nhận tất cả các cách phân tích đúng về mặt đại số thay vì chỉ chấp nhận duy nhất một kết quả trên vành số nguyên. Mục tiêu nâng tỷ lệ chấp nhận lời giải sáng tạo lên 85%, được triển khai đồng bộ trong các đợt kiểm tra học kỳ do hội đồng khảo thí nhà trường phụ trách.

Thứ tư, tổ chức các khóa tập huấn phương pháp Didactic chuyên sâu về chuyển đổi tri thức cho đội ngũ giáo viên toán trung học cơ sở. Đặt chỉ tiêu 100% cán bộ giáo viên tiếp cận mô hình tổ chức toán học trong năm học 2026-2027 dưới sự chủ trì của các Phòng Giáo dục và Đào tạo kết hợp cùng các trường Đại học Sư phạm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Thứ nhất, giáo viên giảng dạy môn Toán tại các trường trung học cơ sở. Luận văn giúp thầy cô nhận diện rõ các chướng ngại Didactic vô hình trong lớp học, từ đó ứng dụng trực tiếp vào việc cải tiến giáo án cho hơn 30 tiết học đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như xây dựng tiêu chí đánh giá bài tập khách quan hơn.

Thứ hai, tác giả viết sách giáo khoa và các chuyên gia phát triển chương trình giáo dục phổ thông. Công trình mang lại góc nhìn thực chứng sâu sắc về sự đứt gãy tri thức giữa bậc đại học và phổ thông, là nguồn tài liệu quý báu để điều chỉnh tỷ lệ bài tập giữa vành số nguyên (78%) và trường số hữu tỉ (22%) trong các tài liệu tham khảo.

Thứ ba, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán. Đây là tài liệu tham khảo mẫu mực về quy trình triển khai nghiên cứu phân tích thể chế theo lý thuyết nhân chủng học và kỹ thuật phân tích tiên nghiệm, hậu nghiệm trên mẫu khảo sát 116 học sinh.

Thứ tư, sinh viên đại học các ngành Sư phạm Toán. Luận văn đóng vai trò cầu nối lý thuyết giúp sinh viên chuyển hóa tri thức đại số trừu tượng thành năng lực sư phạm thực tiễn, giúp tăng 50% sự tự tin khi bước vào kỳ thực tập tốt nghiệp tại các trường phổ thông.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao học sinh thường chỉ phân tích đa thức về các đa thức có hệ số nguyên? Hiện tượng này bắt nguồn từ quy tắc hợp đồng didactic ngầm định trong nhà trường. Khảo sát 190 bài tập cho thấy có đến 78,42% bài tập thuộc vành số nguyên. Khi gặp bài toán như 6x^2 - 8xy, học sinh mặc định chọn đáp án 2x(3x - 4y) vì tin rằng đây là kết quả duy nhất được giáo viên chấp nhận.

2. Hợp đồng didactic chi phối bài toán tìm x trong chương trình lớp 8 ra sao? Quy tắc hợp đồng buộc học sinh phải giữ nguyên hệ số nguyên khi biến đổi phương trình tích P(x) = 0. Khi giải bài toán x^3 - 13x = 0, thể chế phổ thông hướng dẫn học sinh tìm nghiệm x = 0 và x = căn 13 dựa vào tính chất căn bậc hai thay vì phân tích thành nhân tử trên trường số thực.

3. Sự khác nhau cơ bản giữa đa thức trong đại số đại cương và toán phổ thông là gì? Ở bậc đại học, đa thức được xây dựng chặt chẽ trên vành giao hoán có đơn vị với các phép toán hình thức. Trong sách giáo khoa Toán 7 và 8, đa thức được định nghĩa đơn giản là tổng các đơn thức mà không nêu rõ vành hệ số, dẫn đến sự thiếu hụt cơ sở lý thuyết công nghệ giải thích.

4. Vì sao vai trò của phân tích đa thức thành nhân tử giảm mạnh ở lớp 9? Ở lớp 8, phân tích đa thức là công cụ chủ lực để rút gọn phân thức và giải phương trình tích. Sang lớp 9, kỹ thuật này chỉ còn xuất hiện hạn chế trong khoảng 2 bài tập vì thể chế tập trung toàn bộ thời lượng vào công thức nghiệm biệt số delta để giải phương trình bậc hai.

5. Khảo sát thực nghiệm trên 116 học sinh đã mang lại kết luận thực tế nào? Thực nghiệm khẳng định sự tồn tại vững chắc của hợp đồng didactic trong nhận thức người học. Có trên 80% học sinh đánh giá cao nhất kết quả phân tích bất khả quy trên vành số nguyên và loại trừ các cách phân tích đúng trên trường số hữu tỉ do thói quen học tập rập khuôn.

Kết luận

• Luận văn đã phân tích toàn diện môi trường sinh thái và quá trình chuyển đổi didactic của đối tượng đa thức từ bậc đại học vào chương trình Toán trung học cơ sở Việt Nam.
• Khẳng định sự tồn tại của quy tắc hợp đồng didactic chi phối nhận thức học sinh thông qua khảo sát 149 nhiệm vụ trên vành số nguyên trong tổng số 190 bài tập sách giáo khoa.
• Kết quả khảo sát thực nghiệm trên 116 học sinh tại 3 trường trung học cơ sở đã kiểm chứng xác thực mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với tri thức toán học.
• Làm sáng tỏ quy luật tiến triển của 4 kỹ thuật nhân tử hóa từ vị trí đối tượng trọng tâm ở lớp 8 chuyển dần sang vai trò công cụ phụ trợ ở chương trình lớp 9.
• Đóng góp hệ thống 4 nhóm giải pháp sư phạm thực tiễn nhằm đổi mới phương pháp giảng dạy, hoàn thiện giáo trình và nâng cao năng lực tư duy đại số cho học sinh.

Trong kế hoạch 12 tháng tới, hướng nghiên cứu tiếp theo sẽ mở rộng khảo sát thực nghiệm trên 50 giáo viên bộ môn Toán nhằm hoàn thiện bức tranh đa chiều về thực hành dạy học. Kính mời quý thầy cô giáo, các nhà nghiên cứu và học viên tham khảo toàn văn luận văn để áp dụng hiệu quả các tri thức Didactic vào công tác giảng dạy thực tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1 cho thấy môi trường sinh thái của đa thức trong chương trình toán THCS đã xác định phần lớn môi trường sinh thái của đa thức trong bài toán PTĐTTNT. Tuy thể chế đã không chỉ rõ vành đa thức xác định tập các đa thức, nhưng với sự lựa chọn về nội dung đa thức được trình bày trong chương trình, một cách ngầm ẩn môi trường sinh thái của đa thức là vành ĐT-Z, ĐT-Q, ĐT-R mà vùng sống chủ yếu tập trung ở tập các ĐT-Z và ĐT-Q. 19 Theo đó chúng tôi muốn tìm hiểu xem các kết quả phân tích thành nhân tử có còn tập trung vào hai vành đa thức này không? Và với lựa chọn ngầm ẩn như vậy có hình thành lên HS những quan niệm nào trong thực hành giải toán PTĐTTNT hay không? 20 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - MỘT PHÂN TÍCH THỂ CHẾ Mục tiêu của chương Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được đưa vào giảng dạy ở đầu chương trình toán 8 tập 1- chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC, phân bổ chính thức trong 4 nội dung bài học (như đã thống kê ở mục 1.3, chương 1) trên tổng số 12 bài.

Điều này cho thấy thời lượng dành cho nó tương đối nhiều, chiếm 1/3 nội dung chương. Thời lượng được ưu tiên như thế, đã nói lên vị trí khá quan trọng của bài toán PTĐTTNT trong mối quan hệ giữa các đối tượng tri thức trong chương trình. Với mong muốn tìm hiểu đặc trưng bài toán PTĐTTNT trong thể chế THCS, chúng tôi đi vào phân tích từng nội dung bài học với những quan tâm cụ thể sau: - Xác định những tổ chức toán học liên quan đến bài toán này. - Xác định những tình huống hay bài toán mà việc PTĐTTNT sẽ đóng vai trò một phần kĩ thuật giải.

- Cố gắng mô hình hoá các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến những mong đợi của thể chế về vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử. Quan điểm của chương trình 2002: Với nguyên tắc “không coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình… ; tăng tính thực tiễn và tính sư phạm”, chương trình mới chú trọng đến quy tắc thực hành, tạo điều kiện cho HS nắm vững và vận dụng tốt các quy tắc, các phương pháp cụ thể, các phép biến đổi biểu thức hữu tỷ… [GV8.8] Điều này khiến chúng tôi có thể dự đoán: yếu tố công nghệ-lý thuyết của các tổ chức toán học (OM) không có cơ hội xuất hiện một cách tường minh hoặc đầy đủ. Thay vào đó, thể chế sẽ tập trung vào các phương pháp hay cách thức vận dụng để giải bài toán PTĐTTNT. Do vậy, việc tiếp cận và phân tích các kỹ thuật được trình bày trong mỗi bài học cho phép ta xác định được những đặc trưng tồn tại của bài toán PTĐTTNT trong chương trình.

Chúng tôi sẽ phân tích OM xoay quanh kiểu nhiệm vụ T-nhantu: Phân tích đa thức thành nhân tử (KNV PTĐTTNT). Các bài học liên tiếp được xác định trong chương 1 mà chúng tôi nhắc lại ở đây : - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. 21 - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. (Đại số 8, tập 1) sẽ cho phép chúng tôi xác định các kĩ thuật để giải T-nhantu. Phân tích các ràng buộc trên các kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật tương ứng cho phép dự đoán các quy tắc của hợp đồng didactic. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Trong mục tiêu bài học, GV8.1 mong muốn: - HS hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.

- Biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung.25] Nội dung trước, với nhận xét bài toán PTĐTTNT không được trình bày một cách độc lập, nó được lồng ghép vào bài học đầu tiên với nội dung liên quan trong GK8. Dự kiến phần này chúng tôi đi sâu làm rõ thuật ngữ “PTĐTTNT”, tác giả SGK này đã có hướng tiếp cận ra sao để đạt được mục tiêu mong đợi của thể chế. Bài toán PTĐTTNT được tiếp cận như sau: 1. Hãy viết 2x2-4x thành một tích của những đa thức.2=2x(x-2) Việc biến đổi 2x2-4x thành tích 2x(x-2) được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử.

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (một số phương pháp khác để phân tích thành nhân tử chúng ta sẽ nghiên cứu sau) [GK8.1 tiếp cận bài toán PTĐTTNT theo trình tự: đưa ra ví dụ, trình bày cách làm, định nghĩa. Như vậy, thể chế đã đưa ra định nghĩa chính thức cho thuật ngữ “phân tích đa thức thành nhân tử”, theo đó “Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức”. Dựa trên định nghĩa, tác giả không nói rõ đặc trưng của các đa thức nhân tử được xác định trên vành đa thức nào? Dẫn đến việc xuất hiện nhiều kết quả thoả mãn nó, chẳng hạn: A.

2 So với lời giải của GK8.1, tác giả chỉ đưa ra kết quả 2 x 2 − 4 x = 2 x( x − 2). Cách làm này được gọi tên là: “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung” (chúng tôi gọi tắt là PTĐTTNT-NTC). Phải chăng đây được xem là kết quả mong đợi của thể chế. Điều này khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi: khi yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, thể chế mong đợi điều gì? Với cách giải của mình, GK8.1 đã chỉ ra được phần chung của cả hai hạng tử là 2x.

Bằng việc viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của phần chung với đa thức mới x - 2 là hợp thành từ phần còn lại của hai hạng tử sau khi lấy phần chung, yêu cầu bài toán được giải quyết. 2, x hoặc 2x đều được xem là phần chung của hai hạng tử. Nếu lấy phần chung là 2 thì dẫn đến kết quả B, lấy phần chung là x thì dẫn đến kết quả C, 2x- hợp thành của 2 và x, được xem là phần chung lớn nhất. Theo cách làm trên, GK8.1 đã chọn phần chung lớn đặt ra ngoài dấu ngoặc.

Điều này tạo ra một nghi vấn: “Với cách tìm phần chung như trong ví dụ, phải chăng đây là sự nâng cấp việc tìm ước chung lớn nhất của tập hợp số tự nhiên, mở rộng hơn là tập hợp số nguyên trước đó?”. Nghi vấn này nhanh chóng được GV8.1 làm sáng tỏ thông qua phần B. Những điều cần lưu ý, tr.25: Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên - Hệ số là ƯCLN của các hệ số dương của các hạng tử - Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.25] Đến đây kĩ thuật đầu tiên giải quyết KNV “phân tích đa thức thành nhân tử” (T- nhantu) xuất hiện và được mô hình hóa với bốn thành phần trong OM-1 [ T − nhantu , τNTC , θNTC , Θ ] .Trong đó, τ NTC là kỹ thuật giải quyết T-nhantu với hai bước: Bước 1: Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức với các nguyên tắc sau: Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số nguyên dương của các hạng tử. Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.

Biểu diễn hạng tử trong đa thức dưới dạng tích chứa nhân tử chung vừa tìm được.B1; trong đó F là nhân tử chung. Bước 2: Đặt nhân tử chung, viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của đa thức nhân tử chung và đa thức mới là phần còn lại của các hạng tử sau khi lấy đi nhân tử chung, có thể là A+B=F.(A1+B1) Công nghệ θ NTC dùng giải thích kỹ thuật trên là phép nhân hai đa thức; lý thuyết Θ NTC : tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Với cách xác định nhân tử chung của GV8.1 cho thấy τ NTC được chỉ định đối với các đa thức có hệ số nguyên. Do vậy, nhân tử chung tìm được trong quá trình biến đổi là một đa thức với hệ số nguyên, kéo theo đa thức nhân tử còn lại phải là đa thức có hệ số nguyên.

Thêm vào nữa, các hạng tử trong mỗi một đa thức nhân tử không tồn tại phần chung. Điều này có nghĩa là: nếu mỗi hạng tử trong đa thức nhân tử có nhân tử chung thì quá trình phân tích phải được tiếp tục. Tuy nhiên, hiện tượng này là khó có thể xảy ra. Bởi lẽ, việc xác định nhân tử dựa trên quy tắc tìm ước chung lớn nhất (UCLN) đã vét cạn phần chung trong các hạng tử.

Như vậy bằng phương pháp đặt nhân tử chung, quá trình phân tích sẽ kết thúc sau hữu hạn lần đặt nhân tử chung. Vì thế, A là kết quả hợp lý nhất, các kết quả còn lại ngầm ẩn bị bỏ qua, đặc biệt là kết quả phân tích có chứa hệ số hữu tỉ hoặc hệ số thực không thể xuất hiện, mặc dù xét về bản chất chúng hoàn toàn không vi phạm định nghĩa về thuật ngữ PTĐTTNT. Tiếp theo, GK8.1 đưa thêm ví dụ 2, trang 18: Ví dụ 2. Phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử Giải.2 = 5x(3x2 –x +2) Nhận thấy với kỹ thuật được cung cấp, kết quả trong ví dụ 2 đi chung trên “một con đường” với ví dụ 1.

Dẫn đến duy nhất một đáp số được chấp nhận 5x(3x2 –x +2) trong khi các đáp 1 2 2 1 số hợp lý 15 x( x 2 − x + ) ; 10 x( x 2 − x + 1) …đã không được chỉ ra. 3 3 3 2 Lúc này, chúng tôi nhận thấy đa thức cần biến đổi về dạng tích và đa thức nhân tử của nó có hệ số nguyên hay không nguyên đã không được nói rõ trong định nghĩa. Điều đáng chú ý, cả hai đa thức trong hai ví dụ mẫu đều là đa thức có hệ số nguyên. Rõ ràng, khi áp dụng kỹ thuật giải τ NTC các đa thức nhân tử phải có hệ số nguyên.

Còn đối với những đa thức có hệ số không nguyên thì sao? Liệu thể chế có chấp nhận kết quả phân tích thành nhân tử có chứa hệ số không nguyên hay không?