CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH I. Thế nào là chứng minh? Chứng minh một mệnh đề chẳng hạn A → B = 1 là đi xây dựng hữu hạn các mệnh đề A1, A2,…, An và B sao cho B là một mệnh đề cuối cùng trong dãy và là hệ quả logic của mệnh đề Ai. Mỗi Ai của dãy phải là mệnh đề đúng được suy ra từ các mệnh đề A1, A2,…, Ai-1. Trong đó B gọi là luận đề, các Ai gọi là luận cứ.
Các quy tắc suy luận trong chứng minh gọi là luận chứng. Trong chứng minh luận đề phải rõ ràng, luận cứ phải đúng và không lẫn lộn, luận chứng phải hợp logic. Hay nói cách khác phải nói rõ tại sao và với những điều kiện nào thì nhất thiết rút ra được những kết luận gì. Phải đưa ra được bằng cứ để chứng thực các kết luận đúng, nêu lên được mối quan hệ bên trong của chúng.
Để đạt được các yêu cầu trên trước khi chứng minh cần phải chú ý đến các vấn đề sau: a. Đọc kĩ đầu bài, hiểu rõ được các dữ kiện đã cho, dữ kiện cần chứng minh và mối liên hệ giữa điều đã cho và cần chứng minh. Phân biệt rõ giả thiết và kết luận, vẽ hình chính xác, dùng kí hiệu toán học cho bài toán đơn giản và dễ phân biệt hơn. Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A.
Một đường thẳng d song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh AEF cân. Cho học sinh đọc kĩ đề bài điều cần chứng minh là AEF cân. Điều đã cho là ABC cân và EF// BC.
Từ đó cho học sinh vẽ hình và tóm tắt giả thiết, kết luận bằng kí hiệu toán học như sau: Sáng kiến kinh nghiệm -8- Đặng Thị Hương skkn Phòng Giáo dục quận Đống Đa - Trường THCS Thái Thịnh A ABC cân GT AB = AC EF // BC F E B C KL AEF cân I. Bài tập chứng minh là gì? Một bài tập chứng minh gồm 2 phần cơ bản đó là gì? I. Bài tập chứng minh Là những mệnh đề trong hình học cần được chứng minh, thông qua các mệnh đề (định lý) đã được biết. Hay nói cách khác đi bài tập chứng minh là một mệnh đề, một định lý.
Do đó chứng minh bài tập là chứng minh định lý toán học. Hai phần cơ bản trong bài tập hay định lý. Bất cứ một định lý hay bài tập nào đều có 2 phần: - Phần quy định những yếu tố đã cho (hay có sẵn) gọi là phần giả thiết - Phần nêu rõ kết quả của sự suy diễn logic hay phần phải tìm, phải chứng minh gọi là phần kết luận. Phần này đúng hay sai là do sau khi chứng minh mới kết luận được.
Ví dụ: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Phần giả thiết: Hai góc đối đỉnh Phần kết luận: Bằng nhau. Sáng kiến kinh nghiệm -9- Đặng Thị Hương skkn Phòng Giáo dục quận Đống Đa - Trường THCS Thái Thịnh Dạng tổng quát của một định lý có thể viết như sau: Nếu A là B thì C là D Giả thiết Kết luận Tuy nhiên phần định lý, bài tập giả thiết, kết luận tương đối phức tạp. Dạng tổng quát của chúng là: Nếu: A là B G là H C là D Thì I là K E là F ….
Khi giải cần lưu ý đâu là giả thiết, đâu là kết luận. Các phương pháp thường gặp trong chứng minh. Phương pháp chứng minh trực tiếp. Khi chứng minh một bài tập hình học người ta thường dùng phương pháp phân tích để tìm ra hướng chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh.
Cách làm đó gọi là phương pháp chứng minh trực tiếp. Phương pháp này chủ yếu dùng để tìm hướng chứng minh. Nó tổng hợp giữa hai phương pháp: phân tích và tổng hợp. Phân tích: Là đi từ kết luận (điều chưa biết) tìm những điều kiện phải có để dẫn tới kết luận.
Phân tích tìm ra những cái đã biết liên quan tới vấn đề cần chứng minh. Có 2 cách phân tích: * Phân tích đi xuống (hay suy ngược tiến) sơ đồ suy luận như sau: B = B1 → B2 → B3 → … → Bn = A. Trong cách suy luận này cần chú ý: Nếu A đúng thì chưa kết luận được B đúng hay sai. Nếu A sai thì B chắc chắn sai.
Sáng kiến kinh nghiệm - 10 - Đặng Thị Hương skkn Phòng Giáo dục quận Đống Đa - Trường THCS Thái Thịnh * Phân tích đi lên (suy ngược lùi): Sơ đồ như sau: A = Bn → Bn -1 → … →B3 → B2 → B1 → B A là giả thiết; B là kết luận Nếu A đúng thì B đúng Nếu A sai thì B sai hoặc đúng. Phương pháp tổng hợp (suy xuôi): Là phương pháp chứng minh đi từ giả thiết đi đến kết luận. Giả thiết là những điều đã biết (tiên đề, định lý, định nghĩa …) là phép suy luận từ nguyên nhân đến kết quả. Phép chứng minh rất đơn giản nhưng phải chọn ra được điều thích hợp thì từ đó từng bước một suy ra kết luận.
Sơ đồ suy luận như sau: A = A1 →A2 → A3 → … → An = B Khi chứng minh thì những điều kiện cần thiết và thích hợp cho việc chứng minh là điều lựa chọn khó và có khi không làm được. Cho nên như đã nói ở phần trên, khi chứng minh bài tập toán người ta kết hợp cả phương pháp phân tích và tổng hợp. Phân tích để tìm ra hướng chứng minh còn tổng hợp là chứng minh bài toán. Sơ đồ như sau: (gt) G (gt) E (định lý điều đã biết) Phân D C Tổng hợp tích B A Sáng kiến kinh nghiệm - 11 - Đặng Thị Hương skkn Phòng Giáo dục quận Đống Đa - Trường THCS Thái Thịnh Ví dụ: Cho góc xOy, trên cạnh Ox và Oy lấy lần lượt các điểm C, A và B, D sao cho C nằm giữa A và O; D nằm giữa B và O; OA = OB, OC = OD.
Chứng minh rằng: ABC = BAD x Cho xOy A A, B thuộc Ox GT C, D thuộc Oy C OA = OC; OB = OD y O D B KL ABC = BAD Tìm hướng chứng minh thông qua hướng phân tích và tổng hợp như sau: Sơ đồ phân tích và tổng hợp như sau: (gt) (gt) (gt) AO = OB OA = OB O chung OD = OC AOB cgn AOD = BOC OAB = OBA OAD = OBC ABC = BAD Với sơ đồ này chúng ta hướng cho học sinh bắt đầu từ điều đã cho ở giả thiết và đi đến chứng minh AOB cân, AOD = BOC, sau đó sử dụng tính chất cộng góc. Sáng kiến kinh nghiệm - 12 - Đặng Thị Hương skkn Phòng Giáo dục quận Đống Đa - Trường THCS Thái Thịnh Dùng phép tổng hợp để trình bày bài toán như sau: Chứng minh Lý do 1. AOB cân OA = OB (gt) 2. OAB = OBA T/c cân 3.
OA = OB Gt OC = OD Gt AOD = BOC Chung góc AOD = BOC Trường hợp c. OAD = OBC T/c bằng nhau của hai tam giác 5. OAD + DAB = OAB Cộng góc Cộng góc OBC + CBA = OBA Do (5) và (2) 6. Phương pháp chứng minh gián tiếp Như chúng ta đã biết một định lý có bốn cách biểu diễn, trong đó định lý thuận, định lý đảo, định lý phản đảo hoặc cùng đúng hoặc cùng sai.
Tương tự như vậy với mệnh đề đảo và phản đảo. Dựa vào đó khi định lý thuận không chứng minh được hoặc khó có phương pháp chứng minh thì chúng ta có thể chứng minh định lý phản đảo. Nếu phản đảo đúng thì thuận cũng đúng. Đó là phương pháp chứng minh gián tiếp.
Một cách khác là chứng minh phản chứng. Để chứng minh bằng phản chứng mệnh đề dạng: A → B = 1 Ta chứng minh mệnh đề phủ định là sai tức là: A → B = 0 là sai. Sáng kiến kinh nghiệm - 13 - Đặng Thị Hương skkn Phòng Giáo dục quận Đống Đa - Trường THCS Thái Thịnh Trong đó A: Giả thiết; B: kết luận Các bước chứng minh của phương pháp phản chứng: Bước 1: Phủ định mệnh đề cần chứng minh B. Bước 2: Tìm điều phủ định trên cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra mâu thuẫn với giả thiết hay trái với những điều đã biết (dẫn đến mâu thuẫn).
Bước 3: Từ mâu thuẫn trên ta kết luận điều giả sử là sai. Vậy kết luận của bài toán là đúng. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có hai đường phân giác trong bằng nhau thì tam giác ấy cân. A M ABC 1 2 BE là các phân giác B GT CF là các phân giác C BE = CF F E O KL 2 3 ABC cân 1 2 1 B C Để chứng minh ABC cân ta cần chứng minh: Dựng hình bình hành BFME ta được BE = FM Mà BE = CF (gt) CMF cân tại F.
Xét BCE và CBM có: BC chung; BE = CF (gt); B2 C1 CE > BF Sáng kiến kinh nghiệm - 14 - Đặng Thị Hương skkn Phòng Giáo dục quận Đống Đa - Trường THCS Thái Thịnh Mà: BF = EM ( cạnh đối hbh) M2 C3 B1 + M2 C2 + C3. Mâu thuẫn với (1) Tương tự, không thể xảy ra trường hợp B1 C2. Vậy điều giả sử B1 C2 là sai B1 = C2 , → B = C → ABC cân. Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AD//BC), AD + BC = AB; DE = EC.
Chứng minh rằng phân giác của góc A và B đi qua điểm E. A D Hình thang ABCD (AD//BC) 1 2 GT AD + BC = BA DE = EC E KL AE và BE là phân giác 2 1 B C H Để chứng minh phân giác của góc A và góc B đi qua điểm E ta phải chứng minh EB và AE chia đôi góc A và góc B. Ta phải chứng minh gián tiếp như sau: Nối E với A; E với B. Kéo dài AE cắt BC kéo dài ở H.
Vì AD // BC(gt) → A1 = H (so le trong) Và D = ECH (so le trong) ADE = HCE vì ED = EC; D = C ; AED = CEH (đối đỉnh)→ AD = CH Xét ABH có AB = BH (vì AB = AD + BC = CH + BC) → ABH cân → H = A 2 mà A1 = H → A1 = A 2 → AE là phân giác. Tương tự ta cũng chứng minh được B1 = B2 .