Luận văn thạc sĩ về nguồn đồng dư trong toán học

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu hus nguồn đồng dư, khảo sát thực trạng, phân tích nguyên nhân, đề xuất giải pháp cải thiện thực tiễn., phục vụ nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

• Tác giả: Phạm Công Biên
• Người hướng dẫn: GS. Đặng Huy Ruận
• Trường học: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Nguồn Đồng Dư
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ khoa học
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
• 1.1. Tập xâu ký hiệu và một số phép toán
• 1.2. Nguồn sinh số
• 2. CHƯƠNG 2: NGUỒN ĐỒNG DƯ
• 2.1. Nguồn đồng dư một vòng đỉnh
• 2.2. Nguồn đồng dư hai vòng đỉnh
• 3. CHƯƠNG 3: NGUỒN ĐỒNG DƯ CÓ NHIỀU TÍNH CHẤT
• 3.1. Thuật toán xây dựng nguồn giao
• 3.2. Một số nguồn minh họa
• Danh mục tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng quan về nghiên cứu nguồn đồng dư trong toán học

Nghiên cứu về nguồn đồng dư trong toán học là một lĩnh vực quan trọng, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến số học và lý thuyết số. Nguồn đồng dư không chỉ có ứng dụng trong lý thuyết mà còn trong thực tiễn, như trong mã hóa và bảo mật thông tin. Bài viết này sẽ đi sâu vào các khái niệm cơ bản và ứng dụng của nguồn đồng dư.

1.1. Khái niệm cơ bản về đồng dư

Đồng dư là một khái niệm trong toán học, được định nghĩa qua phép chia. Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư modulo m nếu hiệu của chúng chia hết cho m. Cụ thể, a ≡ b (mod m) có nghĩa là (a - b) là bội số của m.

1.2. Lịch sử phát triển của lý thuyết đồng dư

Lý thuyết đồng dư đã được phát triển từ thời kỳ cổ đại, với những đóng góp quan trọng từ các nhà toán học như Diophantus và Fermat. Sự phát triển này đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong toán học hiện đại.

II. Vấn đề và thách thức trong nghiên cứu nguồn đồng dư

Mặc dù lý thuyết đồng dư đã được nghiên cứu rộng rãi, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề và thách thức cần giải quyết. Một trong những thách thức lớn nhất là việc tìm kiếm các tính chất đồng dư phức tạp và ứng dụng của chúng trong các bài toán thực tiễn.

2.1. Các bài toán khó trong lý thuyết đồng dư

Nhiều bài toán trong lý thuyết đồng dư vẫn chưa có lời giải tối ưu, như bài toán tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn một số điều kiện đồng dư nhất định. Những bài toán này thường yêu cầu các phương pháp giải quyết sáng tạo và hiệu quả.

2.2. Thách thức trong việc ứng dụng lý thuyết đồng dư

Việc ứng dụng lý thuyết đồng dư vào các lĩnh vực như mã hóa và bảo mật thông tin gặp nhiều khó khăn. Các thuật toán hiện tại cần được cải tiến để đảm bảo tính bảo mật và hiệu quả trong thực tiễn.

III. Phương pháp nghiên cứu nguồn đồng dư hiệu quả

Để nghiên cứu nguồn đồng dư một cách hiệu quả, cần áp dụng các phương pháp toán học hiện đại và công nghệ thông tin. Các phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong thực tiễn.

3.1. Phương pháp Euclide trong nghiên cứu đồng dư

Phương pháp Euclide là một trong những phương pháp cơ bản để tìm ước số chung lớn nhất và giải quyết các bài toán đồng dư. Phương pháp này giúp đơn giản hóa các phép toán phức tạp và tìm ra các giải pháp tối ưu.

3.2. Sử dụng công nghệ thông tin trong nghiên cứu

Công nghệ thông tin đóng vai trò quan trọng trong việc mô phỏng và phân tích các bài toán đồng dư. Các phần mềm toán học hiện đại giúp các nhà nghiên cứu thực hiện các phép toán phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác.

IV. Ứng dụng thực tiễn của nguồn đồng dư trong toán học

Nguồn đồng dư có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như mã hóa, bảo mật thông tin và lý thuyết số. Những ứng dụng này không chỉ giúp giải quyết các bài toán thực tế mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới.

4.1. Ứng dụng trong mã hóa thông tin

Nguồn đồng dư được sử dụng trong các thuật toán mã hóa như RSA, giúp bảo vệ thông tin trong các giao dịch trực tuyến. Các phương pháp này dựa trên các tính chất của đồng dư để đảm bảo tính bảo mật.

4.2. Ứng dụng trong lý thuyết số

Trong lý thuyết số, nguồn đồng dư giúp giải quyết các bài toán liên quan đến số nguyên và các tính chất của chúng. Những ứng dụng này có thể được thấy trong các nghiên cứu về số nguyên tố và các bài toán phân tích số.

V. Kết luận và tương lai của nghiên cứu nguồn đồng dư

Nghiên cứu về nguồn đồng dư trong toán học vẫn còn nhiều tiềm năng phát triển. Các nhà nghiên cứu cần tiếp tục khám phá và phát triển các phương pháp mới để giải quyết các bài toán khó khăn trong lĩnh vực này.

5.1. Tương lai của lý thuyết đồng dư

Lý thuyết đồng dư có thể mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong toán học, đặc biệt là trong các lĩnh vực như mã hóa và bảo mật thông tin. Sự phát triển của công nghệ thông tin cũng sẽ thúc đẩy nghiên cứu trong lĩnh vực này.

5.2. Khuyến khích nghiên cứu và phát triển

Cần khuyến khích các nhà nghiên cứu trẻ tham gia vào lĩnh vực này, nhằm phát triển các phương pháp mới và ứng dụng thực tiễn của lý thuyết đồng dư trong toán học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản cần thiết cho các chương tiếp theo. TẬP XÂU KÝ HIỆU VÀ MỘT SỐ PHÉP TOÁN I. Tập xâu ký hiệu.

Tập ∑ ≠  gồm hữu hạn hoặc vô hạn các đối tượng được gọi là bảng chữ cái (hay tự điển). Mỗi phần tử a ∑ được gọi là ký hiệu hoặc chữ cái (thuộc bảng chữ cái ∑). Ví dụ: P= 0,1 là bảng chữ cái nhị phân. Q= 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 là bảng chữ cái thập phân.

R= , , , ,  là bảng chữ cái gồm: Hình tam giác, hình vuông, hình tròn, hình chữ nhật, hình thoi. Giả sử có bảng chữ cái ∑= a1,a 2 ,.,a n  Dãy α gồm các ký hiệu thuộc bảng chữ cái ∑ α= ai1 ai2 .a it ,a is  (1  s  t) được gọi là một xâu ký hiệu hay một xâu trên bảng chữ cái ∑. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 2 Tổng số vị trí của tất cả các ký hiệu xuất hiện trong α được gọi là độ dài của xâu α và ký hiệu bằng . Xâu có độ dài bằng 0 (tức xâu không chứa một ký hiệu nào) được gọi là xâu rỗng hay xâu trống đồng thời được ký hiệu bằng  hoặc .

Xâu rỗng là xâu thuộc bất kỳ bảng chữ cái nào. Dễ dàng thấy rằng: Nếu α là xâu thuộc bảng chữ cái ∑, thì nó cũng là xâu trên bảng chữ cái tùy ý  chứa ∑. Ví dụ: β= 101011 là xâu trên bảng chữ cái nhị phân P= 0,1 và  = 6, còn  = 1223233 là xâu trên bảng chữ cái S= 1, 2,3 và  =7 Các xâu β,  đều là các xâu trên bảng chữ cái thập phân. Tập gồm tất cả các xâu trên bảng chữ cái ∑ được ký hiệu bằng ∑*, còn tập gồm tất cả các xâu khác rỗng trên bảng chữ cái ∑ được ký hiệu bằng ∑+.

Dễ dàng thấy rằng ∑+ = ∑*\  3. Tập xâu ký hiệu. Giả sử có bảng chữ cái ∑. Mỗi tập con A  ∑* được gọi là một tập xâu ký hiệu trên bảng chữ cái ∑ (nếu ∑ là bảng chữ cái số và các xâu ký hiệu thuộc A đều là các số, thì A còn được gọi là tập số trên ∑).

Tập  được gọi là tập xâu trống. Tập xâu trống là tập xâu trên bất kỳ bảng chữ cái nào. Hiển nhiên rằng tập xâu trống khác với tập xâu chỉ gồm xâu rỗng. Ví dụ: L= {  ,1,0,10,011 } là tập xâu trên bảng chữ cái nhị phân P= 0,1 , còn L1= {a,bc,bac} là tập xâu trên bảng chữ cái ∑={a,b,c}.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Đây là phép toán thực hiện trên xâu ký hiệu. Tích ghép của các xâu không rỗng α= a1a2…am và β=b1b2…bn là xâu  = c1c2…cm+n, trong đó c1= a1, c2= a2 ,…, cm= am , cm+1= b1, cm+2= b2,…, cm+n= bn. Ngoài ra, đối với xâu tùy ý α tích ghép của α với xâu rỗng  bằng tích ghép của  với α và bằng α.

Dễ dàng thấy rằng, tích ghép có tính chất kết hợp, song nó chỉ giao hoán khi các xâu trên bảng chữ cái một ký hiệu. Ta viết αn thay cho cách viết αα…α(n lần) và quy ước rằng α1= α, còn α0 là xâu rỗng. Ví dụ 1: Cho các xâu α= ab, β= cde, µ= 543,  = 21. Nếu đối với các xâu µ,α,β,γ trên bảng chữ cái ∑, mà µ= αβγ thì xâu α*β*γ với ký hiệu * không thuộc ∑ được gọi là một vị trí của xâu β trong xâu µ.

Xâu β được gọi là một xâu con trong xâu µ (hay của xâu µ), nếu tồn tại ít nhất một vị trí của β trong µ. Nếu α=  , tức µ= βγ, thì xâu β còn được gọi là phần đầu. Còn nếu γ=  tức là µ= αβ thì xâu β được gọi là phần cuối của xâu µ. Khi β=  , ta có µ= α  γ=  µ= µ  , nên xâu rỗng là xâu con, là phần đầu, phần đuôi của bất kỳ xâu nào và được gọi là xâu con tầm thường.

Trong trường hợp độ dài của xâu β= 1, tức là nó gồm một ký hiệu. Chẳng hạn β= b, b thuộc ∑, thì *b* được gọi là vị trí của ký hiệu b trong xâu µ. Đôi khi vị trí của ký hiệu còn được gọi là điểm. Người ta dùng la(µ) để chỉ số vị trí của ký hiệu a trong xâu µ.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 4 Nếu α= t1*at2*, β= s1*bs2* là các điểm của cùng một xâu µ= t1at2= s1bs2. Và t1 < s1 , thì ta viết α< β, đồng thời nói rằng α nằm (hoặc được đặt) bên trái β, còn β nằm bên phải α. Nếu α< β< γ, thì ta nói rằng β nằm giữa α và γ. Đối với hai điểm tùy ý α, β của xâu µ, mà α≤ β, tập hợp các điểm δ thỏa mãn bất đẳng thức α≤ δ≤ β được gọi là một đoạn của xâu µ và được ký hiệu bằng [α, β], còn tập hợp các điểm mà α< δ< β được gọi là một khoảng của xâu µ và được ký hiệu bằng (α, β).

Đôi khi chúng ta cũng cần những khoảng đặc biệt (-, α) và (α, -) là các tập hợp điểm thỏa mãn bất đẳng thức δ< α và α> δ. Khoảng khác với đoạn ở chỗ nó có thể rỗng. Ví dụ 2: Xâu µ= abcbcb chứa 2 vị trí của xâu bcb: a*bcb*cb và abc*bcb*, một vị trí của ký hiệu a: *a*bcbcb, 7 vị trí của xâu rỗng : **abcbcb, a**bcbcb, ab**cbcb, abc**bcb, abcb**cb, abcbc**b, abcbcb**. Nếu ký hiệu các vị trí của chữ cái trong xâu µ bằng α, β, δ, thì α< β< δ.

Các đoạn [α, β] và [β, δ] tương ứng với hai vị trí khác nhau của cùng xâu con bcb. Các phép toán trên các tập xâu ký hiệu. Trên các tập xâu ký hiệu, ngoài các phép toán của lý thuyết tập hợp như: phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù. Còn có các phép toán đặc thù như: tích ghép, lặp.

Giả sử L1, L2, L3 là các tập xâu ký hiệu trên bảng chữ cái ∑. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 5 Tập xâu ký hiệu {x  ∑*/ x  L1 hoặc x  L2} được gọi là hợp của các tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời được ký hiệu bằng L1  L2 hoặc L1  L2 Ví dụ: Cho các tập xâu ký hiệu L1= {  , a, ab, bc}, L2= {a,b,ca,ab,cb}. Khi đó: L1  L2= {  , a, b, ab, bc, ca, cb}. Giao hoán, nghĩa là L1  L2= L2  L1 b.

Kết hợp, nghĩa là (L1  L2)  L3= L1  (L2  L3) c. Định nghĩa: Tập xâu ký hiệu {x  ∑*/ x  L1 và x  L2} được gọi là giao của các tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời ký hiệu bằng L1∩ L2 hoặc L1  L2 Ví dụ: Với L1, L2 được cho bởi ví dụ trên có giao là L1∩L2 = {a, ab}. Giao hoán, nghĩa là L1∩ L2=L2∩ L1 b. Kết hợp, nghĩa là (L1∩ L2)∩ L3= L1∩ (L2∩ L3) c.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Phép lấy phần bù. Tập xâu ký hiệu {x ∑* / x L} được gọi là tập xâu ký hiệu phần bù của tập xâu ký hiệu L, đồng thời được ký hiệu bằng C∑L hoặc CL. Ví dụ: Cho L= {a, bc}.

Khi đó: CL= {x  ∑*/ x≠ a, x≠ bc}. Hệ thức De Morgan: L1∩ L2= C(CL1  CL2) D. Phép tích ghép. Định nghĩa: Tập xâu ký hiệu {x ∑*/  y  L1,  y L2, x= y.z= yz} được gọi là tích ghép của các tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời ký hiệu bằng L1.

Đối với tích ghép L.L…L(n lần) ta viết dưới dạng thu gọn Ln với quy ước: L1= L và L0= {  } Ví dụ 1: Cho các tập xâu ký hiệu L1= {  , a, bc, cab}, L2= {b, ca}.L2= {b, ca, ab, aca, bcb, bcca, cabb, cabca}.L1= {b, ca, ba, caa, bbc, cabc, bcab, cacab}. Quy ước rằng: Nếu xâu rỗng xuất hiện trên tập số, thì nó được gọi là số rỗng. Ví dụ 2: Cho các tập số S1= {  , 1, 2, 4}, S2= {2, 3, 5}. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Không giao hoán, tức là: L1. Kết hợp, tức là: (L1. Hợp vô hạn các tập xâu ký hiệu: {  }  L  L.L…L  …  = Li i0 được gọi là lặp của tập xâu ký hiệu L, đồng thời được ký hiệu bằng L*,  còn hợp vô hạn Li được gọi là lặp cắt của tập xâu ký hiệu L, đồng thời i 1 được ký hiệu bằng L+. Cho tập xâu ký hiệu L= {a, b, bc, cba}.L…L  …= {  }  {a, b, bc, cba}  {aa, ab, abc, acba, ba, bb, bbc, bcba, bca, bcb, bcbc, bccba, cbaa, cbab, cbabc, cbacba}  … = {  , a, b, bc, cba, aa, ab, abc, acba, ba, bb, bbc, bcba, bca, bcb, bcbc, bccba, cbaa, cbab, cbabc, cbacba, …}.L…L  …= {a, b, bc, cba, aa, , ab, abc, acba, ba, bb, bbc, bcba, bca, bcb, bcbc, bccba, cbaa, cbab, cbabc, cbacba, …}.

Từ định nghĩa ta thấy rằng: Dù tập L có chứa xâu rỗng hay không thì lặp L* vẫn chứa xâu rỗng. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Cho tập số nguyên dương S= {1, 3, 8, 12}. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Trên mặt phẳng hay trong không gian lấy n điểm khác nhau, được ký hiệu bằng x1, x2, …, xn. Giữa một số cặp điểm (có thể trùng nhau ) được nối bằng các đoạn thẳng hoặc đoạn cong được định hướng (có thể theo chiều khác nhau ). Người ta gọi hình nhận được là một đa đồ thị có hướng (có thể có khuyên), đồng thời ký hiệu bằng G. Các điểm xi (1≤ i≤ n) đã chọn được gọi là các đỉnh.

Các đoạn thẳng và đoạn cong đã nối được gọi là các cung của đồ thị G. Nếu cung có hai đầu trùng nhau, thì nó còn được gọi là một khuyên của đồ thị G. Nếu cung u xuất phát từ đỉnh xi và đi tới đỉnh xj, thì xi được gọi là đỉnh đầu, còn xj được gọi là đỉnh cuối của cung u. (u) xi xJ Nếu cung v có hai đầu đều là xk thì nó được gọi là một khuyên tại đỉnh xk (v) xk Để cho gọn trong các phần tiếp theo ta sẽ gọi đa đồ thị có hướng là đồ thị.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.Đường trên đồ thị. Dãy cung ui1 ui2 .