chương 1, FEM vẫn còn những thiếu sót cần cải tiến để hoàn thiện hơn, đáp ứng được sự phát triển ngành Cơ kỹ thuật cũng như lĩnh vực Cơ học tính toán. Phương pháp Phần tử hữu hạn nội suy kép (CFEM) dựa hoàn toàn trên nền tảng FEM nên thừa hưởng được toàn bộ những đặc tính ưu việt của phương pháp. Bang thủ tục nôi suy kép (CIP), hàm dang xấp xi trong FEM được xây dung lại nhằm khắc phục được sự bat liên tục của trường đạo hàm, ở đây là trường ứng suất và biến dạng trong môi trường vật lý. Khác với các phương pháp khác cũng cải tiến từ FEM, CFEM không làm tăng số bậc tự do của bài toán mà vẫn giữ như FEM truyền thống.
Trong chương này, tác giả trình bay cách xây dựng phan tử hữu hạn tam giác nội suy kép 3 nút (CT3) và phần tử hữu hạn tứ giác nội suy kép 4 nút (CQ4) cho miền bài toán 2D. Tương tự cho miền 3D, phần tử hữu hạn tứ diện nội suy kép 4 nút (CTH4) và phan tử hữu hạn hình hộp nội suy kép 8 nút (CHH8) cũng được giới thiệu. Một vài ví dụ số trong Cơ học vật rắn biến dạng được thực hiện dé chứng minh hiệu qua của phương pháp nghiên cứu. Tất ca các bài toán được viết mã lệnh bằng chương trình Matlab.
Thủ tục nội suy kép CIP. Xét một miền vật thể Q được bao bọc bởi biên T và được chia thành nhiều miền con Qe, mỗi miền con thường được gọi là một phan tử. Dinh của mỗi phan tử được gọi là nút. Một điểm x thuộc phan tử được nội suy thông qua ham u(x) với thủ tục CIP như sau [23]-[26], [39, 41]: u(x) = }37-¡ R(x) 0, = RO, (2.1) 13 với ø là tông số nut, a, là giá trị ham u(x) tại nút I, và cudi xùng R,(x) là hàm dạng CIP tại nút 7.
Một điểm khác biệt của CFEM so với FEM là miễn nội suy luôn lớn hơn. Vecto R chứa các hàm dạng được biểu diễn tổng quát như sau: RO) = Xï-¡(@,GNỈ + $,„@)Ñš + GiyCONS! + @„GÓÑ?), (2.2) trong đó NỈ! chính là vecto các ham dạng Lagrange của FEM thông thường tai nút I. NỈ NU NU! lần lượt là các đạo ham trung bình của hàm dang Lagrange tại nút 7 theo các phương x, y, và z tương ứng.3) Nu lel lạ giá trị dao hàm của hàm dạng NỈ! tai nút 7 được tinh theo phần tử thứ e, we là trọng số và được tính bởi We = re S;.4) S7 là tập hop các phan tử có chung nut I và A. là một đại lượng đặc trưng cho kích thước phan tử.
Đối với phan tử 2D thì A. được tính là diện tích còn phan tử 3D thì là thé tích. @ là chỉ số phần tử va A; là diện tích của phan tử tương ứng trong tập hợp các phần tử thuộc Sy. Thêm nữa, các hàm bồ sung ¢, dx, ¢y, di: trong phương trình (2.2) là cốt lõi của phương pháp CFEM và được viết tổng quát như sau: pi(x) = Nị + NˆŒ¡ — Ni) — N,Œ; — Nộ), (2.5) biel) = XS, jai) — xi) (NÊN + ENN (Br —M— N)).
6) Ở đây, N là các ham dạng Lagrange. Các đại lượng 5) va >› được định nghĩa bởi >¡(x) = UR, Ni, và 5;(x) = Mi NZ (2.7) ne là số nút của phan tử e, i là chi số nut (i = 1, 2, 3,. Cac ham gi, gi: dé dàng nhận được bằng cách thay thế tọa độ x trong phương trình (6) bởi tọa độ y và tọa độ z. Ngoài ra, dé duy trì thuộc tính Kronecker-delta, các hàm phụ ở; dix, diy và giz trong phương trình (2.2) phải được được xác định cho từng loại phần tử và phải thỏa mãn các điêu kiện sau.
Thú tục CIP cho phần tử tam giác 3 nút (CT3) và tứ giác 4 nút (CQ4). Phần tử tam giác hữu hạn nội suy kép CT3. Hàm hỗ trợ tại nút i của phần tử CT3 được giới thiệu trong [25] và được viết lại như bên dưới ó =N,+ NN, + NÊN, — N}ẠN,— NẠN,, (2.11) l 1 trong đó i, j, & là các chỉ số lần lượt của nút phan tử. Can lưu ý rằng ham gj, có được đơn giản bằng cách thay thế tọa độ x trong phương trình (2.
Các hàm phụ trợ khác liên quan đến các nút cục bộ jvak có thé được tính toán băng một hoán vị tuần hoàn của các chỉ số i, jvak. Phan tử tứ giác hữu han nội suy kép CQ4. Phan tử tứ giác với (a) hệ trục tọa độ vật lý và (b) hệ trục tọa độ tự nhiên. Tiếp nối từ thành công khi sử dụng phần tử CT3 trong phân tích các bài toán cơ học vật ran [25], Bùi Quốc Tính và các cộng sự [26] đã tiếp tục sử dụng kỹ thuật 15 nội suy kép CIP cho phan tử tứ tác bốn nút và được gọi là phần tử CQ4.
Nếu gọi các chỉ số của bốn nút phần tử lần lượt là i, 7, A và m như mô tả trong hình 2.1 thì hàm hỗ trợ ¢i, dix, diy tương ứng cho nút i được tính toán bởi [26] được trình bày như bên dưới ¢, =N,+ NN, + NÊN, + NỆN,— NˆN,— NẠN,— NẠN,, (2.12) — 2 1 1 ó, =(x;—x,)| M; N+ NNN +ỆNNỤN, tú =)[ NÊN +2 NAMVN, AEN NN, (2.N,,N, m 1 1 m 2 1 m J 2 1 m — 2 1 1 by =(y,—”,) NPN) +> NiN|Np+ONN Nn > 1 1 +(0W—,) NIN +5 NNm +S NNN, (2.14) 2 1 1 +(#W„T—7,) Nà +5 NN +S NN Na Một lần nữa, phương trình (2.14) là kết quả của phương trình (2.13) trong đó tọa độ x được thay thế băng tọa độ y. Một hoán vi tuần hoàn của các chỉ số i, ÿ,k,m cũng dẫn đến phần còn lại của các hàm phụ. * Điểm cần nội suy x - @ Nút thuộc miên nội suy điêm x 16 Hình 2.2 minh họa ứng dụng của CIP trong một lưới đồng nhất chung của các phan tử tứ giác bốn cạnh. Bốn tập Si, 5, 5, Sin lần lượt là tập các phan tử liên kết với nhau tại nút 7, 7, &, m.
Quan sat thấy trong Hình 2.2, dé tinh gan đúng gia tri của một hàm tùy ý u tại điểm quan tâm x, cần có thông tin của tat cả các nút trong bốn tập S;, 5, Si, Sm, thay vì chỉ bốn nút. i, 7, &, m như trong FEM. Nói cách khác, miền hỗ trợ cho điểm x trong trường hợp tiếp cận CIP nói chung lớn hơn miền hỗ trợ trong FEM tiêu chuẩn. Hàm dạng của phần tử CQ4 khi được tính theo phương trình (2.2) với các hàm hỗ trợ mô tả như trên được minh họa trong Hình 2.3, tương ứng là đạo hàm bậc nhất của nó thì được biểu diễn trong Hình 2.
Minh họa ham dạng phần tử CQ4. Minh họa đạo hàm bậc nhất hàm dạng phần tử CO4. Dam công son chịu lực cắt. Đề chứng minh ứng dụng của CIP trong phân tích tĩnh kết cầu 2D, một dam công son với chiều day là một đơn vi chịu tải trọng lực cắt tiếp tuyến tại đầu tự đo có dạng đường parabol được khảo sát, xem Hình 2.
Bai toán này cũng được phân tích từ các nghiên cứu trước trong [26]. Trong ví dụ này, có sự so sánh giữa bốn dạng phần tử được nghiên cứu: phần tử tam giác ba nút (T3), phần tử tứ giác bốn (Q4) và phần tử hữu hạn nội suy kép bao gồm CT3 và CQ4. Dạng hình học và điều kiện biên của dam công son chịu uốn. Lời giải chính xác của bài toán nghiên cứu cho trường hợp ứng suất phẳng được giới thiệu bởi [47] u, na ni) (2.19 Với I=D3/12 là moment quán tính hình học của dam.
Kích thước hình học gồm chiều dài L=24, chiều rộng D=6, lực tác dụng có độ lớn P=/00, trong khi vật liệu có mô đun đàn hồi E=107 và hệ số Poisson’s v=0. 18 Trong mô hình SỐ, bốn mức lưới có quy tắc được thực hiện: 12x3 (52 nút — 104 bậc tự do), 24x6 (175 nút ), 48x12 (637 nút), 96x24 (2425 nut), tương ứng với kích thước của phần tử h=2, 1, 0. Đối với phần tử tam giác, lưới được chia bằng cách chia đôi phan tử tứ giác. Lưới chia ở dạng thô (12*3) được minh họa trong Hình 2.
Mỗi nút sẽ bao gồm hai bậc tự do tương ứng với chuyền vị theo phương đứng và theo phương ngang. [TTT TTT TT tty BRRRRRNRRRRRRR LIITTTTTIIITITL WAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVA WAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVA WAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVAVA Hình 2. Lưới tứ giác và lưới tam giác (12 x3). Nghiên cứu sự hội tụ là một phần để so sánh hiệu quả làm việc của bốn loại phần tử T3, Q4, CT3 và CQ4.
Năng lượng đàn hồi được tính toán trên cả miền bài toán cho bốn cấp độ lưới và cho cả bốn dạng phần tử. Sai số năng lượng đàn hồi giữa tính toán số và kết quả chính xác (kết quả tham khảo) được định nghĩa như bên dưới Error(E) = \J2Íe-5x)»Íø—øu,]do (2.20) Quan sát thấy trong Hình 2.7 cho thấy răng năng lượng đàn hồi thu được từ tất cả các loại phần tử càng gần với giá trị tham khảo khi kích thước mắt lưới nhỏ hơn (tức là mắt lưới mịn hơn). Cả hai phần tử được tăng cường thủ tục CIP, CT3 và CQ4, đều có hiệu quả tốt hơn so với các phần tử FEM truyền thống, T3 và Q4. Hơn nữa, kết quả do CQ4 cung cấp chính xác hơn CT3.
Sự phân bố của thành phan ứng suất pháp tuyến ơxx được thé hiện trong Hình 2.8 cho trường hợp mức lưới (24x6). Dữ liệu hình ảnh chỉ ra rằng các trường ứng suất được tính toán bởi các phần tử tăng cường CIP là mượt mà, trong khi các trường bằng phương pháp FEM truyền thống là không liên tục về mặt vật lý tại nút. Độ hội tụ của nang lượng biến dạng theo kích thước lưới. Trường ứng suất 6 được tính bởi bốn kiểu phan tử: CO4 (a), O4 (b), CT3 (c), T3 (d).
Thời gian tính toán và sai số giữa Q4 và CO4 so với lời giải chính xác. Lưới 12x3 24x6 48x12 96x24 192x48 Q4 Tổng thời gian(s) 0.072 C04 Tổng thời gian(s) 1.004 So sánh thời gian hoàn thành khi chạy mã lệnh phần tử CQ4 và phần tử Q4 với cùng điều kiện là như nhau và sai số về năng lượng thu được khi so sánh với lời giải chính xác được trình bay trong Bảng 2.1, bài toán này chưa được đề cập trong [25], [26]. Điều hiển nhiên là khi cùng một mức lưới thì thời gian yêu cầu tính toán với phần tử CQ4 là cao hơn phần tử Q4 do những yêu cầu xây dựng hàm dạng dựa trên thủ tục CIP. Tuy nhiên, do mức độ hội tụ của phần tử CQ4 là cao hơn phần tử Q4, xem Hình 2.