I. Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm
Nghiên cứu về dao động tấm đã được thực hiện từ lâu, với nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng. Các tác giả như Chaladni, Navier và Levy đã đóng góp nhiều vào lĩnh vực này. Họ đã tìm ra các lời giải cho các điều kiện biên đặc biệt, mặc dù chưa có nghiệm dạng đóng cho tấm chữ nhật với các điều kiện biên tự do. Phương pháp Rayleigh – Ritz là một trong những phương pháp phổ biến nhất trong phân tích dao động của tấm. Gorman và Hurlebaus đã mở rộng các phương pháp này để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Tuy nhiên, việc thu được lời giải chính xác cho các phương trình đạo hàm riêng vẫn là một thách thức lớn. Luận văn này sẽ áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để xác định tần số dao động riêng của tấm mỏng chữ nhật trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler.
1.1 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép
Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép là một công cụ mạnh mẽ trong việc phân tích dao động tấm. Được định nghĩa cho hàm của hai tham biến độc lập, phương pháp này cho phép xác định tần số dao động mà không cần phải xác định hàm biến dạng. Công thức ngược của phương pháp này cũng rất quan trọng, giúp chuyển đổi từ không gian hàm về không gian biến dạng. Việc áp dụng phương pháp này trong nghiên cứu sẽ giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và nâng cao độ chính xác của kết quả. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng phương pháp này có thể áp dụng hiệu quả cho nhiều bài toán kết cấu khác nhau, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ học vật rắn.
II. Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler
Trong chương này, phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng sẽ được thiết lập dựa trên lý thuyết của Kirchhoff. Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng sẽ được áp dụng để xây dựng phương trình. Tấm được coi là phần tử kết cấu có dạng phẳng với bề dày nhỏ so với các kích thước khác. Mô hình nền Winkler sẽ được sử dụng để mô tả ứng xử của nền đàn hồi. Các phương trình cân bằng tĩnh và động sẽ được thiết lập cho phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực và mô men. Kết quả là một hệ phương trình vi phân phức tạp, thể hiện mối quan hệ giữa các thành phần mô men và độ võng của tấm. Việc thiết lập phương trình này là bước quan trọng để giải bài toán dao động của tấm mỏng trên nền đàn hồi.
2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng
Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng bao gồm việc giả định rằng biến dạng uốn của tấm là nhỏ và tuân theo định luật Hooke. Lớp trung hòa của tấm không thay đổi khoảng cách giữa các điểm của nó khi tấm bị uốn. Các phần tử của tấm vẫn nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung hòa. Những giả thiết này là cơ sở để thiết lập phương trình vi phân cho dao động của tấm. Việc bỏ qua các ứng suất vuông góc và ảnh hưởng của biến dạng trượt cũng là những giả thiết quan trọng giúp đơn giản hóa mô hình tính toán. Những giả thiết này sẽ được áp dụng trong quá trình thiết lập phương trình vi phân cho tấm mỏng trên nền đàn hồi.
III. Giải bài toán dao động của tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do
Giải bài toán dao động của tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi là một phần quan trọng trong nghiên cứu này. Bằng cách áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép, tần số dao động riêng của tấm sẽ được xác định. Phương pháp này cho phép tính toán một cách hiệu quả và chính xác, giúp rút ra các kết quả có giá trị thực tiễn trong thiết kế kết cấu. Kết quả thu được từ việc giải bài toán sẽ được so sánh với các phương pháp khác để đánh giá độ chính xác và tính khả thi của phương pháp đã chọn. Việc sử dụng phần mềm Matlab trong quá trình tính toán cũng sẽ được trình bày, cho thấy sự tiện lợi và hiệu quả của công cụ này trong việc giải quyết các bài toán phức tạp trong cơ học vật rắn.
3.1 Kết quả số
Kết quả số từ việc giải bài toán dao động của tấm mỏng sẽ được trình bày chi tiết. Các tần số dao động riêng sẽ được xác định và phân tích dựa trên các tham số khác nhau của tấm như kích thước, độ dày và tính chất vật liệu. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong thiết kế và phân tích kết cấu. Việc so sánh các kết quả thu được với các nghiên cứu trước đây sẽ giúp khẳng định tính chính xác và độ tin cậy của phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép. Những phát hiện này sẽ đóng góp vào việc phát triển các phương pháp phân tích dao động tấm trong tương lai.
