Tổng quan nghiên cứu

Tích phân xác định của hàm một biến thực (TPXĐHMBT) là một kiến thức toán học quan trọng, có nhiều ứng dụng thiết thực trong tính toán diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, diện tích mặt tròn xoay, và các bài toán kỹ thuật khác. Theo khảo sát ban đầu với 14 sinh viên (SV) năm nhất ngành Toán tại hai trường đại học lớn ở TP. Hồ Chí Minh, khoảng 57% SV gặp sai lầm trong việc thiết lập công thức tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, đặc biệt khi một trong các đường không phải là đồ thị của hàm số y theo x. Nghiên cứu nhằm làm rõ các sai lầm này, phân tích nguyên nhân từ quan hệ thể chế dạy học và đề xuất giải pháp khắc phục. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào SV ngành Toán tại Đại học Khoa học Tự nhiên và Đại học Sài Gòn trong giai đoạn 2020-2021, với trọng tâm là vai trò công cụ của TPXĐHMBT trong các bài toán ứng dụng. Ý nghĩa nghiên cứu thể hiện qua việc cung cấp cơ sở lý luận và thực tiễn giúp giảng viên nhận diện và xử lý sai lầm của SV, từ đó nâng cao hiệu quả dạy học tích phân trong chương trình đại học.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên lý thuyết didactic Toán, tập trung vào các khái niệm: tiến trình dạy học khái niệm toán học, sai lầm (SL), chướng ngại (CN), hợp đồng dạy học (HĐDH) và quy tắc hành động (QTHĐ). Theo R. Douady, khái niệm toán học có thể hoạt động dưới cơ chế đối tượng hoặc công cụ (ngầm ẩn hoặc tường minh). Tiến trình dạy học có thể theo mô hình "Đối tượng → Công cụ" hoặc "Công cụ → Đối tượng → Công cụ". HĐDH được hiểu là tập hợp các quy tắc ngầm ẩn điều chỉnh quyền hạn và nghĩa vụ của người dạy và người học trong lớp học, ảnh hưởng đến cách SV vận dụng kiến thức. CN theo quan điểm didactic Toán là kiến thức cũ không còn phù hợp, gây ra SL hệ thống và dai dẳng. QTHĐ là mô hình kiến thức mà SV sử dụng để giải quyết nhiệm vụ, có phạm vi hợp thức nhất định. Ngoài ra, thuyết nhân học và lý thuyết tình huống được áp dụng để phân tích tổ chức toán học và thiết kế tình huống thực nghiệm kiểm chứng SL.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp kết hợp: phân tích lý luận, phân tích chương trình và giáo trình, khảo sát thực nghiệm. Nguồn dữ liệu chính gồm giáo trình "Giải tích – Hàm một biến" (thể chế K) và "Giải tích toán học I phần 2" (thể chế S), cùng kết quả khảo sát và thực nghiệm trên SV ngành Toán tại Đại học Khoa học Tự nhiên và Đại học Sài Gòn. Cỡ mẫu khảo sát ban đầu là 14 SV, thực nghiệm mở rộng với số lượng SV lớn hơn theo kế hoạch. Phương pháp phân tích bao gồm phân tích tiên nghiệm (dự đoán SL từ giáo trình và chương trình), tổ chức thực nghiệm với các bài toán tính diện tích và thể tích, phân tích hậu nghiệm kết quả thực nghiệm để xác định SL và nguyên nhân. Timeline nghiên cứu kéo dài từ năm 2020 đến 2021, bao gồm giai đoạn khảo sát, phân tích lý thuyết, thiết kế và thực hiện thực nghiệm, tổng hợp kết quả và đề xuất giải pháp.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

  1. Sai lầm trong thiết lập công thức tích phân tính diện tích hình phẳng: Khoảng 57% SV khảo sát không thiết lập đúng công thức tích phân khi hình phẳng giới hạn bởi hai đường, trong đó có ít nhất một đường không phải là đồ thị hàm số y theo x. Ví dụ, SV thường xem đường hyperbol là đồ thị hàm y theo x, dẫn đến tính diện tích sai.

  2. Thiếu sử dụng hình vẽ minh họa: Hơn 70% SV không vẽ hình khi giải bài toán tính diện tích, làm giảm khả năng nhận diện đúng miền tích phân và cận tích phân, đặc biệt trong các bài toán tọa độ cực hoặc tham số.

  3. Khó khăn trong xác định cận tích phân trong tọa độ cực: SV gặp khó khăn trong việc xác định đúng đoạn góc giới hạn khi tính diện tích hình quạt cong, dẫn đến sai lệch công thức tích phân. Ví dụ, trong bài toán tính diện tích phần trong của đường cardioid nằm ngoài đường tròn, SV không xác định đúng khoảng góc tích phân do thiếu hình vẽ.

  4. Sai lầm trong tính thể tích vật thể tròn xoay: SV thường bỏ sót phần thể tích hoặc diện tích mặt tròn xoay do không phân tích kỹ thiết diện hoặc không áp dụng đúng công thức tích phân, gây sai lệch kết quả.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính của các sai lầm trên xuất phát từ đặc trưng thể chế dạy học hiện hành. Thể chế K và S đều thiếu các ví dụ minh họa trực quan và chưa xây dựng đầy đủ các kỹ thuật giải quyết nhiệm vụ tính diện tích và thể tích trong các trường hợp tổng quát, đặc biệt với các đường cong không phải là đồ thị hàm số y theo x hoặc trong tọa độ cực. HĐDH ngầm ẩn trong giáo trình khiến SV áp dụng quy tắc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số y theo x một cách máy móc, không linh hoạt khi gặp trường hợp phức tạp hơn. So sánh với nghiên cứu của Soylu YASIN và Tatar ENVER (Thổ Nhĩ Kỳ) cũng cho thấy SV gặp khó khăn tương tự trong việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong. Việc thiếu hình vẽ và kỹ thuật xét dấu trong giáo trình làm tăng nguy cơ SL. Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ tỉ lệ SV đúng/sai trong từng dạng bài, bảng thống kê các loại sai lầm và nguyên nhân tương ứng, giúp minh họa rõ ràng mức độ và tính hệ thống của SL.

Đề xuất và khuyến nghị

  1. Tăng cường sử dụng hình vẽ minh họa trong giảng dạy và bài tập: Giảng viên cần yêu cầu SV vẽ hình minh họa chi tiết khi giải các bài toán tích phân ứng dụng, đặc biệt với các hình phẳng giới hạn bởi đường cong phức tạp hoặc trong tọa độ cực. Mục tiêu tăng tỉ lệ SV sử dụng hình vẽ lên trên 90% trong vòng 1 học kỳ.

  2. Phát triển kỹ thuật xét dấu và phân tích cận tích phân trong giáo trình: Cần bổ sung các kỹ thuật giải quyết nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng với nhiều nghiệm giao điểm, hướng dẫn SV cách xét dấu hiệu hiệu hai hàm số trên từng đoạn. Thời gian triển khai trong 1 năm, do bộ môn Toán xây dựng và cập nhật giáo trình.

  3. Thiết kế tình huống thực nghiệm và bài tập chuyên biệt nhằm phát hiện và sửa chữa sai lầm: Giảng viên tổ chức các bài tập và tình huống học tập tạo xung đột nhận thức, giúp SV nhận ra và điều chỉnh SL liên quan đến vai trò công cụ của TPXĐHMBT. Thực hiện trong các học phần Giải tích 1A và Ứng dụng tích phân.

  4. Đào tạo nâng cao năng lực giảng viên về didactic Toán và sử dụng công cụ hỗ trợ: Tổ chức các khóa tập huấn về lý thuyết didactic, thuyết nhân học và phương pháp phát hiện SL, đồng thời khuyến khích sử dụng phần mềm hỗ trợ vẽ đồ thị và tính toán tích phân. Mục tiêu nâng cao chất lượng giảng dạy trong 2 năm tới.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

  1. Giảng viên ngành Toán tại các trường đại học: Nhận diện và xử lý sai lầm phổ biến của SV trong dạy học tích phân, từ đó cải tiến phương pháp giảng dạy và thiết kế bài tập phù hợp.

  2. Sinh viên ngành Toán và Sư phạm Toán: Hiểu rõ các sai lầm thường gặp khi sử dụng tích phân xác định, nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán ứng dụng tích phân chính xác và hiệu quả.

  3. Nhà nghiên cứu giáo dục toán học: Tham khảo khung lý thuyết didactic Toán, thuyết nhân học và lý thuyết tình huống trong phân tích sai lầm và chướng ngại học tập, áp dụng cho các nghiên cứu tương tự.

  4. Nhà quản lý chương trình đào tạo: Căn cứ vào kết quả nghiên cứu để điều chỉnh nội dung, phương pháp và tài liệu giảng dạy phù hợp với thực tiễn học tập của SV ngành Toán.

Câu hỏi thường gặp

  1. Tại sao sinh viên thường sai khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong không phải hàm y theo x?
    Do giáo trình và giảng dạy chủ yếu tập trung vào trường hợp hai hàm y theo x, SV áp dụng máy móc công thức mà không xét đến tính chất hình học của miền tích phân, dẫn đến sai lệch khi đường cong không phải là đồ thị hàm số y theo x.

  2. Hình vẽ có vai trò như thế nào trong việc giải bài toán tích phân ứng dụng?
    Hình vẽ giúp SV nhận diện miền tích phân, xác định cận tích phân chính xác và hiểu rõ mối quan hệ giữa các đường giới hạn, từ đó tránh sai lầm trong thiết lập công thức tích phân.

  3. Làm thế nào để SV xác định đúng cận tích phân trong tọa độ cực?
    SV cần vẽ đồ thị các hàm r = r(φ), xác định các điểm giao nhau bằng cách giải phương trình r1(φ) = r2(φ), sau đó xác định đoạn góc phù hợp dựa trên hình vẽ để thiết lập tích phân chính xác.

  4. Sai lầm trong tính thể tích vật thể tròn xoay thường do nguyên nhân gì?
    Thường do SV không phân tích đúng thiết diện, bỏ sót phần thể tích hoặc không áp dụng đúng công thức tích phân, đặc biệt khi vật thể có hình dạng phức tạp hoặc nằm về hai phía so với trục quay.

  5. Giải pháp nào hiệu quả nhất để khắc phục sai lầm của SV trong sử dụng TPXĐHMBT?
    Tổ chức các tình huống học tập tạo xung đột nhận thức, kết hợp với việc sử dụng hình vẽ minh họa và kỹ thuật xét dấu, giúp SV nhận ra và sửa chữa sai lầm một cách chủ động và bền vững.

Kết luận

  • Nghiên cứu xác định tồn tại sai lầm hệ thống của SV ngành Toán trong việc sử dụng TPXĐHMBT với vai trò công cụ, đặc biệt trong tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.
  • Sai lầm chủ yếu do đặc trưng thể chế dạy học hiện hành thiếu minh họa trực quan và kỹ thuật giải quyết đa dạng nhiệm vụ.
  • Các sai lầm này có nguồn gốc từ hợp đồng dạy học ngầm ẩn và chướng ngại sư phạm trong giáo trình và phương pháp giảng dạy.
  • Đề xuất giải pháp tập trung vào tăng cường hình vẽ minh họa, phát triển kỹ thuật xét dấu, thiết kế tình huống thực nghiệm và đào tạo giảng viên.
  • Hướng nghiên cứu tiếp theo là mở rộng thực nghiệm với mẫu SV lớn hơn và phát triển công cụ hỗ trợ giảng dạy tích phân ứng dụng.

Hành động tiếp theo: Giảng viên và nhà quản lý đào tạo cần áp dụng các đề xuất để nâng cao chất lượng dạy học tích phân, đồng thời nghiên cứu sâu hơn về ảnh hưởng của thể chế dạy học đến kết quả học tập của SV ngành Toán.