Phần mở đầu Trong phần này, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, giả thuyết nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu và cấu trúc luận văn. Cở sở lý luận Mục tiêu của chương này là trình bày các yếu tố lý luận liên quan đến tiến trình dạy học khái niệm toán học, SL, CN, HĐDH và QTHĐ. Phân tích quan hệ thể chế dạy học K và S đối với vai trò công cụ của tích phân xác định của hàm một biến thực Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi QR1. Quan hệ thể chế dạy học K và S đối với VTCC của TPXĐHMBT có những đặc trưng cơ bản nào? Có những tổ chức toán học nào liên quan đến VTCC của TPXĐHMBT? Những SL và nguyên nhân nào có thể dự đoán từ quan hệ thể chế? Chương 3.
Thực nghiệm Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi QR2. Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào lên quan hệ cá nhân của SV trong việc sử dụng TPXĐHMBT với VTCC? Có những SL nào tồn tại ở SV trong việc giải quyết các 14 KNV liên quan đến VTCC của TPXĐHMBT? Những SL này có nguồn gốc từ đâu? Phần kết luận Chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 2 và 3, đồng thời đề xuất hướng nghiên cứu mở cho luận văn. CƠ SỞ LÝ LUẬN Mục tiêu của chương này là trình bày các yếu tố lý luận liên quan đến tiến trình dạy học khái niệm toán học, CN, SL, HĐDH và QTHĐ. Các yếu tố lý luận này là cơ sở để chúng tôi xác định các HĐDH có thể ngầm ẩn, các CN có thể tồn tại trong hai quan hệ thể chế dạy học K và S trong chương 2, và dự đoán các QTHĐ có thể tồn tại ở SV từ đó dự đoán các SL mà SV có thể gặp phải và nguyên nhân của các SL trình bày ở cuối chương 2.
Tiến trình dạy học khái niệm toán học 1. Cơ chế hoạt động của khái niệm R. Douady (1986) phân biệt ba cơ chế hoạt động khác nhau của một khái niệm toán học: Cơ chế "Đối tượng", cơ chế "Công cụ ngầm ẩn", và cơ chế "Công cụ tường minh". Một khái niệm hoạt động dưới cơ chế Công cụ khi nó được sử dụng một cách ngầm ẩn hay tường minh như phương tiện để giải quyết một bài toán, một vấn đề.
Ta nói đến Công cụ tường minh đối với các khái niệm được vận dụng bởi chủ thể và chủ thể có thể trình bày, giải thích việc dùng chúng. Ta nói đến Công cụ ngầm ẩn đối với các khái niệm được vận dụng ngầm ẩn bởi chủ thể, và chủ thể không thể trình bày hay giải thích việc sử dụng này. Một khái niệm hoạt động dưới cơ chế Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được định nghĩa, được khai thác các tính chất, …). Các tiến trình khác nhau về dạy học khái niệm Việc dạy học các khái niệm Toán học có thể được thực hiện theo những quy trình khác nhau.
Theo Lê Văn Tiến (2005), đa số các khái niệm toán được dạy học theo hai tiến trình cơ bản sau: Tiến trình "Đối tượng → Công cụ". Tiến trình "Công cụ → Đối tượng → Công cụ". a) Tiến trình "Đối tượng → Công cụ" Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện trước hết với cơ chế đối tượng, sau đó mới được sử dụng như là công cụ để giải quyết các vấn đề trong toán học hay 16 lĩnh vực khác. b) Tiến trình "Công cụ → Đối tượng → Công cụ" Tiến trình này xuất phát từ hai quan niệm có nguồn gốc khoa học luận: Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của các đối tượng toán học, hầu hết các khái niệm đều xuất hiện trước hết trong cơ chế công cụ ngầm ẩn sau đó chúng mới có cơ chế đối tượng (được định nghĩa, được nghiên cứu các tính chất….
Khi đã có vị trí chính thức của một khái niệm toán học, nó lại được sử dụng để giải quyết các vấn đề khác (cơ chế công cụ tường minh). Trong toán học, “Bài toán”, “Ý tưởng” và “Công cụ” hình thành nên ba thành phần chủ yếu của hoạt động toán học, trong đó: Bài toán là động cơ của hoạt động, Công cụ là phương tiện giải quyết vấn đề, Ý tưởng là trung gian giữa Bài toán và Công cụ. Trong mối quan hệ này, Bài toán cần giải quyết đóng vai trò mấu chốt và Công cụ chính là mầm mống của đối tượng tri thức mới. Hợp đồng dạy học Theo quan điểm của didactic, cái đích của người dạy và người học trong lớp học là tri thức, nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức là khác nhau.
Điều đó là do vị trí khác nhau của mỗi bên đối với tri thức. Những gì mỗi bên có quyền làm hay không được làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các quy tắc có khi tường minh nhưng thường là ngầm ẩn. Brousseau định nghĩa HĐDH như là "tập hợp các quan hệ xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành những điều khoản mà mỗi bên (người dạy và người học) có trách nhiệm thực hiện những nghĩa vụ bên này đối với bên kia". Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), "HĐDH quy định các quyền hạn và nhiệm vụ của người dạy và người học qua sự phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi bên.
Nó là tập hợp các quy tắc hoạt động, các điều kiện quy định mối quan hệ giữa người dạy và người học trong lớp học". Cũng theo các tác giả, việc tôn trọng HĐDH bởi người học không bao giờ tự nó biến mất. Nó thể hiện qua sự đánh giá trung thực sản phẩm của người học và chỉ có thể được nhận dạng qua thực nghiệm, chứ không thể nhận ra được trong các mối 17 liên hệ sư phạm. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng công cụ lý thuyết HĐDH để xác định quy tắc ngầm ẩn trong việc sử dụng các công thức TPXĐ mà thể chế nêu ra để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể, tính diện tích mặt tròn xoay, … được phân tích ở chương 2, đó là hoán đổi vai trò của x và y trong các công thức tích phân.
Chúng tôi dựa vào sự ngầm ẩn HĐDH này để đưa ra các chiến lược giải có thể quan sát ở SV trong phần phân tích tiên nghiệm ở chương 3. Chướng ngại Theo Lê Văn Tiến, Trần Anh Dũng (2012): Hiện nay, có hai quan niệm khác nhau về khái niệm CN: CN thích nghi và CN theo quan điểm của didactic Toán. Chướng ngại thích nghi Quan niệm CN thích nghi gắn liền với khái niệm thích nghi (đồng hóa và điều ứng) trong tâm lí học phát sinh của J. Theo quan niệm này, CN chính là khó khăn trong việc thích nghi vào một môi trường trong đó khách thể không còn là đối tượng quen thuộc.
Các giải pháp khắc phục CN thích nghi thường được khuyên dùng là bổ sung kiến thức cho người học. Chẳng hạn, rèn luyện cho người học cách vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau, cách nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau,… 1. Chướng ngại theo quan điểm của didactic Toán Didactic toán không dùng khái niệm CN theo nghĩa chướng ngại thích nghi như trên. Cụ thể, một CN phải có những đặc trưng (điều kiện cần) sau đây: CN là một kiến thức, một quan niệm, chứ không phải là một khó khăn hay sự thiếu kiến thức.
Kiến thức này cho phép tạo ra câu trả lời phù hợp trong một số tình huống thường gặp (gọi là trong phạm vi hợp thức). Nhưng khi vượt ra khỏi những tình huống quen thuộc này nó sẽ sinh ra các câu trả lời sai. Để có câu trả lời đúng trong mọi tình huống cần có một quan điểm hoàn toàn khác. Kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và gây khó khăn cho việc 18 thiết lập một kiến thức mới hoàn thiện hơn.
Việc có một kiến thức khác tốt hơn không đủ cho kiến thức cũ này biến mất. Do đó, cần phải xác định kiến thức “sai” này và thực hiện loại bỏ nó trong quá trình xây dựng kiến thức mới. Ngay cả khi chủ thể đã ý thức được về sự không chính xác của kiến thức này, thì nó vẫn tiếp tục xuất hiện một cách dai dẳng, bất chợt. Ta cần nhấn mạnh thêm một số đặc trưng sau đây của CN theo quan điểm của didactic Toán: Đặc trưng 1: CN luôn biểu hiện qua các SL, nhưng các SL này không phải do bất cẩn hay ngẫu nhiên và không xuất hiện rời rạc.
Ở một chủ thể người học, các SL này thường gắn kết nhau từ một nguồn gốc chung (một kiến thức cũ, một quan niệm, một cách nhận biết, …). Duroux (1982) nhấn mạng rằng: "CN là một kiến thức bền vững. Trong những tình huống vượt ra khỏi phạm vi hợp thức của kiến thức này, thì đối với người học, việc loại bỏ kiến thức này còn đắt giá hơn là tìm mọi cách để thích ứng vào tình huống, ngay cả khi điều đó làm cho quy trình giải nặng nề thêm". Đặc trưng 2: Để xác định một CN theo quan điểm của didatic Toán, cần thiết phải xác định các SL và chỉ ra rằng, ở cùng một chủ thể các SL này gắn kết với nhau từ một nguồn chung (một kiến thức cũ).
Ngoài ra, cũng cần thiết xác định những khó khăn mà kiến thức cũ này gây ra và cả những thành công mà nó mang lại. Đặc trưng 3: Một số CN có thể tránh được (chướng ngại sư phạm – là CN sinh ra từ sự chuyển hóa sư phạm, dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ thống dạy học), một số lại không thể tránh được (CN khoa học luận, CN có nguồn gốc từ phát triển của cá thể). Để vượt qua một CN, cần thiết phải tổ chức những tình huống chuyên biệt cho phép làm tiến triển kiến thức của người học, theo nghĩa cho phép người học vừa loại bỏ kiến thức cũ hình thành nên CN, vừa kiến tạo kiến thức mới. Chứ không đơn thuần như trường hợp của CN thích nghi, đó là cung cấp cho người học kiến thức mới, những cách vận dụng mới kiến thức đã học hay luyện tập cho người học “nắm vững” kiến thức,… 19 1.
Sai lầm từ quan điểm của thuyết hành vi Theo Lê Văn Tiến (2006), thuyết hành vi quan niệm rằng SL là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục.