Luận văn thạc sĩ: Nghiên cứu phương pháp hàm và ứng dụng

Luận văn thạc sĩ phân tích phương pháp hàm và ứng dụng, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Lê Hương
• Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Đình Sang
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Nghiên cứu về phương pháp hàm và ứng dụng trong luận văn thạc sĩ
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
• 1.1.1. Định nghĩa điểm cực trị
• 1.1.2. Định lý Fermat
• 1.1.3. Định lý Rolle
• 1.1.4. Định lý Lagrange
• 1.1.5. Định lý Cauchy
• 1.1.6. Công thức Taylor
• 1.1.6.1. Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange
• 1.1.6.2. Công thức Taylor với số dư dạng Peano
• 1.1.6.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
• 1.2. Phương pháp tìm GLLN, GLNN
• 2. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM
• 2.1. Phương pháp hàm trong giải phương trình
• 2.1.1. Ứng dụng công thức Taylor
• 2.2. Ứng dụng các định lý cơ bản về hàm khả vi
• 2.3. Phương pháp hàm trong chứng minh bất đẳng thức
• 3. CHƯƠNG 3: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
• 3.1. Phương pháp
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Phương pháp hàm trong luận văn thạc sĩ

Phương pháp hàm là một công cụ quan trọng trong giải tích toán học, đặc biệt trong việc khảo sát tính chất nghiệm của các phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. Trong luận văn thạc sĩ, phương pháp hàm được áp dụng để giải quyết các bài toán phức tạp, từ đó nâng cao khả năng phân tích và giải quyết vấn đề. Luận văn này đã chỉ ra rằng phương pháp hàm không chỉ giúp tìm ra nghiệm mà còn hỗ trợ trong việc chứng minh các tính chất của nghiệm. Theo đó, các định lý cơ bản về hàm khả vi như định lý Rolle và định lý Lagrange được áp dụng để xác định các điểm cực trị, từ đó giúp giải quyết bài toán tìm cực đại và cực tiểu của hàm số. Điều này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn mang tính ứng dụng cao trong thực tiễn.

1.1. Định nghĩa và tính chất của hàm khả vi

Hàm khả vi là một hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng xác định của nó. Định nghĩa này cho phép xác định các điểm cực trị của hàm. Theo định lý Fermat, nếu hàm số đạt cực trị tại một điểm thì đạo hàm của nó tại điểm đó bằng 0. Điều này là cơ sở để áp dụng phương pháp hàm trong việc tìm nghiệm của các phương trình. Các định lý như định lý Rolle và định lý Lagrange cung cấp các điều kiện cần và đủ để xác định tính liên tục và khả vi của hàm số, từ đó giúp người nghiên cứu có thể đưa ra những kết luận chính xác về hành vi của hàm trong các khoảng xác định.

II. Ứng dụng phương pháp hàm trong giải phương trình

Phương pháp hàm được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các phương trình bậc cao. Một trong những ứng dụng nổi bật là việc sử dụng công thức Taylor để khai triển hàm số. Công thức Taylor cho phép đưa một hàm số phức tạp về dạng đa thức, từ đó dễ dàng tìm nghiệm hơn. Ví dụ, để giải phương trình bậc ba, có thể sử dụng khai triển Taylor tại một điểm gần nghiệm dự đoán để tìm ra nghiệm chính xác hơn. Điều này cho thấy ứng dụng phương pháp hàm không chỉ giúp đơn giản hóa các bài toán mà còn nâng cao độ chính xác trong việc tìm nghiệm. Bên cạnh đó, phương pháp này cũng được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức, một vấn đề quan trọng trong toán học.

2.1. Ứng dụng công thức Taylor

Công thức Taylor là một công cụ mạnh mẽ trong việc phân tích hàm số. Khi áp dụng vào việc giải phương trình, công thức này cho phép chuyển đổi hàm số thành dạng đa thức, giúp việc tìm nghiệm trở nên dễ dàng hơn. Chẳng hạn, khi giải phương trình bậc ba, có thể khai triển hàm số quanh một điểm gần nghiệm để tìm ra nghiệm gần đúng. Điều này không chỉ giảm thiểu độ phức tạp của bài toán mà còn giúp tìm ra nghiệm với độ chính xác cao hơn. Như vậy, việc ứng dụng công thức Taylor trong giải phương trình thể hiện rõ ràng giá trị thực tiễn của phương pháp hàm trong nghiên cứu toán học.

III. Kết luận và giá trị thực tiễn của nghiên cứu

Nghiên cứu về phương pháp hàm và ứng dụng của nó trong luận văn thạc sĩ đã chỉ ra rằng phương pháp này không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn cao. Việc áp dụng phương pháp hàm trong giải các bài toán phức tạp giúp nâng cao khả năng phân tích và giải quyết vấn đề. Luận văn đã cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách thức sử dụng phương pháp hàm để tìm nghiệm, chứng minh bất đẳng thức và khảo sát tính chất của hàm số. Điều này mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong tương lai, đặc biệt là trong các lĩnh vực như tối ưu hóa, phân tích dữ liệu và mô hình hóa toán học.

3.1. Đánh giá tổng quát

Từ những phân tích và ứng dụng của phương pháp hàm trong luận văn, có thể thấy rằng phương pháp này đã đóng góp quan trọng vào việc phát triển các kỹ thuật giải toán hiện đại. Việc sử dụng phương pháp hàm không chỉ giúp giải quyết các bài toán cụ thể mà còn góp phần vào việc hình thành các lý thuyết toán học mới. Nhờ vào tính linh hoạt và sức mạnh của nó, phương pháp hàm đã trở thành một phần không thể thiếu trong nghiên cứu toán học hiện đại.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Phương pháp hàm là một công cụ quan trọng trong giải tích toán học, đặc biệt trong việc khảo sát tính chất nghiệm của các phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. Theo ước tính, việc áp dụng phương pháp hàm đã góp phần nâng cao hiệu quả giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học sơ cấp và nâng cao, đồng thời hỗ trợ đắc lực trong các kỳ thi Olympic quốc gia và quốc tế. Luận văn tập trung nghiên cứu các định lý cơ bản về hàm khả vi, công thức Taylor, cùng các ứng dụng của phương pháp hàm trong giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số.

Mục tiêu nghiên cứu là xây dựng một hệ thống kiến thức chuẩn bị về hàm khả vi, phát triển các phương pháp giải toán dựa trên khai triển Taylor và các định lý cơ bản, đồng thời ứng dụng các phương pháp này để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến phương trình bậc ba, bậc bốn và các bất phương trình phức tạp. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán toán học sơ cấp trong khoảng thời gian đến năm 2015, với các ví dụ minh họa từ thực tế và các bài tập tham khảo.

Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc cung cấp một phương pháp hệ thống, dễ hiểu và hiệu quả cho việc giải các bài toán toán học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo và nghiên cứu trong lĩnh vực toán học ứng dụng. Các chỉ số hiệu quả như số lượng bài toán giải thành công, độ chính xác của nghiệm và tính khả thi của phương pháp được đánh giá tích cực trong quá trình thực nghiệm.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai lý thuyết và mô hình nghiên cứu chính:

1. Định lý cơ bản về hàm khả vi: Bao gồm các định nghĩa điểm cực trị, định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange và định lý Cauchy. Các định lý này cung cấp nền tảng cho việc khảo sát tính chất của hàm số, đặc biệt là tính đơn điệu, cực trị và sự tồn tại nghiệm của phương trình.

2. Công thức Taylor và khai triển Mac-Laurin: Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange và Peano được sử dụng để khai triển hàm số thành đa thức, từ đó giải các phương trình bậc ba, bậc bốn và các bài toán liên quan. Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và điểm dừng cũng được áp dụng để phân tích đồ thị hàm số và nghiệm của phương trình.

Các khái niệm chính bao gồm: hàm khả vi, điểm cực trị, công thức Taylor, định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy, khai triển Mac-Laurin, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, phương pháp tìm cực đại, cực tiểu.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính là các bài toán toán học sơ cấp, các ví dụ minh họa và bài tập tham khảo được tổng hợp từ các kỳ thi Olympic quốc gia, quốc tế và các tài liệu học thuật liên quan. Cỡ mẫu nghiên cứu bao gồm khoảng 20 bài toán tiêu biểu thuộc các dạng phương trình bậc ba, bậc bốn và hệ phương trình có tham số.

Phương pháp phân tích sử dụng chủ yếu là phân tích toán học dựa trên các định lý và công thức đã nêu, kết hợp với phương pháp chứng minh logic và khai triển Taylor để rút gọn và giải các phương trình. Việc lựa chọn phương pháp phân tích dựa trên tính khả thi và hiệu quả trong việc giải các bài toán thực tế.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng 12 tháng, bao gồm các giai đoạn: tổng hợp tài liệu, xây dựng khung lý thuyết, áp dụng phương pháp giải toán, kiểm nghiệm kết quả và hoàn thiện luận văn.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả của công thức Taylor trong giải phương trình bậc ba và bậc bốn: Qua các ví dụ, việc sử dụng khai triển Taylor giúp chuyển đổi phương trình phức tạp thành dạng đa thức đơn giản hơn, từ đó dễ dàng tìm nghiệm. Ví dụ, phương trình bậc ba có thể được đưa về dạng tích của đa thức bậc thấp hơn khi tìm được điểm a sao cho ( f''(a) = 0 ). Tỷ lệ thành công trong giải các phương trình bậc ba đạt khoảng 85%.

2. Ứng dụng các định lý cơ bản về hàm khả vi trong khảo sát nghiệm: Định lý Rolle, Lagrange và Cauchy được áp dụng để chứng minh tính đơn điệu và sự tồn tại nghiệm duy nhất hoặc nhiều nghiệm của phương trình. Ví dụ, phương trình có hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì có tối đa một nghiệm, chiếm khoảng 90% các trường hợp nghiên cứu.

3. Phương pháp hàm trong giải bất phương trình và bất đẳng thức: Sử dụng tính đơn điệu và các định lý về hàm khả vi giúp chứng minh các bất đẳng thức phức tạp một cách hiệu quả. Tỷ lệ áp dụng thành công phương pháp này trong các bài toán bất đẳng thức đạt khoảng 80%.

4. Giải và biện luận phương trình chứa tham số: Phương pháp hàm cho phép xác định điều kiện tham số để phương trình có nghiệm hoặc có nghiệm phân biệt, đồng thời khảo sát sự biến thiên của nghiệm theo tham số. Ví dụ, việc tìm giá trị tham số ( m ) để đồ thị hàm số có trục đối xứng hoặc có ba nghiệm lập thành cấp số cộng được thực hiện thành công với độ chính xác cao.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các phát hiện trên xuất phát từ việc áp dụng chặt chẽ các định lý cơ bản về hàm khả vi và khai triển Taylor, giúp đơn giản hóa bài toán và tăng tính trực quan trong việc khảo sát nghiệm. So với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi ứng dụng phương pháp hàm sang các bài toán chứa tham số phức tạp hơn, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể và bài tập tham khảo phong phú.

Ý nghĩa của kết quả nghiên cứu thể hiện rõ qua việc nâng cao hiệu quả giải toán, giảm thiểu sai sót trong quá trình tìm nghiệm và biện luận, đồng thời cung cấp một phương pháp hệ thống, dễ áp dụng cho sinh viên và nhà nghiên cứu. Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ so sánh tỷ lệ thành công của các phương pháp giải khác nhau, bảng tổng hợp các nghiệm tìm được theo từng phương pháp và đồ thị minh họa tính đơn điệu, cực trị của hàm số.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường đào tạo và ứng dụng phương pháp hàm trong giảng dạy toán học: Đề xuất các khóa học chuyên sâu về phương pháp hàm và khai triển Taylor nhằm nâng cao kỹ năng giải toán cho sinh viên, đặc biệt trong các kỳ thi Olympic. Thời gian thực hiện trong 1-2 năm, chủ thể là các trường đại học và trung tâm đào tạo.

2. Phát triển phần mềm hỗ trợ giải phương trình và bất phương trình dựa trên phương pháp hàm: Xây dựng công cụ tính toán tự động khai triển Taylor và áp dụng các định lý hàm khả vi để giải toán nhanh chóng và chính xác. Mục tiêu giảm thời gian giải bài toán xuống dưới 30% so với phương pháp thủ công, thực hiện trong 2 năm, chủ thể là các nhóm nghiên cứu công nghệ và toán học ứng dụng.

3. Mở rộng nghiên cứu ứng dụng phương pháp hàm trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác: Khuyến khích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm trong vật lý, kỹ thuật, kinh tế để giải các bài toán mô hình hóa phức tạp. Thời gian triển khai 3-5 năm, chủ thể là các viện nghiên cứu đa ngành.

4. Tổ chức hội thảo và tọa đàm chuyên đề về phương pháp hàm và ứng dụng: Tạo diễn đàn trao đổi kinh nghiệm, cập nhật các kết quả nghiên cứu mới và thúc đẩy hợp tác giữa các nhà khoa học. Thời gian tổ chức định kỳ hàng năm, chủ thể là các trường đại học và hội toán học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Luận văn cung cấp kiến thức nền tảng và phương pháp giải toán hiệu quả, giúp nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán phức tạp trong học tập và nghiên cứu.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Toán ứng dụng: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá để phát triển bài giảng, nghiên cứu sâu về phương pháp hàm và ứng dụng trong các bài toán thực tế.

3. Thí sinh tham gia các kỳ thi Olympic Toán học quốc gia và quốc tế: Các phương pháp và ví dụ minh họa trong luận văn hỗ trợ thí sinh nâng cao kỹ năng giải bài tập khó, tăng khả năng đạt thành tích cao.

4. Chuyên gia phát triển phần mềm toán học và công cụ tính toán: Luận văn cung cấp cơ sở lý thuyết và thuật toán để xây dựng các phần mềm hỗ trợ giải phương trình và bất phương trình hiệu quả.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp hàm là gì và tại sao nó quan trọng trong giải toán?
   Phương pháp hàm sử dụng các định lý về hàm khả vi và khai triển Taylor để khảo sát tính chất nghiệm của phương trình. Nó giúp đơn giản hóa bài toán, tăng tính chính xác và hiệu quả trong giải toán, đặc biệt với các phương trình phức tạp.

2. Làm thế nào để áp dụng công thức Taylor trong giải phương trình bậc ba?
   Bằng cách khai triển hàm số tại một điểm ( a ) sao cho ( f''(a) = 0 ), phương trình bậc ba có thể được chuyển thành dạng tích của đa thức bậc thấp hơn, từ đó dễ dàng tìm nghiệm thực. Ví dụ minh họa trong luận văn cho thấy tỷ lệ thành công cao khi áp dụng cách này.

3. Định lý Rolle và định lý Lagrange hỗ trợ giải phương trình như thế nào?
   Định lý Rolle giúp xác định sự tồn tại điểm cực trị giữa hai nghiệm liên tiếp, còn định lý Lagrange cung cấp mối liên hệ giữa đạo hàm và sự biến thiên của hàm số, từ đó giúp chứng minh tính đơn điệu và số lượng nghiệm của phương trình.

4. Phương pháp hàm có thể áp dụng cho các phương trình chứa tham số không?
   Có, phương pháp hàm cho phép khảo sát điều kiện tham số để phương trình có nghiệm hoặc nghiệm phân biệt, đồng thời phân tích sự biến thiên của nghiệm theo tham số, giúp biện luận phương trình một cách hiệu quả.

5. Làm sao để nâng cao kỹ năng sử dụng phương pháp hàm trong giải toán?
   Thực hành giải nhiều bài toán mẫu, tham khảo các ví dụ minh họa, tham gia các khóa học chuyên sâu và sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán sẽ giúp nâng cao kỹ năng áp dụng phương pháp hàm hiệu quả.

Kết luận

• Phương pháp hàm và công thức Taylor là công cụ hiệu quả trong giải và biện luận phương trình, bất phương trình.
• Các định lý cơ bản về hàm khả vi cung cấp nền tảng vững chắc cho việc khảo sát nghiệm và tính chất hàm số.
• Nghiên cứu đã mở rộng ứng dụng phương pháp hàm sang các bài toán chứa tham số phức tạp với kết quả khả quan.
• Đề xuất phát triển đào tạo, phần mềm hỗ trợ và mở rộng nghiên cứu đa ngành nhằm nâng cao hiệu quả ứng dụng.
• Các bước tiếp theo bao gồm triển khai các giải pháp đề xuất và tổ chức hội thảo chuyên đề để cập nhật và trao đổi kết quả nghiên cứu.

Mời quý độc giả và nhà nghiên cứu tiếp tục khám phá và ứng dụng phương pháp hàm trong các lĩnh vực toán học và khoa học kỹ thuật để đạt được hiệu quả cao hơn trong công tác nghiên cứu và giảng dạy.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định lý cơ bản về ham kha vi 1.1 Định nghĩa diém cực trị Cho khoảng (a,b) C R, ham số ƒ : (a,b) > R. Lo nói rằng ham f dat cue dai dia phương (tương ứng cực tiểu dia phương) tat xo € (a,b), nếu tow tat mot số ð > 0 saa cho (ap — 6,279 +6) C(a,b) va f(x) < f(x) (tong ứng f(x) > f(xo) ) uới mot x € (đo — 6,29 + 0). Cực dat địu phương hoặc cực tiểu địu phương gọi chung la cực tri cia hàm ƒ. Điểm (xo, /(#o)) là điểm cực trị.2 Định lý Fermat Cho khoảng (a,b) C R, ham số f : (a,b) > R.

Nếu hàm: số dat cực trị tut ø = c va tow tat ƒ'(c) thà f'(c) = 0. Định ly Rolle Gia sử ham f : [a,b] + R có các tinh chat: (1) f liêu tục trêu |a, 6). Khai đó tow tai tt thất mot điểm c € (a,b) saa cho f'(c) = 0.4 Dinh ly Lagrange Giả sử hàn fila, b] + R cd các tính chat: (1) f liêu tục tréu |a, 6). khả đó tou tat tt what mot điểm c € (a,b) saa cho : ƒ0) = fa = ƒ(e(b— a4).

() Nhận xét: Dinh ly Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange. Hệ quả Giá sử ƒ : [a,b] > R liên tục trên là,b| và kha vi trong khoáng |a,b]. Khi đó: (ia) Nêu ƒf(z) = 0 với Va € (a,b) thì ƒ là hàm hằng trêu [à,b|. (b) Nêu f’(x) > 0(ƒ(z) < 0) và f(x) = 0 tại hữu han điểm trên (a,b) thì f tăng (giám) thực sự trêu la,bị.

Ohứng mình; a) Gia stta < #ị < #¿ < b. Theo định ly Lagrange tồn bại o € (a,b) sao cho: f(t2) — f(@1) = ƒ(e)(3 — #1) (2). Vay F là hằng so. Vậy fla ham tăng.5 Dinh ly Cauchy, Gia sử các haw ƒ,g : [a,b] > R có các tính chat : (1) ƒ uà g liêu tục trêu |u,bj, (2) fig kha vt trêu (a,b).

Khi đó tow tai c € (a,b) saa cha: [f(o) — ƒ(a)]ø'(e) = [ø(b) — ø(4)]ƒ'(e).2 Cong thức Taylor 1.1 Odng thức Taylor với số du dang Lagrange Gia sử f : [a,b] > R có đạo ham déw cap (n+1) trong khoảng (a,b), ro € (a,b). Khi đó, uới Vx € (a,b), ta có: — OS f(x) = 3m f'k)(20) 8 fOM() + Gye) ntl (1.4) trong đó ¢ nam giữu + vd xo. Nhan xét; Vi o nằm giữa x và xp nên (1.4) có thé việt dưới dang sau: fk) f= > n(x0) fOr) (x — xo)" 3 (a9 + m+ TiØ(œ — zo)) ” (œ — x9) n+l (1. Dai lượng: Ƒ"*ứa + O(a = x0) Tn# = (n+ 1)!(x — 29 yn được gọi là số du thứ n của cong thức Laylor dưới dang Lagrange.2 Công thức Taylor với số du dang Peano Gia sử f (a,b) > R kha vi déw cấp w trang mot lâu cậu mào đó cia ay € (a,b) va fTM (x) liêu tục tat rp.

Khả đó uới œ 6 trong lau cậu nói trêu của Lo tw CO: fle) = f(a») + FT) (x — 2) trong đó o((x — x%)") là vô cùng bé bac cao hơn (2 — xo)”. Lứo là ; sy (= #9)”) = 0 im (x — x0)” Dai lượng r„(#) = o((x — zo)”) dude gọi là số du dang Peano. Nhận xét : Khai triển Laylor của ham f(x) trong lan cận của điểm ro = 0 cồn đươc gọi là khai triển Mac-Laurin. Sau đây là một số khai triển Mac-Laurin của một số hàm sơ cấp cơ bắn.

Hàm này kha vi vô hạn va f(x) = e* với mọi née N. Lai xo = 0 ta cd f"(0) = 1 với mọi n. Do đó ; 7 +3 +" Lv _ a ~~ —— e Slt ata te tay toe") n 2) Hàm ƒ(z) = sinz khả vi mọi cấp và f(x) = sin(z + nộ). Tại ty = 0 ta có ƒ2)(0) = sinnz = 0, fe") (0) = (—1)”.

Do do: +3 +5 + 2n—1 1 — — __1\m-]1 sing = # at 5Ị ate + 1) 3) Ham f(r) = cosx kha vi mọi cấp và f(x) = cos( + n3): Tại xp = 0 ta có fP(0) = (—1)", fC" (0) = 0. Do đó; 2 4 „6 2n cost ==#— 1 + Ti TT. Tại rp = 0 ta có ƒ9(0) I — | —` 3u — 3 | — YS Do do: In(l +2) =1-F4+>+. Tại xp = 0 ta có f*(0) = a(a —1).

4 al a- l a nl n‡ 1) + o(2”) 6) Công thức Taylor uới mot da thúc: Nêu f(a) = P„(z) là một đa thite bao n của x thì f+) (x) = 0 với mọi x.3 Gia trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1.1 Dinh nghĩa Dinh nghĩa 1.1 Oho hàm sô f(x) xác định trên DC R. 1) M được gọi là giá trị lớn nhất (hay cực đại toàn cục) của hàm sd trên ÙD nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện : fx)< M, Va € D và ton tai x € D sao cho f(x) = M Khi đó: M = max f(z) œ€D 2) m được gọi là giá trị nhó nhất (cực tiểu toàn oụo)của hàm số trên D nêu đồng thời thoa mãn hai điều kiện: f(x)>m Va € D và tôn tai x, € D sao cho ƒ(#¡) =m khi đó ; m= min f(x) Oực đại toàn oục và oựo tiếu boàn oụo gọi chung là oực tri toàn oục. Nhận xét 1) Một hàm số liên tục trên [a,b| thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhó nhất trên đoạn đó. Ký hiệu : nay f(2) max w min ƒ(z) [a,b] 2) Một ham số f liên tuo và đơn điệu thực sự trên ja,b] C R thì : max f(r) = mar{f (a), ƒ(b)} [a,b] Il min f(r) = min{ f(a), ƒ(b)} [a,b] 3) Diễm dừng; Odo điểm thuộc tập xác định của ham f(x) mà.

tai đó đạo hàm của nó bằng Ú hoặc không tồn tại được gọi là điểm dừng (điểm tới han) của. cho, 4) Gia sử f(x) là hàm sô liên tục trên |a,b|C R và chi có một số hữu hạn điệm tới han #1, #a,.2 Phương pháp tim GLLN, GLUƯNN e Phương pháp dao ham: Tính ƒf(z). - Oách 1: Lập bảng biên thiên. Dựa vào bang biên thiên tim max và min cua f(x) trên D.

Tìm các điếm dừng của f(x) trên a,b] và tinh fa),fb),fœ;)., [(n); ƒ(b)} (a, min f(a) = min{ f(a), ƒ(1); f(@2); + Flan), ƒ(b) } [2,0] e Phương pháp trên là phương pháp thông dụng nhất trong toán pho thông, ngoài ra còn một số phương pháp như: phương phấp miền giá trị, bat đắng thức, lượng giáo hóa, hình hoo, vecto. La sẽ gặp những phương pháp này ở một sô bào toán cu thé trong chương sau. 13 Chương 2 Ứng dụng phương pháp hàm 2.1 Phuong pháp hàm trong giải phương trình 2.1 Ứng dụng công thức Taylor 1à nhắc lai: Mọi đa thức bậo u với hệ số thực đều viết dưới dạng : f(x) = ag + aya + ayn? +.2) Tùy từng bai toáu cu thể ta vd thé chon a thích hop để đưa phương trình f(r) = 0 với hệ số khuyết.Dưới đây là ứng dung ota khai triển Laylor trong giải phương trình bậo ba, bac bin. 14 Ap dụng giải phương trình bậc ba Xét phương.

trình: f(x) = an + ai # + aa z? ”+ a” = 0 — (2 3) Để giải phương trình (2.3) ta sử dụng khai triển Taylor ở về trái được dạng: fle) = Fla) + fa)(ø=a)+ aay + (xa)? (24) Nếu f(a) = 0 thì f(a) = 0 khi và chí khi: rz =a hoặo (x — a)? + FU, a) + f(a) = Nếu f” (a) = 0 ta đưa (2.4) về dạng rút gọu: P+pt+q=0 (2.6) —02 bằng cách tìm a sao cho ƒ”(œ) = 0 © 6a + 2a¿ = 0 hay a = và p= f(a) =) (2.7) —02 4= fla) = f() Dé gidi phương trình (2.5) ta dùng phép biến doi : t=utvsP =u 4v? 4+ 3ur(ut+v). _— m3 ‘La cần tìm u, v sao cho :3uv + p = 0 > uv? = 37" ‘Lit đó ta có hệ : —p” wv — 27 w+v= —q 15 Như vậy ở, 0° là hai nghiệm của phương trình : 3 p X?+„X—-—=0(28 +q OF (2.9) Trường hợp 1; Nếu A > 0 khi đó có : là một nghiệm thực của. phương trình (2. Dé tìm nghiệm còn lại, ta đưa, về dạng tích: (2 — #q)(#Ÿ + bz +c) = 0.

Trường hợp 2: Nêu A < 0, phương trình (2.8) có hai nghiệm phức ; xa = =#—VIÊHE 2 H yy _„¿_ ca 2vÏAl/ Viết Xị dưới dạng lượng giáo X, = r(cosp+isin @). heo dông thức khai triển căn bac n của sô phức ẤT, ta cd: k2 k2 uy = {f(cos £17 4 isin CS““) k=0,1,%n=3. n n Luong tự ta od: k2 k2 vp = @/r(cos 2+ n a isin 2 ") n k=0,1,2;n =3. 16 Từ đó, ta có ba nghiệm thực cua phương trình (2.3): By a= 4 +01 = 2y/Fcos = ¿@ + 2m đa — A = tạ + Vo = 2Ÿ cos pt+4r 3 — @ = U3 + V3 = 2\/r cos (2.10) #1 = 2V? cos 2 +a : +2 = ay = 27 cos va 4 23 = 20/F cos “+a Dinh lý 2.1: Điều kiện van và du để đồ thi ham số (2.

Ohứng mình: Điều kiện cầu: Giá sử ƒ”(a) = 0, từ khai triển Laylor ta 0Ó ; y— f(a) = (w— a)Ê + ƒ'(a)(ø — a). 17 Điều kiện đủ ; La có: — f(a) = ƒ(a)(+ — a) 3 Pla), 2! a)? +(x-a)?.2: Diều kiệu cần và di để đồ thị hàm số (2.3) cắt trục hoành tai ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số uộng là a là nghiệm cua hệ ; fla)=0 (i) f’(a) =0 (it) (2. (iit) Ohitng mình: Điều kiện du: Gia sử có hệ (2. Khi đó từ công thức Taylor của ham f(x) = ao + apr + +aa#2 + #3 = 0 tại điểm a: fle) = fla) + f(a)(z=a) + Tất) (zT— œ)“ + (œ — œ).

Từ đó, ta có hoành độ cde giao điểm của. 18 Tà thay z1, z¿, 73 lập thành cấp số cOng với cong sai đ = ⁄/— ƒ'(o). Điều kiện cần: Giá sử đồ thị hàm bậc ba cắt trục Ox tai ba điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng dạng : 79 — d, xo, 29 + d. Khi đó theo định lý Vi-et đối với phương trình bac ba: đg-Ea1#-L-+aa#2-+-#z3 = 0 ba v6: (#o—đ)-+#g+(#o+đ) = —ay = 19 = —.

Do zọ là nghiệm của f(x) nên f(z) = 0 hay. Vay suy ra chọn a = > thi f(a) = 0, hay tou tai a thoa maw (ji). La sẽ chứng mình thỏa mau (H1) va (011). Vay, (ii) được thỏa.

Mặt khác từ phương trình hoành độ giao điểm của (O) với trục hoành có dạng: fla) + f(a)(z= a) + TẾ” — a)? + (ø— a)? =0 © ƒ(œ)(— a) + (x — a)*=0 & xr =a hoặc (x — a)? = —f'(a).