chương I sách giải tích 12. Theo Trần Văn Hạo, 2007, [2], khái niệm đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được trình bày theo trình tự: Ðịnh nghĩa 1: Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) f x f x0 lim x x0 x x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f ( x) tại điểm xo và ký hiệu là f ' xo (hoặc y ' x0 ), tức là f x f x0 f ' x0 lim x x0 x x0 12 Chú ý: Đại lượng x x x0 được gọi là số gia của đối số tại x0. Đại lượng y f x f x0 f x0 x f x0 được gọi là số gia tương ứng của hàm số y .Như vậy y ' x0 lim.
x 0 x Định lý 1: Nếu hàm số y f ( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. Chú ý: Nếu hàm số y f ( x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Định lý 2: Cho hàm số y f ( x) xác định trên a; b và có đạo hàm tại x0 a; b .Gọi C là đồ thị của hàm số đã cho.
Đạo hàm của hàm số y f ( x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T của C tại điểm M 0 x0 ; f x0 . Định lý 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số y f ( x) tại điểm M 0 x0 ; f x0 là : y y0 f ' x0 x x0 trong đó y0 f x0 . Ðịnh nghĩa 2: Hàm số y f ( x) được gọi là có đạo hàm trên a; b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó,ta gọi hàm số f ' : a; b x f ' x là đạo hàm của hàm số y f ( x) trên a; b ,ký hiệu là y ' hay f ' x .
Ðịnh nghĩa 3: Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng a; b và f x f x0 x0 a; b . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải lim ta x x0 x x0 gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y f ( x) tại x x0 và ký hiệu là f ' x0 . Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) f x f x0 lim được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y f ( x) tại x x0 x x0 x x0 và ký hiệu là f ' x0 . Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên.
13 Định lý 4: Hàm số y f ( x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f ' x0 và f ' x0 tồn tại và bằng nhau. Ðịnh nghĩa 4: Hàm số y f ( x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn a; b nếu thỏa mãn các điều kiện sau: Có đạo hàm tại mọi x a; b ; Có đạo hàm bên phải tại x a ; Có đạo hàm bên trái tại x b. Định lý 5: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K a) Nếu f ' x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x đồng biến trên K. b) Nếu f ' x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x nghịch biến trên K.
c) Nếu f ' x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x không đổi trên K. Ta có định lý mở rộng: giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K. Nếu f ' x 0 f ' x 0 , x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến( nghịch biến) trên K. Định lý La-Grăng: Nếu hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm trên khoảng a; b thì tồn tại một điểm c a; b sao cho f b f a f b f a f ' c b a hay f ' c .
ba Định lý 6: giả sử hàm số y f ( x) liên tục trên khoảng K x0 h; x0 h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 , h 0. a) Nếu hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng a; b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f ' x0 0 b) f ' x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y f ( x) c) f ' x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y f ( x) 14 Định lý 7: giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng x0 h; x0 h , h 0 .Khi đó: a) Nếu f ' x 0, f '' x 0 thì x0 là điểm cực tiểu; b) Nếu f ' x 0, f '' x 0 thì x0 là điểm cực đại. Định lý 8: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng a; b . Nếu f '' 0 với mọi x a; b thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
Nếu f '' 0 với mọi x a; b thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó. Định lý 9: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng a; b và x0 a; b .Nếu f '' x đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M 0 x0 ;f x0 là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Theo Ðoàn Quỳnh, 2007, [3] , khái niệm đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được trình bày theo trình tự: Ðịnh nghĩa 1: Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng a; b và điểm f x f x0 x0 thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số khi x x x0 dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , ký hiệu f x f x0 f ' xo hoặc y ' x0 , nghĩa là f ' x0 lim.
x x0 x x0 Nếu x x x0 và y f x0 x f x0 thì ta có f x0 x f x0 y f ' x0 lim lim x 0 x x 0 x Chú ý: 1) Số x x x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0 , y f x0 x f x0 được gọi là số gia của hàm số tương ứng với số gia x tại điểm x0. 2) Số gia x không nhất thiết chỉ mang dấu dương. 3) x và y là những ký hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: x là tích của với x , y là tích của với y. 15 Ðịnh nghĩa 2: Cho hàm số f xác định trên tập J ,trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó.
1) Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ' x tại mọi điểm x thuộc J. 2) Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f ' xác định bởi f ' : J x f ' x gọi là đạo hàm của hàm số f .Đạo hàm của hàm số y f ( x) cũng được ký hiệu bởi y '. Ðịnh nghĩa 3: Cho hàm số f xác định trên nữa khoảng x0 ; b .Giới hạn f x f x0 bên phải (nếu có) của tỉ số khi x dần đến x0 được gọi là đạo x x0 hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 ,ký hiệu là f ' x0 hoặc y ' x0 . x x0 x x0 Đạo hàm bên trái của hàm số f xác định trên nửa khoảng a; x0 , ký hiệu là f ' x0 hoặc y ' x0 ,cũng được định nghĩa tương tự, nghĩa là f x f x0 f ' x0 lim.
x x0 x x0 Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên. Ðịnh nghĩa 4: Cho hàm số f xác định trên tập K , trong đó, K là một nữa khoảng hay một đoạn.