Tổng quan nghiên cứu

Khái niệm hàm số là một trong những nội dung trọng tâm và phức tạp trong chương trình toán học phổ thông, đóng vai trò nền tảng cho nhiều lĩnh vực toán học và khoa học ứng dụng. Qua khảo sát lịch sử phát triển, hàm số đã trải qua nhiều giai đoạn từ ngầm ẩn trong các bảng số và hình học cổ đại đến định nghĩa hiện đại dựa trên lý thuyết tập hợp. Ở Việt Nam, việc dạy học hàm số trong chương trình phổ thông hiện nay chủ yếu tập trung vào các đặc trưng tương ứng và phụ thuộc, trong khi đặc trưng biến thiên mới được đề cập rõ ràng từ cấp THPT trở lên. Nghiên cứu này nhằm làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số qua các thời kỳ lịch sử, phân tích cách thức triển khai khái niệm này trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông, đồng thời khảo sát nhận thức và khó khăn của học sinh khi tiếp cận hàm số dưới các hình thức biểu diễn khác nhau như bảng số, công thức và đồ thị.

Phạm vi nghiên cứu tập trung tại trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Chợ Mới, An Giang, với đối tượng là học sinh lớp 10 thuộc ban Khoa học tự nhiên. Thời gian nghiên cứu diễn ra trong học kỳ II, nhằm đảm bảo học sinh đã có kiến thức cơ bản về hàm số. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc cải tiến phương pháp dạy học toán, giúp học sinh lĩnh hội khái niệm hàm số một cách khoa học, chính xác và hiệu quả, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học phổ thông.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên các lý thuyết và mô hình sau:

  • Lý thuyết lịch sử phát triển khái niệm hàm số: Phân tích các đặc trưng khoa học luận của hàm số qua các thời kỳ từ cổ đại đến hiện đại, bao gồm đặc trưng tương ứng, phụ thuộc và biến thiên.
  • Lý thuyết dạy học toán và nhận thức học sinh: Tập trung vào cách thức tổ chức dạy học khái niệm hàm số, ảnh hưởng của các phương tiện biểu diễn hàm số đến nhận thức và khó khăn của học sinh.
  • Khái niệm hàm số trong lý thuyết tập hợp: Hàm số được định nghĩa là quy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp sao cho mỗi phần tử của tập nguồn ứng với duy nhất một phần tử của tập đích.
  • Các đặc trưng khoa học luận của hàm số: Bao gồm đặc trưng tương ứng (mỗi giá trị biến số ứng với duy nhất một giá trị hàm số), đặc trưng phụ thuộc (giá trị hàm số phụ thuộc vào biến số), và đặc trưng biến thiên (giá trị hàm số thay đổi theo biến số).

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tổng hợp, phân tích tài liệu lịch sử, chương trình và sách giáo khoa toán phổ thông từ lớp 1 đến lớp 12, tập trung vào các nội dung liên quan đến khái niệm hàm số.
  • Phương pháp điều tra thực nghiệm: Thực hiện khảo sát nhận thức học sinh lớp 10 tại trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh thông qua các bài kiểm tra, bài tập và câu hỏi mở về hàm số dưới các dạng biểu diễn khác nhau (bảng số, công thức, đồ thị).
  • Phương pháp thống kê toán học: Thu thập, xử lý và phân tích dữ liệu thực nghiệm để đánh giá mức độ hiểu biết, nhận thức và khó khăn của học sinh về hàm số.
  • Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu được tiến hành trên 118 học sinh thuộc 3 lớp 10T1, 10T2, 10T3, được chọn theo phương pháp chọn mẫu thuận tiện tại trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, đảm bảo tính đại diện cho nhóm học sinh khá giỏi trong ban Khoa học tự nhiên.
  • Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu diễn ra trong học kỳ II của năm học, sau khi học sinh đã hoàn thành phần kiến thức cơ bản về hàm số trong chương trình.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

  1. Tiến trình phát triển khái niệm hàm số trong lịch sử và sách giáo khoa

    • Qua phân tích lịch sử, hàm số trải qua ba giai đoạn: ngầm ẩn, bán tường minh và tường minh. Trong khi đó, sách giáo khoa phổ thông chỉ triển khai hai giai đoạn: ngầm ẩn và tường minh.
    • Đặc trưng tương ứng và phụ thuộc được nhấn mạnh từ lớp 7, còn đặc trưng biến thiên chỉ được đề cập rõ ràng từ lớp 9 trở lên.
    • Tỷ lệ bài tập củng cố đặc trưng tương ứng chiếm khoảng 32% ở lớp 7, tăng lên 64,58% ở lớp 9, trong khi bài tập về đặc trưng biến thiên chỉ chiếm khoảng 20,83% ở lớp 9 và tăng dần ở các lớp cao hơn.

  2. Ảnh hưởng của phương tiện biểu diễn hàm số đến nhận thức học sinh

    • Học sinh có xu hướng liên kết hàm số chủ yếu với biểu thức giải tích (khoảng 68% hàm số trong SGK lớp 7 được cho bằng công thức).
    • Học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận hàm số dưới dạng bảng số hoặc đồ thị, do thiếu bài tập và ví dụ minh họa đa dạng về các cách cho hàm số.
    • Thực nghiệm tại trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh cho thấy hơn 70% học sinh trả lời rằng hàm số là biểu thức công thức, trong khi chỉ khoảng 20% nhận biết được hàm số có thể cho bằng bảng hoặc đồ thị.

  3. Nhận thức và khó khăn của học sinh về khái niệm hàm số

    • Học sinh thường nhầm lẫn giữa hàm số và biểu thức đại số, dẫn đến khó khăn trong việc nhận dạng hàm số khi cho dưới dạng bảng hoặc đồ thị.
    • Một số học sinh không phân biệt được tính chất tương ứng (mỗi giá trị biến số ứng với duy nhất một giá trị hàm số), dẫn đến sai sót trong việc xác định hàm số từ bảng số hoặc đồ thị.
    • Học sinh còn hạn chế trong việc vận dụng đặc trưng biến thiên để khảo sát hàm số, đặc biệt khi hàm số không được cho bằng công thức.

  4. So sánh với các nghiên cứu khác

    • Kết quả nghiên cứu phù hợp với báo cáo của ngành giáo dục về việc học sinh phổ thông thường gắn hàm số với biểu thức công thức, thiếu kỹ năng nhận dạng và vận dụng hàm số dưới các dạng biểu diễn khác.
    • Nghiên cứu cũng khẳng định tầm quan trọng của việc đa dạng hóa phương tiện biểu diễn hàm số trong dạy học để nâng cao nhận thức và kỹ năng của học sinh.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy việc chương trình và sách giáo khoa phổ thông hiện hành tập trung chủ yếu vào hàm số cho bằng công thức đã ảnh hưởng lớn đến nhận thức của học sinh, khiến các em có xu hướng hiểu hàm số một cách hẹp và thiếu linh hoạt. Việc thiếu các bài tập và ví dụ về hàm số cho bằng bảng hoặc đồ thị làm giảm khả năng nhận biết và vận dụng hàm số trong các tình huống thực tế đa dạng. Điều này cũng dẫn đến khó khăn trong việc phát triển tư duy toán học toàn diện, đặc biệt là tư duy biến thiên và tương quan giữa các đại lượng.

Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ cột thể hiện tỷ lệ các dạng bài tập củng cố đặc trưng hàm số theo từng lớp, hoặc bảng so sánh nhận thức học sinh về các phương tiện biểu diễn hàm số. Ngoài ra, biểu đồ tròn thể hiện tỷ lệ học sinh hiểu hàm số dưới dạng công thức, bảng số và đồ thị cũng sẽ minh họa rõ nét xu hướng nhận thức hiện tại.

So với các nghiên cứu trước đây, kết quả này nhấn mạnh sự cần thiết phải đổi mới phương pháp dạy học, đa dạng hóa cách cho hàm số và tăng cường các bài tập nhận dạng, thể hiện hàm số dưới nhiều dạng khác nhau để học sinh phát triển tư duy linh hoạt và toàn diện hơn.

Đề xuất và khuyến nghị

  1. Đa dạng hóa phương tiện biểu diễn hàm số trong dạy học

    • Tích hợp các bài tập và ví dụ về hàm số cho bằng bảng số, đồ thị, biểu đồ Ven bên cạnh công thức giải tích.
    • Mục tiêu: Tăng tỷ lệ học sinh nhận biết và vận dụng hàm số dưới nhiều dạng lên ít nhất 50% trong vòng 1 năm học.
    • Chủ thể thực hiện: Giáo viên toán các cấp, nhà xuất bản giáo dục.

  2. Tăng cường bài tập nhận dạng và thể hiện khái niệm hàm số

    • Thiết kế các bài tập kiểm tra khả năng nhận biết hàm số từ các dạng biểu diễn khác nhau, đặc biệt là bảng số và đồ thị.
    • Mục tiêu: Giảm thiểu sai sót trong nhận dạng hàm số xuống dưới 20% trong các bài kiểm tra định kỳ.
    • Chủ thể thực hiện: Giáo viên, bộ phận chuyên môn trường học.

  3. Đào tạo nâng cao năng lực giáo viên về dạy học hàm số đa dạng

    • Tổ chức các khóa tập huấn, hội thảo về phương pháp dạy học hàm số theo quan điểm đa phương tiện biểu diễn.
    • Mục tiêu: 100% giáo viên toán THCS và THPT được đào tạo trong vòng 2 năm.
    • Chủ thể thực hiện: Sở giáo dục và đào tạo, các trung tâm bồi dưỡng giáo viên.

  4. Cập nhật và hoàn thiện chương trình, sách giáo khoa

    • Đề xuất bổ sung nội dung về các cách cho hàm số đa dạng, đặc biệt là giai đoạn bán tường minh trong lịch sử phát triển khái niệm hàm số.
    • Mục tiêu: Chương trình và SGK mới phản ánh đầy đủ các đặc trưng khoa học luận của hàm số, giúp học sinh tiếp cận toàn diện hơn.
    • Chủ thể thực hiện: Bộ Giáo dục và Đào tạo, các nhà biên soạn SGK.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

  1. Giáo viên toán các cấp THCS và THPT

    • Lợi ích: Nắm vững tiến trình phát triển và các đặc trưng khoa học luận của hàm số, từ đó đổi mới phương pháp dạy học phù hợp, nâng cao hiệu quả giảng dạy.
    • Use case: Thiết kế bài giảng, bài tập đa dạng, phát hiện và khắc phục khó khăn của học sinh.

  2. Nhà biên soạn chương trình và sách giáo khoa

    • Lợi ích: Cơ sở khoa học để cập nhật nội dung, bổ sung các phương tiện biểu diễn hàm số đa dạng, đảm bảo tính khoa học và phù hợp với nhận thức học sinh.
    • Use case: Soạn thảo chương trình, biên soạn SGK mới.

  3. Chuyên viên bồi dưỡng giáo viên và cán bộ quản lý giáo dục

    • Lợi ích: Hiểu rõ các vấn đề thực tiễn trong dạy học hàm số, từ đó tổ chức các khóa đào tạo, tập huấn hiệu quả.
    • Use case: Xây dựng kế hoạch bồi dưỡng, đánh giá chất lượng giảng dạy.

  4. Nghiên cứu sinh, học viên cao học ngành giáo dục toán học

    • Lợi ích: Tài liệu tham khảo về nghiên cứu lịch sử và sư phạm dạy học hàm số, phương pháp nghiên cứu kết hợp lý luận và thực nghiệm.
    • Use case: Phát triển đề tài nghiên cứu, luận văn thạc sĩ, tiến sĩ.

Câu hỏi thường gặp

  1. Hàm số là gì theo quan điểm hiện đại?
    Hàm số là một quy tắc tương ứng sao cho mỗi giá trị của biến số x trong tập xác định D ứng với duy nhất một giá trị y trong tập giá trị. Ví dụ, hàm số y = 2x + 3 là hàm số vì với mỗi x ∈ D, y được xác định duy nhất.

  2. Tại sao học sinh thường nhầm lẫn hàm số với biểu thức công thức?
    Do chương trình và sách giáo khoa phổ thông chủ yếu giới thiệu hàm số dưới dạng công thức giải tích, ít bài tập và ví dụ về hàm số cho bằng bảng hoặc đồ thị, dẫn đến nhận thức hạn chế và thiếu linh hoạt.

  3. Các đặc trưng khoa học luận của hàm số là gì?
    Bao gồm đặc trưng tương ứng (mỗi x ứng với duy nhất một y), đặc trưng phụ thuộc (y phụ thuộc vào x), và đặc trưng biến thiên (giá trị y thay đổi theo x). Ba đặc trưng này giúp hiểu bản chất và tính chất của hàm số.

  4. Làm thế nào để giúp học sinh hiểu hàm số dưới nhiều dạng biểu diễn?
    Giáo viên cần đa dạng hóa bài tập, ví dụ về hàm số cho bằng bảng, đồ thị, biểu đồ Ven bên cạnh công thức, đồng thời giải thích rõ ràng các đặc trưng của hàm số qua từng dạng biểu diễn.

  5. Khó khăn phổ biến của học sinh khi học hàm số là gì?
    Học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhận dạng hàm số khi cho dưới dạng bảng hoặc đồ thị, thiếu kỹ năng vận dụng đặc trưng biến thiên để khảo sát hàm số, và dễ bị nhầm lẫn giữa hàm số và biểu thức đại số.

Kết luận

  • Hàm số là khái niệm toán học quan trọng, có ba đặc trưng khoa học luận chính: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên.
  • Chương trình và sách giáo khoa phổ thông hiện nay tập trung chủ yếu vào hàm số cho bằng công thức, ít đề cập đến các dạng biểu diễn khác, ảnh hưởng đến nhận thức của học sinh.
  • Học sinh có xu hướng gắn hàm số với biểu thức giải tích, gặp khó khăn khi tiếp cận hàm số dưới dạng bảng hoặc đồ thị.
  • Cần đổi mới phương pháp dạy học, đa dạng hóa cách cho hàm số và tăng cường bài tập nhận dạng, thể hiện hàm số dưới nhiều dạng để nâng cao hiệu quả học tập.
  • Nghiên cứu mở ra hướng phát triển chương trình, sách giáo khoa và bồi dưỡng giáo viên nhằm nâng cao chất lượng dạy học hàm số trong tương lai.

Next steps: Triển khai các giải pháp đề xuất, tổ chức tập huấn giáo viên, cập nhật chương trình và sách giáo khoa, đồng thời mở rộng nghiên cứu trên phạm vi rộng hơn.

Call to action: Giáo viên và nhà quản lý giáo dục cần chủ động áp dụng các kiến thức và giải pháp từ nghiên cứu này để nâng cao hiệu quả dạy học hàm số, góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh.