mở đầu, SGK đưa ra định nghĩa tích vô hướng: Định nghĩa Cho hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ khác vectơ 0 �⃗. Tích vô hướng của 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ là một số, kí hiệu là 𝑎⃗. 𝑏�⃗, được xác định bởi công thức sau: 𝑎⃗. (Hình học 10, tr.41) Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… trong đó, khái niệm góc giữa hai vectơ, kí hiệu �𝑎⃗, 𝑏�⃗� đã được trình bày ở bài §1 “Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ Oo đến 180o”.
Cụ thể, SGK định nghĩa: Cho hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ đều khác vectơ �0⃗. Từ một điểm O bất kì, ta vẽ �����⃗ 𝑂𝐵 = 𝑏�⃗. Góc 𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐴 = 𝑎⃗ và �����⃗ � với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc giữa hai vectơ𝑎⃗ và 𝑏�⃗. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ là �𝑎⃗, 𝑏�⃗�.
Nếu �𝑎⃗, 𝑏�⃗� = 90° thì ta nói 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ vuông góc với nhau, kí hiệu 𝑎⃗ ⊥ 𝑏 ���⃗ hoặc 𝑏�⃗ ⊥ 𝑎⃗. (Hình học 10, tr.38) Sau khi định nghĩa tích vô hướng, SGK chú ý: ���⃗khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0 ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗ a)Với 𝑎⃗ và 𝑏 b) Khi 𝑎⃗ = 𝑏�⃗ tích vô hướng 𝑎⃗. 𝑎⃗ được kí hiệu là 𝑎⃗2 và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ 𝑎⃗.
(Hình học 10, tr.41) Tiếp theo là ví dụ củng cố định nghĩa: Ví dụ. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. (Hình học 10, tr.42) Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… Ngoài ví dụ nói trên, SGK còn có hoạt động 1 “nhằm củng cố định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, đồng thời kết hợp ôn về các giá trị lượng giác của góc giữa hai vectơ” (Sách Giáo viên Hình học 10, tr. Tuy nhiên, trong SGK, hoạt động 1 lại nằm trong mục2.
Các tính chất của tích vô hướng. Về các tính chất của tích vô hướng, SGK thừa nhận 4 tính chất sau đây: Với ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏�⃗, 𝑐⃗ bất kì và mọi số k ta có: 𝑎⃗. (Hình học 10, tr.42) Các tính chất này được chứng minh chi tiết trong SGV. Từ 4 tính chất này, SGK suy ra 3 tính chất hệ quả: (𝑎⃗ + 𝑏�⃗)2 = 𝑎⃗2 + 2𝑎⃗.
(Hình học 10, tr.42) Tới đây, SGK đưa ra hoạt động 1. Ngoài ra, SGK không có hoạt động nào để củng cố các tính chất này. Chúng tôi tự hỏi, liệu có phải do các tính chất của tích vô hướng có sự tương tự với các tính chất của phép nhân hai số thực mà SGK lại trình bày “gọn nhẹ” như vậy hay không. Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… Sau khi giới thiệu các tính chất của tích vô hướng, SGK trình bày lại ứng dụng của tích vô hướng trong vật lí: Ứng dụng.
Một xe goòng chuyển động từ A đến B dưới tác dụng của lực 𝐹⃗. Lực 𝐹⃗ tạo với hướng chuyển động một góc 𝛼, tức là �𝐹⃗ , �����⃗ 𝐴𝐵� = 𝛼 (h.10) ���⃗1 và ���⃗ Lực 𝐹⃗ được phân tích thành hai thành phần 𝐹 ���⃗1 vuông 𝐹2 trong đó 𝐹 góc với �����⃗ 𝐴𝐵 , còn ���⃗ 𝐹2 là hình chiếu của 𝐹⃗ lên đường thẳng AB. CôngAsinh ra lực 𝐹⃗ là A= 𝐹⃗. ���⃗1 không làm cho xe goòng chuyển động nên Như vậy lực thành phần 𝐹 không sinh công.
Chỉ có thành phần ���⃗ 𝐹2 của lực 𝐹⃗ sinh công làm cho xe goòng chuyển động từ A đến B. �����⃗ 𝐴𝐵là công thức tính công của lực 𝐹⃗ làm vật di chuyển từ A đến B mà ta đã biết trong vật lí. (Hình học 10, tr.43) Ứng dụng sử dụng các kết quả sau: phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương (cụ thể là hai vectơ vuông góc), tính chất kết hợp của tích vô hướng và Chú ý “Với 𝑎⃗ và ���⃗ 𝑏 khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗. Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là: Tại sao lại phải phân tích lực 𝐹⃗ thành hai thành phần ���⃗ ���⃗2 ? 𝐹1 và 𝐹 Đối chiếu với SGK Hình học 10 Nâng cao, chúng tôi nhận thấy phần định nghĩa và các tính chất của tính vô hướng được trình bày tương tự.
Một số điểm khác biệt có thể kể ra như sau: - Khái niệm góc giữa hai vectơ được trình bày ngay trong bài §2 “Tích vô hướng của hai vectơ”. - SGK Hình học 10 - Nâng cao không trình bày chú ý sau định nghĩa tích vô hướng. Thay vào đó, SGK đưa ra hoạt động 2 “Trường hợp nào thì tích vô hướng của hai vectơ 𝑎⃗và𝑏�⃗ bằng 0?” - Các tính chất của tích vô hướng được phát biểu thành định lí. Ngoài 4 tính chất đã gặp trong SGK Hình học 10, SGKHình học 10 - Nâng cao giới thiệu thêm tính chất phân phối đối với phép trừ: 𝑎⃗.
- SGK Hình học 10 - Nâng cao chứng minh tính chất hệ quả số 3 và yêu cầu học sinh chứng minh hai tính chất còn lại. - Sau khi trình bày các tính chất của tích vô hướng, SGK Hình học 10 - Nâng cao giới thiệu 4 bài toán, trong đó có 3 bài ứng dụng tích vô hướng để chứng minh các tính chất hình học và 1 bài ứng dụng tích vô hướng để tìm tập hợp điểm. Đặc biệt, từ bài toán 3. “Cho hai vectơ������⃗ 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 �����⃗.
Gọi B’ là hình chiếu của B lên đường thẳng OA. Chứng minh rằng �����⃗ 𝑂𝐴. �������⃗ 𝑂𝐵 = �����⃗ 𝑂𝐵′”,SGK còn thể chế hóa thành công thức hình chiếu: �������⃗ được gọi là hình chiếu của vectơ �����⃗ Vectơ 𝑂𝐵′ 𝑂𝐵 trên đường thẳng OA. 𝑂𝐵′�������⃗ gọi là công thức hình chiếu.
(Hình học 10 - Nâng cao, tr. Các tổ chức toán học liên quan đến tích vô hướng Trong phần này, chúng tôi phân tích các ví dụ và bài tập được đưa vào sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 10. Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra sự hiện diện của các tổ chức toán học gắn liền với khái niệm tích vô hướng. Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… 1.
Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính tích vô hướng của hai vectơ Ví dụ. Tam giác ABC vuông tại C có AC = 9, CB = 5. cos (𝐴𝐵 �����⃗ , 𝐴𝐶 �����⃗ ), 𝐴𝐶 �����⃗ , �����⃗ trong đó cos�𝐴𝐵 𝐴𝐶 � = (h. 𝐴𝐵 (Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79) Kĩ thuật 𝝉𝟏 : Áp dụng công thức của định nghĩa 𝑎⃗.
Công nghệ 𝜽𝟏 : Định nghĩa tích vô hướng. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 :Chứng minh đẳng thức chứa tích vô hướng 1 Ví dụ. Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng ������⃗ 𝑀𝐴.
(Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79) Kĩ thuật 𝝉𝟐 : trong đó, vế trái của đẳng thức là một biểu thức liên quan đến tích vô hướng, vế phải là một số thực hoặc 1 một biểu thức liên quan đến độ dài vectơ. Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… - Phân tích các vectơ thành hai vectơ không cùng phương. - Sử dụng tích chất phân phối của tích vô hướng, tính chất của bình phương vô hướng của một vectơ để biến đổi biểu thức liên quan đến tích vô hướng ở vế trái thành số thực hoặc biểu thức liên quan đến độ dài vectơ ở vế phải. Công nghệ 𝜽𝟐 : kĩ thuật phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, tính chất phân phối của tích vô hướng, tính chất của bình phương vô hướng của một vectơ.
Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 3 :Chứng minh hai vectơ 𝒂 vuông góc với nhau Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = 𝑎√2. Gọi K là trung ������⃗ vuông góc với �����⃗ điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng 𝐵𝐾 𝐴𝐶.
GIẢI Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Cần chứng minh ������⃗ 𝐵𝐾. 𝐴𝐶 Do đó 𝐵𝐾 𝐵𝐾 vuông góc với �����⃗ 𝐴𝐶. (Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.82) Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… Kĩ thuật 𝝉𝟑 : - Phân tích các vectơ thành hai vectơ không cùng phương.
- Kết luận hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ vuông góc với nhau. Công nghệ 𝜽𝟑 : kĩ thuật phân tích vectơ thành hai vectơ không cùng phương, tính chất của tích vô hướng: 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗ ⟺ 𝑎⃗. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụT 4 : Tính tích vô hướng���⃗. 𝒂𝒃 �⃗ và �⃗, �𝒃⃗) suy ra giá trị của góc (𝒂 Ví dụ.
Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm. �����⃗ 𝐴𝐶 rồi suy ra giá trị của góc A.16a, Bài tập Hình học 10, tr. cos𝐴 = 20, 20 1 suy ra cos𝐴 = = ⟹ 𝐴̂ = 60°. 40 2 (Bài tập Hình học 10, tr.103) Kĩ thuật 𝝉𝟒 : - Sử dụng các công thức tính chất hệ quả của tích vô hướng để tính 𝑎⃗.
𝑏�⃗ Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… 𝑎 �⃗ �⃗.�𝑏 �⃗ � - Suy ra giá trị của �𝑎⃗, 𝑏�⃗�. - Nếu cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗� > 0, suy ra �𝑎⃗, 𝑏�⃗� là góc nhọn, cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗� < 0, suy ra �𝑎⃗, 𝑏�⃗� là góc tù (nếu cần). Công nghệ 𝜽𝟒 : các tính chất hệ quả của tích vô hướng, tính chất của bình phương vô hướng của một vectơ, công thức của định nghĩa tích vô hướng, kĩ thuật tính giá trị của góc 𝛼 khi biết cos 𝛼, tính chất của cos 𝛼 với 𝛼 từ 0o đến 180o. Chúng tôi tổng kết số lượng nhiệm vụ tương ứng với 3 tổ chức toán học nói trên trong bảng thống kê dưới đây: T Bài Ví Bài Ví dụ ổ Kiểu nhiệm vụ tập dụ tập SGK n SGK SBT SBT g T 1 : Tính tích vô hướng 1 0 4 6 7 của hai vectơ 7 T 2 : Chứng minh đẳng thức vectơ liên quan đến 0 1 3 1 5 tích vô hướng T 3 :Chứng minh hai vectơ 0 0 2 2 4 �⃗ và �𝒃⃗ vuông góc với nhau 𝒂 �⃗.
�𝒃⃗ T 4 : Tính tích vô hướng𝒂 và suy ra giá trị của góc 0 0 0 3 3 �⃗, �𝒃⃗) (𝒂 Tổng 2 9 So với SGK Hình học 10, SGK Hình học 10 - Nâng cao có thêm kiểu nhiệm vụ T 5 : Tìm tập hợp điểm thỏa mãn các đẳng thức liên quan đến tích vô hướng. Trần Thị Thu Hiền Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng… Tuy nhiên ta cũng có thể sắp xếp T4 nằm trong T1 vì KNV T4 cũng thực hiện các kỹ thuật tính như T1 nhưng có thêm phần suy ra góc hợp bởi 2 vec tơ.