Luận văn thạc sĩ về thực hành dạy học tích phân của giáo viên

• Tác giả: Trương Thị Oanh
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Nga
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Nghiên Cứu Thực Hành Dạy Học Của Giáo Viên Về Khái Niệm Tích Phân
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỤC LỤC
• 1. MỞ ĐẦU
• 1.1. CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
• 1.2. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân
• 1.3. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận
• 1.4. Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể)
• 1.5. Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé
• 1.6. Cách tiếp cận thứ ba - Tiếp cận dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và vi phân: Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm
• 2. MỐI QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 12 ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
• 2.1. Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
• 2.2. Hai phương pháp tính tích phân
• 2.3. Ứng dụng hình học của tích phân
• 2.4. Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập
• 2.5. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận
• 2.6. Các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức trắc nghiệm
• 2.7. Phân tích các Đề minh họa và đề chính thức của Bộ GD-ĐT trong năm học 2016 – 2017 liên quan đến khái niệm tích phân
• 2.7.1. Các Đề minh họa được Bộ GD-ĐT giới thiệu trong năm học 2016 - 2017
• 2.7.2. Đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT ngày 22/06/2017
• 3. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN
• 3.1. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 dạy chương trình Nâng cao
• 3.1.1. Những praxéologie quan sát được
• 3.1.2. Tổ chức dạy học được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie
• 3.1.3. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV1
• 3.2. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 dạy chương trình Chuẩn
• 3.2.1. Những praxéologie quan sát được và các tổ chức dạy học được GV2 sử dụng để đưa vào các praxéologie này
• 3.2.2. Kết luận về nghiên cứu thực hành dạy học của GV2
• 4. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
• 4.1. Giới thiệu nội dung thực nghiệm
• 4.2. Phân tích tiên nghiệm
• 4.3. Biến tình huống
• 4.4. Giải thích sự lựa chọn và cái có thể quan sát
• 4.5. Phân tích hậu nghiệm
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân

Khái niệm tích phân có nhiều cách tiếp cận khác nhau, mỗi cách tiếp cận mang lại những đặc trưng riêng. Đầu tiên, cách tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân. Theo đó, tích phân được hiểu là diện tích của hình phẳng hoặc thể tích của vật thể. Cách tiếp cận này giúp học sinh hình dung rõ ràng hơn về ứng dụng thực tiễn của tích phân trong toán học. Thứ hai, cách tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó. Đây là cách tiếp cận mang tính chất lý thuyết, giúp học sinh hiểu rõ hơn về bản chất của tích phân. Cuối cùng, cách tiếp cận dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và vi phân, trong đó tích phân được xem là phép toán ngược của đạo hàm. Cách tiếp cận này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển tư duy logic trong toán học.

1.1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân

Khái niệm tích phân đã có lịch sử hình thành lâu dài, bắt đầu từ nhu cầu tính diện tích và thể tích trong thực tiễn. Các nhà toán học cổ đại như Archimedes đã sử dụng phương pháp vét cạn để tính diện tích hình phẳng. Phương pháp này đã được phát triển và hoàn thiện qua các thế kỷ, dẫn đến định nghĩa hiện đại về tích phân. Sự phát triển của tích phân không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn mở rộng ra nhiều lĩnh vực ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Việc hiểu rõ lịch sử hình thành khái niệm tích phân giúp giáo viên có cái nhìn sâu sắc hơn về cách thức giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho học sinh.

1.2. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận

Mỗi cách tiếp cận khái niệm tích phân đều có những đặc trưng riêng biệt. Cách tiếp cận dựa trên bài toán giúp học sinh dễ dàng hình dung và áp dụng vào thực tiễn. Cách tiếp cận chia nhỏ đối tượng lại giúp học sinh phát triển tư duy phân tích và tổng hợp. Cuối cùng, cách tiếp cận mối quan hệ giữa tích phân và vi phân không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển khả năng tư duy phản biện. Việc kết hợp các cách tiếp cận này trong giảng dạy sẽ tạo ra một môi trường học tập phong phú và hiệu quả hơn cho học sinh.

II. Mối quan hệ của thể chế dạy học toán 12 đối với khái niệm tích phân

Khái niệm tích phân được trình bày trong sách giáo khoa lớp 12 với định nghĩa và các tính chất cơ bản. Sách giáo khoa đã giới thiệu hai phương pháp tính tích phân chính, bao gồm phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Các ứng dụng hình học của tích phân cũng được đề cập, giúp học sinh thấy được sự liên kết giữa lý thuyết và thực tiễn. Tuy nhiên, việc tổ chức dạy học và các nhiệm vụ trình bày trong sách giáo khoa còn hạn chế, chưa thực sự phát huy được tiềm năng của tích phân trong việc phát triển tư duy toán học của học sinh.

2.1. Khái niệm tích phân được trình bày trong SGK12

Sách giáo khoa lớp 12 đã trình bày khái niệm tích phân một cách hệ thống, từ định nghĩa đến các tính chất cơ bản. Tuy nhiên, việc trình bày này còn thiếu chiều sâu và chưa đủ để học sinh có thể nắm vững bản chất của tích phân. Các ví dụ minh họa trong sách giáo khoa cũng chưa phong phú, dẫn đến việc học sinh khó có thể hình dung rõ ràng về ứng dụng của tích phân trong thực tiễn.

2.2. Các praxéologies được SGK12 và SBT12 đề cập

Các praxéologies liên quan đến tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập lớp 12 chủ yếu tập trung vào việc tính toán và ứng dụng. Tuy nhiên, việc thiếu các nhiệm vụ trình bày bằng hình thức tự luận và trắc nghiệm đã làm giảm khả năng phát triển tư duy phản biện của học sinh. Việc tổ chức dạy học cần được cải thiện để tạo ra môi trường học tập tích cực hơn cho học sinh, từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm tích phân.

III. Nghiên cứu thực hành dạy học khái niệm tích phân của giáo viên

Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân cho thấy sự khác biệt rõ rệt giữa các giáo viên dạy chương trình nâng cao và chương trình chuẩn. Giáo viên dạy chương trình nâng cao thường sử dụng nhiều praxéologies hơn và có cách tổ chức dạy học linh hoạt hơn. Ngược lại, giáo viên dạy chương trình chuẩn thường gặp khó khăn trong việc áp dụng các phương pháp dạy học mới. Kết quả nghiên cứu cho thấy việc đào tạo giáo viên cần được chú trọng hơn để nâng cao chất lượng dạy học khái niệm tích phân.

3.1. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 dạy chương trình Nâng cao

Giáo viên dạy chương trình nâng cao đã áp dụng nhiều phương pháp dạy học tích cực, giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Việc sử dụng các praxéologies đa dạng đã tạo ra môi trường học tập phong phú, khuyến khích học sinh tham gia tích cực vào quá trình học. Kết quả cho thấy học sinh có khả năng nắm vững khái niệm tích phân và ứng dụng vào thực tiễn tốt hơn.

3.2. Nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 dạy chương trình Chuẩn

Giáo viên dạy chương trình chuẩn thường gặp khó khăn trong việc áp dụng các phương pháp dạy học mới. Việc tổ chức dạy học còn hạn chế, dẫn đến việc học sinh không nắm vững khái niệm tích phân. Kết quả nghiên cứu cho thấy cần có sự hỗ trợ và đào tạo thêm cho giáo viên để nâng cao chất lượng dạy học khái niệm tích phân.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Khái niệm tích phân là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy giải tích và ứng dụng toán học trong thực tiễn. Theo thống kê, từ năm 2009 đến 2016, trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và tốt nghiệp THPT, có khoảng 22/23 bài tập liên quan đến tính tích phân dưới dạng tính tích phân xác định, trong khi chỉ có duy nhất một bài tập về tính diện tích hình phẳng. Sự thay đổi hình thức thi sang trắc nghiệm khách quan từ năm 2017 đã tạo ra thách thức mới cho việc dạy học khái niệm tích phân, đòi hỏi giáo viên phải điều chỉnh phương pháp giảng dạy để phù hợp với yêu cầu mới. Mục tiêu nghiên cứu nhằm khảo sát thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân trong bối cảnh đổi mới chương trình và hình thức thi, tập trung vào việc phân tích các cách tiếp cận khái niệm tích phân, praxéologies được sử dụng trong SGK và thực tế giảng dạy, cũng như tác động của máy tính bỏ túi (MTBT) trong quá trình dạy và học. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào chương trình Toán lớp 12 tại Việt Nam, đặc biệt là trong năm học 2016-2017, với dữ liệu thu thập từ SGK, đề thi minh họa của Bộ GD-ĐT và khảo sát thực tế tại một số trường THPT. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả dạy học tích phân, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy và chuẩn bị cho học sinh thích ứng với hình thức thi trắc nghiệm hiện đại.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu vận dụng thuyết nhân học và lý thuyết tình huống trong didactic toán để phân tích thực hành dạy học khái niệm tích phân. Ba cách tiếp cận chính về khái niệm tích phân được xác định dựa trên lịch sử phát triển toán học:

1. Tiếp cận hình học: Tích phân được xem là diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể, xuất phát từ bài toán thực tiễn tính diện tích và thể tích.

2. Tiếp cận giải tích: Tích phân được định nghĩa là giới hạn của tổng vô hạn các phần tử vô cùng bé, thể hiện qua định nghĩa tích phân Riemann với các khái niệm giới hạn và tổng.

3. Tiếp cận đạo hàm - nguyên hàm: Tích phân được xem là phép toán ngược của đạo hàm, dựa trên công thức Newton-Leibniz, giúp tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm.

Các praxéologies (tổ hợp nhiệm vụ, kỹ thuật và công nghệ) liên quan đến tính tích phân và ứng dụng được phân tích trong SGK và thực tế giảng dạy, bao gồm các kỹ thuật tính tích phân, tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, và các bài toán ứng dụng vật lý.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính bao gồm:

• Phân tích chương trình và SGK Toán lớp 12 (cả chương trình Chuẩn và Nâng cao).
• Phân tích các đề thi minh họa và đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT năm học 2016-2017.
• Quan sát, ghi âm và phân tích tiết dạy của hai giáo viên dạy chương trình Chuẩn và Nâng cao.
• Khảo sát khoảng 20 giáo viên Toán lớp 12 về thực hành dạy học khái niệm tích phân.

Phương pháp phân tích bao gồm:

• Phân tích nội dung chương trình, SGK và đề thi để xác định các cách tiếp cận và praxéologies được sử dụng.
• Phân tích thực hành dạy học qua quan sát tiết dạy và khảo sát để đánh giá sự phù hợp và thay đổi trong giảng dạy.
• So sánh các praxéologies trong SGK, đề thi và thực tế giảng dạy.
• Thời gian nghiên cứu tập trung trong năm học 2016-2017, giai đoạn chuyển đổi hình thức thi sang trắc nghiệm.

Cỡ mẫu khảo sát gồm khoảng 20 giáo viên được chọn theo phương pháp chọn mẫu thuận tiện nhằm phản ánh thực trạng đa dạng về chương trình và kinh nghiệm giảng dạy.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Ba cách tiếp cận khái niệm tích phân được trình bày trong SGK: Cách tiếp cận thứ ba (tích phân là phép toán ngược của đạo hàm) được chọn làm định nghĩa chính trong SGK Chuẩn và Nâng cao, chiếm ưu thế trong giảng dạy. Cách tiếp cận thứ nhất (hình học) và thứ hai (giải tích) được đề cập trong phần bài đọc thêm hoặc ứng dụng, nhưng không phải là định nghĩa chính thức. Ví dụ, SGK Nâng cao giới thiệu bài toán quãng đường và ứng dụng vật lý để minh họa mối liên hệ giữa tích phân và đạo hàm.

2. Praxéologies chủ yếu tập trung vào tính toán tích phân và ứng dụng hình học: Trong SGK, các nhiệm vụ tính tích phân chiếm đa số (khoảng 317 bài tập), trong đó phần lớn có thể sử dụng MTBT để tính nhanh kết quả. Các nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể cũng được đề cập nhưng với số lượng ít hơn, đặc biệt ứng dụng vật lý (tính quãng đường) chỉ xuất hiện trong SGK Nâng cao.

3. Ảnh hưởng của MTBT trong dạy học và thi cử: MTBT có chức năng tính tích phân giúp học sinh dễ dàng tìm ra kết quả các bài tập tính tích phân xác định, đặc biệt trong hình thức thi trắc nghiệm. Điều này làm giảm nhu cầu hiểu sâu về các kỹ thuật tính tích phân truyền thống, gây thách thức cho giáo viên trong việc duy trì chất lượng dạy học. Ví dụ, trong các đề thi minh họa năm 2016-2017, nhiều câu hỏi có thể giải nhanh bằng MTBT, nhưng cũng có câu hỏi yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức để phân tích hàm số hoặc tìm biến số phù hợp trước khi tính tích phân.

4. Sự thay đổi trong thực hành dạy học của giáo viên: Qua quan sát tiết dạy và khảo sát, giáo viên dạy chương trình Nâng cao thường sử dụng đa dạng praxéologies hơn, bao gồm cả các kỹ thuật đổi biến số và tích phân từng phần, đồng thời chú trọng ứng dụng vật lý. Giáo viên chương trình Chuẩn tập trung chủ yếu vào các kỹ thuật tính tích phân cơ bản và ít khai thác ứng dụng. Sự thay đổi hình thức thi trắc nghiệm buộc giáo viên phải điều chỉnh phương pháp dạy, tuy nhiên vẫn còn tồn tại hạn chế trong việc khai thác đầy đủ các cách tiếp cận và ứng dụng của tích phân.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy cách tiếp cận chủ đạo trong SGK và thực tế giảng dạy là dựa trên mối quan hệ giữa tích phân và đạo hàm, phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh phổ thông. Tuy nhiên, việc thiếu sự khai thác sâu sắc cách tiếp cận giải tích (định nghĩa Riemann) và hình học có thể làm hạn chế sự hiểu biết bản chất của tích phân. Sự phổ biến của MTBT trong tính toán tích phân xác định làm giảm áp lực về kỹ thuật tính toán nhưng cũng tạo ra thách thức trong việc phát triển tư duy toán học và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, kết quả này nhất quán với nhận định rằng giáo viên thường ưu tiên các kỹ thuật tính toán đơn giản và ít khai thác các khía cạnh liên môn hoặc ứng dụng thực tế. Việc đổi mới hình thức thi trắc nghiệm đã tạo cơ hội để mở rộng nội dung kiểm tra, nhưng cũng đòi hỏi sự đổi mới trong phương pháp dạy học để phát huy hiệu quả.

Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ phân bố số lượng bài tập theo từng loại praxéologies trong SGK và đề thi, cũng như bảng so sánh tỷ lệ sử dụng các kỹ thuật tính tích phân trong thực hành giảng dạy của giáo viên chương trình Chuẩn và Nâng cao.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Đổi mới phương pháp dạy học tích phân theo hướng đa dạng hóa cách tiếp cận
   Giáo viên cần được đào tạo và khuyến khích sử dụng đồng thời cả ba cách tiếp cận khái niệm tích phân (hình học, giải tích, đạo hàm-nguyên hàm) để giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất và ứng dụng của tích phân. Mục tiêu là nâng cao tỷ lệ học sinh nắm vững khái niệm tích phân trong vòng 1-2 năm tới. Bộ GD-ĐT và các trường đại học sư phạm nên tổ chức các khóa bồi dưỡng chuyên sâu cho giáo viên.

2. Tăng cường sử dụng MTBT như công cụ hỗ trợ, không thay thế tư duy toán học
   Khuyến khích giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng MTBT để kiểm tra kết quả và hỗ trợ tính toán, đồng thời phát triển kỹ năng phân tích, lập luận và giải thích kết quả. Mục tiêu giảm thiểu việc học sinh phụ thuộc hoàn toàn vào MTBT trong 1 năm học tiếp theo. Các trường cần xây dựng quy định và hướng dẫn sử dụng MTBT hợp lý trong dạy học và kiểm tra.

3. Phát triển tài liệu giảng dạy và đề thi phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm
   Cần xây dựng bộ đề thi và bài tập trắc nghiệm phong phú, đa dạng, tập trung vào đánh giá khả năng vận dụng kiến thức, phân tích và giải quyết vấn đề thay vì chỉ tính toán đơn thuần. Mục tiêu hoàn thiện bộ đề mẫu trong vòng 1 năm để hỗ trợ giáo viên và học sinh chuẩn bị thi THPT quốc gia.

4. Khuyến khích liên môn trong dạy học tích phân
   Tích hợp các bài toán ứng dụng vật lý, kỹ thuật và thực tiễn vào giảng dạy để tăng tính hấp dẫn và thực tế của khái niệm tích phân. Giáo viên nên phối hợp với các bộ môn liên quan để xây dựng các bài học liên môn trong 2 năm tới nhằm nâng cao hiệu quả học tập.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán THPT
   Giúp hiểu rõ các cách tiếp cận khái niệm tích phân, praxéologies và phương pháp dạy học phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay, từ đó điều chỉnh phương pháp giảng dạy hiệu quả.

2. Nhà quản lý giáo dục và cán bộ bồi dưỡng giáo viên
   Cung cấp cơ sở khoa học để xây dựng chương trình đào tạo, bồi dưỡng giáo viên, đồng thời phát triển tài liệu giảng dạy và đánh giá phù hợp với đổi mới giáo dục.

3. Sinh viên ngành Sư phạm Toán
   Hỗ trợ nghiên cứu và thực hành sư phạm, nắm vững kiến thức chuyên sâu về khái niệm tích phân và các phương pháp dạy học hiện đại.

4. Nhà nghiên cứu giáo dục toán học
   Là tài liệu tham khảo quan trọng để tiếp tục nghiên cứu về didactic toán, đặc biệt trong lĩnh vực dạy học giải tích và tích phân, cũng như tác động của công nghệ vào giáo dục.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm tích phân được dạy theo cách nào trong chương trình THPT hiện nay?
   Chương trình chủ yếu dạy tích phân theo cách tiếp cận là phép toán ngược của đạo hàm, dựa trên công thức Newton-Leibniz, giúp học sinh dễ tiếp cận và áp dụng trong tính toán.

2. Máy tính bỏ túi ảnh hưởng thế nào đến việc dạy và học tích phân?
   MTBT giúp học sinh tính nhanh các tích phân xác định, giảm bớt áp lực tính toán thủ công, nhưng cũng có thể làm giảm khả năng hiểu sâu và vận dụng kỹ thuật tính tích phân nếu không được hướng dẫn đúng cách.

3. Làm sao giáo viên có thể giúp học sinh hiểu bản chất của tích phân?
   Giáo viên nên kết hợp ba cách tiếp cận: giải thích nguồn gốc hình học, định nghĩa giải tích qua giới hạn tổng, và mối quan hệ với đạo hàm, đồng thời sử dụng các ví dụ thực tế và bài tập vận dụng đa dạng.

4. Các đề thi trắc nghiệm có kiểm tra được kiến thức sâu về tích phân không?
   Nếu đề thi chỉ yêu cầu tính toán đơn thuần, MTBT có thể hỗ trợ nhiều. Tuy nhiên, các câu hỏi yêu cầu phân tích hàm số, tìm biến đổi phù hợp hoặc chứng minh sẽ đánh giá được kiến thức sâu và tư duy của học sinh.

5. Có nên tích hợp liên môn trong dạy học tích phân không?
   Rất nên, vì tích phân có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật và các lĩnh vực khác, giúp học sinh thấy được tính thực tiễn và tăng hứng thú học tập.

Kết luận

• Ba cách tiếp cận khái niệm tích phân (hình học, giải tích, đạo hàm-nguyên hàm) đều cần được khai thác trong dạy học để giúp học sinh hiểu toàn diện.
• SGK và thực tế giảng dạy hiện nay chủ yếu tập trung vào cách tiếp cận đạo hàm-nguyên hàm, với nhiều bài tập tính toán có thể sử dụng MTBT.
• MTBT là công cụ hỗ trợ hiệu quả nhưng cần được sử dụng đúng cách để không làm giảm khả năng tư duy và vận dụng kiến thức của học sinh.
• Hình thức thi trắc nghiệm đã tạo ra thách thức và cơ hội đổi mới phương pháp dạy học, đòi hỏi giáo viên và nhà quản lý giáo dục phải thích ứng kịp thời.
• Các bước tiếp theo bao gồm đào tạo giáo viên, phát triển tài liệu giảng dạy và đề thi phù hợp, đồng thời khuyến khích liên môn và ứng dụng thực tế trong dạy học tích phân.

Hành động ngay: Các giáo viên và nhà quản lý giáo dục nên tham khảo kết quả nghiên cứu này để điều chỉnh phương pháp dạy học, đồng thời tích cực tham gia các khóa bồi dưỡng nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện đại.