Chương 1: Phép biến đổi Fourier - Chương 2: Thuật toán Parker và một số phương pháp khác xác định dị thường trọng lực. - Chương 3: Mô hình hóa và kết quả áp dụng thuật toán Parker xác định dị thường Bouguer khu vực biển Đông và kế cận. 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết của phép biến đổi Fourier. Blakely [17] đã khái quát những nội dung quan trọng của phép biến đổi Fourier và áp dụng chúng để phân tích, xử lý tài liệu từ và trọng lực.
Về quá trình phát triển, có thể nói Tsuboi và Fuchida [20, 21] là những người đầu tiên áp dụng các phép biến đổi Fourier vào việc minh giải các dị thường trường thế. Họ sử dụng chuỗi Fourier để chỉ ra mối liên hệ giữa các dị thường trọng lực và các phân bố khối lượng, trong cả hai trường hợp hai và ba chiều, được giới hạn trong các mặt phẳng ngang. Vào những năm 60, nhiều tác giả đã sử dụng biến đổi Fourier trong việc minh giải các dị thường từ biển, tiêu biểu là Gudmundson [9], Heirtzler và Le Pichon [13]. Tiếp đó, Harrison [12] đã đưa ra cái nhìn khái quát về chủ đề này.
Cùng thời gian đó, Bhattacharryya [5] đã công bố một số bài báo quan trọng về biến đổi Fourier của các dị thường từ và trọng lực. Có lẽ đóng góp có ý nghĩa nhất của ông là ông đã nhận ra rằng nhiều phép biến đổi, chẳng hạn như nâng trường, hạ trường, chuyển trường về cực, … dễ dàng được thực hiện trong miền tần số. Sau đây, chúng tôi sẽ tóm lược lại phép biến đổi này. Khái niệm biến đổi Fourier Một hàm tuần hoàn có thể được tổng hợp bằng tổng vô hạn các hàm sin có trọng số, trong đó các trọng số của các hàm sin được xác định qua phân tích hàm tuần hoàn đó.
Nếu f(x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ X, nó có thể được biểu diễn bằng: ∞ (1. Các trọng số 𝐹𝑛 trong tổng này là các số phức và được xác 𝑋 định bằng tích phân: 1 𝑥 0 +𝑋 𝐹𝑛 = 𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 (1.2) 𝑋 𝑥0 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bây giờ chúng ta giả sử rằng f(x) không tuần hoàn trên một khoảng hữu hạn của trục x. Thay vì thế, chúng ta đòi hỏi rằng f(x) có dáng vẻ hợp lý và có biến thiên giam hãm trong một khoảng hữu hạn của trục x. Nói một cách khác, chúng ta đòi hỏi rằng: ∞ (1.3) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 < ∞ −∞ Các dị thường từ và trọng lực thoả mãn đặc trưng này nếu phạm vi đo đạc lớn hơn nhiều kích thước ngang của tất cả các vật thể gây dị thường.
Việc cho X → ∞ trong phương trình (1.2) tạo ra biến đổi Fourier của một hàm không chu kỳ f(x).4) 𝐹 𝑘 = 𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥 −∞ Biến k trong phương trình (1.4) được gọi là số sóng và có đơn vị là nghịch đảo khoảng cách; tương tự với tần số góc trong biến đổi Fourier miền thời gian, số sóng có đơn vị nghịch đảo thời gian. Số sóng tỷ lệ nghịch với bước sóng λ, tức là: 2𝜋 𝑘= 𝜆 Chú ý từ phương trình (1.4) rằng biến đổi Fourier của hàm f(x) được ước lượng ở k = 0 đơn giản là trung bình của f(x) trên toàn trục x, tức là: +∞ 𝐹 0 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞ Biến đổi Fourier F(k) nói chung là một hàm phức với các phần thực và phần ảo, F(k) = ReF(k) + iImF(k). Ta cũng có thể biểu diễn: 𝐹 𝑘 = 𝐹 𝑘 𝑒 𝑖𝛩 𝑘 trong đó: 2 2 𝐹 𝑘 = 𝑅𝑒𝐹 𝑘 + 𝐼𝑚𝐹 𝑘 , 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 𝐼𝑚𝐹 𝑘 𝛩 𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑅𝑒𝐹 𝑘 Các hàm 𝐹 𝑘 và 𝛩 𝑘 tương ứng được gọi là biên độ và pha. Năng lượng tổng cộng của f(x) là: +∞ 2 𝐸= 𝐹 𝑘 𝑑𝑥 −∞ 2 và 𝐹 𝑘 được gọi là mật độ phổ năng lượng.
Điều đặc biệt quan trọng là biến đổi Fourier có biến đổi ngược. Tương tự phương trình 1.1, biến đổi Fourier ngược được cho bởi: 1 +∞ 𝑓 𝑥 = 𝐹 𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑘 (1.5) 2𝜋 −∞ Nếu f(x) thỏa mãn bất đẳng thức (1.3), thì biến đổi Fourier F(k) tồn tại và thỏa mãn cả hai phương trình (1. Thảo luận ở trên đề cập tới hàm một biến, nhưng biến đổi Fourier có thể được mở rộng một cách dễ dàng cho các hàm hai biến. Biến đổi Fourier của hàm f(x,y) và biến đổi ngược của nó được cho bởi : +∞ +∞ 𝐹 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒 −𝑖 𝑘 𝑥 𝑥+𝑘 𝑦 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 (1.7) 4𝜋 −∞ −∞ trong đó 𝑘𝑥 và 𝑘𝑦 tương ứng tỉ lệ nghịch với số sóng theo các hướng x và y:: 2𝜋 𝑘𝑥 = 𝜆𝑥 2𝜋 𝑘𝑦 = 𝜆𝑦 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điều quan trọng là phải chú ý rằng f(x) và F(k) đơn giản là những cách khác nhau xem xét cùng một hiện tượng.
Biến đổi Fourier là biểu diễn một hàm từ miền này (không gian hoặc thời gian) sang một miền khác (số sóng hoặc tần số). Do đó, các thảo luận sau đây sẽ đề cập đến miền không gian hoặc miền tần số như hai cách khác nhau để xem xét cùng một hiện tượng. Trong phần này và những phần tiếp theo, biến đổi Fourier được ký hiệu bằng ký hiệu ngắn F[f], tức là: +∞ 𝐹𝑓 = 𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥 −∞ Những thảo luận ở trên là biến đổi Fourier của một hàm liên tục. Trong thực tế chúng ta thường gặp các tài liệu được lấy mẫu.
Khi đó, chúng ta sử dụng biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đôi khi còn được gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT).
Phép biến đổi này có những hạn chế cả ở bước sóng dài nhất và bước sóng ngắn nhất. Ví dụ các bước sóng ngắn hơn hai lần khoảng cách mẫu không thế được biểu diễn một cách đầy đủ bằng biến đổi Fourier rời rạc. Hạn chế này được biểu diễn trong miền tần số bằng cách sau: Biến đổi Fourier rời rạc là tuần hoàn với chu kỳ tỷ lệ nghịch với khoảng cách mẫu. Hãy xem N mẫu liên tiếp của f(x) lấy cách đều nhau một khoảng ∆x.
Nếu chúng ta giả sử rằng f(x) bằng 0 ngoài N mẫu này, thì chúng ta có thể xem N là vô hạn. Trong trường hợp này, biến đổi Fourier rời rạc 𝐹𝐷 𝑘 liên hệ với biến đổi Fourier thực F(k) bởi tổng: 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.8) ∆𝑥 ∆𝑥 𝑗 =−∞ Tại 𝑘0 cho trước bất kỳ, rõ ràng chúng ta muốn 𝐹𝐷 𝑘0 bằng 𝐹 𝑘0. Không may thay, theo phương trình trên 𝐹𝐷 𝑘0 thực tế là bằng 𝐹 𝑘0 cộng với F(k) được đánh giá ở vô hạn các số sóng khác. “Sự tự gây nhiễu” này được gọi là aliasing.
Chu kỳ của biến đổi 2𝜋 𝜋 Fourier rời rạc là 𝑘𝑠 = , và 𝑘𝑠 được gọi là số sóng mẫu; một nửa số sóng mẫu được ∆𝑥 ∆𝑥 2𝜋 gọi là sóng Nyquist. Vì biến đổi Fourier rời rạc tự lặp lại sau , tất cả các thông tin duy ∆𝑥 ±𝜋 nhất nằm giữa. Vì vậy, số sóng Nyquist là số sóng lớn nhất trong cách sử dụng của ∆𝑥 chúng ta. Chú ý rằng có một bước sóng gấp đôi khoảng cách mẫu.
Các dị thường của trường thế, như nhiều hiện tượng vật lý, có thể được xem như một dải bị hạn chế, tức là, chúng có các biến đổi Fourier giảm theo sự tăng của số sóng. Vì vậy, các số hạng số sóng cao gây nhiễu trong tổng trên đây có thể tương đối nhỏ, đặc biệt nếu khoảng cách mẫu được lấy tương đối so với các bước sóng chính của f(x). Các nguyên lý này là những nguyên lý rất quan trọng trong việc phát triển tính toán số. Một số tính chất của biến đổi Fourier Biến đổi Fourier có một số đặc trưng quan trọng đặc biệt hữu ích trong các thảo luận sau.
Dưới đây chúng ta dùng các ký hiệu ngắn gọn sau f(x) ↔ F(k) sẽ được hiểu là f(x) có biến đổi Fourier là F(k). Tính chất đối xứng Nếu f(x)↔F(k),và nếu f(x) là một hàm thực, thì F(k) có phần thực là đối xứng và phần ảo là phản đối xứng đối với k = 0; tức là, nếu f(x) là thực, thì F(k)=F*(-k) trong đó dấu sao ký hiệu liên hợp phức, và biến đổi Fourier của một hàm thực được gọi là Hermit. Hơn nữa nếu F(k)= F*(-k) thì f(x) phải là một hàm thực; tức là, đặc trưng Hermit là điều kiện cần và đủ đối với f(x) là thực. 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Tính chất tuyến tính Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính. Ví dụ, nếu 𝑓1 𝑥 ↔𝐹1 𝑘 , và 𝑓2 𝑥 ↔𝐹2 𝑘 thì: 𝑎1 𝑓1 𝑥 + 𝑎2 𝑓2 𝑥 ↔ 𝑎1 𝐹1 𝑘 + 𝑎2 𝐹2 𝑘 trong đó 𝑎1 và 𝑎2 là các hằng số tùy ý. Nếu f(x) ↔F(k), thì: 1 𝑘 𝑓 𝑎𝑥 ↔ 𝐹 𝑎 𝑎 trong đó a là hằng số tùy ý. Điều này ngụ ý rằng khoảng x chứa hầu hết năng lượng của f(x) tỉ lệ nghịch với độ rộng của dải chứa hầu hết năng lượng của F(k).
Đối với các dị thường trọng lực và từ, đặc trưng tỉ lệ chỉ ra rằng dị thường rộng có phổ biên độ hẹp hơn dị thường hẹp. Vì độ rộng của dị thường tỉ lệ thuận với độ sâu nguồn của nó, chúng ta có thể hy vọng rằng sự co hẹp của dị thường đã biến đổi Fourier cũng liên quan với độ sâu của nguồn 1. Sự chuyển dịch Chuyển dịch một hàm dọc theo trục x trong miền không gian tương đương với việc bổ xung thêm một nhân tử pha tuyến tính vào phép biến đổi Fourier của hàm, tức là, nếu f(x)↔F(k), thì: 𝑓 𝑥 − 𝑥0 ↔ 𝐹 𝑘 𝑒 −𝑖𝑥 0 𝑘 Chú ý rằng phổ biên độ và phổ mật độ năng lượng của f(x) là không bị ảnh hưởng bởi sự dịch chuyển f(x) dọc theo trục x. Đạo hàm Đạo hàm trong miền không gian tương đương với việc nhân lũy thừa thừa số sóng trong miền tần số.