Mô phỏng giao thông trong đường hầm bằng phương trình Lighthill-Whitham-Richards

Luận văn mô phỏng giao thông đường hầm sử dụng phương trình Lighthill-Whitham-Richards. Nghiên cứu ứng dụng toán học giải quyết bài toán thực tế.

• Tác giả: Phan Thị Ngọc Hân
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Quốc Lân
• Trường học: Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Mô phỏng giao thông trong đường hầm bằng phương trình Lighthill-Whitham-Richards
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng Quan Mô Phỏng Giao Thông Đường Hầm LWR Giới Thiệu

Ngày nay, với sự phát triển kinh tế, giao thông ngày càng trở nên quan trọng. Việc mô phỏng giao thông là rất cần thiết để kiểm soát và quản lý. Lý thuyết dòng giao thông được Greenshields nghiên cứu đầu tiên vào năm 1934, nhận ra mối tương quan giữa vận tốc và mật độ. Các nghiên cứu sau đó tiếp tục làm rõ mối liên hệ giữa lưu lượng, mật độ và vận tốc. Năm 1955, Lighthill và Whitham, sau đó là Richards, đưa ra mô hình tổng quát, được gọi chung là mô hình Lighthill-Whitham-Richards (LWR). Mô hình này đơn giản và mô phỏng được các tính chất của các hoạt động giao thông, dễ áp dụng và kết quả đủ cho việc kiểm soát. Dù chưa phải là mô hình tốt nhất, LWR cung cấp thông tin về các hiện tượng giao thông phức tạp. Theo luận văn của Phan Thị Ngọc Hân, mô hình này có thể ứng dụng trong giao thông đường hầm nhờ tính chất tương đồng với đường cao tốc.

1.1. Lịch sử và sự phát triển của lý thuyết dòng giao thông

Lý thuyết dòng giao thông khởi nguồn từ Greenshields (1934), mở đường cho các nghiên cứu sâu hơn về mối liên hệ giữa vận tốc, mật độ, và lưu lượng giao thông. Các phương pháp tiếp cận khác nhau, như phương pháp logarit của Greenberg và phương pháp mũ của Underwood, đã được phát triển, nhưng thường chỉ áp dụng được cho các mô hình liên tục. Mô hình LWR, ra đời từ những năm 1950, đánh dấu một bước tiến quan trọng nhờ tính đơn giản và khả năng mô phỏng các hoạt động giao thông.

1.2. Giới thiệu mô hình Lighthill Whitham Richards LWR

Phương trình Lighthill-Whitham-Richards (LWR) là một mô hình toán học mô tả sự biến động của lưu lượng giao thông. Mô hình này dựa trên việc phân tích mối liên hệ giữa lưu lượng giao thông và thủy động lực học, được Lighthill và Whitham phát triển năm 1955, và Richards năm 1956. Mô hình LWR thu hút sự chú ý vì nó đơn giản và có thể mô phỏng các tính chất của các hoạt động giao thông.

II. Vấn Đề Thách Thức Khi Quản Lý Giao Thông Đường Hầm

Mặc dù mô hình LWR có thể mô phỏng các hiện tượng giao thông phức tạp, nó vẫn còn những hạn chế. Ví dụ, mô hình này không thể mô phỏng giao thông trên đường có nhiều loại xe hoặc hiện tượng thay đổi làn xe. Để giải quyết vấn đề này, mô hình multi-class LWR (MCLWR) đã được xây dựng. Theo luận văn, việc áp dụng mô phỏng giao thông trong đường hầm Thủ Thiêm gặp khó khăn do không thu thập được số liệu thực tế. Điều này cho thấy một thách thức lớn trong việc ứng dụng mô hình vào thực tiễn.

2.1. Hạn chế của mô hình LWR trong mô phỏng giao thông thực tế

Mặc dù mô hình LWR có thể mô phỏng các hiện tượng giao thông phức tạp (hiện tượng giao thông có chứa sốc), nhưng vẫn còn một số hiện tượng giao thông phức tạp như là: mô phỏng giao thông trên đường có nhiều loại xe và hiện tượng thay đổi làn xe đang chạy của người thực hiện giao thông thì mô hình LWR không thể mô phỏng được.

2.2. Thu thập dữ liệu thực tế cho mô phỏng giao thông đường hầm

Việc áp dụng mô phỏng giao thông trong đường hầm Thủ Thiêm với số liệu thực tế như mục đích ban đầu chưa thực hiện được vì không thu thập được số liệu. Việc thu thập dữ liệu thực tế cho mô phỏng giao thông là một thách thức lớn trong việc ứng dụng mô hình vào thực tiễn. Cần có các phương pháp và thiết bị phù hợp để thu thập dữ liệu chính xác và đầy đủ.

2.3. Các yếu tố ảnh hưởng đến giao thông trong đường hầm

Các yếu tố như ánh sáng, thông gió, độ dốc, và làn đường có ảnh hưởng lớn đến giao thông trong đường hầm. Việc mô phỏng giao thông cần xem xét các yếu tố này để đảm bảo tính chính xác và hiệu quả. Các nghiên cứu cần tập trung vào việc định lượng ảnh hưởng của từng yếu tố đến mật độ giao thông, vận tốc giao thông, và lưu lượng giao thông.

III. Phương Pháp LWR Cách Mô Hình Hóa Giao Thông Đường Hầm

Để xây dựng mô hình giao thông LWR cho đường hầm, cần xem xét các yếu tố như mật độ giao thông, vận tốc giao thông, và lưu lượng giao thông. Phương trình LWR mô tả mối quan hệ giữa các yếu tố này. Cần xây dựng lược đồ ổn định để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình LWR, giúp mô phỏng giao thông trong đường hầm một cách chính xác. Theo luận văn, cần trình bày tính chất TVD (total-variation-diminishing) và chứng minh một số tính chất của lược đồ TVD để tìm nghiệm xấp xỉ của định luật bảo toàn vô hướng.

3.1. Xây dựng mô hình LWR cho đường hầm Các bước cơ bản

Việc xây dựng mô hình LWR cho đường hầm bao gồm các bước cơ bản sau: xác định các yếu tố ảnh hưởng đến giao thông, xây dựng phương trình LWR, và tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình. Việc xác định các yếu tố ảnh hưởng đến giao thông cần dựa trên dữ liệu thực tế và các nghiên cứu trước đó. Phương trình LWR cần được xây dựng sao cho phù hợp với đặc điểm của đường hầm.

3.2. Tính chất TVD Total Variation Diminishing và ứng dụng

Tính chất TVD (total-variation-diminishing) là một tính chất quan trọng cho các lược đồ tìm nghiệm xấp xỉ của định luật bảo toàn hyperbolic mà nghiệm không liên tục hoặc có sốc. Tính chất TVD giúp đảm bảo tính ổn định và chính xác của mô phỏng giao thông. Việc xây dựng lược đồ TVD cần đảm bảo rằng lược đồ thỏa mãn các tính chất cần thiết.

IV. Thuật Toán Giải Số Xây Dựng Lược Đồ TVD Cho LWR Chi Tiết

Trong những thập kỷ gần đây, có rất nhiều phương pháp số giải tìm nghiệm xấp xỉ của mô hình LWR, chẳng hạn như phương pháp sai phân hữu hạn, lược đồ Lax-Friedrichs bậc nhất, phương pháp Godunov, lược đồ Lax-Wendroff bậc hai, lược đồ MacCormack, lược đồ Beam-Warming, mô hình bắt sốc ENO (essentially non-oscillatory) và WENO (Weighted essentially non-oscillatory ). Luận văn này trình bày cấu trúc lược đồ TVD bậc hai, ba và bốn. Các lược đồ TVD giúp cải thiện độ chính xác và ổn định của mô phỏng giao thông.

4.1. Các phương pháp giải số phổ biến cho phương trình LWR

Nhiều phương pháp giải số đã được phát triển để tìm nghiệm xấp xỉ của mô hình LWR, bao gồm phương pháp sai phân hữu hạn, lược đồ Lax-Friedrichs bậc nhất, phương pháp Godunov, lược đồ Lax-Wendroff bậc hai, lược đồ MacCormack, và lược đồ Beam-Warming. Các phương pháp này có ưu và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán cụ thể.

4.2. Xây dựng lược đồ TVD bậc hai ba và bốn Chi tiết thuật toán

Việc xây dựng lược đồ TVD bậc hai, ba, và bốn là một quá trình phức tạp, đòi hỏi kiến thức sâu về giải tích số và lý thuyết dòng giao thông. Cần đảm bảo rằng lược đồ thỏa mãn các tính chất TVD và có độ chính xác đủ cao. Các lược đồ TVD bậc cao thường cho kết quả chính xác hơn, nhưng cũng phức tạp hơn về mặt tính toán.

4.3. So sánh hiệu quả của các lược đồ TVD khác nhau

Cần so sánh hiệu quả của các lược đồ TVD khác nhau để lựa chọn lược đồ phù hợp nhất cho từng bài toán cụ thể. Các tiêu chí so sánh có thể bao gồm độ chính xác, tính ổn định, và thời gian tính toán. Việc so sánh cần dựa trên các bài toán thử nghiệm với dữ liệu thực tế và các thông số khác nhau.

V. Kết Quả Mô Phỏng Đánh Giá Hiệu Quả Mô Hình LWR Trong Hầm

Luận văn đã tiến hành mô phỏng ví dụ bằng phần mềm Matlab cho lược đồ TVD và không TVD. Kết quả cho thấy rằng, nghiệm của lược đồ không TVD bị dao động xa nghiệm chính xác hơn so với lược đồ TVD. Nghiệm xấp xỉ giải bằng lược đồ TVD ổn định hơn giải bằng lược đồ không TVD. Kết quả này chứng minh tính hiệu quả của lược đồ TVD trong mô phỏng giao thông.

5.1. Ứng dụng phần mềm Matlab trong mô phỏng giao thông đường hầm

Phần mềm Matlab là một công cụ mạnh mẽ để mô phỏng giao thông và đánh giá hiệu quả của mô hình LWR. Matlab cung cấp các công cụ và thư viện hỗ trợ cho việc giải các phương trình vi phân và thực hiện các tính toán số. Việc sử dụng Matlab giúp giảm thiểu thời gian và công sức trong quá trình mô phỏng.

5.2. So sánh kết quả mô phỏng với lược đồ TVD và không TVD

Kết quả mô phỏng cho thấy rằng lược đồ TVD cho kết quả ổn định hơn và chính xác hơn so với lược đồ không TVD. Lược đồ không TVD thường dẫn đến các dao động không mong muốn trong nghiệm, làm giảm độ tin cậy của mô phỏng. Việc sử dụng lược đồ TVD là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của mô phỏng.

5.3. Đánh giá tính ổn định và độ chính xác của mô hình LWR

Việc đánh giá tính ổn định và độ chính xác của mô hình LWR là rất quan trọng để đảm bảo rằng mô hình có thể được sử dụng để đưa ra các quyết định quản lý giao thông hiệu quả. Tính ổn định của mô hình đảm bảo rằng các nghiệm không bị dao động hoặc phân kỳ. Độ chính xác của mô hình đảm bảo rằng các nghiệm gần đúng với nghiệm thực tế.

VI. Tương Lai Mô Phỏng Giao Thông Hầm Hướng Nghiên Cứu Mới Nhất

Các nghiên cứu gần đây tập trung vào việc phát triển các mô hình MCLWR để mô phỏng các hiện tượng giao thông phức tạp hơn. Ngoài ra, việc kết hợp mô hình LWR với các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy có thể giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả của mô phỏng giao thông. Các nghiên cứu cũng tập trung vào việc xây dựng các hệ thống quản lý giao thông thông minh dựa trên mô phỏng.

6.1. Phát triển mô hình multi class LWR MCLWR cho giao thông phức tạp

Mô hình multi-class LWR (MCLWR) là một cải tiến của mô hình LWR, cho phép mô phỏng các hiện tượng giao thông phức tạp hơn, chẳng hạn như giao thông trên đường có nhiều loại xe và hiện tượng thay đổi làn xe. Việc phát triển các mô hình MCLWR đòi hỏi các phương pháp toán học và tính toán phức tạp hơn.

6.2. Ứng dụng trí tuệ nhân tạo và học máy trong mô phỏng giao thông

Trí tuệ nhân tạo và học máy có thể được sử dụng để cải thiện độ chính xác và hiệu quả của mô phỏng giao thông. Các thuật toán học máy có thể được sử dụng để học các mẫu từ dữ liệu giao thông thực tế và dự đoán các biến động giao thông trong tương lai. Các thuật toán trí tuệ nhân tạo có thể được sử dụng để xây dựng các hệ thống quản lý giao thông thông minh.

6.3. Xây dựng hệ thống quản lý giao thông thông minh dựa trên mô phỏng

Các hệ thống quản lý giao thông thông minh có thể được xây dựng dựa trên kết quả mô phỏng giao thông. Các hệ thống này có thể sử dụng kết quả mô phỏng để đưa ra các quyết định điều chỉnh giao thông, chẳng hạn như điều chỉnh đèn tín hiệu giao thông hoặc cảnh báo người lái xe về các điều kiện giao thông bất thường.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Kiến thức tổng quan x = x0 + ta(u0 (x0 )) Giả sử tồn tại hai điểm x1 < x2 sao cho a(u0 (x1 )) > a(u0 (x2 )). Khi đó, hai đường đặc trưng qua (x1 , 0) và (x2 , 0) cắt nhau tại điểm P ứng với: 2 −x1 t = a(u0 (x1x))−a(u 0 (x2 )) >0 Như vậy, tại P hàm u nhận cả hai giá trị là u0 (x1 ) và u0 (x2 ). Do đó, hàm u không liên tục tại P.

Điều kiện để hai đường đặc trưng không cắt nhau tại t > 0 là hàm x 7→ a(u0 (x)) tăng. Tuy nhiên, nghiệm trơn của hệ có thể được xây dựng đến một thời điểm lớn nhất T ∗ được xác định bởi: T ∗ = − min(α,0) 1 với α = min a (u0 (x)) x∈R 1.2 Nghiệm yếu và hệ thức Rankine-Hugoniot Xét bài toán Cauchy: { ut + [f (u)]x = 0, u ∈ Ω ⊂ Rp (1. Giả sử u là nghiệm trơn và φ ∈ C0 (R × [0, ∞)). p p Áp dụng công thức Green ta có: ∫∞ ∫ 0=− (ut + f (u)x )φdxdt 0 R ∫∞ ∫ ∫ ′ ′ = (u.

0 R R Vậy nghiệm cổ điển u thỏa đẳng thức vi tích phân: ∫∞ ∫ ∫ ′ ′ (u. Kiến thức tổng quan Định nghĩa Hàm u ∈ L∞ loc (R × [0, ∞)) được gọi là nghiệm yếu của bài p toán Cauchy (1.4) nếu u(x, t) ∈ Ω hầu khắp nơi (h.5) với mọi hàm thử φ ∈ C0∞ (R × [0, ∞))p. Cho u là hàm trơn R × R+ → Ω có dạng { u− (x, t), x < φ(t) u(x, t) = (1.6) u+ (x, t), x > φ(t) Đặt Ω+ = {(x, t) : x > φ(t)}, Ω− = {(x, t) : x < φ(t)} và các hàm u± : Ω± → U , φ : R+ → R là các hàm khả vi liên tục. Khi đó, u là nghiệm yếu của (1.4) khi và chỉ khi u là nghiệm trơn trên từng miền Ω± và thỏa điều kiện Rankine-Hugoniot sau: ′ −φ (t)(u+ (t) − u− (t)) + f (u+ (t)) − f (u− (t)) = 0 (1.

ε→0 ε→0 Chứng minh Với hàm θ tùy ý trong Cc∞ (R × (0, +∞)), phương trình (1.5) được viết lại:   ∑ ∫ ∫   (u± (x, t) θ(x, t)t + f (u± (x, t) θ(x, t)x )) dxdt = 0 ± Ω± Áp dụng công thức Green trên từng miền Ω± , ta được: ′ ′ φ (t) u− (t) − f (u− (t)) − φ (t) u+ (t) + f (u+ (t)) = 0 Định lý chứng minh xong. Kiến thức tổng quan 1.3 Khái niệm về entropy toán học 1.1 Tính không duy nhất của nghiệm yếu Ta xét ví dụ về phương trình Burgers: { 2 ut + ( u2 )x = 0, u ∈ Ω ⊂ Rp (1. Điều kiện Rankine-Hugoniot lúc này là: ′ φ (t) = f (uu++)−f −u− (u− ) = 21 Dễ dàng kiểm tra được   t  0, x ≤ u1 (x, t) = 2   1, x > t 2 và    0, x ≤ 0 x u2 (x, t) = ,0 < x < t   t  1, x ≥ t là hai nghiệm yếu của (1.2 Khái niệm entropy toán học và nghiệm entropy Cặp entropy lồi 14 Chương 1. Kiến thức tổng quan Xét định luật bảo toàn tổng quát dạng (1.

Giả sử U : Ω 7→ R là một hàm trơn. Ta nhân hai vế của phương trình (1.ux = 0 Nếu tồn tại hàm khả vi F(u) thỏa: ∇F(u) = ∇U(u)Df (u) (1.1) được viết lại: U(u)t + F(u)x = 0. Định nghĩa Cho Ω là một tập lồi. Hàm lồi, trơn U : Ω → R được gọi là entropy của định luật bảo toàn (1.1) nếu tồn tại một hàm trơn F : Ω → R thỏa mãn hệ thức: U(u)t + F(u)x = 0.10) Hàm F được gọi là thông lượng entropy.

Cặp (U, F) được gọi là cặp entropy lồi của hệ (1. Bất phương trình entropy Xét định luật bảo toàn với nhớt: uεt + f (uε )x = ε(uε )xx (1. Giả sử hệ (1.1) có một cặp entropy lồi (U, F). Giả sử uε là một dãy hàm trơn của (1.11) sao cho: lim uε = u, lim ∥uε ∥L∞ (R×[0,+∞)) ≤ C h.n trong R × [0, +∞) ε→0 ε→0 15 Chương 1.

Kiến thức tổng quan trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào ε. Khi đó, u là nghiệm yếu của định luật bảo toàn (1.1) và thỏa bất phương trình entropy sau: U(u)t + F(u)x ≤ 0 h.12) 16 Chương 2 Xây dựng mô hình Trong chương 2, luận văn trình bày sự hình thành mô hình LWR, tính chất TVD, xây dựng một số lược đồ TVD.1 Sự hình thành mô hình LWR Xét giao thông trên đường cao tốc trong đó lưu lượng và mật độ giao thông lần lượt được biễu diễn bởi f (x, t) và ρ (x, t). Xét trên một đoạn đường được miêu tả như hình 2. Tại thời điểm t, mật độ giao thông là ρ (x, t), sau thời gian ∆t mật độ giao thông là ρ + ∂ρ∂t.

Trong khoảng thời gian ∆t, lưu lượng giao thông vào và ra lần lượt là f (x, t), f + ∂f ∂x. Theo định luật bảo toàn, ta có: ( ) ( ) ∂ρ ∂f ρ.1) ∂t ∂x trong đó Ω là tập xác định thời gian và không gian của bài toán. Xây dựng mô hình Lưu lượng, vận tốc trung bình và mật độ thỏa phương trình: f (x, t) = u (x, t) .1: Minh họa sự bảo toàn xe trên một đoạn đường. Từ mô hình LWR cho một đoạn cao tốc trên, Lighthill-Whitham-Richards đã xây dựng phương trình LWR tổng quát sau: ∂p ∂p ∂2p ∂2p + q (p).

Xây dựng mô hình trong đó: - q(p) là vận tốc sóng (the wavespeed). - T là hằng số thời gian vận tốc biến thiên (the inertial time constant for speed variation). - D là hệ số khuếch tán (diffusion coefficient representing how vehicles respond to nonlocal changes in traffic conditions).2 Bài toán Phương trình LWR tổng quát: ∂u ∂u ∂2u ∂2u ∀x ∈ [x0 , x1 ], ∀t ∈ [0, t0 ], + q (u) .5) ∂t ∂x ∂ t ∂ x với điều kiện u(x, 0) = u0 (x). Một số kết quả nghiên cứu giải phương trình (2.5) tiêu biểu: Năm 1988, Chi-Wang Shu và Stanley Osher đưa ra mô hình bắt sốc ENO (essentially non-oscillatory) kết hợp với lược đồ TVD (total-variation-diminishing) rời rạc thời gian tìm nghiệm gián đoạn của mô hình LWR (xem [3]).

Năm 1994, Xu-Dong Liu, Stanley Osher và Tony Chan đưa ra mô hình bắt sốc WENO (Weighted essentially non-oscillatory ) giải phương trình LWR (xem [10]). Năm 2003, Mengping Zhanga, Chi-Wang Shu, George C. Wong đưa ra mô hình WENO (weighted essentially non-oscillatory) giải mô hình LWR nhiều loại xe (xem [15]). Wong, MengpingZhang và Chi-WangShu xây dựng lược đồ tìm nghiệm entropy cho mô hình LWR với mối liên hệ giữa hàm lưu lượng và mật độ là hàm lồi, gián đoạn, bậc hai từng khúc và điều kiện đầu là hàm tuyến tính từng khúc, điều kiện biên là hàm hằng từng khúc (xem [13]).

Xây dựng mô hình Năm 2010, Pierre-Emmanuel Mazaré, Christian G. Claudel và Alexandre M. Bayen xây dựng phương pháp lưới tự do giải phương trình LWR. (xem [20]) Từ phương trình tổng quát (2.5), ta xét trường hợp đơn giản sau: ∀x ∈ [x0 , x1 ], ∀t ∈ [0, t0 ], ut + [f (u)]x = 0, u ∈ Ω ⊂ Rp (2.6) với điều kiện u(x, 0) = u0 (x).

Dạng tóm tắt của phương trình (2.8) Trong đó: + T là toán tử rời rạc phi tuyến. + L là toán tử rời rạc phi tuyến và là xấp xỉ bậc r của toán tử không gian £ trong (2.7) L(u) = £(u) + O(∆xr ) * Định nghĩa 2 w̃ = T̃ (u) = (I − ∆tL̃)(u) Trong đó: + T̃ là toán tử rời rạc phi tuyến. + L̃ là toán tử rời rạc phi tuyến và là xấp xỉ bậc r của toán tử không gian £ trong (2.9) Ví dụ: Phương trình hyperbolic bậc nhất 20 Chương 2. Xây dựng mô hình ut = ux = £(u) có L(u) = u(x+∆x,t)−u(x,t) ∆x.

Kí hiệu: unj là giá trị xấp xỉ của nghiệm chính xác u tại nút (xj , tn ) với xj = j. Luận văn cần xây dựng một lược đồ xấp xỉ bậc r cho bài toán (2.10) Trong đó S là toán tử phụ thuộc vào T .3 Tính chất TVD, TVB Biến phân toàn phần của nghiệm vô hướng rời rạc được định nghĩa bởi: ∑ T V (un ) = |unj+1 − unj | j - Lược đồ sai phân được gọi là TVD ( hay biến phân toàn phần giảm) nếu: T V (un+1 ) ≤ T V (un ) - Lược đồ sai phân được gọi là TVB ( hay biến phân toàn phần bị chặn) trên [0, T ] nếu: T V (un ) ≤ B trong đó: B là hằng số. Xây dựng mô hình 2.4 Ý nghĩa của lược đồ TVD Trong phần này, luận văn trình bày ví dụ cho thấy sự ổn định của lược đồ TVD. Xét phương trình Burgers (xem [4]) 1 ut + ( u2 )x = 0 (2.11) 2 { 1, x≤0 với điều kiện: u(x, 0) = ; −1 ≤ x ≤ 1 −0.5, x > 0 Công thức lược đồ TVD bậc hai ( xem 2.13) u(2) = u(0) + u(0) − ∆tL(u(1) ) 40 40 Dưới đây là kết quả giải số phương trình (2.11) bằng cách sử dụng lược đồ TVD và lược đồ không TVD ( code xem phụ lục A và B).

Xây dựng mô hình Hình 2.2: Kết quả số của nghiệm sử dụng lược đồ TVD Hình 2.3: Kết quả số của nghiệm sử dụng lược đồ không TVD Hình (2.2) là kết quả nghiệm sử dụng lược đồ TVD bậc hai ( lược đồ (2. Xây dựng mô hình Hình (2.3) là kết quả nghiệm xấp xỉ sử dụng lược đồ không TVD bậc hai ( lược đồ (2. Kết quả số cho thấy rằng, nghiệm của lược đồ không TVD bị dao động xa nghiệm chính xác hơn so với lược đồ TVD. Nghiệm xấp xỉ giải bằng lược đồ TVD ổn định hơn giải bằng lược đồ không TVD.5 Lược đồ bảo toàn tính đơn điệu, lược đồ đơn điệu, lược đồ tuyến tính * Lược đồ bảo toàn tính đơn điệu Lược đồ sai phân được gọi là bảo toàn tính đơn điệu nếu: {unj+1 ≥ unj , ∀j} ⇒ {un+1 j+1 ≥ uj n+1 , ∀j} * Lược đồ đơn điệu Lược đồ sai phân có dạng un+1 j = unj − λ(fb(uj−p , ., uj+q ) − fb(uj−p−1 , ., uj+q ) được gọi là lược đồ đơn điệu nếu G là hàm đơn điệu không giảm theo từng biến ( tức là G(↑, ↑, ., ↑)) * Lược đồ tuyến tính Một lược đồ được gọi là lược đồ tuyến tính nếu nó là tuyến tính khi áp dụng để giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính: ut + aux = 0 trong đó: a là hằng số.

Xây dựng mô hình 2.