Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Những kiến thức cơ bản được trình bày trong chương này gồm: chuỗi thời gian và toán tử trễ, phương trình sai phân, kỳ vọng có điều kiện và martingle sẽ được sử dụng vào các chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA, GARCH.1 Không gian xác suất và martingle, Định nghĩa 1. Quá trình ngẫu nhiên (xem [12]) Xt là một họ các biến ngẫu nhiên với t ∈ T và được xác định trên một số không gian xác suất cho trước. Ở đây, T là một tập chỉ mục có thứ tự và thường được dùng để mô tả thời gian. Một số ví dụ của tập T là T = {1, 2,.
} = N cho trường hợp rời rạc và T = [0, ∞) hay T = (−∞, ∞) cho trường hợp thời gian liên tục. Với mỗi t, đại lượng Xt được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên.1 Kỳ vọng có điều kiện Khái niệm 1. Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất. Cho ζ ⊂ F là một σ−trường và X là một biến ngẫu nhiên khả tích.
Kỳ vọng có điều kiện của X theo σ−trường ζ là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(X|ζ), thỏa a. A E(X|ζ)dP = A XdP với mọi A ∈ ζ. Ta định nghĩa E(X|Y ) là kỳ vọng có điều kiện của X theo σ−trường σ(Y ). Nguyễn Minh Duy 2 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Ta có các tính chất sau của kỳ vọng có điều kiện.
a) Nếu c là hằng số thì E(c|ζ) = c. c) Nếu ζ là σ−trường tầm thường {φ, Ω} thì E(X|ζ) = X. e) Nếu X độc lập với ζ tức là σ(X) độc lập với ζ thì E(X|ζ) = EX. f) Nếu Y là ζ−đo được, E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì E(XY |ζ) = Y E(X|ζ).
j) Bất đẳng thức Jensen: Giả sử φ : R → R lồi và khả tích. k) Hội tụ đơn điệu Beppo - Levy: Nếu Xn ≥ 0, Xn ↑ X và E|X| < ∞ thì E(Xn |ζ) ↑ E(X|ζ). l) Bổ đề Fatou: Nếu Xn ≥ 0 thì E(limn→∞ Xn |ζ) ≤ limn→∞ E(Xn |ζ). m) Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue: Giả sử Y là biến ngẫu nhiên khả tích và |Xn | ≤ Y (h.
Nếu limn→∞ Xn = X thì limn→∞ E(Xn |ζ) = E(X|ζ).2 Martingale Các khái niệm và định lý dưới đây được hiểu là martingale với thời gian rời rạc (xem [12]). Cho X = (Xt )t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên thoả E|Xt | < ∞ với mọi t. Ta gọi Nguyễn Minh Duy 3 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ a. Xt là supermartingale nếu E(Xt |Fs ) ≤ Xs với mọi 0 ≤ s ≤ t b.
Xt là submartingale E(Xt |Fs ) ≥ Xs với mọi 0 ≤ s ≤ t c. Xt là martingale nếu Xt là supermartingale và submartingale; tức là E(Xt |Fs ) = Xs. Thông thường, ta dùng bộ lọc tự nhiên Ft = σ(Xs )s≤t. Theo lý thuyết trò chơi, nếu xem Xt là số vốn ở thời điểm t, Ft = σ(Xs )s≤t là thông tin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi gây thiệt hại nếu nó là supermartin- gale, trò chơi có lợi nếu nó là submartingale và công bằng nếu nó là martingale.
Các kết quả chính của martingale là các bất đẳng thức và các định lý hội tụ, nhất là các định lý của Doob.3 Hiệu martingale Cho Ft là một bộ lọc và (Yt ) được gọi là là hiệu martingale nếu E|Yt | < ∞ và E(Yt+1 |Ft ) = 0 Nhận xét 1. • Nếu Xt là martingale thì Yt là hiệu martingale với Y0 = X0 và Yt = ∆Xt = Xt − Xt−1. Thật vậy E(Yt+1 |Ft ) = E(Xt+1 − Xt |Ft ) = E(Xt+1 |Ft ) − Xt = 0. • Ngược lại, nếu Yt là hiệu martingale thì ta có thể xây dựng martingale Xt như Pt sau: X0 = Y0 , Xt = k=1 Yk Dễ thấy Xt là Ft -đo được và E|Xt | < ∞.
Hơn nữa E(Xt+1 |Ft ) = E(Yt+1 + Xt |Ft ) = E(Yt+1 |Ft ) + Xt = Xt .4 Khai triển Doob Định lý 1. Giả sử Xt là submartingale. Khi đó tồn tại martingale Mt và dãy tăng dự báo được At , nghĩa là 0 = A0 ≤ A1 ≤ · · · ≤ At ≤. , sao cho: Xt = Mt + At (1.1) Khai triển này, còn được gọi là khai triển Doob, là duy nhất.
Nguyễn Minh Duy 4 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Trong định lý này, dãy (At ), (Mt ) được xác định bởi A0 = 0, t−1 X (1. j=0 Bây giờ, ta sẽ đề cập đến martingale bình phương khả tích. Giả sử Mt là mar- tingale bình phương khả tích tức là Mt là một martingale và E|Mt |2 < ∞. Vì Mt là martingale nên bất đẳng thức Jensen với hàm lồi g(x) = x2 suy ra quá trình Mt2 là submartingale.
Theo khai triển Doob ta có Mt2 = mt + M̃t (1.4) trong đó, mt là martingale và M̃t là dãy tăng dự báo được. Ta gọi M̃t là đặc trưng bình phương của martingale M và t−1 X t−1 X 2 M̃t = [E(Mj+1 |Fj ) − Mj2 ] = [(∆Mj )2 |Fj−1 )]∆Mj = Mj − Mj−1. j=0 j=1 Đặc biệt, nếu M0 = 0 thì E(Mk2 ) = E(M̃k ). Đặt M0 = 0; Mt = k=1 Yk .5 Luật mạnh số lớn martingale bình phương khả tích Định lý 1.
Giả sử Mt là martingale bình phương khả tích và At là dãy tăng dự báo được P E[(∆Mi )2 |Fi−1 ] sao cho A1 ≥ 1, A∞ = ∞. Nếu ∞ i=1 A2 < ∞ thì i Mt lim = ∞. Giả sử Mt là martingale bình phương khả tích và M̃∞ = ∞(h. Khi đó, Mt lim = 0.6) t→∞ M̃t Nguyễn Minh Duy 5 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ 1.2 Chuỗi thời gian Chuỗi thời gian (xem [20]) là một chuỗi số liệu được thu thập trong một thời kì hoặc một khoảng thời gian lặp lại như nhau trên cùng một đối tượng, một không gian, hoặc một địa điểm.
Với số liệu chuỗi thời gian, ta thường sử dụng chỉ số t để chỉ thứ tự của các quan sát. Chuỗi thời gian có thể được thu thập theo đơn vị thời gian là năm, tháng, ngày, hay chi tiết hơn như giờ, phút .1 Quá trình dừng Định nghĩa 1. Gọi {Xt } là một quá trình ngẫu nhiên với V (Xt ) < ∞ với mọi t ∈ Z. Khi đó, hàm tự hiệp phương sai γX (t, s) của {Xt } được định nghĩa bởi hiệp phương sai của Xt và Xs.
Ta có: γX (t, s) = cov(Xt , Xs ) = E [(Xt − EXt )(Xs − EXs )] = EXt Xs − EXt EXs. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là dừng khi và chỉ khi với mọi số nguyên r, s và t, ta có a. E(Xt ) = µ là hằng số, b. Các quá trình thoả các tính chất này đôi khi còn được gọi là các quá trình dừng yếu, dừng theo nghĩa rộng, dừng hiệp phương sai hoặc dừng bậc hai.
Do đó, nếu {Xt } là quá trình dừng thì γX (t, t) = V (Xt ) là hằng số. Nếu {Xt } dừng thì, bằng cách đặt r = −s, hàm tự hiệp phương sai thoả: γX (t, s) = γX (t − s, 0); nghĩa là, γX (t, s) chỉ phụ thuộc vào t − s. Do đó, với quá trình dừng, ta có thể xem hàm tự hiệp phương sai là hàm một biến h = t − s. Ngoài ra, ta cũng có định nghĩa của hàm tự tương quan như sau: ρX (h) = γγXX (h) (0) , với mọi ∈ Z.
Nguyễn Minh Duy 6 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định nghĩa 1. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là dừng ngặt nếu phân phối đồng thời của (Xt1 ,. , Xtn ) và (Xt1 +h ,. , Xtn +h ) là bằng nhau với mọi h ∈ Z và (t1 ,.
Ta cũng có một định nghĩa khác tương đương của quá trình dừng ngặt như sau. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là dừng ngặt nếu với mọi số nguyên h và n ≥ 1, (X1 ,. , Xn+h ) có cùng phân phối. Nếu {Xt } là dừng ngặt thì Xt có cùng phân phối với mọi t (chọn n = 1).
Hơn nữa, Xt+h và Xt có phân phối đồng thời không phụ thuộc vào t; nghĩa là, hiệp phương sai (nếu tồn tại) chỉ phụ thuộc vào h. Do đó, mọi quá trình dừng ngặt thoả V (Xt ) < ∞ cũng là quá trình dừng. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Ta xét ví dụ sau: Exp(1), với t lẻ, Xt ∼ N (1, 1), với t chẵn.
Ở đây, Exp(1) là phân phối mũ với kỳ vọng bằng 1, N (1, 1) là phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 1, phương sai bằng 1, và (Xt )t là các biến ngẫu nhiên độc lập. Do đó, {Xt } dừng, nhưng không dừng ngặt vì phân phối của Xt thay đổi tùy theo t là chẵn hay lẻ. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là quá trình Gauss nếu mọi phân phối hữu hạn chiều (Xt1 ,. , đều là phân phối chuẩn nhiều chiều.
Dễ thấy quá trình Gauss là dừng ngặt. Hơn nữa, với mọi n, h, t1 ,. , Xtn ) và (Xt1 +h ,. , Xtn +h ) có cùng kỳ vọng và ma trận hiệp phương sai.2 Quá trình trung bình trượt Quá trình trung bình trượt bậc 1, ký hiệu là MA(1), được định nghĩa bởi Xt = Zt + θZt−1 Nguyễn Minh Duy 7 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ với Zt ∼ N (0, σ 2 ).
0 khác Do đó, {Xt } là một quá trình dừng với hàm tự tương quan 1 h=0 ρX (h) = θ h = ±1 .3 Các tính chất của hàm tự hiệp phương sai Định lý 1. Hàm tự hiệp phương sai của quá trình dừng {Xt } được đặc trưng bởi các tính chất sau: a. i,j=1 ai γX (ti − tj )aj ≥ 0 với mọi n và với mọi véctơ (a1 ,. Hàm tự tương quan của một quá trình ngẫu nhiên dừng {Xt } được đặc trưng bởi các tính chất sau: a.
i,j=1 ai ρX (ti − tj )aj ≥ 0 với mọi n và các vectơ (a1 ,. Nguyễn Minh Duy 8 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ 1.4 Toán tử trễ Cho {Xt } là một chuỗi thời gian. Ta định nghĩa toán tử trễ L bởi LXt = Xt−1. Dễ thấy, toán tử trễ là một toán tử tuyến tính thoả các tính chất sau: a.
Với quá trình hằng {Xt = c}, trong đó c là hằng số, ta có Lc = c. L} Xt = Ln Xt = Xt−n .