Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực tiếp đến đề tài và danh mục tài liệu tham khảo. Chƣơng 1 trình bày các kiến thức cơ bản của vành, trƣờng và mã tuyến tính để làm cơ sở cho việc trình bày các chƣơng sau. Chƣơng 1 bao gồm 2 mục: Mục 1.1 dành cho việc trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của vành, trƣờng hữu hạn.2 giới thiệu khái niệm và một số tính chất cơ bản về mã tuyến tính trên vành giao hoán hữu hạn nhƣ: tích trong, trực giao, mã tự đối ngẫu,… và một số kết quả cùng hƣớng nghiên cứu, đƣợc sử dụng ở các chứng minh trong phần sau. Chƣơng 2, chƣơng 3 nghiên cứu các lớp mã constacyclic và mã đối ngẫu chúng.
Ngoài ra còn liệt kê cả các mã constacyclic có độ dài 6 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về vành, trƣờng và mã tuyến tính làm bổ trợ cho các chƣơng sau. Tất cả các vành đƣợc nói đến trong đề tài khóa luận tốt nghiệp đều là các vành có đơn vị.1 Một số kiến thức về vành và trƣờng 1.1 Định nghĩa vành. Vành là một tập hợp cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu và (ngƣời ta thƣờng kí hiệu nhƣ vậy) và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1) cùng với phép cộng là một nhóm aben.
2) cùng với phép nhân là một nửa nhóm. 3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý ta có Phần tử trung lập của phép cộng thì kí hiệu là và gọi là phần tử không. Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử thì kí hiệu là và gọi là đối của. Nếu phép nhân có tính giao hoán, nghĩa là , thì vành đƣợc gọi là vành giao hoán.
Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của và thƣờng đƣợc kí hiệu là hay. Vành trong đó phép nhân có phần tử đơn vị đƣợc goi là vành có đơn vị. Cho vành có đơn vị. Xét tập hợp { | }.
Ta nói vành đƣợc gọi là vành địa phương nếu tập hợp là một nhóm con của đối với phép cộng. 7 Cho là vành giao hoán hữu hạn. Vành đƣợc gọi là vành chuỗi nếu tập hợp tất cả các iđêan của vành là một chuỗi sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm. Vành với là số nguyên tố là vành chuỗi giao hoán hữu hạn.2 Ƣớc của không.
Giả sử là một vành giao hoán. Ta bảo một phần tử là bội của một phần tử hay chia hết cho , kí hiệu , nếu có sao cho ; ta còn nói rằng là ước của hay chia hết , kí hiệu |. Ta gọi là ước của 0 mọi phần tử sao cho có thỏa mãn quan hệ a. Ta gọi là miền nguyên một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị, không có ƣớc của 0.
Vành số nguyên là một miền nguyên.3 Iđêan và vành thƣơng 1. Một bộ phận khác rỗng của một vành là một iđêan của nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) với mọi. (ii) và với mọi và mọi. Cho là một vành giao hoán có đơn vị khác không.
Iđêan của gọi là tối đại trong nếu và các iđêan của chứa chỉ là bản thân và. Iđêan của gọi là nguyên tố nếu và nếu tích hoặc. đƣợc gọi là iđêan chính nếu là iđêan sinh bởi một phần tử. ([12]) Cho là vành giao hoán hữu hạn.
Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương: (i) là vành địa phương và iđêan tối đại của là iđêan chính; (ii) là vành iđêan chính, địa phương; 8 (iii) là vành chuỗi. Giả sử là một vành giao hoán có đơn vị và. Bộ phận của gồm các phần tử có dạng với là iđêan của sinh ra bởi. Nếu là một vành có đơn vị và nếu là một iđêan của chứa đơn vị của thì ta có.
Nếu là một iđêan của vành , thì: (i) Lớp chỉ phụ thuộc vào các lớp và mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử từ các lớp đó. (ii) ⁄ cùng với hai phép toán là một vành gọi là vành thương của trên A.4 Định nghĩa đồng cấu vành. Một đồng cấu (vành) là một ánh xạ từ một vành đến một vành sao cho Với mọi. Nếu thì đồng cấu gọi là một tự đồng cấu của .5 Định nghĩa trƣờng.
Ta gọi là trường một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều có một nghịch đảo trong vị nhóm nhân. Vậy một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trƣờng nếu và chỉ nếu { } là một nhóm đối với phép nhân của. Tập hợp các số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân các số là một trƣờng. Ta cũng có trƣờng số thực và trƣờng số phức.
Cho là một vành có đơn vị khác không. Một là: (i) Một nhóm cộng aben. (ii) Ánh xạ đƣợc gọi là phép nhân môđun, thỏa các điều kiện sau: 1. Quy tắc kết hợp: 2.
Quy tắc phân phối: , 3. Quy tắc unita: trong đó là các phần tử tùy ý của. Lúc đó, đƣợc gọi là vành cơ sở. Nếu là một ta ký hiệu.
Tƣơng tự ta cũng định nghĩa đƣợc khái niệm. Từ định nghĩa ta có kết quả sau: với mọi. Một trái là đơn nếu nó không có một môđun con không tầm thƣờng nào. Một trái là nửa đơn trái nếu là một tổng trực tiếp của các môđun đơn.
Một vành là nửa đơn trái nếu là một tổng trực tiếp các iđêan trái cực tiểu.7 Môđun con và môđun thƣơng 1. (Môđun con) Cho là một phải. Tập con của đƣợc gọi là môđun con của , ký hiệu hay , nếu là một phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên. 10 Chú ý rằng ký hiệu để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thông thƣờng.
Ngoài ra nếu ta viết có nghĩa là môđun con của. có nghĩa không phải là môđun con của. Sau đây là dấu hiệu nhận biết một môđun con: 1. Giả sử là một phải.
Nếu là một tập con khác của , thì các khẳng định sau là tương đương: (i) , (ii) là nhóm con của nhóm cộng của môđun và với mọi ta có , (iii) Với mọi ta có , và với mọi ta có. Ta xét vành giao hoán. Số nguyên dƣơng nhỏ nhất sao cho với mọi phần tử đƣợc gọi là đặc số của vành. Nếu số nguyên dƣơng nhƣ vậy không tồn tại ta nói rằng vành có đặc số 0.
Phần tử của đƣợc gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số nguyên sao cho. Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên đƣợc gọi là chỉ số lũy linh của phần tử a. Các khái niệm sau là quen thuộc đối với vành chuỗi giao hoán hữu hạn [21] Hai đa thức [ ] đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu 〈 〉 〈 〉 [ ], hoặc tƣơng đƣơng, nếu tồn tại các đa thức [ ] sao cho. Khái niệm nguyên tố cùng nhau của hai đa thức trong vành [ ] đƣợc định nghĩa tƣơng tự.
Nếu thêm giả thiết vành là vành chuỗi giao hoán hữu hạn thì là trƣờng ( ( là iđêan tối đại của vành chuỗi giao hoán hữu hạn )). Khi đó, hai đa thức trong [ ] nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng không có ƣớc chung nào có bậc lớn hơn 0. Các kết quả sau chỉ ra mối liên hệ giữa các phần tử của vành [ ] và [ ]. ([21]) Cho là vành chuỗi giao hoán hữu hạn.
Giả sử rằng là các đa thức đôi một nguyên tố cùng nhau trong vành [ ]. Khi đó, và ∏ nguyên tố cùng nhau trong vành [ ]. Một đa thức [ ] đƣợc gọi là chính quy nếu nó không phải là ƣớc của 0.4]) (Bổ đề Hensel) Cho là một đa thức trên vành. Giả sử với đôi một nguyên tố cùng nhau trên vành.
Khi đó, tồn tại các đa thức đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho và với. ([27]) Cho vành giao hoán hữu hạn và đa thức [ ] (i) Ta gọi là đa thức đơn biến nếu. (ii) Ta gọi là đa thức hoàn toàn không chính phương nếu trong phân tích của thành tích của các đa thức bất khả quy không có nhân tử nào đƣợc lặp lại, nghĩa là ∏ với là các đa thức bất khả quy khác nhau. ([21]) Nếu là đa thức đơn biến trên vành sao cho là hoàn toàn không chính phương thì được phân tích duy nhất thành tích của các đa thức bất khả quy cơ sở, đơn biến, đôi một nguyên tố cùng nhau.2 Một số kiến thức về mã tuyến tính Một trong những ứng dụng chính của trƣờng hữu hạn là lý thuyết mã.
Lý thuyết này có nguồn gốc từ một định lý của Shannon năm 1948. Để tiếp tục làm phong phú 12 hơn các mã constacyclic, các nhà toán học mở rộng nghiên cứu về cấu trúc mã trên vành hữu hạn. Nhƣ vậy, sự lựa chọn về bảng chữ cái khi xem xét mã sẽ đa dạng hơn. Mục này nhằm trình bày các kiến thức cơ sở của mã tuyến tính trên vành giao hoán hữu hạn.
Cho là vành giao hoán hữu hạn và. (i) Tập con của vành đƣợc gọi là một mã có độ dài trên vành. (ii) Tập con của vành đƣợc gọi là một mã tuyến tính có độ dài trên vành nếu là môđun con của – môđun. Mỗi phần tử đƣợc gọi là một từ mã của mã.
Cho vành giao hoán hữu hạn và mã tuyến tính có độ dài trên. Tích trong (hay tích chấm) của hai từ mã và của đƣợc định nghĩa nhƣ sau:. Hai từ mã đƣợc gọi là trực giao nếu. Với mỗi mã tuyến tính trên vành , mã đối ngẫu là tập hợp các phần tử của vành trực giao với tất cả phần tử của , tức là { | }.
Một mã đƣợc gọi là tự trực giao nếu. Mã đƣợc gọi là tự đối ngẫu nếu. Trong quá trình truyền tải thông tin, “tiếng ồn” là một yếu tố gây nhiễu không thể tránh khỏi. Chính vì thế, mã ban đầu và mã nhận đƣợc có thể bị sai khác một vài vị trí.