Luận văn về tính hyperbolic của các miền lồi không bị chặn

Miền lồi là một khái niệm cơ bản trong hình học. Một tập hợp được gọi là lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập hợp đó đều nằm hoàn toàn trong tập hợp. Trong không gian phức, các miền lồi đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán giải tích phức và hình học hyperbolic. Luận văn sử dụng các định nghĩa và tính chất cơ bản của miền lồi để nghiên cứu tính hyperbolic của các miền không bị chặn. Các kết quả về biên của miền lồi cũng được sử dụng để chứng minh một số định lý quan trọng.

Hình học Hyperbolic là một loại hình học phi Euclid, khác biệt so với hình học Euclid truyền thống ở tiên đề song song. Trong không gian Hyperbolic, tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ. Không gian Hyperbolic có nhiều mô hình khác nhau, chẳng hạn như mô hình Poincaré disk và mô hình nửa mặt phẳng trên. Luận văn sử dụng các khái niệm và công cụ từ hình học Hyperbolic để nghiên cứu tính hyperbolic của các miền lồi trong không gian phức. Một số định lý như định lý đại diện Riemann cũng được sử dụng để so sánh các metric khác nhau.

Tính compact là một khái niệm quan trọng trong giải tích và hình học. Một tập hợp được gọi là compact nếu mọi dãy trong tập hợp đó đều có dãy con hội tụ. Miền không bị chặn là miền mà không nằm hoàn toàn trong một hình cầu có bán kính hữu hạn. Việc thiếu tính compact gây ra nhiều khó khăn trong việc chứng minh các định lý và xây dựng các ví dụ phản chứng. Luận văn sử dụng các kỹ thuật bổ sung để giải quyết vấn đề này, chẳng hạn như việc sử dụng các metric Kobayashi và Carathéodory.

Biên của miền lồi có thể có cấu trúc rất phức tạp, đặc biệt là trong trường hợp miền không bị chặn. Biên có thể có các điểm kỳ dị, các góc và các thành phần không trơn. Sự phức tạp của biên ảnh hưởng đến tính chất hình học và tính chất giải tích của miền. Luận văn xem xét ảnh hưởng của biên đến tính hyperbolic và đưa ra các điều kiện để đảm bảo tính hyperbolic ngay cả khi biên có cấu trúc phức tạp.

Metric Kobayashi là một metric nội tại được xây dựng dựa trên khái niệm dây chuyền. Khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm được định nghĩa là độ dài ngắn nhất của dây chuyền nối hai điểm đó. Metric Kobayashi có nhiều tính chất quan trọng, chẳng hạn như tính co của ánh xạ chỉnh hình và tính ổn định dưới các phép biến đổi chỉnh hình. Luận văn sử dụng metric Kobayashi để định nghĩa tính hyperbolic và để chứng minh các điều kiện tương đương với tính hyperbolic.

Metric Carathéodory là một metric được xây dựng dựa trên các ánh xạ chỉnh hình từ miền đang xét vào đĩa đơn vị. Khoảng cách Carathéodory giữa hai điểm được định nghĩa là supremum của khoảng cách Poincaré giữa ảnh của hai điểm đó dưới các ánh xạ chỉnh hình. Metric Carathéodory có nhiều ứng dụng trong phân tích hàm, chẳng hạn như trong việc nghiên cứu tính bị chặn của các hàm chỉnh hình và trong việc xác định phân bố giá trị.

Định lý Schwarz Lemma phát biểu rằng nếu f là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào chính nó, sao cho f(0) = 0, thì |f(z)| <= |z| và |f'(0)| <= 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f(z) = az với |a| = 1. Luận văn sử dụng định lý Schwarz Lemma để chứng minh tính co của các ánh xạ chỉnh hình giữa các miền hyperbolic.

Có nhiều phiên bản tổng quát hóa của định lý Schwarz Lemma cho các miền phức khác nhau, chẳng hạn như miền lồi, miền đa liên thông và miền Reinhardt. Các phiên bản tổng quát hóa này cho phép nghiên cứu tính co của ánh xạ chỉnh hình trong các tình huống phức tạp hơn. Luận văn sử dụng các phiên bản tổng quát hóa này để nghiên cứu tính Hyperbolic của miền lồi không bị chặn.

Luận văn trình bày 11 điều kiện tương đương với tính Hyperbolic theo nghĩa Kobayashi. Các điều kiện này bao gồm các tiêu chí dựa trên sự tồn tại của các hàm chỉnh hình thỏa mãn các điều kiện nhất định, các tiêu chí dựa trên tính compact của các tập hợp mức và các tiêu chí dựa trên tính co của các ánh xạ chỉnh hình. Chứng minh các điều kiện tương đương này đòi hỏi việc sử dụng nhiều kỹ thuật khác nhau từ giải tích phức, hình học vi phân và tô pô.

Luận văn cũng trình bày một số hệ quả của các kết quả chính, cũng như các ví dụ minh họa về tính Hyperbolic của các miền lồi cụ thể. Các ví dụ này giúp làm sáng tỏ các khái niệm và kết quả lý thuyết và cho thấy ứng dụng của hình học hyperbolic trong việc giải quyết các bài toán cụ thể. Một số ví dụ liên quan đến các miền hyperbolic nổi tiếng trong không gian Teichmuller.

Tính ổn định là một khái niệm quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học, bao gồm giải tích phức, hình học vi phân và hệ động lực. Nghiên cứu tính ổn định của tính hyperbolic có thể dẫn đến các kết quả mới về cấu trúc của miền lồi và về các ánh xạ chỉnh hình giữa các miền lồi. Toán tử đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu này.

Hình học hyperbolic có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như khoa học máy tính, vật lý và kỹ thuật. Ví dụ, hình học hyperbolic được sử dụng trong việc thiết kế các thuật toán định tuyến hiệu quả trong mạng máy tính, trong việc mô tả không gian-thời gian trong thuyết tương đối rộng và trong việc xây dựng các cấu trúc cơ khí có độ bền cao. Nghiên cứu tính Hyperbolic của miền lồi có thể dẫn đến các ứng dụng mới của hình học hyperbolic trong các lĩnh vực này.