Luận văn thạc sĩ: Phương pháp Wavelet Galerkin trong giải phương trình vi phân

Khám phá phương pháp wavelet Galerkin trong giải phương trình vi phân qua luận văn thạc sĩ toán học, ứng dụng và hiệu quả trong nghiên cứu.

• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học Phương Pháp Wavelet Galerkin Trong Việc Giải Phương Trình Vi Phân
• Loại tài liệu: Luận Văn
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp Wavelet Galerkin giải phương trình

Trong thực tế, nhiều bài toán vật lý và kỹ thuật dẫn đến việc giải các phương trình vi phân. Tuy nhiên, việc tìm kiếm nghiệm tường minh bằng công cụ giải tích thuần túy thường rất phức tạp, đôi khi là bất khả thi. Điều này thúc đẩy sự phát triển của các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng (nghiệm số). Các phương pháp phổ biến bao gồm phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), và đặc biệt là phương pháp wavelet. Phương pháp wavelet, nền tảng của phương pháp Wavelet Galerkin, là sự kết hợp các ưu điểm của FDM, FEM, và phương pháp thể tích hữu hạn (FVM). Nó mang lại hiệu quả vượt trội trong việc giải xấp xỉ các phương trình vi phân. Lý thuyết wavelet, bắt nguồn từ nghiên cứu của Fourier năm 1807, đã được phát triển mạnh mẽ bởi Grossmann, Meyer và đặc biệt là Daubechies. Daubechies đã sử dụng phân tích đa phân giải để tạo ra họ wavelet có giá compact, trực giao và liên tục, được gọi là wavelet Daubechies. Các hàm này chính là hàm cơ sở cốt lõi được sử dụng trong phương pháp Wavelet Galerkin để phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp. Phương pháp này biến đổi một bài toán phương trình vi phân phức tạp thành một hệ phương trình đại số tuyến tính, từ đó có thể giải quyết hiệu quả bằng các công cụ tính toán hiện đại. Việc lựa chọn cơ sở wavelet phù hợp, như wavelet Daubechies, đóng vai trò quyết định đến độ chính xác và hiệu quả của nghiệm xấp xỉ. Luận văn này tập trung khai thác sức mạnh của phương pháp Wavelet Galerkin để áp dụng vào việc giải các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, minh họa qua các ví dụ cụ thể.

1.1. Nền tảng lý thuyết wavelet và phân tích đa phân giải

Lý thuyết wavelet cung cấp một công cụ toán học mạnh mẽ để phân tích tín hiệu và hàm số ở các độ phân giải khác nhau. Cốt lõi của lý thuyết này là phân tích đa phân giải (MRA). Một MRA của không gian L2(R) là một dãy các không gian con lồng vào nhau, cho phép biểu diễn một hàm số như một chuỗi tổng hợp của các hàm cơ sở gọi là wavelet. Mỗi không gian con này đại diện cho một mức độ phân giải của hàm. Nền tảng của MRA là sự tồn tại của một hàm đặc biệt gọi là hàm tỷ lệ (scaling function), ký hiệu là φ(x). Từ hàm tỷ lệ này, ta có thể xây dựng được một hàm mẹ wavelet ψ(x). Hệ thống các hàm wavelet được sinh ra từ việc co giãn và dịch chuyển hàm mẹ, tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho không gian L2(R). Điều này cho phép phân tích một hàm thành các thành phần ở các tần số và vị trí khác nhau một cách hiệu quả.

1.2. Vai trò của nghiệm số trong giải tích ứng dụng

Trong giải tích ứng dụng, không phải lúc nào cũng có thể tìm được nghiệm giải tích chính xác cho các phương trình vi phân mô tả hiện tượng thực tế. Các bài toán về truyền nhiệt, dao động sóng, hay cơ học lượng tử thường có dạng toán học phức tạp. Do đó, việc tìm nghiệm xấp xỉ thông qua các phương pháp số trở nên cực kỳ quan trọng. Các nghiệm số này, dù không phải là nghiệm chính xác tuyệt đối, nhưng cung cấp một sự gần đúng với sai số nằm trong giới hạn cho phép. Chúng cho phép các nhà khoa học và kỹ sư mô phỏng, dự đoán và phân tích các hệ thống phức tạp mà không cần đến một biểu thức giải tích tường minh. Phương pháp Wavelet Galerkin chính là một trong những kỹ thuật số tiên tiến, mang lại các nghiệm xấp xỉ có độ chính xác cao.

1.3. Ưu điểm của phương pháp wavelet so với FEM và FDM

So với các phương pháp truyền thống như Phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM) và Phương pháp Sai phân hữu hạn (FDM), phương pháp wavelet sở hữu nhiều ưu điểm vượt trội. Thứ nhất, wavelet có khả năng biểu diễn các hàm có điểm gián đoạn hoặc biến đổi đột ngột một cách hiệu quả, điều mà FDM và FEM gặp khó khăn. Thứ hai, cơ sở wavelet có thể được xây dựng để trở thành cơ sở trực giao, giúp đơn giản hóa ma trận hệ thống trong phương pháp Galerkin, làm giảm đáng kể chi phí tính toán. Đặc biệt, tính chất đa phân giải cho phép phân tích bài toán ở nhiều cấp độ chi tiết khác nhau, giúp tập trung tính toán vào những vùng quan trọng và tiết kiệm tài nguyên. Nhờ những ưu điểm này, phương pháp Wavelet Galerkin ngày càng được ưa chuộng trong việc giải phương trình vi phân.

II. Hướng dẫn xây dựng cơ sở cho phương pháp Wavelet Galerkin

Để áp dụng thành công phương pháp Wavelet Galerkin, bước đầu tiên và quan trọng nhất là xây dựng một hệ hàm cơ sở vững chắc. Nền tảng của quá trình này là lý thuyết về phân tích đa phân giải (MRA) và các hàm wavelet Daubechies. Một MRA được định nghĩa là một chuỗi các không gian con lồng nhau của không gian L2(R), cho phép phân tích hàm số ở nhiều mức độ chi tiết. Trọng tâm của MRA là hàm tỷ lệ (scaling function) φ(x), là nghiệm của một phương trình đặc biệt gọi là phương trình tỷ lệ hai. Từ hàm tỷ lệ này, ta có thể xây dựng hàm wavelet ψ(x). Họ hàm wavelet Daubechies, được ký hiệu bởi N, là một lớp wavelet trực giao có giá compact (support hữu hạn). Đặc tính này cực kỳ hữu ích trong các ứng dụng số vì nó giúp tạo ra các ma trận hệ thống thưa, giảm thiểu khối lượng tính toán. Ví dụ, hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 2 (N=2) và cấp 3 (N=3) là những lựa chọn phổ biến. Một khái niệm quan trọng khác là hệ số liên kết. Các hệ số này được định nghĩa thông qua tích vô hướng của các đạo hàm của hàm tỷ lệ tại các điểm dịch chuyển khác nhau. Chúng đóng vai trò cốt lõi trong việc chuyển đổi toán tử vi phân của phương trình thành các ma trận đại số. Quá trình tính toán các hệ số này đòi hỏi giải một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất. Việc xác định chính xác các hệ số liên kết đảm bảo rằng các đặc tính của phương trình vi phân được bảo toàn trong mô hình số.

2.1. Tìm hiểu hàm tỷ lệ Daubechies và wavelet tương ứng

Họ wavelet Daubechies, được phát triển bởi Ingrid Daubechies, là một trong những họ wavelet quan trọng nhất trong giải tích số. Đặc điểm nổi bật của chúng là có giá compact và trực giao. Hàm tỷ lệ Daubechies cấp L, ký hiệu φL, là nghiệm duy nhất của phương trình tỷ lệ hai với các hệ số đặc biệt gọi là hàm lọc Daubechies. Hàm wavelet tương ứng, ψL, được xây dựng trực tiếp từ hàm tỷ lệ. Tính chất giá compact có nghĩa là hàm chỉ khác không trên một khoảng hữu hạn, giúp ma trận trong phương pháp Wavelet Galerkin trở nên thưa và dễ xử lý. Cấp L càng cao, hàm wavelet càng trơn (regular) nhưng giá của nó cũng rộng hơn. Việc lựa chọn cấp L phù hợp là một bước quan trọng, cân bằng giữa độ trơn của hàm cơ sở và độ phức tạp tính toán.

2.2. Cách tính hệ số liên kết trong phương pháp Wavelet Galerkin

Các hệ số liên kết (connection coefficients) là các giá trị số biểu diễn tích vô hướng của các hàm cơ sở và đạo hàm của chúng. Cụ thể, hệ số liên kết được định nghĩa là tích phân của tích của đạo hàm cấp d1 của hàm tỷ lệ φ(x-k1) và đạo hàm cấp d2 của hàm φ(x-k2). Các hệ số này là thành phần chính để xây dựng các ma trận đại số tương ứng với toán tử vi phân trong phương trình. Để tìm các hệ số này, người ta thiết lập một hệ phương trình tuyến tính dựa trên phương trình tỷ lệ hai. Theo Latto, bằng cách thêm vào một phương trình chuẩn hóa, hệ phương trình này có thể được giải duy nhất để tìm ra các hệ số liên kết. Chỉ một số lượng hữu hạn các hệ số này khác không do tính chất giá compact của hàm tỷ lệ, điều này một lần nữa khẳng định hiệu quả tính toán của phương pháp.

2.3. Vai trò của tích chập rời rạc trong biểu diễn nghiệm

Trong việc xử lý các bài toán tuần hoàn, tích chập rời rạc (discrete convolution) đóng một vai trò thiết yếu. Khi biểu diễn nghiệm xấp xỉ và các hàm số dưới dạng một chuỗi các hệ số wavelet tại các điểm lưới, mối quan hệ giữa các giá trị hàm và các hệ số có thể được thể hiện gọn gàng dưới dạng một tích chập. Cụ thể, vectơ chứa các giá trị của nghiệm tại các điểm rời rạc bằng tích chập của vectơ hệ số wavelet và một vectơ đặc trưng cho hàm tỷ lệ. Việc sử dụng tích chập rời rạc cho phép áp dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để giải hệ phương trình một cách hiệu quả. Thay vì nghịch đảo một ma trận lớn, bài toán được chuyển sang miền tần số, nơi phép toán trở thành phép nhân theo từng phần tử, sau đó biến đổi ngược để tìm ra nghiệm.

III. Cách áp dụng phương pháp Wavelet Galerkin để giải phương trình

Quy trình áp dụng phương pháp Wavelet Galerkin để giải phương trình vi phân bao gồm ba bước chính. Đầu tiên là rời rạc hóa bài toán. Nghiệm chính xác u(x) của phương trình được xấp xỉ bằng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm cơ sở wavelet hoặc hàm tỷ lệ, ví dụ u(x) ≈ uh(x) = ∑ ck φk(x). Các hệ số ck chính là các ẩn số cần tìm. Bước thứ hai là áp dụng nguyên lý Galerkin. Theo nguyên lý này, phần dư (residual) của phương trình, tức là L(uh) - f, phải trực giao với không gian các hàm cơ sở. Điều này dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính có dạng Ac = b, trong đó A là ma trận hệ thống (stiffness matrix), c là vectơ các hệ số chưa biết, và b là vectơ vế phải. Các phần tử của ma trận A và vectơ b được tính toán dựa trên các hệ số liên kết đã xác định trước đó. Bước cuối cùng là giải hệ phương trình tuyến tính Ac = b để tìm ra vectơ c. Một khi các hệ số ck được xác định, nghiệm xấp xỉ uh(x) được xây dựng hoàn chỉnh. Bằng cách tăng độ phân giải (tức tăng số lượng hàm cơ sở), nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ về nghiệm chính xác. Phương pháp này có thể được điều chỉnh để xử lý các loại điều kiện biên khác nhau, chẳng hạn như điều kiện biên Dirichlet hay các bài toán tuần hoàn.

3.1. Giải phương trình vi phân thường ODE với bài toán tuần hoàn

Đối với các phương trình vi phân thường có điều kiện tuần hoàn, phương pháp Wavelet Galerkin tỏ ra đặc biệt hiệu quả. Nghiệm tuần hoàn được xấp xỉ bằng một chuỗi các hàm tỷ lệ tuần hoàn. Bằng cách đặt bài toán trên một lưới các điểm rời rạc, các giá trị của nghiệm và các hàm số liên quan có thể được biểu diễn dưới dạng các vectơ. Mối quan hệ giữa các vectơ này thường có dạng tích chập rời rạc. Nhờ đó, việc áp dụng phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) giúp chuyển hệ phương trình vi phân sang miền tần số. Trong miền tần số, hệ phương trình trở thành một phương trình đại số đơn giản, cho phép giải tìm các hệ số wavelet một cách nhanh chóng. Sau đó, phép biến đổi Fourier ngược được sử dụng để tái tạo lại nghiệm xấp xỉ trong miền không gian.

3.2. Xử lý điều kiện biên Dirichlet qua cách tiếp cận mở rộng

Việc xử lý điều kiện biên Dirichlet (giá trị của nghiệm được ấn định tại biên) là một thách thức trong các phương pháp số. Trong phương pháp Wavelet Galerkin, một kỹ thuật hiệu quả là mở rộng miền xác định của bài toán. Thay vì giải trực tiếp trên đoạn [0, 1], miền được mở rộng một chút để các hàm wavelet cơ sở không bị "cắt" đột ngột tại biên. Các điều kiện biên ban đầu được đưa trực tiếp vào hệ phương trình đại số. Cụ thể, các hàng đầu tiên và cuối cùng của ma trận hệ thống được sửa đổi để phản ánh các giá trị u(0) và u(1). Vế phải của hệ phương trình cũng được điều chỉnh tương ứng. Cách tiếp cận này đảm bảo rằng nghiệm xấp xỉ thỏa mãn chính xác các điều kiện tại biên, đồng thời vẫn giữ được cấu trúc thưa của ma trận hệ thống, giúp duy trì hiệu quả tính toán.

3.3. Mở rộng cho phương trình đạo hàm riêng PDE hai biến

Phương pháp này có thể được mở rộng một cách tự nhiên để giải phương trình đạo hàm riêng (PDE) trong không gian hai chiều. Cơ sở wavelet hai chiều được xây dựng bằng cách sử dụng tích ten-xơ của hai cơ sở một chiều. Điều này tạo ra ba loại hàm wavelet khác nhau, mỗi loại nhạy với các đặc trưng theo hướng ngang, dọc và chéo. Tương tự như trường hợp một chiều, nghiệm của PDE được xấp xỉ bằng một tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở hai chiều này. Áp dụng nguyên lý Galerkin sẽ dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính lớn. Đối với các bài toán tuần hoàn, kỹ thuật biến đổi Fourier nhanh hai chiều (2D-FFT) có thể được sử dụng để giải hệ phương trình một cách hiệu quả, tương tự như cách sử dụng tích chập rời rạc trong bài toán một chiều.

IV. Kết quả ứng dụng Wavelet Galerkin vào bài toán thực tiễn

Để minh họa tính hiệu quả của phương pháp Wavelet Galerkin, luận văn đã áp dụng phương pháp này để giải quyết hai bài toán vật lý kinh điển: phương trình sóng và phương trình nhiệt. Việc triển khai thuật toán được thực hiện bằng phần mềm MATLAB, sử dụng các hàm wavelet Daubechies ở các cấp độ và độ phân giải khác nhau. Đối với mỗi bài toán, nghiệm xấp xỉ thu được từ phương pháp wavelet được so sánh trực tiếp với nghiệm giải tích chính xác. Kết quả được trình bày qua các đồ thị trực quan, cho thấy sự trùng khớp gần như hoàn hảo giữa hai nghiệm. Ngoài ra, sai số tuyệt đối giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác cũng được tính toán và đánh giá. Các phân tích cho thấy rằng khi tăng cấp wavelet (N) hoặc tăng độ phân giải (j), sai số giảm đi đáng kể, khẳng định tính hội tụ của phương pháp. Ví dụ, trong bài toán phương trình sóng, việc tăng cấp wavelet từ N=6 lên N=12 đã cải thiện rõ rệt độ chính xác của nghiệm. Những kết quả này không chỉ chứng minh tính đúng đắn của lý thuyết mà còn cho thấy tiềm năng ứng dụng to lớn của phương pháp Wavelet Galerkin trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, nơi việc giải phương trình vi phân là một nhiệm vụ cốt lõi.

4.1. Giải và mô phỏng nghiệm xấp xỉ cho phương trình sóng

Bài toán phương trình sóng một chiều, u''(x) + αu(x) = 0, với điều kiện biên Dirichlet, đã được giải bằng phương pháp Wavelet Galerkin. Sau khi biểu diễn nghiệm xấp xỉ qua cơ sở wavelet Daubechies, bài toán được chuyển thành hệ phương trình đại số TC = 0. Các điều kiện biên được tích hợp vào ma trận T và vế phải. Kết quả mô phỏng trên MATLAB cho thấy nghiệm xấp xỉ bám rất sát nghiệm chính xác u(x) = cos(√αx) - cot(√α)sin(√αx). Phân tích sai số cho thấy, với N=6, j=6, sai số đạt mức 10^-4, và khi tăng lên N=12, j=12, sai số giảm xuống mức 10^-8. Điều này chứng tỏ phương pháp có độ chính xác cao và khả năng hội tụ nhanh chóng khi tăng độ phân giải.

4.2. Phân tích kết quả giải phương trình nhiệt bằng wavelet

Phương pháp cũng được áp dụng thành công cho phương trình nhiệt một chiều, ut = c uxx. Nghiệm được xấp xỉ bằng cơ sở wavelet theo cả biến không gian (x) và thời gian (t). Quá trình này dẫn đến một hệ phương trình tuyến tính phức tạp hơn, liên kết các hệ số wavelet tại các bước thời gian khác nhau. Giải hệ phương trình này, ta thu được nghiệm xấp xỉ u(x,t). So sánh với nghiệm chính xác, đồ thị mô phỏng cho thấy sự tương đồng cao. Phân tích sai số với N=6, j=6 cho thấy sai số tối đa nằm ở khoảng 2.5x10^-4. Kết quả này khẳng định rằng phương pháp Wavelet Galerkin không chỉ hiệu quả cho các bài toán trạng thái dừng (như phương trình sóng) mà còn mạnh mẽ cho các bài toán phụ thuộc thời gian.

4.3. Đánh giá sai số và sự hội tụ của nghiệm Wavelet Galerkin

Một trong những khía cạnh quan trọng nhất khi đánh giá một phương pháp số là tốc độ hội tụ và độ lớn của sai số. Các thực nghiệm trong luận văn đã chỉ ra rằng nghiệm xấp xỉ từ phương pháp Wavelet Galerkin hội tụ rất nhanh về nghiệm chính xác. Sai số giảm theo cấp số nhân khi độ phân giải j tăng lên. Hơn nữa, việc sử dụng wavelet cấp cao hơn (N lớn hơn) cũng giúp cải thiện độ chính xác, do các hàm cơ sở trơn hơn có thể biểu diễn nghiệm tốt hơn. Khả năng kiểm soát sai số một cách có hệ thống bằng cách điều chỉnh các tham số N và j là một ưu điểm lớn, cho phép người dùng cân bằng giữa độ chính xác mong muốn và chi phí tính toán.

V. Tương lai và tiềm năng của phương pháp Wavelet Galerkin

Luận văn đã trình bày một cách hệ thống và chi tiết về phương pháp Wavelet Galerkin trong việc giải phương trình vi phân, từ cơ sở lý thuyết đến ứng dụng cụ thể. Các kết quả thực nghiệm đã khẳng định đây là một công cụ mạnh mẽ, chính xác và hiệu quả. So với các phương pháp truyền thống, phương pháp này nổi bật nhờ khả năng xử lý tốt các hàm không trơn, cấu trúc ma trận thưa và tính đa phân giải linh hoạt. Những ưu điểm này mở ra nhiều hướng phát triển và ứng dụng trong tương lai. Phương pháp Wavelet Galerkin có thể được mở rộng để giải quyết các bài toán phi tuyến, các hệ phương trình vi phân phức tạp, và các bài toán trong không gian ba chiều. Hơn nữa, việc kết hợp wavelet với các kỹ thuật học máy và trí tuệ nhân tạo cũng là một lĩnh vực đầy hứa hẹn, có thể tự động hóa việc lựa chọn cơ sở wavelet tối ưu hoặc tăng tốc quá trình giải. Tóm lại, phương pháp Wavelet Galerkin không chỉ là một chủ đề nghiên cứu học thuật quan trọng mà còn là một công cụ ứng dụng thực tiễn có giá trị, hứa hẹn sẽ tiếp tục đóng góp vào sự phát triển của khoa học tính toán và kỹ thuật trong tương lai.

5.1. Tóm tắt các ưu điểm chính và hạn chế của phương pháp

Ưu điểm chính của phương pháp Wavelet Galerkin bao gồm: (1) Khả năng biểu diễn cục bộ cả trong miền không gian và tần số, giúp xử lý hiệu quả các đặc trưng như điểm gián đoạn. (2) Tính trực giao của cơ sở wavelet Daubechies giúp tạo ra ma trận hệ thống có điều kiện tốt và thưa, giảm chi phí tính toán. (3) Tính đa phân giải cho phép phân tích thích ứng, tập trung vào các vùng quan trọng. Tuy nhiên, phương pháp cũng có một số hạn chế như việc xử lý các miền hình học phức tạp có thể khó khăn hơn so với FEM, và việc tính toán các hệ số liên kết cho wavelet cấp cao có thể phức tạp. Việc nhận diện và khắc phục các hạn chế này là mục tiêu cho các nghiên cứu tiếp theo.

5.2. Hướng nghiên cứu và phát triển trong tương lai

Tương lai của phương pháp Wavelet Galerkin rất rộng mở. Các hướng nghiên cứu tiềm năng bao gồm: phát triển các wavelet mới phù hợp hơn cho các lớp phương trình cụ thể; xây dựng các thuật toán thích ứng tự động điều chỉnh độ phân giải dựa trên sai số cục bộ; mở rộng phương pháp để giải các phương trình vi phân phi tuyến và ngẫu nhiên. Một hướng đi khác là tối ưu hóa việc triển khai thuật toán trên các kiến trúc máy tính song song và hiệu năng cao (HPC) để giải quyết các bài toán quy mô lớn trong cơ học chất lỏng, điện từ học và tài chính tính toán. Sự kết hợp với các kỹ thuật giảm chiều dữ liệu cũng là một lĩnh vực đầy hứa hẹn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Xét không gian 2(R) = {/ :R — R| ƒ¿ |ƒ(z)|#dz < }, với tích vô hướng (.1 Phân tích đa phân giải Định nghĩa 1. ú được gọi là mot wavelet truc chuẩn nêu hệ {Ú„„„}„„„ez là một cổ sở trực chuẩn của L2(R). Cơ sở {0„„„}„„ez được sinh bởi hàm + được gọi là một cở sở wavelet true chuẩn. Để tìm một cơ sở wavelet, ta cần xây dựng một phân tích đa phân giải và một hàm sinh MRA (hàm mẹ).

Một phân tích da phân giải (multiresolution analysis - MRA) của không gian 12(R) là một dãy các không. gian con của L2(R) lồng vào nhau. thỏa mãn các diéu ki i) fez¿V, =0, ñ) Ú;sz V; = 12( iii) f(-) € V; khi và chỉ khi f(2-) € Vj¿¡, iv) tồn tại hàm 6 € Vp sao cho {4(-— m) }mez la cơ sở tuyệt đối của Vọ, tức là {ó(- — m)}„„ez là cơ sở của Vệ, đồng thời tồn tại các hằng số dương A, Z sao cho với mọi dãy (c„)uez € 2, ta có 2 AD eal? <0 eno(-—n) <B> le. (11) ne =1 n€z Điều kiện (1.1) được gọi là điều kiện ổn định và hàm ở thỏa mãn điều kiện ổn định được gọi là hàm ồn định.

Mỗi không gian con Vj được gọi là phân giải thứ j của L2(R). ((1J) Hàm ó € L2(R) thỏa mãn điều kiện ổn định (1.1) khi uà chỉ khi essinf > |áe+s=)[ >0, “se kez esssup >> lá« + axa) < +00. ee kez Ham ¢ trong Dinh nghia 1.2 trén duge goi la ham sinh MRA. Hon nita, nếu {ó(-— m)}„cz là cơ sở trực chuẩn của Vọ thì ó được gọi la ham sinh MRA trực chuẩn.

Vì ó€ Vặ C Vị nên ta có biểu diễn của ó theo cơ sở của V4 là (2) = 2 h(m)ó(3z — m), (h(m))„ez € É. Phương trình (1.3) được gọi là phương trình tỷ lệ hai. ((1]) Hàm ó € 1?(R) thỏa mãn phương trình tỷ lệ hai (1.2) được gọi là hàm tỷ lệ. Dãy hệ số (h(m))„ez được gọi là mặt nạ (mask) của ở và chuỗi H(z) 3 h(m)z" mez được gọi là biéu tugng (symbol ) của ó.

9 Néu {6(-—m)}mez là hệ trực chuẩn thì ó được gọi là hàm tỷ lệ trực chuẩn. “Trong phương trình (1.2), thực hiện phép biến đổi Fourier hai vé ta duge Sw) ô(œ) == He") Hte-*#/232(# (3) (3)7 và phương trình (1.3) được gọi là phương trình tỷ lệ hai theo miền tần số. Co sé wavelet truce chuẩn Sau khi xây dựng được một phân tích đa phân giải và hàm sinh MRA ó của L*(R), tiếp theo ta xây dựng hàm wavelet trực chuẩn cùng cơ sở wavelet trực chuẩn của L?(). Bây giờ, giả sử một phân tích đa phân giải tương ứng với hàm.

sinh MRA trực chuẩn ó là „„€VWjCVWạqCMWC. Goi Wo la phan bit truc giao ciia Vo trong Vi, nghĩa là YoeWo=V, Vo Wo, va W; la khong gian con cita /2(R) có tính chất g(-) € Wj => g(24. Tir do, suy ra V/@W; = V;¿, V; L W/, j €Z. sez Duta vao tinh chit cita cic khong gian W,,, ta suy ra được {0„„„}„ez là cơ sở trực chuẩn của WE„ khi và chỉ khi {/„„}„ez là cơ sở trực chuẩn của HQ, với tịm := Uo¿.

Như vậy, việc xây dựng cơ sở wavelet trực chuẩn của /2(R) tương. đương với việc tìm một cơ sở wavelet trực chuẩn của Wo. Bổ đề sau giúp ta xây đựng cơ sở wavelet trực chuẩn của IW¿ từ hàm sinh MRA trực chuẩn. (14) ke Ta dinh nghia ham y nhu sau: 9(z) := 2Š ` ø(k)ó(3z — k), (15) tế sới g(E) = (—1)*h(ĐI + 1 — k), L là số nguyên nào đó.

Khi đó, {0m} „uez la eo sé wavelet trực chuẩn của Wụ. Việc chứng minh bổ đề này được chia thành ba bước. Dầu tiên, chứng minh. Tiếp theo, ta chứng mỉnh {„}„cz C Wo.

Dé ching mình dự € WWạ, m € Z, ta chỉ cần chỉ ra ú € HWạ, hay ƒ„ó( — È)UŒ)dr =0 với mọi k € Z. Cuối cùng, ta chứng tỏ {„ ø là cơ sở của Wo. Để làm được điều này, ta chứng tỏ {G„}mez U {Óm}me2 (Óm := đoạn) là một cơ sở của Vị, bằng cách biểu diễn tuyến tính Ø(2z) và ó(2z — 1) theo {0m }mez và {óm}meZ. Chứng mình chỉ tiết của bổ đề này có thể tham khảo trang 211 trong [1].

Tit Bé dé 1.1, ta rút ra được định lý sau: Dinh ly 1. (/1]) Cho ó là hàm sinh MRA trực chuẩn thỏa mãn phương trình tỷ lệ hai (1.4) tà hàm 0 được định nghĩa trong (L5). Khi đó, ý là hàm wavelet truc chuẩn. Như vậy, nếu tim duge mot day (h(m))mez sao cho phương trình (1.2) có nghiệm, ta sẽ tìm được hàm ó, từ đó tìm được hàm wavelet tương ứng.

Ở phần tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu đãy hữu hạn (h(mn))„, sinh ra wavelet Daubechies. Hàm tỷ lệ Daubechies ly 1. u Giả sử ó là hàm sinh MRA trực chuẩn và biểu tượng của ở là H(z) = hyzk, z =e, w ER. 1 Dựa vào Hệ quả 1.1 thì đa thức #(z) có một nhân tử là , đo đó.

Các hệ số hạ là thực nên ta được Intel? = me) ($). Dat y = sin? 5, dé ¥ ring cos? $= 1 — và cosw = = 2y nén a(e™)ale*) = Bly), trong d6 B(y) la da thite theo y. Tit d6, P(e“) = (1—y)*B(y) và P(-e~ = y' B(1—y), két hop véi (1.7) được cho bởi công thức m Bly) = Buly) +y"R G = D) : 12 trong đó ra Buy) => (OE ta to va R(y) la da thite được chọn sao cho B(y) > 0 vdi moi y € [0,1]. Về sau, ta xét trutng hop dic biet R(y) = 0, khi đó |H()# = P(e) = (1 y)/ Buy).

Để tránh nhằm lẫn, ta ký hiệu H,(z) thay cho H(z) và P,(z) thay cho P(2). 1z 1+ Trở lại với cách đặt y = sin? 5. vay = 2 2 l-z 1 , do dé m= (42) (ES với we)=S(“*‡—) CE k0 Như vậy, ta được 1+ (2) = (2 trong đó q/(z) théa man |qz(z)|? = Mz(z). Để chỉ ra sự tồn tại của qr(z) với các tính chất qz(z)4/ ) = Mr(), 4r(1) = 1, qr(z) # Ú và cách tính q(z).

ta sử dụng bổ đề Riesz sau: Bổ đề 1. Giả sử R(z) là đa thức Laurent tới hệ số thực théa man R(z) = R (2) va R(z) > 0 vdi moi z € T. Lúc đó, tồn tại đa thức hệ số thực c(z) sao cho R(z) = c(z)c () ,z€C\0, Chứng mình. R(z) là đa thức Laurent nên R(z) = naz", véi cic a, ER.

Vì R(z) > 0 với mọi z € Ƒ nên mọi nghiệm trên I đều là nghiệm bội chẵn. Ta phân tích #(z) thành nhân tử như sau R2) = ayz~Ÿ P(z)Pa(z), trong đó M Pl) = Tle - (2-2-7 'e- 8"), a EP, it J K Pa(z) = [](2 - P(e — PT](2 — )(2 - 17"), wy re € R. pt Pa Ta thấy với z €T' thì Từ đó suy ra R() = |R(2)| =C? u J K o(2) = CT]( - (2-5) T]le - ee -e™) Te - 0) =I thi c(z) là đa thức hệ số thực và R(z) = |e(z)2, z €T. n Từ bổ đề trên, ta suy ra trực tiếp hệ quả sau: Hệ qua 1.

([I]) Nếu đa thức qz(z) được chọn sao cho mọi nghiệm của l+z L nó đều có độ lớn lớn hơn hoặc bing 1, thi H(z) = (=) qu(2) dutge goi la ham loc Daubechies cip L.2, ta tính được Cc wet (2)= C(z - (2- v3)= suy ra = (se 1 avi, HH, 3 _ (18) với S12 hz(E)zÈ= Hy(z) là hàm lọc Daubechies. (/1]) Cho Hz(z) là hàm lọc Daubechies cấp L > 3. Lúc đó, phương trình tỷ lệ hai (1.8) có nghiệm duy nhất 6, € L2(R), hon nita oy la ham tỷ lệ trực chuẩn. Để chứng minh định lý này, trước hết ta xây dựng công thức tích hữu hạn của óz, sau đó chứng tỏ ó;, € L2(R) và tính trực chuẩn của ở¿.

Chứng minh chi tiết được chỉ ra từ trang 259 đến 26 trong [1]. ([I]) Hàm tỷ lệ trực chuẩn ó„ thỏa mãn phương trình (1.8) được gọi là hàm tỷ lệ Daubechies cấp L(> 3). Hàm wavelet tương ứng 2-1 9œ) =3 3” gi(R)ói(9z — k), gu(k) = (—1)*hy(2L — 1 —k), duge goi 1A wavelet Daubechies c&p L.1: Ham tỷ lệ và wavelet Danbechies cấp 2 tang, Hình 1.2: Hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 3 1.4 Hệ số liên kết Xét ó là hàm tỷ lệ Daubechies, tức ó thỏa mãn phương trình ya 9(z) = 3 a,.0(2x — k), (19) = trong đó j > 2 là số tự nhiên chẵn, a¿ là các hệ số Daubechies.3, ta đã có suppó= (0, N — 1] và cách tính các hệ số az. 16 Ta sử dụng ký hiệu thông thường đạo hàm cấp n của ở là đồ — d6 0g), g0 —¿ 691) = TỰ = T- Lấy đạo hàm cấp đ hai về của (1.9) ta được rae x a, (2x — k)= 24 ¥ ay (20).10) k=0 Ta định nghĩa hệ số liên kết ([2]) thông qua tích vô hướng như sau: (tits ƒ Of (x) d(x)de, dy,dy EN, ky,ky € Z.

ka Để ý rằng gác - J46(2) 6 (2)de= ƒ #9 (a), (ade nên ta chỉ cần xét các hệ số liên kết có dang ote ;— [ 6)(x) 6) (x)de, k EZ. q1) I, Để tìm các hệ số liên kết này, trước hết ta kết hợp (1.11), thu được hệ phương trình sau: oft Pte a dix OM (22)0) (2a — 2k — ka) dx = BTS, ayitgae rp Ig (2) 04” (ada +A apg 2b +p 0. Đặt d = dị + dạ, T = 32,6, ". phương trình có dạng 1 TOM = tte, (1.12) Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất bằng 0.

Ta sẽ xây dựng hệ phương. trình không thuần nhất mới bằng cách thêm vào một phương trình nữa như sau. Sử dụng công thức tích phân từng phần đối với ĐỂ''° sau d; lần thì Of = (hon. 1 Ta thêm vào hệ phương trình (1.12) phương trình a! = (-1)" >> Mion, * với MẸ = J„zóx(z)dz, Mỹ = 1.

Bằng quy nạp, Latto đã đưa ra công thức tinh Mj nhuw sau: wet Aj) kh ety (Sy Mi“ ĐÈ, (0› >() (S» ). Cuối cùng, ta thu được hệ phương trình ( vn) opts = (;). (118) trong đó Aƒ* là vectơ dòng gồm các Afƒ. Chú ý rằng chỉ có 2 — 3 hệ số kiên kết khác 0, tức là ©/''® khác 0 với |k| < W—2 và bằng0 với || > N — 2.

Từ hệ phương trình (1.13) này, ta tìm được các hệ số liên kết.5 Tích chập rời rạc [6] Cho hai vectơ trong R* là X = (zo. - a~1) Tich chap rời rac của X và Y cũng là một vects trong R", ký hiệu là X x Ý', với tọa độ thứ È xác định như sau: not (X*Y)¿ = Ÿ 2z juy, k= ORT.