Luận văn thạc sĩ về hình học tổ hợp và các phương pháp chứng minh tại Đại học Quốc gia Hà Nội

Khám phá luận văn thạc sĩ hình học tổ hợp và các phương pháp chứng minh trong toán học, mã số 84601, với nội dung chi tiết và phân tích sâu sắc.

• Tác giả: Nguyễn Đức Đắc
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Hữu Điển
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Hình học tổ hợp với các phương pháp chứng minh
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
• 1.1. Phương pháp quy nạp
• 1.2. Phương pháp phản chứng
• 1.3. Nguyên lý Dirichlet
• 1.4. Nguyên lý cực hạn
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHO CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP
• 2.1. Tổng quan về hình học tổ hợp
• 2.2. Vận dụng phương pháp quy nạp
• 2.3. Vận dụng phương pháp phản chứng
• 2.4. Vận dụng nguyên lý Dirichlet
• 2.5. Vận dụng nguyên lý cực hạn
• 3. CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THEO CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC. CÁC BÀI TOÁN THI OLYMPIC TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC
• 3.1. Hệ các điểm và đường cong
• 3.1.1. Nhận xét về vật thể lồi
• 3.1.2. Đếm giao điểm
• 3.1.3. Đếm số tam giác
• 3.1.4. Đếm số đa giác
• 3.1.5. Các bài toán với hệ điểm và đường thẳng
• 3.1.6. Các bài toán với hệ đoạn thẳng
• 3.1.7. Các bài toán với đa giác không lồi
• 3.2. Hệ các đường cong và miền
• 3.2.1. Chia mặt phẳng bằng hệ các đường
• 3.2.2. Chia mặt phẳng bằng đường cong kín
• 3.2.3. Chia một đa giác lồi
• 3.2.4. Chia không gian
• 3.3. Phép phủ và đóng gói
• 3.3.1. Các đối tượng phủ nhau
• 3.3.2. Phép phủ với hệ các hình tròn bằng nhau
• 3.3.3. Bài toán về đóng gói
• 3.3.4. Phép tô màu
• 3.3.4.1. Màu của các điểm
• 3.3.4.2. Tô màu miền
• 3.3.4.3. Tô màu bàn cờ
• 3.4. Các bài toán thi Olympic trong và ngoài nước
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về luận văn thạc sĩ hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh

Luận văn thạc sĩ về hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học. Hình học tổ hợp không chỉ là một nhánh của hình học mà còn liên quan đến các bài toán tổ hợp, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi và các cuộc thi Olympic toán. Luận văn này sẽ trình bày tổng quan về các phương pháp chứng minh, từ đó giúp sinh viên hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết các bài toán trong hình học tổ hợp.

1.1. Định nghĩa và vai trò của hình học tổ hợp

Hình học tổ hợp là một nhánh của toán học nghiên cứu các cấu trúc hình học và các mối quan hệ giữa chúng. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh.

1.2. Tầm quan trọng của phương pháp chứng minh trong toán học

Phương pháp chứng minh là công cụ thiết yếu trong toán học, giúp xác minh tính đúng đắn của các định lý và giả thuyết. Việc nắm vững các phương pháp chứng minh sẽ giúp sinh viên giải quyết hiệu quả các bài toán hình học tổ hợp.

II. Các thách thức trong nghiên cứu hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh

Nghiên cứu hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh gặp phải nhiều thách thức. Các bài toán thường có tính chất phức tạp và yêu cầu kiến thức sâu rộng về nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tìm ra phương pháp chứng minh phù hợp cho từng bài toán là một trong những thách thức lớn nhất.

2.1. Những khó khăn trong việc áp dụng phương pháp chứng minh

Mỗi phương pháp chứng minh có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp cho từng bài toán là rất quan trọng và không phải lúc nào cũng dễ dàng.

2.2. Các bài toán hình học tổ hợp phức tạp

Nhiều bài toán trong hình học tổ hợp yêu cầu sự kết hợp của nhiều phương pháp chứng minh khác nhau, điều này làm tăng độ khó trong việc tìm ra lời giải.

III. Phương pháp chứng minh cơ bản trong hình học tổ hợp

Có nhiều phương pháp chứng minh được sử dụng trong hình học tổ hợp. Mỗi phương pháp có cách tiếp cận riêng và phù hợp với từng loại bài toán khác nhau. Việc hiểu rõ các phương pháp này sẽ giúp sinh viên giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

3.1. Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp là một trong những phương pháp chứng minh phổ biến nhất. Nó cho phép chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề cho tất cả các số tự nhiên bằng cách chứng minh cho trường hợp cơ sở và trường hợp quy nạp.

3.2. Phương pháp phản chứng

Phương pháp phản chứng là một kỹ thuật mạnh mẽ trong toán học, cho phép chứng minh một mệnh đề bằng cách giả định rằng mệnh đề đó sai và dẫn đến một mâu thuẫn.

3.3. Nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý Dirichlet, hay còn gọi là nguyên lý ngăn kéo, là một công cụ hữu ích trong hình học tổ hợp, giúp chứng minh rằng nếu có nhiều đối tượng hơn ngăn kéo, thì ít nhất một ngăn kéo phải chứa ít nhất hai đối tượng.

IV. Ứng dụng thực tiễn của hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh

Các phương pháp chứng minh trong hình học tổ hợp không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Chúng được sử dụng trong các bài toán thực tế, từ thiết kế đồ họa đến tối ưu hóa trong công nghiệp.

4.1. Ứng dụng trong các bài toán thi Olympic

Nhiều bài toán trong các kỳ thi Olympic toán quốc tế sử dụng các phương pháp chứng minh trong hình học tổ hợp, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

4.2. Ứng dụng trong khoa học máy tính

Hình học tổ hợp có vai trò quan trọng trong khoa học máy tính, đặc biệt trong các lĩnh vực như đồ họa máy tính, xử lý hình ảnh và tối ưu hóa.

V. Kết luận và triển vọng nghiên cứu trong hình học tổ hợp

Nghiên cứu về hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh vẫn còn nhiều tiềm năng phát triển. Các nhà nghiên cứu có thể tiếp tục khám phá các phương pháp mới và ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau.

5.1. Tương lai của nghiên cứu hình học tổ hợp

Với sự phát triển của công nghệ và khoa học, hình học tổ hợp sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng.

5.2. Khuyến khích nghiên cứu và phát triển

Cần khuyến khích sinh viên và các nhà nghiên cứu tiếp tục tìm hiểu và phát triển các phương pháp chứng minh mới, từ đó nâng cao chất lượng nghiên cứu trong lĩnh vực này.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Hình học tổ hợp là một nhánh quan trọng của toán học rời rạc, nghiên cứu các bài toán liên quan đến các tập hợp hữu hạn các điểm, đường thẳng, đa giác và các đối tượng hình học khác trong mặt phẳng hoặc không gian. Theo ước tính, các bài toán hình học tổ hợp thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh chuyên và các cuộc thi Olympic Toán quốc tế, với mức độ đa dạng và phong phú về nội dung cũng như phương pháp giải. Mục tiêu của nghiên cứu này là hệ thống hóa các phương pháp chứng minh cơ bản như phương pháp quy nạp, phản chứng, nguyên lý Dirichlet và nguyên lý cực hạn, đồng thời ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán hình học tổ hợp điển hình, đặc biệt là các bài toán xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và Olympic trong và ngoài nước trong khoảng thời gian gần đây.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng, với các đối tượng chính là các tập hợp điểm, đường thẳng, đa giác lồi và không lồi, các đường cong, cũng như các bài toán về phủ hình và tô màu. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao kỹ năng tư duy logic, lập luận chặt chẽ và khả năng vận dụng các phương pháp chứng minh toán học vào giải quyết các bài toán phức tạp, góp phần phát triển năng lực học tập và nghiên cứu toán học cho học sinh, sinh viên và các nhà nghiên cứu trẻ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên bốn phương pháp chứng minh cơ bản trong toán học và hình học tổ hợp:

1. Phương pháp quy nạp: Là phương pháp chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề với mọi số tự nhiên bằng cách chứng minh cơ sở quy nạp và bước quy nạp. Phương pháp này được áp dụng để chứng minh các tính chất tổng quát của các đối tượng hình học tổ hợp như số phần chia mặt phẳng bởi các đường thẳng, tính chất của dãy số liên quan đến các đường tròn nội tiếp, và các bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách giữa các điểm.

2. Phương pháp phản chứng: Phương pháp này chứng minh một mệnh đề bằng cách giả sử mệnh đề đó sai và dẫn đến mâu thuẫn với các giả thiết hoặc kiến thức đã biết. Đây là phương pháp hiệu quả trong việc giải các bài toán hình học tổ hợp có tính chất phủ định hoặc loại trừ.

3. Nguyên lý Dirichlet (Nguyên lý ngăn kéo): Nguyên lý này phát biểu rằng nếu đặt nhiều đối tượng vào ít ngăn hơn, thì ít nhất một ngăn chứa nhiều hơn một đối tượng. Nguyên lý được mở rộng và ứng dụng trong các bài toán về phân bố điểm, tô màu, và các bài toán về khoảng cách giữa các điểm trong mặt phẳng.

4. Nguyên lý cực hạn: Dựa trên việc chọn phần tử nhỏ nhất hoặc lớn nhất trong một tập hợp hữu hạn để suy ra các tính chất cần chứng minh. Nguyên lý này thường được kết hợp với các phương pháp khác để giải quyết các bài toán hình học tổ hợp phức tạp.

Các khái niệm chuyên ngành được sử dụng bao gồm: đa giác lồi, đa giác không lồi, đường chéo, đường gấp khúc đóng, bao lồi, hệ điểm và đường cong, phủ hình, tô màu, và các thuật ngữ liên quan đến các phương pháp chứng minh.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu bao gồm các bài toán hình học tổ hợp được tuyển chọn từ các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, các đề thi Olympic Toán trong và ngoài nước, cùng với các tài liệu chuyên khảo về hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh toán học. Cỡ mẫu nghiên cứu là hàng trăm bài toán tiêu biểu được phân tích và tổng hợp.

Phương pháp phân tích chủ yếu là phân tích định tính kết hợp với chứng minh toán học chặt chẽ, sử dụng các phương pháp chứng minh đã nêu để giải quyết từng bài toán cụ thể. Quá trình nghiên cứu được thực hiện theo timeline gồm ba giai đoạn: tổng hợp và phân loại bài toán (3 tháng), áp dụng và phát triển các phương pháp chứng minh (6 tháng), và hoàn thiện luận văn cùng với thảo luận kết quả (3 tháng).

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả của phương pháp quy nạp trong hình học tổ hợp: Qua phân tích khoảng 50 bài toán, phương pháp quy nạp giúp chứng minh thành công các tính chất tổng quát như số phần chia mặt phẳng bởi n đường thẳng đi qua một điểm (chia thành 2n phần), tính nguyên của dãy số bán kính các đường tròn nội tiếp, và các bất đẳng thức về khoảng cách giữa các điểm. Ví dụ, với n đường thẳng đi qua một điểm, mặt phẳng được chia thành chính xác 2n phần, được chứng minh bằng quy nạp.

2. Ứng dụng phương pháp phản chứng trong việc loại trừ các trường hợp không hợp lệ: Phương pháp phản chứng được sử dụng hiệu quả trong các bài toán chứng minh tồn tại hoặc không tồn tại các cấu hình điểm, như chứng minh tồn tại đường thẳng đi qua đúng hai điểm trong tập hợp điểm không thẳng hàng, hoặc chứng minh không thể có đa giác lồi với số cạnh lẻ chia thành các hình bình hành.

3. Nguyên lý Dirichlet giúp giải quyết các bài toán phân bố điểm và tô màu: Ví dụ, trong một tam giác đều cạnh 2m đặt 5 điểm, tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1m; hoặc trong lưới ô vuông tô màu bằng hai màu, tồn tại hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu. Các bài toán này đều dựa trên nguyên lý Dirichlet với số lượng điểm và phân vùng hợp lý.

4. Nguyên lý cực hạn hỗ trợ chọn phần tử đặc biệt để chứng minh các tính chất tối ưu: Ví dụ, trong đa giác lồi, tồn tại cạnh mà chân đường vuông góc từ điểm bên trong nằm trên cạnh đó; hoặc trong hình vuông cạnh 1 có n điểm, tồn tại tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2(n+1)}$. Nguyên lý này giúp xác định phần tử nhỏ nhất hoặc lớn nhất để xây dựng chứng minh.

Thảo luận kết quả

Các phương pháp chứng minh được nghiên cứu không chỉ có tính lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải các bài toán hình học tổ hợp phức tạp. Việc kết hợp linh hoạt các phương pháp như quy nạp và phản chứng giúp mở rộng phạm vi giải quyết bài toán, đồng thời nâng cao hiệu quả chứng minh. So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã hệ thống hóa và minh họa rõ ràng hơn các phương pháp này qua các ví dụ cụ thể, đặc biệt là các bài toán thi Olympic và tuyển sinh chuyên.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng tổng hợp số lượng bài toán ứng dụng từng phương pháp, biểu đồ thể hiện tỉ lệ thành công của các phương pháp trong các chủ đề khác nhau, và sơ đồ minh họa các bước chứng minh điển hình. Điều này giúp người đọc dễ dàng hình dung và áp dụng vào thực tế.

Ý nghĩa của nghiên cứu nằm ở việc cung cấp một hệ thống phương pháp chứng minh chuẩn mực, giúp học sinh, sinh viên và giáo viên nâng cao kỹ năng giải toán hình học tổ hợp, đồng thời góp phần phát triển nghiên cứu toán học trong lĩnh vực này.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường đào tạo và hướng dẫn sử dụng các phương pháp chứng minh cơ bản trong giảng dạy hình học tổ hợp: Các trường học và trung tâm đào tạo nên tổ chức các khóa học chuyên sâu về phương pháp quy nạp, phản chứng, nguyên lý Dirichlet và nguyên lý cực hạn nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh và sinh viên. Thời gian thực hiện: 6-12 tháng.

2. Phát triển tài liệu tham khảo và bài tập minh họa phong phú, cập nhật các bài toán thi Olympic và tuyển sinh chuyên mới nhất: Việc này giúp học viên tiếp cận với các dạng bài tập thực tế, nâng cao khả năng vận dụng phương pháp chứng minh. Chủ thể thực hiện: các nhà xuất bản, giáo viên chuyên môn.

3. Ứng dụng công nghệ thông tin để xây dựng phần mềm hỗ trợ giải toán hình học tổ hợp dựa trên các phương pháp chứng minh đã nghiên cứu: Phần mềm này sẽ giúp người học luyện tập và kiểm tra kết quả nhanh chóng, hiệu quả. Thời gian thực hiện: 12-18 tháng, chủ thể: các nhóm nghiên cứu công nghệ giáo dục.

4. Tổ chức các hội thảo, tọa đàm chuyên đề về hình học tổ hợp và phương pháp chứng minh để trao đổi kinh nghiệm và cập nhật kiến thức mới: Đây là cơ hội để các nhà nghiên cứu, giáo viên và học sinh giao lưu, học hỏi và phát triển chuyên môn. Thời gian: định kỳ hàng năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Học sinh và sinh viên yêu thích toán học, đặc biệt là hình học tổ hợp: Luận văn cung cấp hệ thống kiến thức và phương pháp chứng minh giúp nâng cao kỹ năng giải toán, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi và Olympic.

2. Giáo viên và giảng viên toán học: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá để xây dựng bài giảng, thiết kế đề thi và hướng dẫn học sinh, sinh viên phát triển tư duy logic và kỹ năng chứng minh.

3. Nhà nghiên cứu và chuyên gia trong lĩnh vực toán học rời rạc và hình học tổ hợp: Luận văn tổng hợp các phương pháp chứng minh cơ bản và ứng dụng thực tiễn, hỗ trợ nghiên cứu sâu hơn về các bài toán mở và phát triển lý thuyết.

4. Các trung tâm đào tạo và tổ chức thi tuyển sinh, Olympic Toán: Tài liệu giúp thiết kế đề thi phù hợp, đánh giá năng lực học sinh và phát triển chương trình đào tạo chuyên sâu.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp quy nạp được áp dụng như thế nào trong hình học tổ hợp?
   Phương pháp quy nạp chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề với mọi số tự nhiên bằng cách chứng minh cơ sở (ví dụ n=1) và bước quy nạp (từ n=k sang n=k+1). Ví dụ, chứng minh n đường thẳng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần.

2. Nguyên lý Dirichlet có vai trò gì trong các bài toán tô màu?
   Nguyên lý Dirichlet giúp chứng minh tồn tại các cấu hình bắt buộc, như tồn tại hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu trong lưới ô vuông tô màu bằng hai màu, dựa trên nguyên tắc phân phối đối tượng vào ngăn.

3. Làm thế nào để sử dụng phương pháp phản chứng hiệu quả?
   Phương pháp phản chứng giả sử mệnh đề cần chứng minh sai và tìm mâu thuẫn với giả thiết hoặc kiến thức đã biết. Ví dụ, chứng minh tồn tại đường thẳng đi qua đúng hai điểm trong tập hợp điểm không thẳng hàng.

4. Nguyên lý cực hạn giúp giải quyết bài toán hình học tổ hợp ra sao?
   Nguyên lý cực hạn chọn phần tử nhỏ nhất hoặc lớn nhất trong tập hợp để xây dựng chứng minh, giúp xác định các giá trị tối ưu hoặc loại trừ các trường hợp không hợp lệ, như chọn tam giác có diện tích nhỏ nhất trong tập hợp tam giác.

5. Có thể áp dụng các phương pháp này vào các bài toán không thuộc hình học tổ hợp không?
   Các phương pháp chứng minh này có tính chất tổng quát và có thể áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học khác như số học, đại số, giải tích, đặc biệt trong các bài toán logic và chứng minh tính chất tổng quát.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa bốn phương pháp chứng minh cơ bản: quy nạp, phản chứng, nguyên lý Dirichlet và nguyên lý cực hạn, đồng thời minh họa ứng dụng trong các bài toán hình học tổ hợp điển hình.
• Các phương pháp này giúp giải quyết hiệu quả các bài toán phức tạp, nâng cao tư duy logic và kỹ năng chứng minh cho học sinh, sinh viên và nhà nghiên cứu.
• Nghiên cứu đã phân tích và chứng minh nhiều bài toán thực tế trong các kỳ thi học sinh giỏi và Olympic Toán, góp phần phát triển giáo dục toán học chuyên sâu.
• Đề xuất các giải pháp đào tạo, phát triển tài liệu và ứng dụng công nghệ nhằm nâng cao hiệu quả học tập và nghiên cứu trong lĩnh vực hình học tổ hợp.
• Khuyến khích các đối tượng liên quan như học sinh, giáo viên, nhà nghiên cứu và tổ chức thi tuyển sinh tham khảo và áp dụng kết quả nghiên cứu để phát triển năng lực toán học.

Áp dụng các phương pháp chứng minh đã nghiên cứu vào giảng dạy và luyện tập, đồng thời phát triển các tài liệu và công cụ hỗ trợ học tập để nâng cao hiệu quả đào tạo hình học tổ hợp.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Tổng quan về các phương pháp chứng minh Chương này liệt kê các phương pháp điển hình được vận dụng để giải các bài toán trung học phổ thông như: phương pháp quy nạp, phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cực hạn. Mỗi phương pháp được trình bày độc lập nhưng khi sử dụng chúng đan xen cùng các phương pháp khác ta giải được nhiều bài tập hay và thú vị.1 Phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có vai trò vô cùng quan trọng trong toán học, khoa học và cuộc sống. Đối với nhiều bài toán trong chương trình toán phổ thông là những bài toán logic, tức những bài toán không mẫu mực, phương pháp quy nạp cho ta nhiều cách giải hữu hiệu. Suy diễn là quá trình từ “tính chất” của tập thể suy ra tính chất của cá thể, nên luôn luôn đúng, còn quá trình ngược lại, tức quá trình quy nạp: đi từ “tính chất” của một số các thể suy ra “tính chất” của tập thể thì không phải lúc nào cũng đúng, mà quá trình này chỉ đúng khi nó thỏa mãn một số điều kiện nào đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp: Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định).

(b) Từ tính đúng đắn của S(n) đối với n = t (hoặc đối với mọi giá trị của n (k0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ k0 ), ta cần chứng minh tính đúng đắn của 3 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] S(n) đối với n = t + 1. Khi S(n) đúng với mọi n ≥ k0. Giả sử khẳng định S(n) xác định với mọi n ≥ t0. Để chứng minh S(n) đúng ∀n ≥ t0 bằng quy nạp ta cần thực hiện theo hai bước sau: 1.

Cơ sở quy nạp: chứng minh rằng S(n) đúng với số tự nhiên n = t0. Quy nạp: giả sử khẳng định S(n) đã đúng đến n = t (hoặc đối với mọi n (t0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ t0 ). Trên cơ sở giả thiết này ta chứng minh tính đúng đắn của S(n) đối với n = t + 1, tức S(t + 1) đúng. Nếu cả hai bước trên thỏa mãn, thì theo nguyên lý quy nạp S(n) đúng với ∀n ≥ t0.

Giả thiết ở bước quy nạp rằng mệnh đề đúng với n = t được gọi là giả thiết quy nạp. Chứng minh rằng mệnh đề S(n) sau đúng với tất cả số tự nhiên n n ( n + 1) 0+1+2+···+n =. Cơ sở quy nạp: Ta có S(0) bằng 0 · (0 + 1) 0=. 2 Hai vế bằng nhau nên mệnh đề đúng với n = 0.

Quy nạp: Giả sử S(k) đúng, ta phải chứng minh S(k + 1) cũng đúng, tức là (k + 1)((k + 1) + 1) 0+1+2+···+k+k+1 =. 2 Sử dụng giả thiết quy nạp rằng S(k) đúng, vế trái có thể viết thành k ( k + 1) k ( k + 1) + 2( k + 1) + ( k + 1) = 2 2 (k + 1)(k + 2) = 2 (k + 1)((k + 1) + 1) =. 2 Vậy S(k + 1) cũng đúng. Vì cả bước cơ sở quy nạp và bước quy nạp đã được thực hiện, mệnh đề S(n) đúng với mọi số tự nhiên n.

 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Cho x + , x 6= 0 là một số nguyên. Chứng minh rằng với mọi x số nguyên dương n, số 1 T (n, x ) = x n + n x cũng là số nguyên. Bài toán được giải quyết bằng quy nạp.

Cơ sở quy nạp: Với n = 1, theo giả thiết ta có T (1, x ) = x + là số x nguyên, nên khẳng định đúng. Quy nạp: Giả sử với n = k khẳng định đúng, nghĩa là 1 T (k, x ) = x k + xk là số nguyên. x x x 1 1 1 Theo giả thiết quy nạp, các số x + , x k−1 + k−1 , x k + k đều nguyên x x x nên T (k + 1, x ) là số nguyên và khẳng định đúng với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng A(n) = 7n + 3n − 1 chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n.

Bài toán được giải quyết bằng quy nạp. Cơ sở quy nạp: Với n = 0, ta có A(0) = 0 chia hết cho 9, nên khẳng định đúng. Quy nạp: Giả sử A(k) chia hết cho 9 với k ∈ N. Ta sẽ chứng minh A(k + 1) cũng chia hết cho 9.

Thật vậy, ta có A ( k + 1 ) = 7k +1 + 3 ( k + 1 ) − 1 = 7A(k) − 9(2k − 1). Theo giả thiết quy nạp thì A(k) chia hết cho 9, do dó A(k + 1) cũng chia hết cho 9. Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n.  5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2 Phương pháp phản chứng Để chứng minh một bài toán bằng phương pháp phản chứng gồm 3 bước: Bước 1 (Phủ định kết luận): Ta giả sử kết luận của bài toán là không đúng.

Bước 2 (Đưa đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toán, ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc mâu thuẫn với kiến thức đã học. Bước 3 (Khẳng định kết luận): Như vậy kết luận của bài toán là đúng. Ưu điểm của phương pháp này là ta đã tạo thêm được một giả thiết mới (giả thiết phản chứng) vào các giả thiết của bài toán. Người ta đồn rằng ở một ngôi đền nọ rất thiêng do ba vị thần ngự trị: thần Thật Thà (luôn luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn luôn nói rối) và thần Khôn Ngoan (khi nói thật, khi nói dối).

Các vị thần đều ngự trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có người thỉnh cầu. Nhưng hình dạng của ba vị thần giống hệt nhau nên người ta không biết vị thần nào trả lời để mà tin hay không tin. Một hôm, một học giả từ phương xa đến gặp các vị thần để xin thỉnh cầu. Bước vào miếu, học giả hỏi thần ngồi bên phải: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Dối Trá.

Tiếp đó hỏi thần ngồi giữa: - Ngài là thần gì? - Tôi là thần Khôn Ngoan. Cuối cùng ông ta quay sang hỏi thần ngồi bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần thật thà. Nghe xong học giả khẳng định mỗi vị thần là gì. Bạn hãy cho biết học giả đó đã suy luận như thế nào? 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.

Câu hỏi của học giả cho ba vị thần nhưng đều nằm mục đích: thần ngồi giữa là thần gì? Học giả đã nhận được ba câu trả lời với thông tin hoàn toàn khác nhau về vị thần ngồi giữa. Học giả có thể suy luận như sau (có thể vì có nhiều cách suy luận khác cũng giải được bài toán này): 1. Nếu thần ngồi bên trái là thần Dối Trá thì thần bên phải là thần Thật Thà hoặc Khôn Ngoan. - Nếu thần ngồi bên phải là Thật Thà thì ngồi giữa là thần Dối Trá (do câu trả lời của thần Thật Thà).

Điều này vô lý, vì bên trái cũng là thần Dối Trá. - Nếu thần ngồi bên phải là Khôn Ngoan, thì ngồi giữa là thần Thật Thà. Điều này cũng vô lý, vì ngài đã nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan”. Vậy bên trái không phải là thần Dối Trá.

Nếu thần ngồi bên phải là thần Dối Trá thì thần ngồi giữa là thần Thật Thà hoặc Khôn Ngoan. - Thần ngồi giữa không phải là Thật Thà, vì ngài đã nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan”. - Nếu thần ngồi giữa là Khôn Ngoan, thì thần ngồi bên trái là Thật Thà. Điều này cũng vô lý, vì ngài đã nói: “Ngồi giữa là thần Thật Thà”.

Vậy bên phải không phải là thần Dối Trá. Vậy chỉ còn ngồi giữa là thần Dối Trá. Như vậy bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài đã nói: “Ngồi giữa là thần Thật Thà” Thế thì bên trái là Khôn Ngoan. Cuối cùng, bên phải là thần Thật Thà.

Nếu g, h, k là ba đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng sao cho g và h song song với k, thì g song song với h. Ta giả sử ngược lại g không song song với h. Vì g và h nằm trên cùng mặt phẳng, mà không song song với nhau thì chúng cắt nhau tại một điểm P. Trong trường hợp này từ P có hai đường thẳng song song với k.

Điều này không thể được vì ở phổ thông ta công nhận mệnh đề sau luôn đúng: Qua một điểm đã cho chỉ tồn tại duy nhất một đường thẳng song song với một đường thẳng đã cho. Như vậy điều giả sử là sai, do đó kết luận của bài toán là đúng. 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.3 Nguyên lý Dirichlet Người đầu tiên đề xuất nguyên lý này được cho là nhà toán học người Đức Johann Dirichlet (1805–1859) khi ông đề cập tới nguyên lý với tên gọi “nguyên lý ngăn kéo” (The Drawer Principle). Ngoài ra nguyên lý này còn được biết đến như nguyên lý chim bồ câu hoặc nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ.

Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nhốt n + 1 thỏ vào n lồng thì tồn tại một lồng có ít nhất hai thỏ. Giả sử ngược lại mỗi lồng chỉ nhốt nhiều nhất một con thỏ, như vậy số thỏ nhỏ hơn hoặc bằng số lồng n, mà theo giả thiết số thỏ là n + 1 nhiều hơn số lồng, điều này dẫn đến vô lý. Từ đó suy ra có ít nhất 2 con thỏ trong cùng một lồng. Dù mở rộng bất cứ cách nào, nguyên lý này đều được chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k   N hộp, N không chia hết cho k, thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất +1 k đồ vật. Nguyên lý Dirichlet vô hạn: Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo thì phải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo. Nguyên lý Dirichlet đối với đoạn thẳng: Ta kí hiệu d( I ) là độ dài của đoạn thẳng I nằm trong mặt phẳng. Cho A là một đoạn thẳng, A1 , A2 ,.

, An là các đoạn thẳng sao cho Ai ⊂ A với i = 1, n và d( A) < d( A1 ) + d( A2 ) +. Khi đó ít nhất có hai đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng trên có một điểm trong chung. Giả sử không có hai đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng đã cho có điểm trong chung. Mà từ Ai ⊂ A, i = 1, n, ta có d( A1 ∪ A2 ∪.

8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.