Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỀN CỦA VẤN ĐÈ NGHIÊN CỨU 1. Khái quát về mô hình hoá toán học 1. Sơ lược về lich sứ hình thành và phát triển của mô hình hoá toán học.
MHHTH trong giáo dục chính thức xuất hiện đầu tiên tại hội nghị của Ereudenthal (1968) ({26)). ở đây các nhà giáo dục toán đã thảo luận và đưa ra nhiều vấn để liên quan dén MHH: “Tai sao phdi day toán để có ích (Preudenthal)? Tai sao nhiều HS không thể sử dụng kiến thức toán đã học đẻ giải quyết các vấn đề thực tế mặc dù đạt được chứng chỉ xuất sắc về môn học này (Siller)? Dạy toán là phải day sao cho HS có thể áp dụng toán vào những tình huồng đơn giản của cuộc sống (Klamkin).I26] Ý tưởng về sử dụng MHH trong day học được đề xuất Aristides C. Barreto từ giữa những năm 70 của thể ki trước. Theo ông: “M/IHW là quá trình tạo ra các mô ình dé giải quyết các vấn đẻ toán học`[23].
Mô hình toán hoe được xây đựng bằng cách phiên dịch các vấn để từ thực tiễn, bằng phương tiện ngôn ngữ viết sang, phương tiện ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu hay nói cách khác, HH là bỏ đi các tính chất không bản chất của ;à được trình bày dưới dạng ngôn ngữ toán học. Mối liên hệ giữa toán và MHH tiếp tục được đi ip đến tại hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977) ~ bao gồm các thảo luận vẻ những khía cạnh của toán học ứng. dụng trong giáo dục. Các nhà nghiên cứu đều đồng tỉnh về vai trỏ, tằm quan trọng của MHHTH nhưng vẫn còn tranh luận là làm thể nào để tích hợp MHHTH này vào trong quá trình dạy học.
Họ đưa ra nhiêu phương pháp tiếp cận khác nhau để thảo. luận và vẫn còn thiếu bằng chứng thực nghiệm về anh hưởng của việc tích hợp mô hình ví dụ vào thực tế. Trong thế kỉ XIX, các nhà giáo dục toán học ni tiếng đã đặt ra yêu cầu là đưa vấn đề ngữ cảnh vào trong toán học, yếu là ở các trường tiểu học với quy mô tông lớn. Bước sang thể ki XX, Felix Klenin - Giám đốc của ICMI [23], nói về sự cần thiết của các ứng dụng MHH trong giáo dục toán học cho trẻ em.
Tuy nhiên, ông yêu cầu một sự cân bằng mạnh mẽ giữa các ứng dụng và toán học thuần túy. Một dấu mí quan trọng trong việc giới thiệu MHHTH vào nhà trường là nghiên cứu năm 1979 của Pollak về: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác. ở nhà trường, Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho HS cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày. Gần 20 năm trướ „ trong buổi thảo luận, Kaiser, Messer (1986, p.
83) đã đưa xa những ứng dụng và MHH với những quan điểm khác nhau, cụ thể có 2 xu hướng, chính sau đây: “+ Một là, quan điểm thực dụng, tập trung vào khả năng của người học áp dụng, toán học để giải quyết các vấn để thực tế, Henry Pollar có thể được xem như là một nhà nghiên cứu tiêu biểu về quan điểm này + Hai la, quan điểm khoa học nhân văn, tập trung vào khả năng của người học tao ra sự tương đối giữa toán học và thực tiễn. Han Freudenthal được xem là nhà nghiên cứu tiêu biểu của phương pháp này. Tit d6, day và học theo MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vỉ toàn cầu. Ví đụ, nghiên cứu của PISA, chương trình đánh giá HS quốc.
18 (Programme for International Student Assessment) nhẫn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát triển khả năng HS sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương. lai Hội nghị quốc tế về dạy MHH và áp dụng toán ICTMA (International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applieations) tổ chức, 2 năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng và MHH trong tắt cả. ác lĩnh vực của giáo dục toán. Xu hướng đưa MHHTH vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độ khác nhau ngày cảng gia tăng.
Chẳng hạn ở Dức, Hà Lan, Ue, MI, MHHTH là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán. Ở Singapore, MHHTH được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích nhẫn manh tim quan trọng của MHH trong việc học toán cũng như đáp ứng các thách thức của thế kỉ XXI. Các nhiệm vụ MHHTH thường yêu cầu HS phát triển một mô hình của mình và khám phá để đáp ứng những yêu cầu nào đó, cung cắp cơ hội để HS phát triển kĩ năng giải quyết vấn dé và khảo sắt toán, 1. Những khái niệm cơ bản về mô hình hóa toán học 1.
Khái niệm mồ hình “Theo Từ điển Tiếng Việt |5], mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được lâm. thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác để tiện trình bày, nghiên cứu. Frank Swetz (1991) [26] đỉnh nghĩ: „mô hình là một mẫu, một kế hoạch, một đại diện, một minh họa được thiết kế đề mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối tượng, một hệ thống hay một khái niệm Mô hình theo ý nghĩa vật lí của nó, đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của một đối tượng. Mô hình đó có cùng nhiễu tính chất với đố tượng gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có thể là mẫu sắc thậm c í cả chức năng với đối tượng mã mô hình đó biểu diễn.
Một mô hình lí thuyết của một sự vật hiện tượng là một tập hợp các quy tắc biểu diễn sự vật hiện tượng dó trong dầu của người quan sát 'Như vậy có thể nhận thấy, mô hình được mô tả như một vật đùng thay thể mà qua đồ ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần. đến vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình.
và bối cảnh áp dụng của mô hình đó [Ió|. Mô hình sử dụng trong dạy học toán là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. 6 đây, chúng tôi hiểu rằng mô hình sử dụng trong day học toán có thể là hình vẽ, biễu đỗ, bảng biểu, sơ đỗ, phương trình, hệ phương trình, biểu tượng hay mô hình áo trên máy tính điện tử. Khdi nigm mô hình toán học Theo Từ điển bách khoa Việt Nam [16], một mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống.Mô hình toán học: là một mô hình biễu diễn toán học của những mặt chủ yếu.
của một nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vỉ giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và trong dạng thích hợp cho sử dụng [1tr 115] Hay hiéu một cách cụ thé hơn, mô hình toán học là các công thức để tính toán các quá trình hoá học, vật lý, sinh học,. được mô phỏng từ hệ thống thực. 'Như vậy, chúng tôi cho rằng mô hình toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng của ngôn ngữ toán học. Do đó, mô hình toán học là một cầu trúc toán học mô tả gần đúng đặc trưng của hiện tượng đó.
Khát ni n mé hinh hoá toán học ‘Theo Từ điển bách khoa Việt Nam [16], MHHTH là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mả người ta đặt ra trên hệ thống này. Có rất nhiều định nghĩa, mô tả về khái niệm MHHTH. “Một nhiệm vụ đòi hỏi chuyển đổi giữa thực té và toán học được gọi là mô hình hoá toán hoe” [24]. Nói một cách ngắn gọn th: “Mô hình hoá toán học là quá trình giái quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học”, *Mô hình hoá toán học là toàn bộ quá trình chuyển.
đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi sự liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tỉnh huống thực tế, quyết định một mô hình toán phủ. hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lin cho đến khi có được một kết quả hợp lý” [22]. Do đó, trong luận văn này, chúng tôi sử dụng khái niệm MHHTH như sau .Mô hình hoá toán học là quá trình chuyền đổi một vẫn đẻ thực tẺ sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cai tiến mô hình nếu cách giải quyết không, thể chấp nhận [1, tr. Ví dụ: Từ vẫn đề thực tế yêu cầu tính số bạn côn lại đang chơi nhảy dây sau khi một bạn không chơi nữa, HS cần giản lược các yếu tố trung gian |e để chuyển đổi vấn đề trên thành mô hình toán học à phải thực hiện phép tính trừ 4 — 1 = ? Từ đó huy động kiến thức để giải quyết vấn đề trên như bớt đi = số bạn không chơi để tinh được số ban dang còn Hình II chơi nhảy day.
Nhu vay, MHHTH là một hoạt động phức hợp, đòi hỏi HS phải có nhỉ năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức. quan đến các tinh hudng thực tế được xem xét. Thông qua MHHTH, HS học cách dụng các phương pháp, giải quyết vấn đề 1. Quy trình thực hiện mô hình hóa toán học Hiện nay có rất nhiều quan niệm về quy trình MHHTTH, Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số quan điểm về quy trình MHHTH của một số nhà nghiên cứu.
Quan điểm 1: Quy trình MHHTH được Prank Swetz vaJ. Hartzler (1991) để xuất theo sơ đồ 1. gồm bốn giai đoạn như sau ác yêu tố quan trong có tá đựng mô hình toán học phù hợp; ~ Giai đoạn thứ hai: Phân tích mô hình toán học nhằm tìm cách giải quyết bải toán để rút ra kết luận toán học; ~ Giai đoạn thie ba: HŠ áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phủ hop để hiểu và thông dich kết luận toán học mà các em đã đưa ra ~ Giai đoạn thứ tư: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tế và kết luận, từ đó áp dụng vào thực tế. 20 Quan sat, hiểu và xây Tinh huống thực tiễn “đụng mô hình Mô hình toán học Ap dung Phân tích Kết luận thông báo Tiểu và thông dịch _—=¬=_ 'Kết luận toán học Sơ đồ 1.