CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Một số vấn đề về mô hình hóa toán học 1. Mô hình Có rất nhiều quan điểm khác nhau về mô hình, dựa trên mục đích nghiên cứu, mỗi tác giả lại có những định nghĩa riêng. Về cơ bản, mô hình được hiểu theo 2 nghĩa: mô hình vật lí và mô hình trong trí não.
Mason và Davis (2016) cho rằng, nhờ có mô hình nên người học có thể thấy được các đặc trưng của vật thật trong thực tế (dẫn theo [11, tr. Thực vậy, trong cuộc sống chúng ta có thể dễ dàng bắt gặp những mô hình xe máy, ôtô, tòa nhà… Về mặt trực giác, chúng đều dễ dàng được chạm vào và đưa ra những nhận định khác nhau. Những mô hình đó có thể được hiểu là các đối tượng vật lý (hay mô hình không gian). Qua quan sát, loại mô hình này cho phép chủ thể tri giác và tìm hiểu đặc điểm của đối tượng ngoài thực tế mà không cần phải trực tiếp thao tác với vật thật.
Theo quan điểm của Swetz và Hartzler (1991): “Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lí” (dẫn theo [11, tr. Ví dụ mô hình điện thoại bàn cũng có thể nghe và truyền được âm thanh trong không gian như điện thoại thật, mô hình chiếc thuyền, mô hình xe ôtô đều có thể di chuyển. Trái lại, mô hình trong trí não thường xuyên xuất hiện trong ngữ cảnh học tập và khá trừu tượng.A Softf (2019) nhận định: “Mô hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật chất” (dẫn theo [4, tr. Van Den Heuvel (2003) cho rằng: “Mô hình ở đây có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính” (dẫn theo [11, tr.
Theo Nguyễn Danh Nam (2015), “Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm” [11, tr. 11 Trở lại vấn đề đã đặt ra ban đầu, ta có thể chia mô hình thành 2 loại như sau: Đối với mô hình vật lí, chúng ta có thể sử dụng tất cả các giác quan để tri giác, để tìm hiểu, thông qua đó phân tích đặc điểm của vật thật thì mô hình lý thuyết lại diễn ra trong đầu của người quan sát. Cụ thể, mô hình là đại diện cho tổng hợp các khái niệm, quy tắc nhằm biểu diễn một sự vật, hiện tượng trong cuộc sống. Có thể nói, mô hình đóng vai trò quan trọng để tìm hiểu các điểm đặc trưng của vật thể thực tế, ta có thể tìm hiểu thông qua mô hình được mô tả như một vật thay thế.
Ưu điểm nổi bật của mô hình là không cần đến vật thật mà ta vẫn có thể thao tác và khám phá các đặc điểm của đối tượng. Mô hình hóa MHH trong dạy học luôn là chủ đề nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà giáo dục học. Song đến nay, chưa có một định nghĩa nào thống nhất về MHH. Một số nhận định về MHH có thể kể đến như: Aristides C Barreto, người đặt những viên gạch nền móng đầu tiên vào những năm 70 của thế kỉ trước, tác giả cho rằng: “Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề toán học” (dẫn theo [11, tr.
Nguyễn Danh Nam (2013) đã viết trong nghiên cứu của mình: “Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ các phần mềm dạy học. Để thao tác với công cụ và sử dụng ngôn ngữ toán học cũng như sự hỗ trợ của công nghệ, HS cần có kĩ năng và thao tác tư duy toán học như so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Nhờ đó, HS có cơ hội hiểu rõ bản chất của các khái niệm và quá trình toán học, cao hơn là hiểu được ý tưởng toán học và biết cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng” [12]. Ở một nghiên cứu khác, Nguyễn Danh Nam (2015) cho rằng, “Phương pháp mô hình hóa thường được sử dụng để giải quyết lớp các bài toán có lời 12 văn ở bậc tiểu học.
Mô hình thường được biểu diễn dưới dạng biểu tượng như hình chữ nhật, hình thang, hình tròn, đồ vật, hình ảnh…” [11, tr. Như vậy, có thể hiểu rằng, MHH là quá trình sử dụng các công cụ và phương pháp để nêu câu hỏi và câu trả lời về những tình huống trong thực tiễn. Nhắc đến MHH là nhắc đến phương pháp nhấn mạnh vào quá trình chuyển đổi từ bài toán chứa tình huống thực tế bằng ngôn ngữ thực tế cuộc sống về bài toán được thể hiện bằng ngôn ngữ toán học. HS tìm kiếm kiến thức để giải toán sau đó trở lại thực tế để kiểm nghiệm lại hiệu quả của mô hình.
Từ đó, đưa ra phân tích và đối chứng với các phương pháp giải quyết tình huống thực nhằm đánh giá tính khả thi của phương pháp này. Từ quan điểm này, luận văn đưa ra cách tiếp cận về MHH như một phương pháp dạy học. MHH cung cấp khái niệm cho HS một cách dễ hiểu, giúp HS thiết lập mô hình và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế. Do vậy, HS làm chủ kiến thức và có cơ hội phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán.
Mô hình hóa toán học Edwards và Hamson (2001) định nghĩa: “Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận” (dẫn theo [11, tr. Nguyễn Danh Nam đưa ra quan niệm: “Mô hình hóa toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó” [11, tr. Theo đó, tác giả thể liệt kê 5 loại mô hình: - Mô hình được biểu diễn bởi bảng phép toán được gọi là mô hình số học; - Mô hình được thể hiện thông qua một số loại phương trình hoặc bất phương trình là mô hình đại số - giải tích; - Mô hình được xây dựng bởi đồ thị của một hàm số nào đó; 13 - Mô hình được thể hiện bởi các hình hình học gọi là mô hình hình học; - Mô hình hỗn hợp bao gồm: mô hình số học, đại số - giải tích, hàm số, hình học. Khi đưa MHH toán học vào giảng dạy, ta rất dễ nhầm lẫn giữa “dạy học mô hình hóa” và “dạy học bằng mô hình hóa”.
Vậy điểm khác biệt giữa hai khái niệm này là gì? Đối với quy trình dạy học MHH, tác giả Lê Văn Tiến mô tả quy trình này như sau: Giáo viên bắt đầu dạy học tri thức toán học lí thuyết cho HS. HS lĩnh hội và vận dụng các tri thức này vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Từ đó, HS có cơ sở để xây dựng mô hình toán học của thực tiễn (dẫn theo [20, tr. Chúng ta đều biết rằng, toán học là thực tiễn cuộc sống, khi tiến hành dạy học MHH theo cách này, nguồn gốc của thực tiễn và động cơ xuất phát từ thực tiễn sẽ không còn, do tri thức toán học đã được GV cung cấp sẵn để HS giải quyết, sau đó các vấn đề mới được đặt ra.
Đối với quy trình dạy học bằng MHH hay dạy học thông qua MHH: HS xuất phát từ bài toán thực tiễn rồi xây dựng các mô hình toán học. HS chủ động tìm câu trả lời cho bài toán thực tiễn. Qua đó, các em lĩnh hội được tri thức cần giảng dạy. Thuận tiện cho HS vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn (dẫn theo [20, tr.
Theo cách này, thực tiễn được lấy làm gốc và là động cơ để tạo nên tri thức toán học, sử dụng tri thức để giải quyết tình huống thực tiễn. Qua các khái niệm về MHH toán học, hiểu một cách ngắn gọn thì MHH toán học chính quá trình là giải quyết các vấn đề thực tế bằng công cụ toán học. Quá trình này giúp HS giải quyết các tình huống xuất phát từ cuộc sống bằng ngôn ngữ toán học. Trong quá trình giải quyết, HS vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để giải toán.
Quy trình mô hình hóa toán học Theo quan điểm nghiên cứu, các nhà khoa học đã đưa ra quy trình MHH khác nhau, có thể kể đến: 14 Một trong những sơ đồ đầu tiên, sơ giản nhất về quy trình MHH toán học đó là nghiên cứu của nhà khoa học Pollak vào năm 1979: Thế giới Thế giới toán học thực (Nguồn: dẫn theo [11, tr2-7]). Quá trình mô hình hóa của Pollak Sơ đồ thể hiện rõ nét mối quan hệ hai chiều giữa toán học và thực tế. Từ mô hình trong thế giới thực, người học tiến hành chuyển tình huống thực tế thành tình huống toán học bằng ngôn ngữ toán học vào thế giới toán học. Sau đó, người học thực hiện giải toán trong mô hình toán học.
Sơ đồ cho thấy các mũi tên theo hình vòng tròn và lặp lại. Điều này thể hiện sau khi giải quyết bài toán trong mô hình toán học, người học tiếp tục quay lại thế giới thực tiễn để đối chiếu lại kết quả ban đầu. Vòng lặp cứ thế tiếp tục giữa thế giới thực và thế giới toán học. Theo Swerz & Hartzler (1991), quy trình MHH toán học gồm 4 giai đoạn: Quan sát, hiểu và Tình huống xây dựng mô hình Mô hình thực tiễn toán học Phân Áp tích dụng Kết luận, Hiểu và thông dịch Kết luận thông báo toán học (Nguồn: [11, tr.
Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán 15 - Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Người học hiểu được vấn đề xuất phát từ thực tiễn từ đó đưa ra các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề.