Luận văn thạc sĩ công nghệ chế tạo máy phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu khung giàn phẳng sử dụng phương pháp arc length

Luận văn thạc sĩ: Phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu khung giàn phẳng bằng phương pháp Arc Length. Nghiên cứu chuyên sâu về công nghệ chế tạo máy.

• Tác giả: Lương Quốc Việt
• Người hướng dẫn: Ts. Nguyễn Thanh Trương
• Trường học: Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG TP. HCM
• Chuyên ngành: Công Nghệ Chế Tạo Máy
• Đề tài: Phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu khung giàn phẳng sử dụng phương pháp Arc - Length
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Tp. Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng Quan Luận Văn Thạc Sĩ Phân Tích Ổn Định 55 Ký Tự

Luận văn thạc sĩ tập trung vào phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu khung giàn phẳng, một vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật. Việc hiểu rõ hành vi của kết cấu dưới tác động của tải trọng, đặc biệt là khi vượt qua giới hạn đàn hồi, là yếu tố then chốt để đảm bảo an toàn và độ tin cậy của công trình. Luận văn sử dụng phương pháp Arc-Length, một kỹ thuật số mạnh mẽ, để giải quyết các bài toán phi tuyến phức tạp liên quan đến ổn định kết cấu. Theo [3], phương pháp Newton-Raphson dù được sử dụng rộng rãi, vẫn gặp khó khăn khi phân tích sau điểm giới hạn, do đó, phương pháp Arc-Length là một lựa chọn thay thế hiệu quả. Luận văn này đóng góp vào việc nâng cao kiến thức và kỹ năng phân tích kết cấu cho kỹ sư công nghệ chế tạo máy, đồng thời cung cấp một công cụ hữu ích cho việc thiết kế và kiểm tra độ bền của kết cấu trong thực tế.

1.1. Tầm quan trọng của Phân tích Phi Tuyến Hình Học

Trong công nghệ chế tạo máy, việc phân tích phi tuyến hình học có vai trò quan trọng. Nó giúp đánh giá chính xác hơn sự thay đổi hình dạng và ứng suất trong kết cấu khi chịu tải trọng lớn. Điều này đặc biệt cần thiết đối với các kết cấu mỏng hoặc kết cấu có độ cứng thấp, nơi biến dạng có thể ảnh hưởng đáng kể đến khả năng chịu lực. Phân tích phi tuyến hình học cho phép các kỹ sư dự đoán chính xác hơn hành vi của kết cấu, từ đó đưa ra các quyết định thiết kế tối ưu và đảm bảo an toàn cho công trình.

1.2. Giới thiệu về phương pháp Arc Length trong tính toán

Phương pháp Arc-Length là một kỹ thuật số mạnh mẽ được sử dụng để giải quyết các bài toán phi tuyến phức tạp trong phân tích kết cấu. Khác với phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Arc-Length cho phép theo dõi đường cân bằng tải-chuyển vị ngay cả khi kết cấu đạt đến điểm giới hạn hoặc điểm uốn. Bằng cách kiểm soát độ dài cung trên đường cân bằng, phương pháp Arc-Length có thể vượt qua các điểm không ổn định và cung cấp một bức tranh đầy đủ về hành vi của kết cấu trong suốt quá trình chịu tải.

II. Vấn Đề Khó Khăn Phân Tích Sau Ổn Định Khung Giàn 59 Ký Tự

Phân tích sau ổn định kết cấu khung giàn phẳng đặt ra nhiều thách thức đáng kể. Các phương pháp truyền thống thường gặp khó khăn trong việc mô tả chính xác hành vi của kết cấu sau khi mất ổn định, đặc biệt là khi có sự xuất hiện của các chế độ biến dạng phức tạp. Theo [Crisfield], việc xác định điểm giới hạn và phân biệt nó với sự phá hủy thực tế là một vấn đề nan giải. Luận văn này tập trung vào việc giải quyết những khó khăn này bằng cách áp dụng phương pháp Arc-Length, một kỹ thuật cho phép vượt qua các điểm không ổn định và theo dõi đường cân bằng tải-chuyển vị một cách liên tục. Điều này giúp kỹ sư có cái nhìn sâu sắc hơn về hành vi của kết cấu và đưa ra các quyết định thiết kế chính xác hơn.

2.1. Hạn chế của Newton Raphson khi phân tích sau ổn định

Mặc dù phương pháp Newton-Raphson là một công cụ mạnh mẽ trong phân tích kết cấu, nó có một số hạn chế khi áp dụng cho các bài toán sau ổn định. Cụ thể, phương pháp Newton-Raphson thường gặp khó khăn trong việc hội tụ khi kết cấu đạt đến điểm giới hạn hoặc điểm uốn. Điều này là do ma trận độ cứng của kết cấu trở nên suy biến gần các điểm không ổn định, dẫn đến sự phân kỳ của quá trình lặp.

2.2. Sự cần thiết của phương pháp Arc Length

Để khắc phục những hạn chế của phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Arc-Length đã được phát triển như một giải pháp thay thế hiệu quả cho các bài toán phân tích sau ổn định. Phương pháp Arc-Length cho phép kiểm soát độ dài cung trên đường cân bằng tải-chuyển vị, từ đó giúp vượt qua các điểm không ổn định và theo dõi hành vi của kết cấu một cách liên tục. Điều này đặc biệt quan trọng trong việc phân tích các kết cấu có tính phi tuyến cao hoặc có khả năng chịu tải sau khi mất ổn định.

2.3. Xác định điểm giới hạn và phân biệt với phá hủy

Trong phân tích sau ổn định, một trong những thách thức lớn nhất là xác định chính xác điểm giới hạn và phân biệt nó với sự phá hủy thực tế. Điểm giới hạn là điểm mà tại đó kết cấu đạt đến khả năng chịu tải tối đa và bắt đầu mất ổn định. Tuy nhiên, việc kết cấu đạt đến điểm giới hạn không nhất thiết có nghĩa là nó đã bị phá hủy hoàn toàn. Trong một số trường hợp, kết cấu vẫn có thể tiếp tục chịu tải sau điểm giới hạn, mặc dù với độ cứng giảm dần.

III. Phương Pháp Arc Length Giải Pháp Phân Tích Ưu Việt 60 Ký Tự

Luận văn đi sâu vào việc sử dụng phương pháp Arc Length để phân tích ổn định kết cấu khung giàn phẳng. Phương pháp Arc Length vượt trội hơn phương pháp Newton-Raphson khi phân tích các kết cấu có tính phi tuyến cao, cho phép vượt qua điểm tới hạn và xác định được đường cong tải trọng-chuyển vị đầy đủ. Luận văn trình bày chi tiết về cơ sở lý thuyết của phương pháp Arc Length, các bước thực hiện cụ thể, và cách áp dụng nó vào phân tích khung giàn phẳng. Ngoài ra, luận văn cũng so sánh kết quả phân tích bằng phương pháp Arc Length với kết quả từ các phương pháp khác để đánh giá tính chính xác và hiệu quả của phương pháp.

3.1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp Arc Length

Phương pháp Arc Length dựa trên việc kiểm soát độ dài cung trên đường cân bằng tải-chuyển vị. Thay vì tăng tải trọng theo từng bước, phương pháp Arc Length điều chỉnh cả tải trọng và chuyển vị để duy trì một độ dài cung không đổi. Điều này cho phép phương pháp vượt qua các điểm không ổn định và theo dõi đường cân bằng một cách liên tục. Cơ sở lý thuyết của phương pháp Arc Length bao gồm các khái niệm về không gian nghiệm, hàm cân bằng, và ma trận độ cứng tiếp tuyến.

3.2. Các bước thực hiện phân tích Arc Length chi tiết

Việc thực hiện phân tích Arc Length bao gồm các bước chính sau: (1) Xây dựng mô hình kết cấu và xác định các thông số vật liệu. (2) Chia lưới phần tử hữu hạn cho mô hình. (3) Thiết lập phương trình cân bằng. (4) Lựa chọn độ dài cung ban đầu. (5) Giải phương trình cân bằng bằng phương pháp lặp. (6) Kiểm tra hội tụ và điều chỉnh độ dài cung nếu cần thiết. (7) Vẽ đường cân bằng tải-chuyển vị và phân tích kết quả.

IV. Ứng Dụng Matlab Abaqus Phân Tích Khung Giàn 57 Ký Tự

Luận văn ứng dụng phương pháp Arc Length vào phân tích kết cấu khung giàn phẳng bằng cả phần mềm Matlab và Abaqus. Việc sử dụng Matlab cho phép hiểu sâu hơn về thuật toán và cách phương pháp Arc Length hoạt động, trong khi Abaqus cung cấp một môi trường phân tích mạnh mẽ và hiệu quả cho các bài toán phức tạp hơn. Kết quả phân tích từ Matlab và Abaqus được so sánh và đối chiếu để đảm bảo tính chính xác và tin cậy của kết quả. Luận văn cũng trình bày các ví dụ minh họa cụ thể về việc áp dụng phương pháp Arc Length vào phân tích các loại khung giàn phẳng khác nhau.

4.1. Xây dựng chương trình Matlab phân tích Arc Length

Luận văn trình bày chi tiết về việc xây dựng một chương trình Matlab để thực hiện phân tích Arc Length. Chương trình bao gồm các hàm để giải phương trình cân bằng, tính toán ma trận độ cứng tiếp tuyến, và kiểm tra hội tụ. Việc xây dựng chương trình Matlab giúp hiểu rõ hơn về thuật toán và cách phương pháp Arc Length hoạt động, đồng thời cung cấp một công cụ hữu ích cho việc phân tích các bài toán đơn giản.

4.2. Phân tích khung giàn bằng phần mềm Abaqus

Phần mềm Abaqus là một công cụ mạnh mẽ cho phân tích kết cấu và được sử dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp. Luận văn trình bày cách sử dụng Abaqus để phân tích khung giàn phẳng bằng phương pháp Arc Length. Các bước thực hiện bao gồm xây dựng mô hình, chia lưới, thiết lập điều kiện biên, và lựa chọn các thông số phân tích. Kết quả phân tích từ Abaqus được so sánh với kết quả từ Matlab để đảm bảo tính chính xác và tin cậy.

4.3. So sánh kết quả phân tích Matlab và Abaqus

Việc so sánh kết quả phân tích giữa chương trình Matlab tự xây dựng và phần mềm Abaqus thương mại giúp xác định được sự phù hợp và độ tin cậy của cả hai phương pháp. Các yếu tố so sánh thường bao gồm: đường cong tải-chuyển vị, ứng suất, biến dạng, và thời gian tính toán. Sự khác biệt có thể xuất hiện do các phương pháp giải số khác nhau, cách xử lý phi tuyến, và các thiết lập phần mềm. Việc phân tích kỹ lưỡng những khác biệt này giúp cải thiện mô hình và hiểu rõ hơn về hành vi của kết cấu.

V. Kết Quả Nghiên Cứu Đánh Giá Độ Ổn Định Khung Giàn 58 Ký Tự

Luận văn đưa ra các kết quả phân tích cụ thể về độ ổn định của các loại kết cấu khung giàn phẳng khác nhau. Các kết quả này được trình bày dưới dạng đường cong tải trọng-chuyển vị, biểu đồ ứng suất, và biểu đồ biến dạng. Dựa trên các kết quả này, luận văn đánh giá khả năng chịu tải và độ ổn định của các khung giàn, đồng thời đề xuất các giải pháp để cải thiện độ bền của kết cấu.

5.1. Phân tích ảnh hưởng của hình dạng khung giàn

Hình dạng của khung giàn có ảnh hưởng đáng kể đến độ ổn định của nó. Các khung giàn có hình dạng tối ưu có khả năng chịu tải lớn hơn và ít bị mất ổn định hơn so với các khung giàn có hình dạng không tối ưu. Luận văn phân tích ảnh hưởng của các yếu tố hình học như chiều dài, chiều cao, và góc nghiêng của các thanh đến độ ổn định của khung giàn.

5.2. Đánh giá ảnh hưởng của tải trọng đến độ ổn định

Tải trọng tác động lên khung giàn có ảnh hưởng trực tiếp đến độ ổn định của nó. Luận văn đánh giá ảnh hưởng của các loại tải trọng khác nhau, chẳng hạn như tải trọng tập trung, tải trọng phân bố, và tải trọng động, đến độ ổn định của khung giàn. Các kết quả phân tích cho thấy rằng tải trọng có thể gây ra mất ổn định do uốn, xoắn, hoặc phá hủy vật liệu.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Phân Tích Kết Cấu 56 Ký Tự

Luận văn đã thành công trong việc áp dụng phương pháp Arc Length để phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu khung giàn phẳng. Các kết quả phân tích cho thấy rằng phương pháp Arc Length là một công cụ hiệu quả cho việc đánh giá độ bền và độ ổn định của kết cấu. Luận văn cũng đề xuất các hướng phát triển trong tương lai, bao gồm việc mở rộng phương pháp Arc Length cho các loại kết cấu phức tạp hơn, và việc tích hợp phương pháp Arc Length vào các phần mềm thiết kế kết cấu.

6.1. Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo

Trong tương lai, có thể mở rộng phạm vi nghiên cứu bằng cách áp dụng phương pháp Arc Length cho các loại kết cấu phức tạp hơn, chẳng hạn như kết cấu vỏ, kết cấu không gian, hoặc kết cấu composite. Ngoài ra, có thể nghiên cứu các kỹ thuật tối ưu hóa kết cấu để cải thiện độ bền và độ ổn định của khung giàn.

6.2. Tích hợp phương pháp Arc Length vào phần mềm thiết kế

Việc tích hợp phương pháp Arc Length vào các phần mềm thiết kế kết cấu sẽ giúp các kỹ sư dễ dàng hơn trong việc đánh giá độ bền và độ ổn định của kết cấu trong quá trình thiết kế. Điều này sẽ giúp giảm thiểu rủi ro và đảm bảo an toàn cho công trình. Các phần mềm thiết kế kết cấu phổ biến như SAP2000, ETABS, và ANSYS có thể được nâng cấp để tích hợp phương pháp Arc Length.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH PHI TUYẾN 1. Giới thiệu về phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu. Khi phân tích tính toán kết cấu, chi tiết máy phải phân tích tính toán theo độ bền, độ ổn định, độ dao động,… Thông thƣờng giới hạn bền đƣợc quan tâm đặc biệt. Tuy nhiên có một sô trƣờng hợp, trong xây đựng một số cầu hoặc trụ điện đƣợc lắp ghép từ các phần tử thanh, khi cầu chịu tác động của gió thì cầu sẽ đung đƣa khi đó các thanh sẽ chuyện vị lớn.

Hoặc trong quá trình dập tấm trong cơ khí thì phôi là vật liệu vỏ mỏng khi tác động của chày thì phôi sẽ bị biến dạng và mất ổn định trong kết cấu, phôi sẽ bị mất ổn định, vậy lực tác dụng bao nhiêu là vừa đủ? Hoặc trong các kết cấu dài mảnh nhƣ xy lanh trong xe ép rác có ty dài ứng suất tới hạn thƣờng nhỏ hơn ứng suất bền do đó ta phải tính toán đến độ ổn định. Khi tính toán thực tế ngƣời chế tạo thƣờng sử dụng kinh nghiệm là chủ yếu. Thông thƣờng phân tích ổn định và sau ổn định ta phải quan tâm đến phân tích phi tuyến kết cấu đặc biệt phi tuyến hình học. Hình 1: Một số trụ điện sử dụng kết cấu khung giàn và một số thùng chứa kết cấu vỏ mỏng bị mất ổn định Theo [2] trong tính toán phân tích kết cấu máy, thông thƣờng bao gồm : - Phi tuyến vật liệu, trong đó tính chất vật liệu đƣợc thông qua điều kiện ứng suất hoặc biến dạng.

Ví dụ phi tuyến đàn hồi, dẻo và phá hủy. [Trang 15] P Pchay Pben ΔL Hình 2: Giản đồ lực – biến dạng của thép - Phi tuyến điều kiện biên, trong đó các bộ phận điều chỉnh có thể mở rộng ra hoặc gần nhau, vùng tiếp xúc giữa các bộ phận thay đổi dẫn đến lực thay đổi vì vậy có sự dịch chuyển giữa các bộ phận với nhau kèm theo ma sát. - Phi tuyến hình học, trong đó biến dạng đủ lớn mà phƣơng trình cân bằng đƣợc viết coi trọng biến dạng kết cấu hình học. Ngoài ra, tải có thể thay đổi hƣớng khi độ lớn tăng lên, nhƣ khi áp suất bơm vào kết cấu dạng màng.

Hình 3: Phi tuyến hình học Phƣơng trình kết cấu tuyến tính: [Trang 16] [ ]{ } { } (1.1) Trong đó : Ma trận hệ số [K]: (ma trận độ cứng) Vec tor Tải {R} Vec tor chuyển vị hoặc biến dạng {D} Chúng ta không thể giải ngay ra {D} bởi vì thông tin cần về kết cấu [K] và {R} thì không biết tăng lên nhƣ thế nào. Một giải thuật lặp đi lặp lại đƣợc yêu cầu để {D} phù hợp với [K] và {R} sao cho [K]{D} thì cân bằng với {R}.Khi phƣơng trình [K]{D}={R}thì không đƣợc chồng lắp lên nhau. Tức là chúng ta không thể tỉ lệ kết quả tải tại vị trí hoặc chồng kết quả tải khác. Mỗi một tải khác nhau đƣợc phân tích độc lập.

Ví dụ lò xo xoắn: P Cứng hơn Thẳng (kN=0) k0 u (kN>0) Mềm hơn k (kN<0) P u Hình 4: Lò xo xoắn chịu lực dọc trục P Hình 5: Giản đồ lực và chuyển vị của lò xo Khi ta tác dụng một lực P dọc tâm lò xo xoắn thì lò xo sẽ dịch chuyển một đoạn u. Trong đó k có phải là k0 ban đầu hay không? Nếu ta xem nhƣ độ cứng không đổi thì k=k0, tuy nhiên theo [2 ] k = k0+ku, trong đó ku là một hàm theo chuyển vị kN = kN(u). chúng ta có thể tính toán cho một vài giá trị u, nhƣng mà nó không thể giải quyết tƣờng minh cho u khi P đƣợc mô tả. Thay thế u bằng việc lấy một dãy tuyến tính bƣớc, với mỗi đáp tứng của việc thay đổi tải.2 Giản đồ Tải – Chuyển vị Theo [6] Thông thƣờng để mô tả mối quan hệ giữa tải và chuyển vị ngƣời ta sử dụng giản đồ tải – chuyển vị.

Về nguyên tắc, quan hệ đƣợc biểu diễn bằng một đƣờng cong liên tục trong hệ trục tọa độ, với trục hoành biểu diễn đáp ứng chuyển vị còn trục tung biểu diễn giá trị tải (mức tải). Đƣờng cong đƣợc vẽ xuất phát từ gốc tọa độ gọi là đƣờng cân bằng chính. Trên đƣờng cong có một số điểm đặc biệt và một số nhánh khác. Tải Đường cân bằng P (λ) Chuyển vị Hình 6: Đƣờng đặc tính Tải, chuyển vị Các điểm đặc biệt: Điểm giới hạn: Tại điểm đó, tiếp tuyến với đƣờng cong là đƣờng thẳng nằm ngang (song song với trục hoành).

Điểm nhánh rẽ: Tại điểm đó, nhiều nhánh đƣờng cân bằng giao nhau. Điểm quay đầu: Tại điểm đó, tiếp tuyến với đƣờng cong là đƣờng thẳng đứng (song song với trục tung). Điểm phá hủy: Tại điểm đó, kết cấu bị phá hủy. Tồn tại nhiều kỹ thuật với nhiều phƣơng pháp khác nhau.

Tổng quát, phƣơng trình đƣờng cân bằng giải quyết bằng phƣơng pháp truy bắt đƣờng cân bằng từng điểm từng điểm, thông qua giải thuật lặp đi lặp lại. Tiếp theo là các phƣơng pháp phổ biến.3 Phương pháp Newton – Raphson Mục đích của việc phân tích phƣơng trình phi tuyến là giải phƣơng trình: [ ]{ } { } (1.1) Giống nhƣ phƣơng trình phi tuyến f(u,x) = 0 với u= u (x), với u là thông số độc lập. Chúng ta có thể giải theo nhiều phƣơng pháp lặp khác nhau. Theo [6] tài liệu giới thiệu phƣơng pháp lặp chia đôi để giải bài toán.

Theo [2],[6] phƣơng pháp lặp Newton – Raphson đƣợc giới thiệu tuy nhiên vẫn có nhiều hạn chế trong đó nhƣợc điểm lớn nhất là không thể vẽ đƣợc đầy đủ đƣờng đặc tính. Tuy nhiên trong nhiều trƣờng hợp phƣơng pháp Newton – Raphson vẫn đƣợc sử dụng. [Trang 19] Tải Tải P (λ)1 A2 A1 P (λ)0 A0 Đƣờng cân bằng u3 u2 u0 u1 Chuyển vị Chuyển vị Hình 8: Phƣơng pháp Newton- Raphson Có nhiều dạng của phƣơng pháp Newton – Raphson nhƣ dạng kiểm soát tải, kiểm soát chuyển vị, dạng cải tiến,… Tuy nhiên dạng kiểm soát tải sử dụng phƣơng pháp Newton – Raphson vẫn đơn giản nhất. Phƣơng pháp điều khiển tải hay tải sẽ tăng ngoại lực theo mức tải λ.

Tại mỗi mức tải ta sẽ tính toán chuyển vị cho phù hợp. Ban đầu khai triển Taylor của nội lực qi ta có: qi (d ) qi (d  d )  qi (d )  d d (1.2) Khi điểm nằm trên đƣờng căng bằng thì nội lực cân bằng ngoại lực: qi (d  d )  qi (d )  qe (d  d )  qe (d )  qe (1.3) Từ đó ta có: qi (d ) qe  d  Kt d d (1.4) Trong đó Kt là ma trận độ cứng tiếp tuyến [Trang 20] Phƣơng pháp mô tả mối quan hệ giữa nội lực và ngoại lực bởi phƣơng trình đƣờng cân bằng: r (d i )  qi (d i )  qe  0 (1.5) Phƣơng trình cân bằng tại điểm tiếp theo r r i 1 (di )  r i  di   0 d (1.6) Từ đó tính toán lại δd và cập nhập lại d r  Kt d (1.8) Lặp lại đến khi ri+1 < ξ (sai số cho trƣớc) 1.4 Phương pháp Arc – length Để khắc phục nhƣợc điểm của phƣơng pháp Newton – Raphson theo [1],[3],[5] phƣơng pháp Arc – length đƣợc giới thiệu với cách thức gần giống phƣơng pháp Newton – Raphson tuy nhiên mức tải không là đƣờng thẳng mà thay bằng đƣờng giới hạn tải, chuyển vị bởi đƣờng tròn với bán kính Δl (đƣờng tròn giới hạn). Theo Xiao-zu, phƣơng trình phân tích phi tuyến đƣợc viết: r (d i )  qi (d i )  qe  0 (1.1) Trong đó: qe là vector ngoại lực tác dụng, λ là hệ số mức thay đổi tải, r là vector cân bằng. Phƣơng pháp Arc – length thực chất là tìm sự giao nhau giữa đƣờng cân bằng đƣờng tròn s có bán kính ∆l.

Trong đó bán kính đƣờng tròn s đƣợc xác định: [Trang 21] √ (1.2) Và điểm giao nhau giữa đƣờng tròn và r đƣợc xác định: (1.4) Trong đó KT là ma trận độ cứng kết cấu.1 Phƣơng pháp tuyến tính Arc – length (Linearized Arc-length method) Có rất nhiều kỹ thuật, phƣơng pháp khác nhau để giải quyết các phƣơng trình trên. Các phƣơng pháp đƣợc thay đổi theo các thời kì khác nhau. Phƣơng pháp đầu tiên đƣợc đề cập đến là phƣơng pháp Arc – length tuyến tính (Linearized arc-length method) đƣợc đƣa ra bởi Riks và Wempner dựa vào phƣơng pháp điều khiển chuyển vị của Baltoz and Dhatt (1979), phƣơng pháp đƣợc trình bày hình 11.1) với thay đổi chuyển vị trong đó 2 vector giao tuyến chuyển vị δd và δdT đƣợc xác định: (1.7) Sau đó ta thay đổi mức tải và chuyển vị: và (1.8) [Trang 23] Giải thuật Điểm bắt đầu i=0 với chuyển vị d0, mức tải λ0, Bƣớc 1: Xác định bƣớc chuyển vị δd theo (1.9) Bƣớc 2: Tính toán bƣớc chuyển vị và bƣớc tải (1.11) √( ) Bƣớc 3: Tính toán vector chuyển vị và vector mức tải theo (1.12) Bƣớc 4: Tính toán điểm giao tuyến: (1.13) Lặp lại các bƣớc 1 - 4 với tăng tải và đến khi nào a tiến dần về 0. Phƣơng pháp Cầu Arc – length (Spherical arc-length method) Một phƣơng pháp khác để giải quyết phƣơng trình (1.4) là phƣơng pháp cầu Arc – length đƣợc Crisfield đƣa ra.

Phƣơng trình (1.3) không chỉ đƣợc thỏa mãn thông qua quá trình lặp mà còn hội tụ nhƣ trong phƣơng pháp tuyến tính Arc – length. Để đạt đƣợc điều đó, phƣơng pháp đƣợc thêm vào vùng: (1.14) Trong đó δλ là đại lƣơng chƣa biết cần phải xác định. Khi đó phƣơng trình đƣợc mở rộng: (1.15) [Trang 24] Để đơn giản phƣơng trình ta đặt một số hệ số: (1.17) { ( )( ) Sau khi tính toán δλ từ (1.16) ta có thể giải phƣơng trình (1.14) sau đó thay đổi mức tải ở (1. Bất lợi lớn nhất của phƣơng pháp so với phƣơng pháp tuyến tính Arc-length là tăng lƣợng tính toán để giải quyết phƣơng trình cầu sau đó chọn sai số cho phƣơng trình cân bằng (1.

- 1 giao điểm hay 1 nghiệm (δλ1in) hay c1 rất nhỏ hoặc bằng 0. - Không có giao điểm hay phƣơng trình vô nghiệm. Để xác định sai số Crisfield đƣa ra: Trƣờng hợp 2 giao điểm: Nếu có 2 giao điểm thì phải tính toán cả 2 trƣờng hợp (phù hợp với δλ1) và (phù hợp với δλ2). Sai số phù hợp sẽ là hƣớng tăng tải gần nhất với chuyển vị cũ [Trang 26] ∆di.

Để so sánh ta cần tìm gốc nhỏ nhất giữa và ∆di hay giá trị lớn nhất của cosin góc xen giữa sử dụng: (1.18) Để đơn giản ta đặt các hệ số tỉ lệ c4 và c5: (1.21) Hay, nếu chọn δλ1 khi (1.