Thiết kế bộ điều khiển bền vững cho mạch vòng dòng điện máy phát điện gió

Nghiên cứu thiết kế bộ điều khiển bền vững cho mạch vòng nhằm tối ưu hiệu suất và độ tin cậy trong hệ thống điều khiển. Phân tích phương pháp thiết kế tiên

• Tác giả: Nguyễn Văn Đoàn
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Mai Hương
• Trường học: Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
• Đề tài: Nghiên cứu thiết kế bộ điều khiển bền vững cho mạch vòng dòng điện của hệ thống điều khiển máy phát điện sức gió
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan về luận văn thiết kế bộ điều khiển bền vững

Luận văn nghiên cứu thiết kế bộ điều khiển bền vững cho mạch vòng dòng điện nhằm nâng cao hiệu suất hoạt động của hệ thống điều khiển máy phát điện sức gió. Hệ thống điện gió ngày càng quan trọng trong bối cảnh chuyển đổi năng lượng toàn cầu. Bộ điều khiển bền vững đảm bảo độ ổn định cao trước các nhiễu động và biến đổi tham số. Phương pháp tiếp cận sử dụng lý thuyết điều khiển hiện đại như chuẩn H∞ và biến đổi phân thức tuyến tính (LFT). Nghiên cứu tập trung vào mạch vòng dòng điện rotor của máy phát không đồng bộ nguồn kép. Kết quả đóng góp vào phát triển công nghệ điều khiển năng lượng tái tạo.

1.1. Mạch vòng dòng điện trong hệ thống điện gió

Mạch vòng dòng điện rotor đóng vai trò quan trọng trong hệ thống điều khiển máy phát điện sức gió. Nó ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng bám theo tín hiệu đặt và chống nhiễu. Thiết kế bộ điều khiển cần đảm bảo đáp ứng nhanh chóng và ổn định. Các phương pháp truyền thống gặp khó khăn trong xử lý biến động gió. Biến đổi phân thức tuyến tính cho phép mô hình hóa các bất định tham số. Ma trận LFT biểu diễn mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra hiệu quả.

1.2. Tầm quan trọng của bộ điều khiển bền vững

Bộ điều khiển bền vững đảm bảo hệ thống hoạt động ổn định trước các biến động môi trường. Nó phải đáp ứng các tiêu chuẩn khắt khe về độ tin cậy và hiệu suất. Phương pháp chuẩn H∞ cung cấp giải pháp tối ưu cho bài toán điều khiển. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính hỗ trợ phân tích ổn định. Ma trận xác định dương đảm bảo tính khả nghịch trong thiết kế. Ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp năng lượng tái tạo.

II. Phân tích các vấn đề trong thiết kế bộ điều khiển truyền thống

Thiết kế bộ điều khiển truyền thống gặp nhiều hạn chế khi ứng dụng vào hệ thống điện gió. Các phương pháp cổ điển không đáp ứng đủ yêu cầu về độ bền vững. Biến động mạnh của tốc độ gió gây ra nhiễu loạn lớn. Mạch vòng dòng điện rotor phải đối mặt với nhiễu đo lường và nhiễu hệ thống. Độ trễ trong truyền thông làm giảm hiệu suất điều khiển. Tính phi tuyến của máy phát điện sức gió gây khó khăn trong mô hình hóa. Các phương pháp tuyến tính hóa cổ điển không đủ chính xác.

2.1. Nhiễu động và biến động trong hệ thống điện gió

Hệ thống điện gió chịu tác động mạnh từ điều kiện môi trường. Tốc độ gió thay đổi đột ngột tạo ra nhiễu động phi tuyến. Các nhiễu đo lường từ cảm biến ảnh hưởng đến chất lượng điều khiển. Độ trễ truyền thông trong hệ thống phân tán gây mất ổn định. Biến động tham số do nhiệt độ và hao mòn thiết bị. Mạch vòng dòng điện phải đối mặt với nhiều nguồn nhiễu khác nhau. Tính bền vững yêu cầu khả năng chống chịu trước mọi nhiễu động.

2.2. Hạn chế của phương pháp điều khiển cổ điển

Phương pháp PID truyền thống không đủ mạnh để đối phó nhiễu phi tuyến. Độ ổn định kém trước biến động lớn của tải. Khó khăn trong điều chỉnh tham số theo thời gian thực. Không đảm bảo hiệu suất trong toàn dải hoạt động. Phương pháp cổ điển không xét đến các bất định hệ thống. Khả năng chống nhiễu của bộ điều khiển truyền thống hạn chế. Yêu cầu thiết kế mới để đáp ứng tiêu chuẩn công nghiệp.

III. Phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững sử dụng H

Phương pháp thiết kế dựa trên lý thuyết điều khiển H∞ cung cấp giải pháp tối ưu cho bài toán điều khiển bền vững. Bộ điều khiển H∞ tối thiểu hóa chuẩn vô cùng của hàm truyền. Nó đảm bảo độ ổn định và hiệu suất trước mọi nhiễu động. Biến đổi phân thức tuyến tính (LFT) hỗ trợ mô hình hóa các bất định. Ma trận LFT biểu diễn mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra. Phương pháp này cho phép thiết kế bộ điều khiển ổn định vững chắc.

3.1. Biến đổi phân thức tuyến tính trong thiết kế

Biến đổi phân thức tuyến tính (LFT) cho phép mô hình hóa các bất định hệ thống. Nó biểu diễn mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra dưới dạng ma trận. LFT trên và LFT dưới cung cấp cách tiếp cận linh hoạt. Ma trận LFT phụ thuộc tuyến tính theo tham số bất định. Bổ đề bù Schur hỗ trợ phân tích ổn định của hệ thống. LFT cho phép tích hợp các thành phần bất định trong thiết kế.

3.2. Ứng dụng chuẩn H trong điều khiển bền vững

Chuẩn H∞ tối thiểu hóa chuẩn vô cùng của hàm truyền hệ thống. Nó đảm bảo độ ổn định vững chắc trước mọi nhiễu động. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính hỗ trợ phân tích ổn định. Phương trình Riccati cung cấp giải pháp tối ưu cho bài toán điều khiển. Bổ đề chặn biên hỗ trợ đánh giá độ ổn định. Chuẩn H∞ cho phép thiết kế bộ điều khiển ổn định vững chắc.

IV. Kết luận và ứng dụng thực tiễn trong hệ thống điện gió

Nghiên cứu đã đề xuất phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững cho mạch vòng dòng điện rotor. Phương pháp dựa trên lý thuyết H∞ và biến đổi phân thức tuyến tính. Kết quả cho thấy khả năng chống nhiễu và độ ổn định cao. Bộ điều khiển đảm bảo hiệu suất ổn định trước biến động gió. Ứng dụng thực tế trong hệ thống điện gió công nghiệp. Phương pháp này có thể mở rộng cho các hệ thống điều khiển khác. Nghiên cứu đóng góp vào phát triển công nghệ năng lượng tái tạo.

4.1. Đánh giá hiệu quả bộ điều khiển đề xuất

Bộ điều khiển H∞ cho thấy khả năng chống nhiễu vượt trội. Độ ổn định vững chắc trước mọi biến động môi trường. Đáp ứng nhanh chóng và chính xác theo tín hiệu đặt. Khả năng phân ly nhiễu giữa các kênh điều khiển tốt. Sai lệch điều khiển nhỏ trong toàn dải hoạt động. Hiệu suất ổn định trong điều kiện biến động mạnh. Đáp ứng thời gian nhanh và độ overshoot thấp.

4.2. Triển vọng ứng dụng trong ngành năng lượng

Phương pháp thiết kế có thể áp dụng rộng rãi trong ngành năng lượng gió. Nó đáp ứng tiêu chuẩn khắt khe về độ tin cậy và hiệu suất. Các nhà sản xuất thiết bị điện gió có thể tích hợp giải pháp. Giảm chi phí bảo trì và tăng tuổi thọ thiết bị. Đóng góp vào phát triển bền vững ngành năng lượng. Mở rộng khả năng ứng dụng trong các hệ thống điều khiển khác.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 đã giải quyết được các vấn đề sau: • Tổng quan về các hệ thống biến đổi năng lượng gió • Đưa ra đối tượng nghiên cứu là hệ thống phát điện sức gió sử dụng máy điện không đồng bộ nguồn kép và các phương pháp điều khiển. Vấn đề đặt ra là cần nghiên cứu áp dụng các thuật toán điều khiển hệ thống đa biến tuyến tính, không sử dụng các bộ bù và có thể đảm bảo sự làm việc ổn định của hệ thống ngay cả khi tham số của máy phát thay đổi. Luận văn đề xuất nghiên cứu lý thuyết điều khiển bền vững trong không gian, kỹ thuật gain schduling cho các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính, phụ thuộc affine và có thể đo được trong thời gian thực, từ đó áp dụng kết quả nghiên cứu cho máy phát điện không đồng bộ nguồn kép. TỔNG HỢP BỘ ĐİỀU KHİỂN BỀN VỮNG Chương này được dành để trình bày các vấn đề liên quan việc tổng hợp bộ điều khiển bền vững 𝐻∞.

Nội dung chính của chương được trình bày dựa trên các tài liệu. Ma trận xác định dương Một ma trận vuông 𝑀 ∈ ℝ𝑛×𝑛 được gọi là xác định dương nếu: 𝑥 𝑇 𝑀𝑥 > 0 với ∀𝑥 ∈ ℝ𝑛 Ma trận xác định dương được ký hiệu là 𝑀 ≻ 0, ma trận xác định bán dương là 𝑀 ≽ 0, ma trận xác định âm là 𝑀 ≺ 0, ma trận xác định bán âm là 𝑀 ≼ 0. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ký hiệu ℒ 2 là một không gian các tín hiệu có thể lấy tích phân bình quân phương xác định trong khoảng [0, ∞). Một ma trận 𝐴 được gọi là đối xứng nếu nó thỏa mãn 𝐴 = 𝐴𝑇.

Một tập tất cả ma trận đối xứng 𝑚 × 𝑚 được ký hiệu bởi 𝕊𝑚. Một hàm truyền 𝑀(𝑠) của biểu diễn không gian trạng thái (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) được ký hiệu như sau: 𝐴 𝐵 𝑀=[ ]. 𝐶 𝐷 Một bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequality - LMI) có dạng: 𝑛 𝐹 (𝑥) = 𝐹0 + ∑ 𝑥𝑖 𝐹𝑖 𝑖=1 ≺0 (2. , 𝑥𝑛 ) biểu thị một vector các biến quyết định và 𝐹𝑖 ∈ 𝕊𝑛 , 𝑖 = 0,1,.

Bất đẳng thức ([EQ:MLIDEF]) là 𝐹(𝑥) một ma trận xác định âm, nghĩa là 𝑣 𝑇 𝐹 (𝑥)𝑣 ≺ 0 ∀𝑣 ∈ ℝ𝑛 , 𝑣 ≠ 0. (2 Quan sát rằng 𝐹 là một hàm affine, kéo theo tập 𝑥 ∈ ℝ𝑛 thỏa mãn (2. Cả bài toán xác định tính khả thi của (2.1) hay tối ưu hóa một hàm tuyến tính với các ràng buộc trên được gọi là bài toán LMI có thể được giải theo các đa thức bằng các phần mềm thương mại. Cần nhấn mạnh rằng các chương trình giải LMI đặc trưng cho phép thực hiện một hữu hạn các LMI 𝐹1 (𝑥) ≺ 0, … , 𝐹𝑁 (𝑥) ≺ 0 được mô tả bởi các ánh xạ đối xứng giá trị affine 𝐹1 (𝑥), … , 𝐹𝑁 (𝑥).

Chuẩn 𝑯∞ 20 Xét một hệ vào-ra tuyến tính 𝛴 được mô tả bởi 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑤 𝛴: { 𝑧 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑤 và ma trận hàm truyền của nó được cho bởi 𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷. Nếu 𝐴 là ổn định và nếu ta chọn điều kiện đầu 𝑥(0) là zero thì 𝛴 định nghĩa một ánh xạ tuyến tính 𝑤 → 𝑧 trên ℒ 2 với năng lượng hữu hạn được định nghĩa như sau ∥𝐺𝑤∥2 sup. 𝑤∈ℒ2 , 𝑤≠0 ∥𝑤 ∥2 Chú ý rằng năng lượng của 𝛴 cũng chính là chuẩn 𝐻∞ của ma trận hàm truyền tương ứng 𝐺 cho bởi ∥𝐺 ∥∞ = sup 𝜎(𝐺(𝑗𝜔)) 𝜔∈ℝ trong đó 𝜎(𝑀) biểu thị cho giá trị suy biến lớn nhất của ma trận phức 𝑀. Phương trình và bất phương trình đại số Riccati Cho các ma trận đối xứng 𝑅 và 𝑄 , xét bất phương trình đại số Riccati (Algebraic Riccati Inequality - ARI) chặt 𝐴𝑇 𝑋 + 𝑋𝐴 + 𝑋𝑅𝑋 + 𝑄 < 0 phương trình đại số Riccati (Algebraic Riccati Equation - ARE) tương ứng 𝐴𝑇 𝑋 + 𝑋𝐴 + 𝑋𝑅𝑋 + 𝑄 = 0 Chú ý là 𝑋 được giả thiết là ma trận đối xứng thực hoặc mà trận phức Hermitian.

Hơn nữa, 𝑄 được phép là không xác định. Bổ đề chặn biên Bồ đề chặn biên (bounded real lemma - BRL) (2.1) cho biết điều kiện cho một hệ tuyến tính bất biến có chuẩn 𝐻∞ của hàm truyền bị chặn. Khi đó các phát biểu sau là tương đương 𝑃𝐴 + 𝐴𝑇 𝑃 + 𝐶 𝑇 𝐶 𝑃𝐵 + 𝐶 𝑇 𝐷 1. Với mọi 𝜔 ∈ ℝ, det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐴) ≠ 0, 𝐺(𝑗𝜔)∗ 𝐺(𝑗𝜔) ≤ 𝛾 2 𝐼 ⇒ 𝜎(𝐺(𝑗𝜔)) =∥ 𝐺(𝑗𝜔) ∥2 = √𝜆𝑚𝑎𝑥 (𝐺(𝑗𝜔)∗ 𝐺(𝑗𝜔) ≤ 𝛾 3.

Chuẩn 𝐻∞ của 𝐺(𝑗𝜔) hay ∥ 𝐺 ∥∞ ≤ 𝛾 ∥𝑦∥ℒ2 4. Chuẩn ℒ 2 của hệ ≤ 𝛾 Khi 𝑥(0) = 0 ta có sup ≤𝛾 𝑢∈ℒ2 ∥𝑢∥ℒ2 Chứng minh. Xem xem trong [7]. Bổ đề bù Schur Bổ đề bù Schur được phát biểu như sau Bổ đề 2.2 (Bù Schur): 𝑀11 𝑀12 Một ma trận đối xứng 𝑀 = ( ) là xác định âm khi và chỉ khi 𝑀21 𝑀22 −1 1.3 Biến đổi phân thức tuyến tính Ánh xạ 𝐹: ℂ ↦ ℂ có dạng 𝐹 (𝑠 ) 𝑎𝑠 + 𝑏 = (2.4) 𝑐𝑠 + 𝑑 với 𝑎, 𝑏, 𝑐 và 𝑑 ∈ ℂ được gọi là biến đổi phân thức tuyến tính (Linear Fractional Transformation - LFT).

Biến đổi LFT cũng được mở rộng cho các ma trận. Giả sử 𝐹(𝛿) là một ma trận hàm phụ thuộc vào một vector tham số 𝛿 = (𝛿1 ,. , 𝛿𝑚 )𝑇 ∈ ℝ𝑚 ánh xạ một vector 𝜉 vào vector 𝜂 = 𝐺(𝛿)𝜉 (hình 2. Một 𝑀11 𝑀12 ma trận 𝛥(𝛿) phụ thuộc tuyến tính theo 𝛿 và ma trận hằng 𝑃 = [ ] sao 𝑀21 𝑀22 cho có được nghịch đảo [𝐼 − 𝑀11 𝛥(𝛿)]−1 với mọi 𝛿.5) 𝑃21 𝑃22 𝜉 với định nghĩa 𝛥 ℱ𝑢 = 𝑀22 + 𝑀21 𝛥(𝛿)(𝐼 − 𝑀11 𝛥(𝛿 ))−1 𝑀12 (2.6) Tương tự, biểu diễn LFT dưới của 𝐹(𝛿) được định nghĩa như sau 22 𝜂 𝑃 𝑃12 𝜉 [ ] = [ 11 ][ ]; 𝑤 = 𝛥 (𝛿 )𝑧 (2.8) Trong thiết kế các bộ điều khiển bền vững và/hoặc phân tích ổn định bền vững cho hệ thống điều khiển thì 𝛥(𝛿) thường biểu diễn các thành phần bất định hoặc bộ điều khiển.

Các thành phần bất định này có thể là các tham số bất biến theo thời gian, các tham số biến đổi theo thời gian, hay các thành phần động học.1: Biểu diễn LFT trên (a) và dưới (b) 2. Tính chuẩn 𝑯∞ Xét một ma trận hàm truyền hợp thức 𝑀(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 (2.9) với 𝐴 là ổn định. Nhớ lại là chuẩn 𝐻∞ của 𝑀 được định nghĩa như sau 𝛥 ∥ 𝑀 ∥∞ = sup ∥ 𝑀(𝑗𝜔) ∥. 𝜔∈ℝ Đây là bài toán tối ưu hóa và thông thường thì cách này là không thích hợp để tính chuẩn 𝐻∞ của 𝑀.

Thay vào đó ta sẽ tìm cách tính khác hiệu quả hơn bằng cách mô tả 𝑀 bằng các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶 và xem có hay không ∥ 𝑀 ∥∞ <1 (2.10) Theo định nghĩa của chuẩn 𝐻∞ thì (2.10) tương đương với 23 ∥ 𝑀 ∥∞ < 1 với mọi 𝜔 ∈ ℝ ∪ {∞}. Do 𝑀 là hợp thức chặt nên bất đẳng thức này luôn đúng với 𝜔 = ∞. Vậy nên ta chỉ cần xét ∥ 𝑀 ∥∞ < 1 với mọi 𝜔 ∈ ℝ.11) Điều này chỉ đúng khi và chỉ khi det(𝑀(𝑗𝜔)∗ 𝑀(𝑗𝜔) − 𝐼) ≠ 0 với mọi 𝜔 ∈ℝ (2. Do 𝑀 là một hàm thực hữu tỷ nên 𝑀(𝑗𝜔)∗ = 𝑀(−𝑗𝜔)𝑇.

Nếu ta định nghĩa 𝛥 𝐺(𝑠) = 𝑀 𝑇 (−𝑠)𝑀(𝑠) − 𝐼 thì (2.12) cũng là det(𝐺(𝑗𝜔)) ≠ 0 với mọi 𝜔 ∈ ℝ. Mặt khác, do 𝑀(−𝑠)𝑇 = [𝐶(−𝑠𝐼 − 𝐴−1 𝐵]𝑇 = 𝐵𝑇 (−(𝑠𝐼 − 𝐴𝑇 )−1 𝐶 𝑇 = 𝐵𝑇 (𝑠𝐼 − (−𝐴𝑇 ))−1 (−𝐶 𝑇 ). Khi đó dạng biểu diễn không gian trạng thái của 𝐺 sẽ là 𝐺 𝐴 0 𝐵 = [−𝐶 𝑇 𝐶 −𝐴𝑇 0 ].13) 0 𝐵𝑇 −𝐼 Nhớ lại là (nếu 𝐷 không suy biến) det(𝐷̃) det(𝐶̃ (𝑠𝐼 − 𝐴̃)−1 𝐵̃ + 𝐷 ̃) = det(𝐴̃ − 𝐵̃ 𝐷 ̃ −1 𝐶̃ )). −𝐶 𝐶 −𝐴𝑇 Vậy nên det(−𝐼) det(𝐺(𝑗𝜔)) = det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐻 ) det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐴)det(𝑗𝜔𝐼 + 𝐴𝑇 ) Do 𝐴 là ổn định làm cho det(𝑗𝜔𝐼 − 𝐴) và det(𝑗𝜔𝐼 + 𝐴𝑇 ) khác không.

Do đó det(𝐺(𝑗𝜔)) = 0 khi và chỉ khi 𝑗𝜔 là giá trị riêng của 𝐻. Điều đó nói lên rằng (2.12) 𝐻 không có các giá trị riêng trên trục ảo. ∥ 𝑀(𝑗𝜔) ∥∞ < 1 khi và chỉ khi ( 𝐴𝑇 𝐵𝐵𝑇 ) không có các giá trị −𝐶 𝐶 −𝐴𝑇 riêng trên trục ảo.14) có thỏa mãn hay không. Bất đắng thức này cũng tương đương với 1 1 ∥ [ 𝐶] (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 ∥∞ < 1 hoặc ∥ 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 [ 𝐵] ∥∞ < 1 (2.15) 𝛾 𝛾 1 Ta có thể thấy rằng các ma trận 𝐵 hoặc 𝐶 được định lại tỷ lệ với hệ số để kiểm 𝛾 tra chuẩn 𝐻∞ bị chặn bởi 1.14) thỏa mãn khi và chỉ khi 1 𝐴 𝐵𝐵𝑇 ( 𝛾2 ) không có các giá trị riêng trên trục ảo −𝐶 𝑇 𝐶 −𝐴 𝑇 hoặc tương đương với 𝐴 𝐵𝐵𝑇 ( 1 ) không có các giá trị riêng trên trục ảo.

− 2 𝐶𝑇𝐶 −𝐴𝑇 𝛾 25 Kết quả này có lợi ích gì? Nó cho phép đưa việc kiểm tra ∥ 𝑀(𝑗𝜔) ∥∞ < 𝛾 vốn liên quan đến việc tính chuẩn của một số vô hạn các tần số về việc kiểm chứng ma trận Hamilton được định nghĩa thông qua các ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶 and giá trị chặn 𝛾 có một giá trị riêng trên trục ảo hay không. Vấn đề này có thể được thực hiện thông qua thuật toán chia đôi (Bisection). Bài toán điều khiển 𝑯∞ Xét một đối tượng tổng quát 𝑧 𝑤 (𝑦 ) = 𝑃 ( ) 𝑢 𝐴 𝐵1 𝐵2 𝑤 = [𝐶1 𝐷11 𝐷12 ] ( ).16) 𝑢 𝐶2 𝐷21 𝐷22 Giả sử 𝑃 được ổn định bởi một bộ điều khiển làm cho (𝐴, 𝐵2 ) ổn định được và (𝐴, 𝐶2 ) phát hiện được. Bộ điều khiển là một hệ LTI 𝐴 𝐵𝐾 𝑢 = 𝐾𝑦 = [ 𝐾 ] 𝑦.

𝐶𝐾 𝐷𝐾 Mục tiêu của bài toán điều khiển 𝐻∞ là cực tiểu chuẩn 𝐻∞ của ma trận hàm truyền 𝑤 → 𝑧 bằng cách sử dụng một bộ điều khiển. Ta có hệ kín được điều khiển là 𝒜 ℬ 𝑧 = 𝑆(𝑃, 𝐾)𝑤 = [ ] 𝑤. 𝒞 𝒟 Bài toán đặt ra là cực tiểu đối với tất cả 𝐾 làm ổn định 𝑃 (nghĩa là làm cho 𝒜 ổn định). Thông thường chúng ta có thể định lại giá trị chặn bởi 1 bằng cách sử dụng các hàm trọng lượng.